微分方程式の安定性

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6.1 微分方程式の解の安定性

電子・機械・生物・物理・化学・金融さらには社会生活における多くの実際問題の運動法則は、常微分方程式または微分方程式系によって記述される。与えられた微分方程式系は一般に無限に多くの解をもち、それらは異なる初期条件に依存する。しかし、その近傍から出発した解が時間が正の無限大に近づくにつれてこれらの特定の解に最終的に収束するような特定の解が存在することが多い。このような特定の解は実際問題において極めて重要であり、微分方程式の安定性理論の重要な研究内容でもある。

$n$ 次元微分方程式系

$$\frac{dx}{dt} = f(t, x) \tag{6.1.1}$$

において、$x_0(t)$ を初期条件 $x(t_0) = x_0$ を満たす解とする。

(1) 解 $x_0(t)$ が安定であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在して、$\|x - x_0\| < \delta$ のとき微分方程式 (6.1.1) の $(t_0, x)$ を通る解 $x(t)$ が $\|x(t) - x_0(t)\| < \varepsilon$（$t \geq t_0$）を満たすことをいう。この安定性を Lyapunov 安定ともいう。

(2) 解 $x_0(t)$ が漸近安定であるとは、安定であり、かつ上記の $\delta > 0$ に対して $\|x - x_0\| < \delta$ ならば $\lim_{t\to\infty}\|x(t) - x_0(t)\| = 0$ が成立することをいう。

(3) 解 $x_0(t)$ が不安定であるとは、安定でないこと、すなわちある $\varepsilon_0 > 0$ が存在して任意の $\delta > 0$ に対してある $x_\delta^*$ が存在し $\|x_\delta^* - x_0\| < \delta$ を満たすが、ある時刻 $t_\delta^* > t_0$ が存在して $\|x_\delta^*(t_\delta^*) - x_0(t_\delta^*)\| \geq \varepsilon_0$ が成立することをいう。

注意.

6.1.1 線形斉次微分方程式系の零解の安定性

定理 64 $A \in \mathcal{M}$（$n$ 次実定数行列の全体）とする。常微分方程式系

$$\dot{y} = Ay \tag{6.1.2}$$

について次が成立する。

(a) $A$ の固有値の実部がすべて負であれば、微分方程式系 (6.1.2) の零解は漸近安定である。

(b) $A$ の固有値の実部がすべて零以下であり、実部が零の固有値の代数的重複度が幾何学的重複度に等しければ、微分方程式系 (6.1.2) の零解は Lyapunov 安定である。

(c) $A$ が実部が正の固有値をもつか、または実部が零の固有値でその代数的重複度が幾何学的重複度より大きいものをもてば、微分方程式系 (6.1.2) の零解は不安定である。

証明

(a) 系 51 より、$\rho > 0$、$a > 0$ が存在して任意の $v \in \mathbb{R}^n$ に対して

$$\|e^{xA}v\|_2 \leq a\|v\|_2 e^{-\rho x}, \quad x \in [0, \infty)$$

が成立する。微分方程式系 (6.1.2) の任意の解 $y(x)$ は $y(x) = e^{xA}v$ の形で表されるから、これより零解が漸近安定であることが示される。

(b) $A$ の互いに異なる固有値を $\lambda_1, \ldots, \lambda_k, \lambda_{k+1}, \ldots, \lambda_s$ とし、それらの代数的重複度を $n_i$（$i = 1, \ldots, s$）とする。また

$$\mathrm{Re}\,\lambda_i < 0\ (i = 1, \ldots, k), \quad \mathrm{Re}\,\lambda_i = 0\ (i = k+1, \ldots, s)$$

とする。$\lambda_i$（$i = k+1, \ldots, s$）の代数的重複度は幾何学的重複度に等しいから、対応する線形独立な固有ベクトルは $n_i$ 個存在する。

定理 50 とその後の注意より、微分方程式系 (6.1.2) は基本解行列

$$\Phi(x) = \bigl(e^{\lambda_1 x}P_1^{(1)}(x), \ldots, e^{\lambda_1 x}P_{n_1}^{(1)}(x), \ldots, e^{\lambda_s x}P_1^{(s)}(x), \ldots, e^{\lambda_s x}P_{n_s}^{(s)}(x)\bigr)$$

