微分方程式組の理論

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第4章では、定数係数線形微分方程式系および高階定数係数線形微分方程式の解法を扱った。しかし、変係数線形微分方程式および微分方程式系については一般的な解法が存在しない。本章では主として、周期係数線形斉次微分方程式系と二階変係数線形斉次微分方程式の解の理論を紹介する。

5.1 周期係数線形微分方程式系：Floquet 理論

変係数線形微分方程式系 (4.1.1) に対して、対応する斉次微分方程式系の基本解行列が分かれば、定数変化法の公式によって一般解を求めることができる。しかし、変係数線形斉次微分方程式系の基本解行列を求める一般的な方法は存在しない。本節では、周期係数線形斉次微分方程式系

$$\dot{x} = A(t)x, \quad x \in \mathbb{R}^n \tag{5.1.1}$$

を考える。ここで $A(t)$ は周期 $T > 0$ をもつ周期行列関数である。

次の定理（Floquet の定理と呼ばれる）は、フランスの数学者 Gaston Floquet（1847--1920）が1883年に確立したものであり、周期係数線形微分方程式系の基本解行列の標準形を与える。

定理 54（Floquet の定理） $A(t)$ を周期 $T>0$ をもつ実連続周期行列関数とし、$\Phi(t)$ を微分方程式系 (5.1.1) の基本解行列とする。このとき、次の結論が成立する。

(a) 基本解行列 $\Phi(t)$ は次を満たす。

$$\Phi(t+T) = \Phi(t)\Phi^{-1}(0)\Phi(T), \quad t \in \mathbb{R}.$$

(b) 非退化かつ微分可能な $T$ 周期行列関数 $Q(t)$ と定数行列 $B$（実あるいは複素）が存在して、

$$\Phi(t) = Q(t)e^{tB}$$

が成立する。さらに、変換 $x = Q(t)y$ のもとで、線形斉次微分方程式系 (5.1.1) は定数係数線形微分方程式系

$$\dot{y} = By \tag{5.1.2}$$

に変換される。

(c) 非退化かつ微分可能な $2T$ 周期行列関数 $P(t)$ と実定数行列 $R$ が存在して、

$$\Phi(t) = P(t)e^{tR}$$

が成立する。さらに、変換 $x = P(t)y$ のもとで、線形斉次微分方程式系 (5.1.1) は定数係数線形微分方程式系

$$\dot{y} = Ry \tag{5.1.3}$$

に変換される。

証明

$A(t)$ が $\mathbb{R}$ 上で連続であるから、微分方程式系 (5.1.1) は $\mathbb{R}$ 上で連続微分可能な実基本解行列をもつ。これを $\Phi(t)$ と表す。$\Psi(t) := \Phi(t+T)$ とおくと、$\Psi(t)$ もまた (5.1.1) の基本解行列である。したがって、非退化な実定数行列 $C$ が存在して

$$\Phi(t+T) = \Phi(t)C$$

が成立する。

(a) 上式で $t = 0$ とおくと、$C = \Phi^{-1}(0)\Phi(T)$ が得られる。

(b) $C$ は非退化であるから、行列 $B$（実あるいは複素）が存在して

$$C = e^{TB}$$

が成立する。ここで

$$Q(t) := \Phi(t)e^{-tB}$$

とおくと、これは非退化かつ連続微分可能な $T$ 周期行列関数である。実際、$Q(t)$ の連続微分可能性は $\Phi(t)$ と $e^{-tB}$ の連続微分可能性から従う。$Q(t)$ の非退化性は $\Phi(t)$ と $e^{-tB}$ の非退化性から従い、$e^{-tB}$ の非退化性はそれが $\dot{x} = -Bx$ の基本解行列であることから分かる。$Q(t)$ が $T$ 周期であることは、

$$Q(t+T) = \Phi(t+T)e^{-(t+T)B} = \Phi(t)Ce^{-TB}e^{-tB} = \Phi(t)e^{-tB} = Q(t)$$

から確認できる。変換 $x = Q(t)y$ を施すと、

$$\begin{aligned}\dot{x} &= Q'(t)y + Q(t)\dot{y} = \bigl(\Phi'(t)e^{-tB} - \Phi(t)Be^{-tB}\bigr)y + Q(t)\dot{y} \\ &= \bigl(A(t)\Phi(t)e^{-tB} - Q(t)B\bigr)y + Q(t)\dot{y} = A(t)Q(t)y + Q(t)(\dot{y} - By) \\ &= A(t)x + Q(t)(\dot{y} - By)\end{aligned}$$

となる。$Q(t)$ の可逆性より、$x(t)$ が周期係数線形微分方程式系 (5.1.1) の解であることと $y(t)$ が定数係数線形斉次微分方程式系 (5.1.2) の解であることは同値である。

(c) $C$ は非退化であるから、実行列 $R$ が存在して

$$C^2 = e^{2TR}$$

が成立する（実行列 $C^2$ は実行列対数をもつ。下の注意を参照）。$P(t) := \Phi(t)e^{-tR}$ とおくと、これは非退化かつ連続微分可能な $2T$ 周期行列関数である。実際、

$$P(t+2T) = \Phi(t+2T)e^{-(t+2T)R} = \Phi(t)C^2 e^{-2TR}e^{-tR} = \Phi(t)e^{-tR} = P(t)$$

が成立する。ここで $\Phi(t+2T) = \Phi(t+T)C = \Phi(t)C^2$ という事実を用いた。変換 $x = P(t)y$ を施すことで、(b) の証明と同様にして (c) が得られる。

注意. 実行列 $C \in M$ が非退化であるとき、次のことが成立する。

Floquet の定理は、周期係数線形斉次微分方程式系の基本解行列の本質的な特性を明らかにする。また、Floquet の定理を用いることで、周期係数線形斉次微分方程式系の原点近傍における解の挙動を論じることができる。例えば、線形斉次微分方程式

$$x' = a(t)x$$

において $a(t)$ が周期 $T$ の連続周期関数であるとき、非自明解

$$x(t) = e^{\int_0^t a(s)\,ds}$$

が存在する。Floquet の定理により、$T$ 周期関数 $p(t)$ と定数 $b$ が存在して

$$x(t) = p(t)e^{tb}$$

と表される。$x(t+T) = x(t)c = x(t)e^{Tb}$ であることから、

$$e^{\int_0^{t+T} a(s)\,ds} = e^{\int_0^t a(s)\,ds} \cdot e^{Tb}$$

が成立する。また $\displaystyle\int_t^{t+T} a(s)\,ds = \int_0^T a(s)\,ds$ であるから、

$$b = \frac{1}{T}\int_0^T a(s)\,ds$$

と取ることができる。$b$ はちょうど関数 $a(s)$ の一周期にわたる平均値に等しいことに注意する。平均値 $b = 0$ のとき $x(t)$ は周期解となり、$b < 0$ のとき $x(t)$ は $t \to \infty$ で零に収束する。

次に、周期係数線形斉次微分方程式系の周期解の存在性を論じる。任意の $v \in \mathbb{R}^n$ に対して、微分方程式系 (5.1.1) の点 $(\tau, v)$ を通る解は

$$x(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(\tau)v$$

で与えられる。この式はすべての $v \in \mathbb{R}^n$ に対して微分方程式系 (5.1.1) のすべての解を定めることに注意する。これは、線形斉次微分方程式系の解が基本解行列と初期ベクトルによって一意に定まるためである。線形作用素

$$v \mapsto \Phi(T+\tau)\Phi^{-1}(\tau)v$$

は、初期位置 $v$ から出発した解が一周期 $T$ 後にどこにあるかを定める。この作用素の重要性は、微分方程式系 (5.1.1) の周期解の存在性などを論じる際に活用できる点にある。このような作用素を微分方程式系 (5.1.1) のモノドロミー作用素（monodromy operator）という。モノドロミー作用素の固有値を微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数または Floquet 乗数という。