をもつ。ここで $P_i^{(j)}(x)$（$j = 1, \ldots, k$、$i = 1, \ldots, n_j$）は次数が $n_j - 1$ 以下のベクトル値多項式であり、$P_i^{(j)}(x)$（$j = k+1, \ldots, s$、$i = 1, \ldots, n_j$）は定数ベクトル（$\lambda_j$ に対応する固有ベクトル）である。

$$\Psi_1(x) = \bigl(e^{\lambda_1 x}P_1^{(1)}(x), \ldots, e^{\lambda_k x}P_{n_k}^{(k)}(x)\bigr),$$
$$\Psi_2(x) = \bigl(e^{\lambda_{k+1}x}P_1^{(k+1)}, \ldots, e^{\lambda_s x}P_{n_s}^{(s)}\bigr)$$

とおくと、系 51 とその証明より $\rho > 0$、$a > 0$ が存在して任意の $v_1 \in \mathbb{R}^{n_1 + \cdots + n_k}$ に対して

$$\|\Psi_1(x)v_1\|_2 \leq a\|v_1\|_2 e^{-\rho x}, \quad x \in [0, \infty)$$

が成立する。また $|e^{\lambda_i x}| = 1$（$i = k+1, \ldots, s$）であり $P_j^{(i)}$ は確定した定数ベクトルであるから、$b > 0$ が存在して任意の $v_2 \in \mathbb{R}^{n_{k+1}+\cdots+n_s}$ に対して

$$\|\Psi_2(x)v_2\|_2 \leq b\|v_2\|_2, \quad x \in [0, \infty)$$

が成立する。微分方程式系 (6.1.2) の一般解は

$$y(x) = \Phi(x)v = \Psi_1(x)v_1 + \Psi_2(x)v_2$$

（$v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ は任意の定数ベクトル）と表されるから、

$$\|y(x)\|_2 = \|\Phi(x)v\|_2 \leq a\|v_1\|_2 e^{-\rho x} + b\|v_2\|_2 \leq (a+b)\|v\|_2, \quad x \in [0, \infty)$$

が成立する。これより微分方程式系 (6.1.2) の零解が Lyapunov 安定であることが示される。

(c) $A$ が実部 $\alpha_0 > 0$ の固有値 $\lambda_0 = \alpha_0 + \sqrt{-1}\,\beta_0$ をもつとする。定理 50 より、微分方程式系 (6.1.2) は

$$y(x) = P(x)e^{\lambda_0 x}$$

の形の解をもつ（$P(x)$ は次数が $n-1$ 以下のベクトル値多項式）。$\alpha_0 > 0$ であるから

$$\lim_{x\to\infty}\|y(x)\|_2 = \lim_{x\to\infty}\|P(x)\|_2 e^{\alpha_0 x} = \infty$$

が成立し、零解が不安定であることが示される。

$A$ が実部が零の固有値 $\lambda_0 = \sqrt{-1}\,\beta_0$ をもち、その代数的重複度が幾何学的重複度より大きいとする。定理 50 より、微分方程式系 (6.1.2) は

$$y(x) = P(x)e^{\lambda_0 x}$$

の形の解をもつ（$P(x)$ は次数が零でない多項式）。したがって

$$\lim_{x\to\infty}\|y(x)\|_2 = \lim_{x\to\infty}\|P(x)\|_2 = \infty$$

が成立し、零解が不安定であることが示される。

注意. 定理 64 の (a) の条件は、次の代数方程式の結果によって判定することができる。

定理 65（Routh--Hurwitz の定理） 実係数代数方程式

$$a_n\rho^n + a_{n-1}\rho^{n-1} + \cdots + a_1\rho + a_0 = 0, \quad a_n > 0$$

のすべての根が負の実部をもつための必要十分条件は

$$\Delta_j > 0, \quad \text{すべての } j \in \{1, \ldots, n\} \text{ に対して}$$

が成立することである。ここで

$$\Delta_1 = a_{n-1}, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ a_n & a_{n-2} \end{vmatrix}, \quad \Delta_3 = \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \\ a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ 0 & a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix}, \quad \ldots$$

である（$k < 0$ のとき $a_k = 0$ とする。一般に $\Delta_j$ は Hurwitz 行列の $j$ 次の主座小行列式である。$\Delta_n = a_0\Delta_{n-1}$ であるから、$\Delta_n$ は省略した）。