$\Phi(t+T) = \Phi(t)\Phi^{-1}(0)\Phi(T)$ であるから、

$$\Phi(T+\tau)\Phi^{-1}(\tau) = \Phi(\tau)\Phi^{-1}(0)\Phi(T)\Phi^{-1}(\tau)$$

が成立する。これは、特性乗数が $C = e^{TB}$ の固有値であることを示している。

複素数 $\mu$ が微分方程式系 (5.1.1) の特性指数または Floquet 指数であるとは、$\rho := e^{\mu T}$ がある特性乗数であることをいう。特性乗数はちょうど $n$ 個（重複度を込めて）存在するが、Floquet 指数は無限に多く存在することに注意する（$\mu$ が Floquet 指数ならば $\mu + \dfrac{2k\pi}{T}\,\mathrm{i}$（$k \in \mathbb{Z}$）も Floquet 指数であるため）。

例 5.1 次の方程式の特性乗数を求めよ。

$$x'(t) = (\cos^2 t)\,x.$$

解. これは周期 $\pi$ の周期係数線形微分方程式である。非自明解

$$x(t) = \varphi(t) = e^{\frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin(2t)}$$

をもつ。よって

$$c := \varphi^{-1}(0)\varphi(\pi) = e^{\pi/2}.$$

したがって元の方程式の特性乗数は $e^{\pi/2}$ である。

例 5.2 次の微分方程式系の特性乗数を求めよ。

$$x'(t) = \bigl(\cos(2\pi t)+1\bigr)x, \quad y'(t) = \cos(2\pi t)\,x + y.$$

解. これは周期 $1$ の周期係数線形微分方程式系である。基本解行列として

$$\Phi(t) = \begin{pmatrix} e^{t + \frac{\sin(2\pi t)}{2\pi}} & 0 \\[6pt] e^{t+\frac{\sin(2\pi t)}{2\pi}} + e^t & e^t \end{pmatrix}$$

をもつ。よって

$$C := \Phi^{-1}(0)\Phi(1) = \begin{pmatrix} e & 0 \\ 0 & e \end{pmatrix}.$$

したがって元の微分方程式系は、等しい二つの特性乗数 $e$ をもつ。

次の結果は、特性乗数と周期係数線形微分方程式系 (5.1.1) の周期解との関係を与える。以下では特に断らない限り、$T > 0$ が関数 $f(t)$ の周期であるとは、$T$ が最小正周期、すなわち $f(t+T) \equiv f(t)$（$t \in \mathbb{R}$）であるが、任意の $S \in (0,T)$ に対して $f(t+S) \not\equiv f(t)$（$t \in \mathbb{R}$）であることを意味するものとする。

定理 55 周期 $T$ の周期係数線形斉次微分方程式系 (5.1.1) に対して、次の結論が成立する。

(a) $\lambda$ が微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数であるための必要十分条件は、微分方程式系 (5.1.1) に非零解 $w(t)$ が存在して

$$w(t+T) = \lambda w(t)$$

が成立することである。

(b) 微分方程式系 (5.1.1) に非零の $2T$ 周期解が存在するための必要十分条件は、$-1$ が微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数であることである。

(c) 微分方程式系 (5.1.1) に非零の $T$ 周期解が存在するための必要十分条件は、$1$ が微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数であることである。

証明

$\Phi(t)$ を微分方程式系 (5.1.1) の基本解行列とし、$C = \Phi^{-1}(0)\Phi(T)$ とおく。

(a) （必要性）$\lambda$ が微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数、すなわち行列 $C$ の固有値であるとする。$v$ を $C$ の $\lambda$ に対応する固有ベクトルとすると、微分方程式系 (5.1.1) の非零解 $w(t) = \Phi(t)v$ は

$$w(t+T) = \Phi(t+T)v = \Phi(t)Cv = \Phi(t)\lambda v = \lambda w(t)$$

を満たす。

（十分性）$v \in \mathbb{C}^n$ を $w(t) = \Phi(t)v$ が成立するように取る。$w(t+T) = \lambda w(t)$ より

$$\Phi(t+T)v = \lambda\Phi(t)v$$

が成立し、よって $Cv = \lambda v$ となる。したがって $\lambda$ は微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数である。

(b) （十分性）$-1$ が微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数であるから、ある非零解 $w(t)$ が存在して $w(t+T) = -w(t)$ が成立する。したがって

$$w(t+2T) = -w(t+T) = w(t)$$

となり、$w(t)$ は $2T$ 周期解である。

（必要性）$w(t)$ を微分方程式系 (5.1.1) の非零の $2T$ 周期解とし、$w(t) = \Phi(t)v$（$v \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}$）と表す。$\Phi(t+2T)v = \Phi(t)v$ より $C^2 v = v$ が成立する。

$$\mathbf{0} = (C^2 - E)v = (C+E)(C-E)v$$

において、もし $-1$ が $C$ の固有値でなければ、$C + E$ は可逆であり $(C - E)v = \mathbf{0}$ が導かれる。これは $1$ が $C$ の固有値であることを意味し、

$$w(t+T) = \Phi(t+T)v = \Phi(t)Cv = \Phi(t)v = w(t)$$

となる。しかしこれは $w(t)$ が $2T$ 周期解であることに矛盾する。この矛盾から $-1$ は $C$ の固有値、すなわち微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数である。

(c) (b) と同様に証明できるので、読者の練習問題とする。

注意. 以上では周期係数線形微分方程式系の特性乗数を用いて、$T$ 周期解および $2T$ 周期解の存在の判定法を与えた。実際には、特性乗数を用いて微分方程式系 (5.1.1) の自明解 $x = \mathbf{0}$ の安定性なども論じることができる。安定性の概念については第6章で述べる。

次の結果は、周期係数線形微分方程式系の特性乗数と係数行列 $A(t)$ のトレースとの関係を与える。

命題 56 周期 $T$ の周期係数線形微分方程式系 (5.1.1) の特性乗数を $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ とすると、

$$\lambda_1 \cdots \lambda_n = e^{\int_0^T \mathrm{tr}(A(t))\,dt}.$$
証明

特性乗数の定義と Liouville の公式を用いれば容易に証明できる。読者の練習問題とする。

例 5.3（Hill 方程式）

$$x'' + q(t)x = 0$$

はアメリカの数学者 George W. Hill（1838--1914）が1886年に月の周期的引力場のもとでの運動を研究した際に得られた方程式であり、$q(t)$ は周期 $T$ の連続周期関数である。$y = x'$ とおくと、周期係数線形微分方程式系

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -q(t) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

を得る。命題 56 により、この方程式系の特性乗数の積は $1$ である。第6章では、特性乗数の場合分けを通じて、Hill 方程式の解の表現や安定性を論じる。

Hill 方程式は Mathieu 方程式や Meissner 方程式などの重要な方程式を特殊ケースとして含む。$q(t)$ の形に応じて、Hill 方程式の解は有界性や指数的増大など様々な挙動を示す。Hill 方程式は天文学・力学・電子工学など多くの分野に広く応用されている。