定理 64 を線形周期微分方程式系に適用すると、次の結論が得られる。

系 66 周期微分方程式系

$$\dot{y} = A(x)y \tag{6.1.3}$$

（$A(x)$ は $\mathbb{R}$ 上の連続な $T$ 周期 $n$ 次行列関数）について次が成立する。

(a) 微分方程式系 (6.1.3) の特性乗数の絶対値がすべて $1$ 未満（または Floquet 指数の実部がすべて負）であれば、零解は漸近安定である。

(b) 微分方程式系 (6.1.3) の特性乗数の絶対値がすべて $1$ 以下であり、絶対値が $1$ の特性乗数の代数的重複度が幾何学的重複度に等しければ、零解は Lyapunov 安定である。

(c) 微分方程式系 (6.1.3) が絶対値 $1$ より大きい特性乗数を少なくとも一つもてば、零解は不安定である。

証明

定理 54（Floquet の定理）と定理 64 から得られる。詳細な証明は読者の練習問題とする。

例 6.1 $q(t)$ を $\mathbb{R}$ 上の周期 $T$ の周期関数とする。Hill 方程式

$$x''(t) + q(t)x = 0$$

の周期解の存在性と零解の安定性を判定せよ。

解. $x' = y$ とおくと、Hill 方程式は

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -q(t) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

に変換される。これは周期 $T$ の周期係数線形微分方程式系である。$\lambda_1$、$\lambda_2$ をその二つの特性乗数とすると、命題 56 より

$$\lambda_1\lambda_2 = 1.$$
$$\rho := \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2}$$

とおくと、

$$\lambda_1 = \rho + \sqrt{\rho^2 - 1}, \quad \lambda_2 = \rho - \sqrt{\rho^2 - 1} = \lambda_1^{-1}$$

が成立する。以下、$\rho$ の値による場合分けで Hill 方程式の解の性質を論じる。

(1) $\rho > 1$ のとき $\lambda_1 > 1 > \lambda_2 > 0$ が成立する。系 66 の (c) より、Hill 方程式の零解は不安定である。さらに Hill 方程式の一般解は

$$x(t) = c_1 e^{\mu t}p_1(t) + c_2 e^{-\mu t}p_2(t)$$

と表される（$\mu = (\ln\lambda_1)/T > 0$、$p_1(t)$、$p_2(t)$ は連続な $T$ 周期関数）。

(2) $\rho = 1$ のとき $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ が成立する。定理 55 の (c) より、Hill 方程式は非自明な $T$ 周期解をもつ。モノドロミー行列 $C = \Phi^{-1}(0)\Phi(T)$ が単位行列のとき、すべての非自明解が $T$ 周期解となり零解は安定（ただし漸近安定でない）となる。$C$ が単位行列でないとき、零解は不安定となる。

(3) $|\rho| < 1$ のとき $\lambda_2 = \overline{\lambda_1}$、$|\lambda_1| = |\lambda_2| = 1$ が成立し、$\lambda_2$ の対数は純虚数となる。このとき Hill 方程式の一般解は

$$x(t) = c_1 e^{\nu\sqrt{-1}\,t}p_1(t) + c_2 e^{-\nu\sqrt{-1}\,t}p_2(t)$$

と表される（$\nu > 0$、$p_1(t)$、$p_2(t)$ は連続な $T$ 周期関数）。この一般解の表示から零解は安定であるが漸近安定でないことが容易に示される。なお、このとき $|\lambda_{1,2}| = 1$ であり系 66 では零解の安定性を判定できない。

(4) $\rho = -1$ のとき $\lambda_1 = \lambda_2 = -1$ が成立する。定理 55 の (b) より、Hill 方程式は非自明な $2T$ 周期解をもつ。$C = -E$ のとき零解は安定（ただし漸近安定でない）であり、そうでないとき零解は不安定である。

(5) $\rho < -1$ のとき $\lambda_2 < -1 < \lambda_1 < 0$ が成立する。系 66 の (c) より Hill 方程式の零解は不安定である。このとき一般解は

$$x(t) = c_1 e^{\mu t}p_1(t) + c_2 e^{-\mu t}p_2(t)$$

と表される（$\mu = (\ln\lambda_2^2)/(2T) > 0$、$p_1(t)$、$p_2(t)$ は連続な $2T$ 周期関数）。

注意. Hill 方程式はアメリカの天文学者・数学者 George William Hill（1838--1914）が1886年に提唱したもので、周期微分方程式を理解するための重要な例である。この方程式の重要な応用の一つは月の運動の安定性の研究である。

6.1.2 線形近似によって定まる非線形微分方程式系の零解の安定性

非線形微分方程式系の解の安定性の判定は非常に困難な問題である。本節では、線形微分方程式系の解の安定性を通じて非線形微分方程式系の解の安定性を判定する方法を考察する。

定理 67 非線形微分方程式系

$$\dot{y} = Ay + f(x, y) \tag{6.1.4}$$

（$A$ は $n$ 次正方行列）を考える。$f(x, y) = O(\|y\|^2)$（$\|y\| \ll 1$）であり、ある領域 $G = [0, \infty) \times \{y;\, \|y\| < K\}$ 上で連続かつ $y$ に関して局所 Lipschitz 条件を満たすとする。

(a) $A$ の固有値の実部がすべて負であれば、非線形微分方程式系 (6.1.4) の零解は漸近安定である。

(b) $A$ が正の実部をもつ固有値を有すれば、非線形微分方程式系 (6.1.4) の零解は不安定である。

この定理の証明は省略する。

注意. $A$ が実部が零の固有値と実部が負の固有値の両方をもつ場合、または固有値の実部がすべて零の場合には、非線形微分方程式系 (6.1.4) の零解の安定性は非線形項 $f(x, y)$ の値に依存する。例えば次のとおりである。

(1) 二次元微分方程式系

$$\begin{aligned}\dot{x} &= -y + \alpha x(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 1), \\ \dot{y} &= x + \alpha y(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 1) \tag{6.1.5}\end{aligned}$$

において、$\alpha = 0$ のとき対応する線形微分方程式系の係数行列の固有値は一対の純虚数であり、座標原点は対応する線形微分方程式系の中心となる。したがって (6.1.5) の零解は安定であるが漸近安定でない。$\alpha \neq 0$ のとき、極座標変換 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ を施すと微分方程式系 (6.1.5) は

$$\dot{r} = \alpha r^3(r^2 - 1), \quad \dot{\theta} = 1$$

に変換される。この方程式から次のことが得られる。

注意. 微分方程式系 (6.1.5) の極座標表示を用いると、単位円周 $\Gamma := \{(x,y);\, x^2 + y^2 = 1\}$ が微分方程式系 (6.1.5) の周期解であることも分かる。その安定性は $\alpha$ の符号によって定まり、$\alpha < 0$（$> 0$）のとき $\Gamma$ は漸近安定（不安定）である。

(2) 二次元微分方程式系

$$\begin{aligned}\dot{x} &= -y - \alpha y(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 1), \\ \dot{y} &= x + \alpha x(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 1) \tag{6.1.6}\end{aligned}$$

は、極座標変換のもとで

$$\dot{r} = 0, \quad \dot{\theta} = 1 + \alpha r^2(r^2 - 1)$$

に変換される。したがって $\alpha$ の任意の値に対して微分方程式系 (6.1.6) の座標原点は中心であり、零解は安定であるが漸近安定でない。

(3) 二次元微分方程式系

$$\dot{x} = -x, \quad \dot{y} = \alpha y^3$$

の零解は、$\alpha > 0$ のとき不安定、$\alpha = 0$ のとき安定であるが漸近安定でなく、$\alpha < 0$ のとき漸近安定である。

(4) 二次元微分方程式系

$$\dot{x} = -x, \quad \dot{y} = \alpha y^2$$

の零解は、$\alpha \neq 0$ のとき不安定、$\alpha = 0$ のとき安定であるが漸近安定でない。

以上の例は、非線形微分方程式系の零解の線形部分が実部零の固有値をもつとき、零解の安定性の判定が非常に困難であることを示している。

6.1.3 安定性を判定する Lyapunov の第二法

自律微分方程式系

$$\frac{dx}{dt} = f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n \tag{6.1.7}$$

を考える。スカラー関数 $V(x)$（$\|x\| \leq M$）は連続微分可能とする。

(1) 関数 $V(x)$ の微分方程式系 (6.1.7) に関する全導関数を

$$\left.\frac{dV}{dt}\right|_{(6.1.7)} = \frac{\partial V}{\partial x_1}\dot{x}_1 + \cdots + \frac{\partial V}{\partial x_n}\dot{x}_n \bigg|_{(6.1.7)} = \frac{\partial V}{\partial x_1}f_1(x) + \cdots + \frac{\partial V}{\partial x_n}f_n(x)$$

と定義する。

(2) 関数 $V(x)$ が正定値（負定値）であるとは、$V(\mathbf{0}) = 0$ かつ $V(x) > 0$（$V(x) < 0$）（$x \neq \mathbf{0}$）が成立することをいう。

(3) 関数 $V(x)$ が常正（常負）であるとは、$V(\mathbf{0}) = 0$ かつ $V(x) \geq 0$（$V(x) \leq 0$）（$x \neq \mathbf{0}$）が成立することをいう。