5.2 二階変係数線形斉次微分方程式

本節では二階変係数線形斉次微分方程式の解の理論を論じる。まず二階線形斉次微分方程式の解の零点の問題を扱い、次に二階線形斉次微分方程式の境界値問題の解の存在性とその性質、およびこれらの理論の熱伝導方程式と波動方程式の初期境界値問題への応用を考察する。

5.2.1 Sturm の比較定理

ここでは主として、二階変係数線形斉次微分方程式

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \tag{5.2.1}$$

の解の零点の性質を考察する。ここで $p(x)$、$q(x)$ は開区間 $J = (a,b) \subset \mathbb{R}$ 上で連続とする。この問題は振動の研究においてしばしば現れる。

§4.1.3ではすでに次のことが示されている。方程式 (5.2.1) の任意の解 $\varphi(x)$ は $J$ の任意の閉部分区間上で高々有限個の零点をもち、$\varphi(x)$ の零点 $x_0$ では $\varphi'(x_0) \neq 0$ が成立する。以下では微分方程式 (5.2.1) の解の零点の性質をさらに掘り下げる。

$x_1, x_2 \in J$ が関数 $\varphi(x)$ の隣り合う二つの零点であるとは、$x_1$、$x_2$ がともに $\varphi(x)$ の零点であり、$x_1$ と $x_2$ の間に $\varphi(x)$ の他の零点が存在しないことをいう。

まず、簡単な例を通じて二階線形斉次微分方程式の二つの解の零点の間の関係を見ておこう。二階線形斉次微分方程式

$$y'' + \omega^2 y = 0, \quad \omega > 0 \text{ は任意に与えられた定数}$$

の一般解は

$$y = c_1 \cos(\omega x) + c_2 \sin(\omega x)$$

であり、二つの線形独立な解

$$y_1(x) = \cos(\omega x), \quad y_2(x) = \sin(\omega x)$$

の零点は $\mathbb{R}$ 上で互い違いに並んでいる。一般解中の任意の二つの線形独立な解はこの性質をもち、任意の二つの線形従属な解は同じ零点をもつことが確認できる。

上の例における二つの解の零点の性質は、二階線形斉次微分方程式が本質的にもつ特性である。

命題 57 $y = \varphi_1(x)$ と $y = \varphi_2(x)$ を二階線形斉次微分方程式 (5.2.1) の二つの非零解とし、ともに少なくとも一つの零点をもつとする。このとき次の結論が成立する。

(a) $y = \varphi_1(x)$ と $y = \varphi_2(x)$ が $J$ 上で線形独立であることと、それらの零点が互いに交錯することは同値である。

(b) $y = \varphi_1(x)$ と $y = \varphi_2(x)$ が $J$ 上で線形従属であることと、それらのすべての零点が一致することは同値である。

証明

$W(x)$ を $\varphi_1(x)$、$\varphi_2(x)$ の ロンスキアン、すなわち $W(x) = \varphi_1(x)\varphi_2'(x) - \varphi_1'(x)\varphi_2(x)$ と表す。

(a) （必要性）$\varphi_1(x)$、$\varphi_2(x)$ が $J$ 上で線形独立であるから $W(x) \neq 0$（$x \in J$）が成立する。仮定より $\varphi_1(x)$、$\varphi_2(x)$ は $J$ 上でともに零点をもつ。

もし $\varphi_1(x)$、$\varphi_2(x)$ が共通の零点 $x_0 \in J$ をもつとすると $W(x_0) = 0$ となり仮定に矛盾する。よって $\varphi_1(x)$、$\varphi_2(x)$ は $J$ 上に共通の零点をもたない。

$\varphi_1(x)$ と $\varphi_2(x)$ がともに一つしか零点をもたない場合、二つの零点は異なるから結論は明らかに成立する。$\varphi_1(x)$ が少なくとも二つの零点をもつと仮定し、$x_1$、$x_2$ を $\varphi_1(x)$ の隣り合う二つの零点とする。$x_1 < x_2$ かつ

$$\varphi_1(x) > 0, \quad x \in (x_1, x_2)$$

としてよい。このとき $\varphi_1'(x_1) > 0$、$\varphi_1'(x_2) < 0$ が成立する。$W(x) \neq 0$ であるから $W(x_1)W(x_2) > 0$ が成立する。また

$$W(x_1) = -\varphi_2(x_1)\varphi_1'(x_1), \quad W(x_2) = -\varphi_2(x_2)\varphi_1'(x_2)$$

であるから、$\varphi_2(x_1)\varphi_2(x_2) < 0$ が得られる。$\varphi_2(x)$ の連続性より、$\varphi_2(x)$ は $(x_1, x_2)$ 内に少なくとも一つの零点をもつ。また零点はちょうど一つである。なぜなら、もし $(x_1, x_2)$ 内に二つの零点があれば、同様の議論から $\varphi_1(x)$ がその二つの零点の間に零点をもつことになり、$x_1$、$x_2$ が $\varphi_1(x)$ の隣り合う零点であることに矛盾するからである。これにより $\varphi_1(x)$ と $\varphi_2(x)$ の零点が互い違いに並ぶことが示された。

（十分性）背理法による。もし $\varphi_1(x)$ と $\varphi_2(x)$ が線形従属ならば、少なくとも一方が零でない定数 $c_1$、$c_2$ が存在して

$$c_1\varphi_1(x) + c_2\varphi_2(x) \equiv 0, \quad x \in J$$

が成立する。実際 $c_1$、$c_2$ はともに零でない。なぜなら一方が零であれば $\varphi_1(x)$ または $\varphi_2(x)$ の一方が恒等的に零となり、非零解という仮定に矛盾するからである。したがって

$$\varphi_2(x) = c\varphi_1(x), \quad c \neq 0, \quad x \in J$$

となり、$\varphi_1(x)$ と $\varphi_2(x)$ の零点は完全に一致するので仮定に矛盾する。

(b) (a) の証明から容易に得られる。読者の練習問題とする。

次に、二階線形斉次微分方程式における非常に重要な結果である Sturm の比較定理を紹介する。これは二つの二階線形斉次微分方程式の解の零点の間の関係を与えるものである。

定理 58（Sturm の比較定理） 二階線形斉次微分方程式

$$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, \tag{5.2.2}$$
$$y'' + p(x)y' + r(x)y = 0 \tag{5.2.3}$$

を考える。ここで $p(x)$、$q(x)$、$r(x)$ は開区間 $J$ 上で連続とする。$y = \varphi(x)$ と $y = \psi(x)$ をそれぞれ微分方程式 (5.2.2) と (5.2.3) の非零解とし、$\varphi(x)$ が $J$ 内に隣り合う二つの零点 $x_1, x_2 \in J$（$x_1 < x_2$）をもつとする。このとき次の結論が成立する。

(a) $r(x) \geq q(x)$（$x \in J$）ならば、$\psi(x)$ は $[x_1, x_2]$ 上に少なくとも一つの零点をもつ。

(b) $r(x) \geq q(x)$（$x \in J$）かつ $r(x) \not\equiv q(x)$（$x \in (x_1, x_2)$）ならば、$\psi(x)$ は $(x_1, x_2)$ 内に少なくとも一つの零点をもつ。

証明

(a) $\varphi(x) > 0$（$x \in (x_1, x_2)$）としてよい。このとき $\varphi'(x_1) > 0$、$\varphi'(x_2) < 0$ が成立する。

背理法により、$\psi(x) \neq 0$（$x \in [x_1, x_2]$）と仮定する。$\psi(x) > 0$（$x \in [x_1, x_2]$）としてよい。

$$V(x) := \psi(x)\varphi'(x) - \varphi(x)\psi'(x)$$

とおくと、

$$V(x_2) = \psi(x_2)\varphi'(x_2) < 0, \quad V(x_1) = \psi(x_1)\varphi'(x_1) > 0 \tag{5.2.4}$$

が成立する。また直接計算により、

$$\begin{aligned}V'(x) + p(x)V(x) &= \psi(x)\varphi''(x) - \varphi(x)\psi''(x) + p(x)V(x) \\ &= (r(x) - q(x))\varphi(x)\psi(x) \geq 0, \quad x \in [x_1, x_2] \tag{5.2.5}\end{aligned}$$

が得られる。両辺に $e^{\int_{x_1}^x p(s)\,ds}$ を掛けて $x_1$ から $x_2$ まで積分すると、

$$V(x_2)e^{\int_{x_1}^{x_2} p(s)\,ds} \geq V(x_1)$$

が得られる。これは (5.2.4) に矛盾する。よって $\psi(x)$ は $[x_1, x_2]$ 上に少なくとも一つの零点をもつ。

(b) (a) の証明から $\psi(x)$ は $[x_1, x_2]$ 上に少なくとも一つの零点をもつ。背理法により、$\psi(x)$ が $(x_1, x_2)$ 内に零点をもたないと仮定する。$\psi(x) > 0$（$x \in (x_1, x_2)$）としてよい。このとき

$$V(x_2) = \psi(x_2)\varphi'(x_2) \leq 0, \quad V(x_1) = \psi(x_1)\varphi'(x_1) \geq 0$$

となり、(5.2.5) より

$$V(x_2)e^{\int_{x_1}^{x_2} p(s)\,ds} - V(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} (r(x)-q(x))\varphi(x)\psi(x)e^{\int_{x_1}^x p(s)\,ds}\,dx$$

が得られる。左辺は零以下であり、右辺は正である。この矛盾から $\psi(x)$ は $(x_1, x_2)$ 内に少なくとも一つの零点をもつ。

Sturm の比較定理を用いると、(5.2.2) の形の微分方程式の非零解の零点の存在性を判定することができる。

系 59 $p(x), q(x) \in C([a, \infty))$（$a \in \mathbb{R}$）とし、$y = \varphi(x)$ を微分方程式 (5.2.2) の非零解とする。このとき次の結論が成立する。

(a) $q(x) \leq 0$（$x \in [a, \infty)$）ならば、$\varphi(x)$ は $[a, \infty)$ 上に高々一つの零点をもつ。

(b) $p(x) \equiv 0$、$q(x) \geq m > 0$（$x \in [a, \infty)$）ならば、$\varphi(x)$ は $[a, \infty)$ 上に無限に多くの零点をもち、隣り合う零点の間の距離は $\dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ 以下である。

(c) $p(x) \equiv 0$、$q(x) > m > 0$（$x \in [a, \infty)$）ならば、$\varphi(x)$ は $[a, \infty)$ 上に無限に多くの零点をもち、隣り合う零点の間の距離は $\dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ 未満である。

(d) $p(x) \equiv 0$、$0 < q(x) \leq m$（$x \in [a, \infty)$）ならば、$\varphi(x)$ の隣り合う零点（存在する場合）の間の距離は $\dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ 以上である。

(e) $p(x) \equiv 0$、$0 < q(x) < m$（$x \in [a, \infty)$）ならば、$\varphi(x)$ の隣り合う零点（存在する場合）の間の距離は $\dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ より大きい。

証明

本系の証明は主として、適切な比較方程式を取り Sturm の比較定理を適用することで行う。

(a) 微分方程式 (5.2.3) において $r(x) \equiv 0$ とおくと、$\psi(x) \equiv 1$ がその一つの解となる。Sturm の比較定理により、もし $\varphi(x)$ が二つの零点をもてば $\psi(x)$ はその間に零点をもたなければならないが、これは矛盾である。よって $\varphi(x)$ は高々一つの零点をもつ。

(b) (5.2.2) の比較方程式として

$$y'' + my = 0 \tag{5.2.6}$$

を考える。これは解

$$y = \psi(x) = \sin\!\left(\sqrt{m}(x-c)\right), \quad x \in [a, \infty)$$

（$c \geq a$ は任意の定数）をもつ。$\psi(x)$ は無限に多くの零点

$$x_n = c + \frac{n\pi}{\sqrt{m}}, \quad n = 0, 1, \ldots$$

をもち、これらのみが零点である。隣り合う零点の間の距離はいずれも $\dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ であることに注意する。

Sturm の比較定理 (a) より、$\varphi(x)$ は各区間 $\left[c + \dfrac{n\pi}{\sqrt{m}},\, c + \dfrac{(n+1)\pi}{\sqrt{m}}\right]$（$n = 0, 1, \ldots$）上に零点をもつ。よって $\varphi(x)$ は $[a, \infty)$ 上に無限に多くの零点をもつ。

$x_1^*$、$x_2^*$ を $\varphi(x)$ の $[a, \infty)$ 上の隣り合う二つの零点とし、$x_1^* < x_2^*$ としてよい。背理法により $x_2^* - x_1^* > \dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ と仮定する。適切な $c$ を取ることで、(5.2.6) の解 $\sin(\sqrt{m}(x-c))$ の隣り合う二つの零点が $(x_1^*, x_2^*)$ の内部に存在するようにできる。これを $x_1$、$x_2$ とし $x_1^* < x_1 < x_2 < x_2^*$ とする。Sturm の比較定理 (a) より $\varphi(x)$ は $[x_1, x_2]$ 上に零点をもつが、これは $x_1^*$、$x_2^*$ が $\varphi(x)$ の隣り合う零点であることに矛盾する。よって $x_2^* - x_1^* \leq \dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ が示された。

(c) (b) の証明から方程式 (5.2.2) の解 $\varphi(x)$ は $[a, \infty)$ 上に無限に多くの零点をもち、隣り合う零点の間の距離は $\dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ 以下である。背理法により、$\varphi(x)$ の隣り合う零点 $x_1^*$、$x_2^*$ が $x_2^* - x_1^* = \dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ を満たすと仮定する。(b) の証明と同様に適切な $c$ を取ることで $\sin(\sqrt{m}(x-c))$ の隣り合う二つの零点がちょうど $x_1^*$、$x_2^*$ に一致するようにできる。Sturm の比較定理 (b) より $\varphi(x)$ は $(x_1^*, x_2^*)$ の内部に零点をもつが、これは矛盾である。よって $0 < x_2^* - x_1^* < \dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ が成立する。

(d)、(e) の証明は (b)、(c) の証明と同様である。読者の練習問題とする。

微分方程式 (5.2.2) の解が $J$ 上に無限に多くの零点をもつとき、その解は $J$ 上で振動するという。解の振動理論は工学や力学においてしばしば用いられる。

注意.