(4) 上記の定義における関数 $V(x)$ を総称して Lyapunov 関数という。

例 6.2 関数 $V(x_1, x_2) = x_1^4 + x_2^2$ は $\mathbb{R}^2$ においては正定値であるが、$\mathbb{R}^3$ においては常正であるが正定値でない。微分方程式系

$$\dot{x}_1 = -x_2, \quad \dot{x}_2 = x_1 \tag{6.1.8}$$

に関する全導関数は

$$\left.\frac{dV}{dt}\right|_{(6.1.8)} = 4x_1^3(-x_2) + 2x_2 x_1 = 2x_1 x_2(1 - 2x_1^2)$$

である。

定理 68（Lyapunov の安定性判別法） $x = \mathbf{0}$ を微分方程式系 (6.1.7) の解とする。関数 $V(x)$ は $\|x\| \leq M$ 上で連続微分可能とする。

(a) $V(x)$ が正定値であり、$\left.\dfrac{dV}{dt}\right|_{(6.1.7)}$ が常負であれば、微分方程式系 (6.1.7) の零解は安定である。

(b) $V(x)$ が正定値であり、$\left.\dfrac{dV}{dt}\right|_{(6.1.7)}$ が負定値であれば、微分方程式系 (6.1.7) の零解は漸近安定である。

(c) $V(x)$ が正定値であり、$\left.\dfrac{dV}{dt}\right|_{(6.1.7)}$ が正定値であれば、微分方程式系 (6.1.7) の零解は不安定である。

証明

(a) 任意の $\varepsilon > 0$（$\varepsilon < M$ としてよい）に対して

$$m := \min_{\varepsilon \leq \|x\| \leq M} V(x)$$

とおく。$V$ は連続で $\|x\| > 0$ のとき $V(x) \neq 0$ であるから $0 < m < \infty$ が成立する。また $V(\mathbf{0}) = 0$ であるから、$\delta > 0$ が存在して

$$V(x) < m, \quad \|x\| < \delta$$

が成立する。任意の $\|x\| < \delta$ に対して、微分方程式系 (6.1.7) のある時刻 $t_0$ に $x$ から出発する解 $x(t)$ が $t > t_0$ において $\|x(t)\| < \varepsilon$ を満たすことを示す。

そうでないとすると、ある $t^* > t_0$ が存在して $\|x(t^*)\| = \varepsilon$、$\|x(t)\| < \varepsilon$（$t \in [t_0, t^*)$）が成立する。定理 (a) の仮定より

$$V(x(t^*)) - V(x(t_0)) = \int_{t_0}^{t^*} \frac{dV(x(t))}{dt}\,dt \leq 0.$$

$\|x(t_0)\| < \delta$ であるから $V(x(t^*)) \leq V(x(t_0)) < m$ が得られるが、これは $V(x(t^*))$ の定義に矛盾する。この矛盾から $\|x\| < \delta$ であれば $\|x(t)\| < \varepsilon$（$t > t_0$）が成立し、零解は安定である。

(b) (a) より零解は安定である。(a) の証明における $\delta$ に対して、任意の $\|x\| < \delta$ について $\dfrac{dV(x(t))}{dt} \leq 0$ かつ $V(x(t)) \geq 0$ であるから $\lim_{t\to\infty}V(x(t))$ が存在し、これを $l$ と表す。

$l = 0$ を示す。そうでないとすると $l > 0$ である。$V(x(t)) \geq l$（$t \in [t_0, \infty)$）かつ $V(\mathbf{0}) = 0$ であるから、ある $\rho > 0$ が存在して $\|x(t)\| \geq \rho$（$t \in [t_0, \infty)$）が成立し、

$$\frac{dV(x(t))}{dt} < 0, \quad t \in [t_0, \infty)$$

が成立する。

$$r := \max_{\rho \leq \|x\| \leq M} \left.\frac{dV(x)}{dt}\right|_{(6.1.7)}$$

とおくと $-\infty < r < 0$ が成立する。したがって

$$V(x(t)) - V(x(t_0)) = \int_{t_0}^t \frac{dV(x(s))}{ds}\,ds \leq r(t - t_0), \quad t \in [t_0, \infty).$$