5.2.2 二階線形微分方程式の二点境界値問題の例

二階線形斉次微分方程式の境界値問題は実際の場面でしばしば現れる。例えば、両端を固定した平面上の弦が両端点を結ぶ直線から引き離された後に放されたとき、弦の運動の法則はどうなるか、あるいは両端を固定した鋼棒が圧力のもとでどのように曲がるかといった問題はいずれも微分方程式の境界値問題の研究対象である。

鋼棒の両端を $x=0$、$x=d$ とし、$x$ 軸を棒に沿って取る。鋼棒の左端を固定し、右端に力 $F$ を加えたとき、外力のもとでの鋼棒の形状の関数を $y(x)$ とする。外力 $F = 0$ のとき鋼棒は曲がらないから $y(x) \equiv 0$ である。外力 $F$ がどのような値のとき鋼棒が曲がり始めるか、すなわち $y(x)$ が非零関数となるかが問題となる。

力学の知識より、鋼棒の曲率 $y''$ と曲げモーメント $Fy(x)$ は比例するから、

$$-IEy''(x) = Fy(x)$$

が成立する。ここで $I = I(x)$ は断面二次モーメント、$E = E(x)$ はヤング率である。上式は

$$y''(x) + \lambda q(x)y(x) = 0 \tag{5.2.7}$$

と書き直すことができる（$\lambda = F$、$q(x) = 1/(IE)$）。関数 $y(x)$ は境界条件 $y(0) = y(d) = 0$ を満たす。微分方程式 (5.2.7) はこの境界条件のもとで常に零解をもつ。上記の力学問題は、$\lambda$ がどのような値のときに微分方程式 (5.2.7) が $y(0) = y(d) = 0$ を満たす非零解をもつかという問題に帰着される。これが微分方程式の境界値問題の研究内容である。

ここでは、いくつかの例を通じて二階線形微分方程式の境界値問題の解の存在性とその性質を理解する。

例 5.4 二階微分方程式

$$y''(x) + \lambda y(x) = 0 \tag{5.2.8}$$

が境界条件

$$y(0) = y(l) = 0 \tag{5.2.9}$$

を満たす非零解をもつための必要十分条件は $\lambda = \lambda_m = \left(\dfrac{m\pi}{l}\right)^2$（$m \in \mathbb{N}$）であることを示せ。対応する非零解は

$$y(x) = y_m(x) = c_m \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)$$

（$c_m$ は任意の非零定数）である。

証明. $\lambda < 0$ のとき、微分方程式 (5.2.8) の一般解は

$$y(x) = c_1 e^{\sqrt{-\lambda}\,x} + c_2 e^{-\sqrt{-\lambda}\,x}$$

（$c_1$、$c_2$ は任意定数）である。この一般解の中で境界条件 (5.2.9) を満たす解は零解のみであることが容易に確認できる。

$\lambda = 0$ のとき、微分方程式 (5.2.8) が境界条件 (5.2.9) のもとで零解のみをもつことも容易に確認できる。

$\lambda > 0$ のとき、微分方程式 (5.2.8) の一般解は

$$y(x) = c_1 \cos(\sqrt{\lambda}\,x) + c_2 \sin(\sqrt{\lambda}\,x)$$

（$c_1$、$c_2$ は任意定数）である。条件 $y(0) = 0$ より $c_1 = 0$ が得られ、条件 $y(l) = 0$ より $\sin(\sqrt{\lambda}\,l) = 0$ が得られる。したがって $\sqrt{\lambda}\,l = m\pi$（$m \in \mathbb{N}$）、すなわち

$$\lambda = \lambda_m := \left(\frac{m\pi}{l}\right)^2, \quad m \in \mathbb{N}.$$

$\lambda = \lambda_m$ のとき、二階線形微分方程式 (5.2.8) が境界条件 (5.2.9) を満たす解は

$$y(x) = y_m(x) = c_2 \sin(\sqrt{\lambda_m}\,x)$$

（$c_2$ は任意の非零定数）である。

5.2.3 Sturm--Liouville 境界値問題

前小節の具体的な問題を一般化して、Sturm--Liouville 微分方程式

$$\bigl(p(x)y'\bigr)' + \bigl(\lambda r(x) + q(x)\bigr)y = 0, \quad \lambda \in \mathbb{R} \text{ はパラメータ} \tag{5.2.10}$$

を考える。ここで $q, r \in C[a,b]$、$p \in C^1[a,b]$、$r(x) > 0$ とする。以下ではこの仮定のもとで議論する。記号の簡便のため

$$\mathcal{L}y := \bigl(p(x)y'\bigr)' + q(x)y$$

とおく。次の二階微分方程式の境界値問題

$$\mathcal{L}y = -\lambda r(x)y, \quad \alpha y(a) - \beta y'(a) = 0, \quad \gamma y(b) + \delta y'(b) = 0 \tag{5.2.11}$$

（$\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R}$、$\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$、$\gamma^2 + \delta^2 \neq 0$）を Sturm--Liouville 境界値問題、略して SL 境界値問題という。$a$、$b$ の二点における条件を境界条件という。特に $\beta = \delta = 0$ のとき Dirichlet 境界条件、$\alpha = \gamma = 0$ のとき Neumann 境界条件、$\alpha\beta\gamma\delta \neq 0$ のとき Robin 境界条件という。

注意. 一般に、二階線形斉次微分方程式は (5.2.10) の形に書くことができる。例えば次のとおりである。

(1) Legendre 方程式

$$(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0$$

は Sturm--Liouville 方程式の形

$$\bigl((1-x^2)y'\bigr)' + n(n+1)y = 0$$

に書くことができる。

(2) Bessel 方程式

$$x^2 y'' + xy' + (x^2 - \mu^2)y = 0$$

は Sturm--Liouville 方程式の形

$$(xy')' + \left(x - \frac{\mu^2}{x}\right)y = 0$$

に書くことができる。

(3) 二階線形微分方程式

$$p(x)y'' + q(x)y' + r(x)y = 0, \quad p(x) \neq 0$$

は Sturm--Liouville 方程式の形

$$\left(e^{\int \frac{q(x)}{p(x)}\,dx} y'\right)' + \frac{r(x)}{p(x)}e^{\int \frac{q(x)}{p(x)}\,dx} y = 0$$

に書くことができる。

$\lambda = \lambda_0$ のとき境界値問題 (5.2.11) が非零解 $y_0(x)$ をもつならば、$\lambda_0$ を SL 境界値問題の固有値、$y_0(x)$ を $\lambda_0$ に対応する SL 境界値問題の固有関数という。

例 5.5 SL 境界値問題

$$y'' = -\lambda y, \quad y(0) = 0, \quad y(\pi) = 0$$

が固有値と対応する固有関数

$$\lambda_n = n^2, \quad y_n(x) = \sin(nx), \quad n = 1, 2, \ldots$$

をもつことを確認せよ。

解. §5.2.2の例 1 から得られる。

この例の固有値は $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n < \cdots$、$\lim_{n\to\infty}\lambda_n = \infty$ を満たし、異なる固有値に対応する固有関数は互いに直交する。すなわち

$$\int_0^\pi \sin(mx)\sin(nx)\,dx = 0, \quad m, n \in \mathbb{N},\ m \neq n.$$

さらに $\sin(nx)$ は $(0, \pi)$ 上にちょうど $n-1$ 個の零点をもつ。以下では、この例における固有値と固有関数の性質が一般の SL 境界値問題に共通の性質であることを示す。

SL 境界値問題の解の性質をさらに議論するために、新しい定義を導入する。$r(x) \in C[a,b]$、$r(x) \geq 0$、$r(x) \not\equiv 0$（$x \in [a,b]$）とする。

(1) 関数 $f(x), g(x) \in C[a,b]$ の $r(x)$ に関する重み付き内積を

$$\langle f, g \rangle_r = \int_a^b r(x)f(x)g(x)\,dx$$

と定義する。

(2) 関数 $r(x)$ を重み関数という。

(3) $f$ と $g$ の $r$ に関する重み付き内積が零であるとき、$f$ と $g$ は重み関数 $r$ に関して直交するという。

注意. $r = 1$ のとき、重み付き内積は通常の二つのスカラー関数の内積に一致する。

定理 60 SL 境界値問題 (5.2.11) において $p \in C^1[a,b]$、$q, r \in C[a,b]$、$p(x), r(x) > 0$、$\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R}$、$\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$、$\gamma^2 + \delta^2 \neq 0$ とする。このとき次の結論が成立する。

(a) SL 境界値問題の固有値が存在すれば、それらはすべて実数である。

(b) 各固有値に対して、SL 境界値問題は実の固有関数をもつ。

(c) 各固有値に対して、SL 境界値問題は一次独立な固有関数をただ一つもつ。

(d) 異なる固有値に対応する固有関数は重み関数 $r(x)$ に関して直交する。

(e) 異なる固有値に対応する固有関数は線形独立である。

証明

$\lambda_1$、$\lambda_2$ を SL 境界値問題の固有値とし、$y_1(x)$、$y_2(x)$ を対応する固有関数とする。固有値と固有関数の定義および直接計算から、

$$\begin{aligned}y_1 \mathcal{L}y_2 - y_2 \mathcal{L}y_1 &= p'(x)\bigl(y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x)\bigr) \\ &\quad + p(x)\bigl(y_1(x)y_2''(x) - y_2(x)y_1''(x)\bigr) = \bigl(p(x)W(x)\bigr)'\end{aligned}$$

が得られる（$W(x)$ は $y_1$、$y_2$ の ロンスキアン）。したがって

$$(\lambda_1 - \lambda_2)r(x)y_1(x)y_2(x) = \bigl(p(x)W(x)\bigr)'.$$

$a$ から $b$ まで積分すると、

$$(\lambda_1 - \lambda_2)\langle y_1, y_2 \rangle_r = 0 \tag{5.2.12}$$

が得られる。ここで $W(a) = W(b) = 0$ を用いた。これは

$$\alpha y_1(a) - \beta y_1'(a) = 0, \quad \alpha y_2(a) - \beta y_2'(a) = 0$$

および $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ より、$(\alpha, \beta)$ に関する線形斉次方程式系が非零解をもつから係数行列式が零であること、すなわち $W(a) = 0$ が成立することによる。同様に $b$ 点の境界条件から $W(b) = 0$ が得られる。

(a) SL 境界値問題の係数はすべて実数であるから、複素固有値と固有関数が存在すればその共役もまた固有値と固有関数である。$\lambda_0$ と $y_0(x)$ を固有値と固有関数とすると (5.2.12) より

$$(\lambda_0 - \overline{\lambda_0})\langle y_0, \overline{y_0} \rangle_r = 0.$$

$\langle y_0, \overline{y_0} \rangle_r = \int_a^b r(x)|y_0(x)|^2\,dx \neq 0$ であるから $\lambda_0 - \overline{\lambda_0} = 0$、すなわち $\lambda_0$ は実数である。

(b) $\lambda_0$ が実数であるから（(a) による）、$y_0(x)$ が実関数であれば (b) は成立する。$y_0(x) = u(x) + \sqrt{-1}\,v(x)$ の場合、境界値問題の係数と $\lambda_0$ がともに実数であるから、$u(x)$ と $v(x)$ はいずれも $\lambda_0$ に対応する固有関数である。

(c) $\lambda_0$ を固有値とし、$y_1(x)$ と $y_2(x)$ を $\lambda_0$ に対応する固有関数とする。$y_1(x)$、$y_2(x)$ はともに線形斉次微分方程式 (5.2.10)（$\lambda = \lambda_0$）の解であり、$a$ 点での ロンスキアンが零であるから、定理 46 より固有関数 $y_1(x)$ と $y_2(x)$ は線形従属である。

(d) $y_1(x)$、$y_2(x)$ をそれぞれ異なる固有値 $\lambda_1$、$\lambda_2$ に対応する固有関数とすると、(5.2.12) より $\langle y_1, y_2 \rangle_r = 0$ が得られる。したがって $y_1$、$y_2$ は重み関数 $r(x)$ に関して直交する。

(e) $y_1(x)$、$y_2(x)$ を異なる固有値に対応する固有関数とし、定数 $c_1$、$c_2$ が存在して

$$c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) \equiv 0, \quad x \in [a,b]$$

であるとする。両辺に $r(x)y_2(x)$ を掛けて $a$ から $b$ まで積分すると

$$c_2 \int_a^b r(s)y_2^2(s)\,ds = 0$$

が得られ、$c_2 = 0$ が分かる。同様に $c_1 = 0$ が示される。これにより固有関数 $y_1(x)$、$y_2(x)$ は $[a,b]$ 上で線形独立である。

次の結果は、SL 境界値問題が無限に多くの固有値をもつこと、および固有関数の零点の性質を与える。

定理 61 SL 境界値問題 (5.2.11) において $p \in C^1[a,b]$、$q, r \in C[a,b]$、$p(x), r(x) > 0$、$\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R}$、$\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$、$\gamma^2 + \delta^2 \neq 0$ とする。このとき次の結論が成立する。

(a) SL 境界値問題は無限に多くの固有値 $\lambda_i$（$i \in \mathbb{N}$）をもち、

$$\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n < \cdots, \quad \lim_{n\to\infty}\lambda_n = \infty$$

が成立する。

(b) $\{\phi_n(x)\}$ を $\{\lambda_n\}$ に対応する固有関数とすると、$\phi_n(x)$ は $(a,b)$ 上にちょうど $n-1$ 個の零点をもつ。

(c) $[a,b]$ 上で連続微分可能で境界条件を満たす任意の関数 $f(x)$ は、固有関数の一様収束する広義 Fourier 級数に展開できる。すなわち

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n \phi_n(x), \quad c_n = \frac{\displaystyle\int_a^b r(x)f(x)\phi_n(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^b r(x)|\phi_n(x)|^2\,dx}.$$
証明

この定理の証明はやや複雑であるため、ここでは省略する。

5.3 Sturm--Liouville 境界値問題の偏微分方程式への応用

Sturm--Liouville 境界値問題の解の理論の応用として、本節では熱伝導方程式と波動方程式の初期境界値問題の解法を考察する。

5.3.1 熱伝導方程式の初期境界値問題の解

熱伝導方程式は、熱伝導や気体・液体の拡散などの問題を研究する際に導かれる。例えば、両端の温度が $0$ に保たれた長さ $l$ の細い金属棒を考え、$(0, l)$ 上の初期温度分布が関数 $f(x)$ で与えられるとする。この問題は次の熱伝導方程式の初期境界値問題によって記述される。

$$\frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \tag{5.3.1}$$
$$u(x, 0) = f(x), \quad 0 < x < l, \tag{5.3.2}$$
$$u(0, t) = u(l, t) = 0. \tag{5.3.3}$$

ここで (5.3.2) は初期条件、(5.3.3) は境界条件である。方程式 (5.3.1) の $a^2$ は通常、熱拡散係数と呼ばれる。任意の $t > 0$ における金属棒の点 $x$ での温度を求めるには、上記の初期境界値問題を解く必要がある。