$t \to \infty$ のとき左辺は有限値であるが右辺は負の無限大に発散し矛盾する。よって $l = 0$ が示された。

最後に $\lim_{t\to\infty}\|x(t)\| = 0$ を示す。そうでないとすると、$\{x(t);\, t \in [t_0, \infty)\}$ は有界であるから単調増大点列 $\{t_n\}$（$\lim_{n\to\infty}t_n = \infty$）が存在して

$$\lim_{n\to\infty}x(t_n) = x^* \neq \mathbf{0}$$

が成立する。しかし $V(x)$ と解 $x(t)$ の連続性より

$$0 = \lim_{n\to\infty}V(x(t_n)) = V(x^*) \neq 0$$

となり矛盾する。よって $\lim_{t\to\infty}\|x(t)\| = 0$ が示され、零解は漸近安定である。

(c) 背理法により零解が安定と仮定すると、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在して $0 < \|x\| < \delta$ のとき、初期条件 $x(t_0) = x$ を満たす解について $\|x(t)\| < \varepsilon$（$t \in [t_0, \infty)$）が成立する。$\left.\dfrac{dV(x)}{dt}\right|_{(6.1.7)} > 0$（$x \neq \mathbf{0}$）であるから

$$V(x(t)) \geq V(x(t_0)) = V(x) > 0$$

が成立し、ある $\sigma > 0$（$\sigma < \varepsilon$）が存在して $\|x(t)\| \geq \sigma$（$t \in [t_0, \infty)$）が成立する。

$$\varrho := \min_{\sigma \leq \|x\| \leq \varepsilon} \left.\frac{dV(x)}{dt}\right|_{(6.1.7)}$$

とおくと $0 < \varrho < \infty$ が成立し、

$$V(x(t)) - V(x(t_0)) = \int_{t_0}^t \frac{dV(x(s))}{ds}\,ds \geq \varrho(t - t_0)$$

が得られる。$\sigma \leq \|x(t)\| < \varepsilon$ かつ $V$ が連続であるから $t \to \infty$ のとき左辺は有限であるが右辺は正の無限大に発散し矛盾する。よって零解は不安定である。

注意.

例 6.3 微分方程式系

$$\dot{x} = x^3 - 2y^3, \quad \dot{y} = xy^2 + x^2 y + \frac{1}{2}y^3$$

の零解は不安定である。Lyapunov 関数 $V = x^2 + 2y^2$ を取ることで示すことができる。

例 6.4 微分方程式系

$$\dot{x} = y - x^3, \quad \dot{y} = -2(x^3 + y^5)$$

の零解は漸近安定である。Lyapunov 関数 $V = x^4 + y^2$ を取ることで示すことができる。

例 6.5 微分方程式系

$$\dot{x} = y + 2y^3, \quad \dot{y} = -x - 2x^3$$

の零解は安定である。Lyapunov 関数 $V = x^2 + x^4 + y^2 + y^4$ を取ることで示すことができる。

例 6.6 微分方程式系

$$\dot{x} = 2x^2 y + y^3, \quad \dot{y} = -xy^2 + 2x^5 \tag{6.1.9}$$

の零解は不安定である。実際、関数 $V = xy$ を取ると

$$\left.\frac{dV}{dt}\right|_{(6.1.9)} = x^2 y^2 + y^4 + 2x^6 \tag{6.1.10}$$

は零解の近傍で正定値となる。$y$ の正半軸上では $\dot{x} > 0$、$x$ の正半軸上では $\dot{y} > 0$ であるから、第一象限から出発した軌道は時間の増加とともに常に第一象限内に留まる。また (6.1.10) より、第一象限内の任意の点から出発した軌道に沿って $V = xy$ の値は時間とともに単調増大するから、第一象限から出発した軌道は時間とともに零解から遠ざかっていく。よって零解は不安定である。

注意. Lyapunov の第二法を具体的に適用する際の鍵は、適切な Lyapunov 関数を構成することであるが、一般的な理論による構成法は存在しない。具体的な問題に対して Lyapunov 関数を構成する際には、方程式に関する全導関数に各変数の奇数次の項が含まれないようにする、すなわち Lyapunov 関数の微分方程式系に関する全導関数が常正または常負となるように工夫するとよい。

6.2 平面自律微分系の極限環理論の基礎

簡単のため、平面自律微分系

$$\dot{x} = P(x,y), \quad \dot{y} = Q(x,y) \tag{6.2.1}$$

を考える。ここで $P$、$Q$ はある平面領域 $\Omega$ 上で連続微分可能とする。$P$、$Q$ が線形関数の場合、微分系 (6.2.1) の解と軌道の性質は第4章ですでに完全に解決されている。

$P$、$Q$ が次数2以上の多項式の場合、微分系 (6.2.1) の力学的問題は未解決である。$P$、$Q$ が一般の滑らかな関数または解析的関数の場合には、研究はさらに困難となる。一般に、微分系 (6.2.1) を初等積分法で解くことは不可能である。19世紀末にフランスの数学者 Henry Poincaré（1854--1912）は微分方程式の定性理論を創始し、微分方程式の力学的研究に新たな扉を開いた。長年にわたり、微分方程式の周期解の研究は平面定性理論の中核的課題の一つであり続けている。

$P$、$Q$ が領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上で連続微分可能であり、微分系 (6.2.1) が $\Omega$ 内に周期軌道 $\Gamma$ をもつとする。

(1) $\Gamma$ の任意に小さい近傍の外側と内側の両方に非閉軌道が存在するとき、$\Gamma$ をこの系の極限環という。

(2) $\Gamma$ のある小近傍内の任意の点から出発した軌道がすべて正の時間方向に $\Gamma$ に螺旋状に近づくとき、$\Gamma$ をこの系の安定極限環という。

(3) $\Gamma$ のある小近傍内の任意の点から出発した軌道がすべて負の時間方向に $\Gamma$ に螺旋状に近づくとき、$\Gamma$ をこの系の不安定極限環という。

(4) $\Gamma$ のある近傍の一方の側から出発した軌道がすべて正の時間方向に $\Gamma$ に近づき、他方の側から出発した軌道がすべて負の時間方向に $\Gamma$ に近づくとき、$\Gamma$ をこの系の半安定極限環という。

(5) $\Gamma$ のある近傍が周期軌道で満たされているとき、$\Gamma$ をこの系の周期環という。

図11
図12

図6.1 安定・不安定・半安定極限環および周期環の模式図

例 6.7 平面極座標における微分方程式系

$$\dot{r} = r(r-1)(r-2)^2(r-3), \quad \dot{\theta} = 1$$

の周期軌道 $r = 1$ は安定極限環、$r = 2$ は半安定極限環、$r = 3$ は不安定極限環である。

注意.

注意 平面実多項式微分系の Hilbert 第16問題について。

以下では、極限環の存在性と安定性の判定を紹介する。まず極限環が存在しないことと存在することを判定するいくつかの簡単な結果を述べる。

定理 69（Bendixson の定理） 微分系 (6.2.1) の発散量

$$\mathrm{div}(P, Q) = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$$

が単連結領域 $\Omega$ 上で一定の符号をもち、$\Omega$ のいかなる部分領域上でも恒等的に零でなければ、微分系 (6.2.1) は $\Omega$ 内に閉軌道をもたず、したがって極限環をもたない。

証明

背理法による。$\Gamma$ が $\Omega$ 内の一つの閉軌道とし、$D$ を $\Gamma$ が囲む領域の内部とする。Green の公式と定理の仮定より

$$0 \neq \iint_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy = \oint_\Gamma P\,dy - Q\,dx = 0.$$

この矛盾から微分系 (6.2.1) は $\Omega$ 内に閉軌道をもたない。

注意. 上の定理の証明から、微分系 (6.2.1) が $\Omega$ 内に閉軌道 $\Gamma$ をもつための必要条件は

$$\iint_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy = 0$$

が成立することである。

定理 69 の証明から次の結果が容易に得られる。

系 70（Dulac の定理） 単連結領域 $\Omega$ 上で連続微分可能な関数 $B(x,y) \neq 0$ が存在して

$$\frac{\partial(BP)}{\partial x} + \frac{\partial(BQ)}{\partial y}$$

が $\Omega$ 上で一定の符号をもち、$\Omega$ のいかなる部分領域上でも恒等的に零でなければ、微分系 (6.2.1) は $\Omega$ 内に閉軌道をもたず、したがって極限環をもたない。

系 70 における関数 $B$ を Dulac 関数という。系 70 と定理 69 はわずかな違いしかないが、極限環の非存在の研究において非常に重要な役割を果たしている。多くの場合、微分系 (6.2.1) 自体は定理 69 の条件を満たさないが、関数 $B$ が存在して系 70 の条件が成立することがある。しかし具体的な問題において $B$ を見つけることは困難である。

例 6.8 平面二次微分系

$$\dot{x} = -y + lx^2 + mxy =: P_2(x,y), \quad \dot{y} = x =: Q_2(x,y) \tag{6.2.2}$$