以下では、二階線形常微分方程式の境界値問題の解の理論を用いて初期境界値問題 (5.3.1)--(5.3.3) を解く方法、すなわち変数分離法を紹介する。

$$u(x, t) = A(x)B(t)$$

とおいて (5.3.1) に代入すると $A(x)B'(t) = a^2 A''(x)B(t)$ が得られ（$'$ は各変数に関する導関数を表す）、

$$\frac{A''(x)}{A(x)} = \frac{B'(t)}{a^2 B(t)} \tag{5.3.4}$$

が成立する。左辺は $x$ の関数、右辺は $t$ の関数であるから、等しい両辺は定数でなければならない。これを $-\lambda$ と表すと、(5.3.4) より

$$A''(x) + \lambda A(x) = 0, \tag{5.3.5}$$
$$B'(t) + a^2\lambda B(t) = 0 \tag{5.3.6}$$

が得られる。$u(x,t) = A(x)B(t)$ および境界条件 (5.3.3) より

$$A(0) = A(l) = 0 \tag{5.3.7}$$

が成立する（そうでなければ $B(t) \equiv 0$ となり $u(x,t) \equiv 0$ が導かれる）。

§5.2.2の例 1 より、常微分方程式の境界値問題 (5.3.5)、(5.3.7) が非零解をもつための必要十分条件は

$$\lambda = \lambda_m = \left(\frac{m\pi}{l}\right)^2, \quad m \in \mathbb{N}$$

であり、このとき境界値問題の唯一の線形独立な解は

$$A(x) = A_m(x) = \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right), \quad m \in \mathbb{N}$$

と表される。対応して、線形斉次微分方程式 (5.3.6) の唯一の線形独立な解は

$$B(t) = B_m(t) = \exp\!\left(-\left(\frac{am\pi}{l}\right)^2 t\right), \quad m \in \mathbb{N}$$

と表される。このようにして熱伝導方程式 (5.3.1) の境界条件 (5.3.3) を満たす無限に多くの解

$$u(x,t) = u_m(x,t) = \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)\exp\!\left(-\left(\frac{am\pi}{l}\right)^2 t\right), \quad m \in \mathbb{N}$$

が得られる。$u_m(x,t)$ の任意の有限個の線形結合もまた (5.3.1)、(5.3.3) の解となる。さらに、もし級数

$$u(x,t) := \sum_{m=1}^\infty d_m \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)\exp\!\left(-\left(\frac{am\pi}{l}\right)^2 t\right) \tag{5.3.8}$$

が収束すれば、それもまた (5.3.1)、(5.3.3) の解となる。ただし (5.3.8) の $u(x,t)$ は必ずしも初期条件 (5.3.2) を満たすとは限らない。

$f(x)$ が $[0,l]$ 上で連続微分可能で $f(0) = f(l) = 0$ を満たすと仮定すると、§5.2.2の例 1 と定理 61 より、$f(x)$ は $[0,l]$ 上で収束する Fourier 級数

$$f(x) = \sum_{m=1}^\infty c_m \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)$$

に展開でき、

$$c_m = \frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx, \quad m \in \mathbb{N}$$

が成立する。(5.3.8) より $u(x,0) = \sum_{m=1}^\infty d_m \sin\!\left(\dfrac{m\pi}{l}x\right)$ であるから、

$$d_m = c_m = \frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx, \quad m \in \mathbb{N}$$

とおけば $u(x,0) = f(x)$ が成立する。また $\exp\!\left(-\left(\dfrac{am\pi}{l}\right)^2 t\right) \in (0,1)$（$t \in (0,\infty)$）であるから、級数

$$u(x,t) = \frac{2}{l}\sum_{m=1}^\infty \int_0^l f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx \cdot \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)\exp\!\left(-\left(\frac{am\pi}{l}\right)^2 t\right) \tag{5.3.9}$$

は $[0,l]\times[0,\infty)$ 上で収束する。これにより $u(x,t)$ が熱伝導方程式の初期境界値問題 (5.3.1)--(5.3.3) の解であることが示された。

以上の証明をまとめると、次の結論が得られる。

定理 62 関数 $f(x)$ が $[0,l]$ 上で連続微分可能で $f(0) = f(l) = 0$ を満たせば、熱伝導方程式の初期境界値問題 (5.3.1)--(5.3.3) は $[0,l]\times[0,\infty)$ 上で (5.3.9) によって定まる収束する Fourier 級数解をもつ。

注意. (5.3.9) より $\lim_{t\to\infty}u(x,t) = 0$ が成立する。これは物理現象と合致している。

5.3.2 波動方程式の初期境界値問題の解法

波動方程式は、実際の生活における様々な波（音波・水波・電磁波など）の伝播を研究する際に導かれる。また力学における振動の研究にも現れる。例えば、両端を固定した長さ $l$ の弦が振動するとき、$t > 0$ における $x \in (0,l)$ での垂直変位 $u(x,t)$ を考える。空気抵抗などの減衰力を無視し、初期時刻における弦の垂直方向の速度が零と仮定すると、弦の振動の法則を記述する波動方程式の初期境界値問題は次のように与えられる。

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \tag{5.3.10}$$
$$u(x,0) = f(x),\quad u_t(x,0) = 0, \quad 0 < x < l, \tag{5.3.11}$$
$$u(0,t) = u(l,t) = 0. \tag{5.3.12}$$

ここで $c$ は波の伝播速度である。任意の時刻 $t > 0$ における弦の $x$ 点での変位を知るには、上記の初期境界値問題を解く必要がある。

熱伝導方程式の初期境界値問題の解法と同様に、変数分離法で波動方程式の初期境界値問題 (5.3.10)--(5.3.12) を解く。$u(x,t) = A(x)B(t)$ とおいて代入すると $A(x)B''(t) = c^2 A''(x)B(t)$ が得られ（$''$ は各変数に関する二階導関数を表す）、

$$\frac{A''(x)}{A(x)} = \frac{B''(t)}{c^2 B(t)} \tag{5.3.13}$$

が成立する。両辺は定数 $-\lambda$ に等しいから、

$$A''(x) + \lambda A(x) = 0, \tag{5.3.14}$$
$$B''(t) + c^2\lambda B(t) = 0 \tag{5.3.15}$$

が得られる。$u(x,t) = A(x)B(t)$ および境界条件 (5.3.12) より $A(0) = A(l) = 0$（さもなくば $B(t) \equiv 0$ となり $u(x,t) \equiv 0$ が導かれる）。§5.2.2の例 1 より、常微分方程式の境界値問題 (5.3.14)、$A(0) = A(l) = 0$ が非零解をもつための必要十分条件は $\lambda = \lambda_m = \left(\dfrac{m\pi}{l}\right)^2$（$m \in \mathbb{N}$）であり、このとき唯一の線形独立な解は

$$A(x) = A_m(x) = \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right), \quad m \in \mathbb{N}$$

と表される。対応して、二階線形斉次微分方程式 (5.3.15) の一般解は

$$B(t) = B_m(t) = a_m\cos\!\left(\frac{cm\pi}{l}t\right) + b_m\sin\!\left(\frac{cm\pi}{l}t\right), \quad m \in \mathbb{N}$$

（$a_m$、$b_m$ は任意定数）と表される。このようにして波動方程式 (5.3.10) の境界条件 (5.3.12) を満たす無限に多くの解

$$u_m(x,t) = \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)\!\left(a_m\cos\!\left(\frac{cm\pi}{l}t\right) + b_m\sin\!\left(\frac{cm\pi}{l}t\right)\right), \quad m \in \mathbb{N}$$

が得られる。無限個の線形結合

$$u(x,t) := \sum_{m=1}^\infty \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)\!\left(a_m\cos\!\left(\frac{cm\pi}{l}t\right) + b_m\sin\!\left(\frac{cm\pi}{l}t\right)\right) \tag{5.3.16}$$

は形式的に (5.3.10)、(5.3.12) の解ともなる。ただし $u(x,t)$ が初期条件 (5.3.11) を満たすとは限らない。

初期条件 (5.3.11) を $u(x,t)$ の表式 (5.3.16) に代入すると、

$$\sum_{m=1}^\infty a_m \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right) = f(x), \quad \sum_{m=1}^\infty \frac{cm\pi}{l} b_m \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right) = 0$$

が得られ、$b_m = 0$（$m \in \mathbb{N}$）が分かる。$f(x)$ が $[0,l]$ 上で2回連続微分可能で $f(0) = f(l) = f''(0) = f''(l) = 0$ を満たすと仮定すれば、

$$a_m = \frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx, \quad m \in \mathbb{N}$$

とおくことで、波動方程式の初期境界値問題 (5.3.10)--(5.3.12) を満たす形式的な Fourier 級数解

$$u(x,t) = \frac{2}{l}\sum_{m=1}^\infty \int_0^l f(x)\sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx \cdot \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)\cos\!\left(\frac{cm\pi}{l}t\right) \tag{5.3.17}$$

が得られる。

(5.3.17) が確かに (5.3.10)--(5.3.12) の解であることを示すには、級数 (5.3.17) の収束性を証明する必要がある。そのためにまず $f(x)$ を周期 $2l$ の奇関数に延長する。すなわち

$$F(x) = \begin{cases} f(x), & 0 < x < l, \\ -f(-x), & -l < x < 0, \end{cases} \quad F(x+2l) = F(x)$$

とおくと、$F(x)$ の Fourier 級数は

$$F(x) = \sum_{m=1}^\infty c_m \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right), \quad x \in (-\infty, \infty)$$

であり、$f(x)$ の Fourier 級数が $[0,l]$ 上で収束するから $(-\infty, \infty)$ 上でも収束する。等式

$$\sin\!\left(\frac{m\pi}{l}x\right)\cos\!\left(\frac{cm\pi}{l}t\right) = \frac{1}{2}\left[\sin\!\left(\frac{m\pi}{l}(x-ct)\right) + \sin\!\left(\frac{m\pi}{l}(x+ct)\right)\right]$$

を用いると、(5.3.17) は

$$u(x,t) = \frac{1}{2}\bigl(F(x-ct) + F(x+ct)\bigr) \tag{5.3.18}$$

と書き直すことができる。$F(x)$ の Fourier 級数の $(-\infty, \infty)$ 上での収束性から、(5.3.18) によって定まる $u(x,t)$ が波動方程式 (5.3.10)--(5.3.12) の解であることが示される。

以上をまとめると次の結論が得られる。

定理 63 関数 $f(x)$ が $[0,l]$ 上で2回連続微分可能で $f(0) = f(l) = f''(0) = f''(l) = 0$ を満たせば、波動方程式の初期境界値問題 (5.3.10)--(5.3.12) は $[0,l]\times[0,\infty)$ 上で (5.3.18) によって定まる収束する Fourier 級数解をもつ。

注意. (5.3.18) によって定まる解の物理的意味は次のように解釈できる。$y = F(x)$ を $(x, y)$ 平面上の曲線とみなすと、固定された $t$ に対して関数 $F(x - ct)$ のグラフは $F(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $ct$ だけ右にずらしたものである。これにより $F(x-ct)$ は時刻 $t$ の増加とともに $x$ 軸の正方向に速さ $c$ で進む波（正向波）を表す。同様に $F(x+ct)$ は速さ $c$ で $x$ 軸の負方向に進む波（負向波）を表す。したがって波動方程式の初期境界値問題 (5.3.10)--(5.3.12) の解は、速さ $c$ の正向波と負向波の重ね合わせによる運動を記述している。

練習問題

1. 定理 55 の (c) を証明せよ。

2. 線形非斉次周期微分方程式系

$$\dot{x}(t) = A(t)x + f(t) \tag{$*$}$$

（$A(t)$ と $f(t)$ はそれぞれ $\mathbb{R}$ 上の連続な $T$ 周期行列関数とベクトル関数）を考える。$\Phi(t)$ を $(*)$ に対応する線形斉次微分方程式系の基本解行列とし、$\Phi(0) = E$ とする。次を証明せよ。

(a) $x = w(t)$ が微分方程式系 $(*)$ の解であるとき、$x = w(t)$ が $T$ を周期とする周期解であるための必要十分条件は $w(0) = w(T)$ が成立することである。

(b) 微分方程式系 $(*)$ が周期 $T$ の周期解をただ一つもつための必要十分条件は、$\Phi(T)$ が $1$ を固有値としてもたないことである。

3. $a(t)$、$b(t)$ を周期 $T$ の連続周期関数とする。

(a) 次の線形斉次微分方程式系

$$\dot{x} = a(t)x, \quad \dot{y} = b(t)y$$

の基本解行列の Floquet 標準形を求め、この微分方程式系を定数係数線形斉次微分方程式系に変換する具体的な変換を与えよ。

(b) 上記の二次元線形周期微分方程式系が $T$ 周期解をもつのはいつか、またすべての解が $t \to \infty$ で零に収束するのはいつかを論じよ。

4. 次の微分方程式または微分方程式系の特性乗数を求め、それを用いてこれらが $T$ または $2T$ 周期解をもつかどうかを判定せよ（$T$ は各方程式の最小正周期を表す）。

(4.1) $x' = (\sin^2 t)x$

(4.2) $x' = (\sin(4t) - 1)x$

(4.3) $x' = x + y$、$\quad y' = \dfrac{\cos t + \sin t}{2 + \sin t - \cos t}\,y$

(4.4) $x' = -2x$、$\quad y' = \sin(2t)x - 2y$

5. 命題 56 を証明せよ。

6. 命題 57 の (b) を証明せよ。注意：命題 57 の (a) の結論は用いないこと。

7. 系 59 の (d) と (e) を証明せよ。

8. SL 境界値問題

$$y'' = -\lambda y, \quad y'(0) = 0, \quad \gamma y(\pi) + y'(\pi) = 0 \quad (\gamma > 0)$$

の固有値と固有関数を求めよ。

9. SL 境界値問題 (5.2.11) においてさらに $q(x) \leq 0$、$p(a), p(b) > 0$、$\alpha\beta \geq 0$、$\gamma\delta \geq 0$ と仮定する。このとき (5.2.11) のすべての固有値は非負であることを示せ。

10. 次の二階微分方程式

$$y'' = -\lambda y$$

が境界条件

$$y(-\pi) = y(\pi), \quad y'(-\pi) = y'(\pi)$$

および

$$y(0) = y(\pi), \quad y'(0) = y'(\pi)$$

をそれぞれ満たすときの固有値と固有関数を求めよ。注意：この境界値問題は周期境界値問題と呼ばれる。これは SL 境界値問題ではなく、同一の固有値に対して複数の線形独立な固有関数が存在することがある。

11. 次の二階微分方程式

$$y'' = -\lambda y$$

が境界条件

$$y'(0) = y'(l) = 0$$

を満たすときの固有値と固有関数を求めよ。またその結果を用いて、熱伝導方程式の初期境界値問題

$$\frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad u(x,0) = f(x)\ (0 < x < l), \quad u_x(0,t) = u_x(l,t) = 0$$

の解を求めよ。

12. 波動方程式

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad u(x,0) = 0,\ u_t(x,0) = g(x)\ (0 < x < l), \quad u(0,t) = u(l,t) = 0$$

の解を求めよ。

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