は $ml \neq 0$ のとき閉軌道をもたず、$ml = 0$ のとき原点は中心である。

証明. この微分系の発散量を直接計算しても結果が得られない。Dulac 関数として

$$B(x,y) = e^{mx - 2ly - \frac{m^2}{2}y^2}$$

を取ると、

$$\frac{\partial(BP_2)}{\partial x} + \frac{\partial(BQ_2)}{\partial y} = mlx^2 e^{mx - 2ly - \frac{m^2}{2}y^2}$$

が成立する。$ml \neq 0$ のとき Dulac の定理より微分系 (6.2.2) は閉軌道をもたない。$ml = 0$ のとき $B$ は微分系 (6.2.2) の積分因子となる。$l = 0$ のとき系 (6.2.2) は解析的な第一積分

$$H_1 = e^{mx - \frac{1}{2}m^2 y^2}(mx - 1)$$

をもつ。$m = 0$ のとき系 (6.2.2) は解析的な第一積分

$$H_2 = e^{-2ly}(2l^2 x^2 - 2ly - 1)$$

をもつ。また微分系 (6.2.2) の原点における線形部分の係数行列の固有値は一対の純虚根であるから、原点は中心である。

次の結果は、極限環の存在の一つの判定基準を与える。

定理 71（Poincaré--Bendixson の環状領域定理） $\Omega$ を一つの環状領域とする。微分系 (6.2.1) が $\Omega$ 内に特異点をもたず、その軌道が $\Omega$ の内外境界と交わるときすべて正の時間方向（または負の時間方向）に $\Omega$ の内部に入るならば、$\Omega$ 内に内境界線をその内部領域に含む、外側から安定（不安定）な極限環と内側から安定（不安定）な極限環が少なくとも一つずつ存在する（両者が一致してもよい）。

注意. 定理 71 の環状領域とは環状の領域を意味し、内外の二つの境界はともに単純閉曲線であり、内境界線は一点に縮退してもよい。また定理 71 の極限環は唯一の安定（不安定）極限環である場合もある。

極限環の存在性と安定性をさらに論じるには、Poincaré 写像を研究する必要がある。$\Gamma$ を微分系 (6.2.1) の一つの周期軌道とする。

注意. 微分系 (6.2.1) について次のことが成立する。

次の結果は、Poincaré 写像が微分系と同じ滑らかさをもつことを示す。

命題 72 微分系 (6.2.1) の周期軌道の帰還時間と Poincaré 写像は、微分系と同じ滑らかさをもつ。

証明

$\Gamma$ を微分系 (6.2.1) の周期 $T$ をもつ周期軌道とし、$S$ を $p \in \Gamma$ を通る十分滑らかな $\Gamma$ の切断面とする。解の初期値とパラメータへの連続依存性より、微分系 (6.2.1) の解 $\phi_t(q)$ は系と同じ滑らかさをもつ。したがって $q \in S$ に対して $T(q)$ が微分系 (6.2.1) と同じ滑らかさをもつことを示せばよい。

$S$ のパラメータ表示を $(w, g(w))$ とすると、$g$ は $S$ と同じ滑らかさをもつ。$S$ の小近傍内の点 $q = (w, z)$ に対して

$$F(q) := z - g(w)$$

とおくと $q \in S \Leftrightarrow F(q) = 0$ が成立する。$q \in S$ に対して

$$G(t, q) := F(\phi_t(q))$$

とおくと $G(T, p) = F(\phi_T(p)) = F(p) = 0$ が成立し、

$$\left.\frac{\partial G}{\partial t}\right|_{(T,p)} = \left(\frac{\partial F}{\partial w}(p),\, \frac{\partial F}{\partial z}(p)\right) \left.\frac{d\phi_t(p)}{dt}\right|_{t=0} = (-g'(w), 1) \cdot (P(p), Q(p)) \neq 0$$

が成立する（最後の不等式は $(-g'(w), 1)$ が $S$ の $(w, z) = (w, g(w))$ での勾配であり、ベクトル場 $(P, Q)$ が $S$ と横断的に交わることによる）。陰関数定理より、$p$ を内点とする開集合 $\Sigma \subset S$ と $G$ と同じ滑らかさをもつ関数 $t = T(q)$（$q \in \Sigma$）が存在して $G(T(q), q) = F(\phi_{T(q)}(q)) \equiv 0$（$q \in \Sigma$）が成立する。したがって $T(q)$ は帰還時間であり、微分系 (6.2.1) と同じ滑らかさをもつ。

次の結果は、極限環の安定性の判定を与える。

定理 73 $\Gamma := \{\phi(t) = (x(t), y(t)),\, t \in \mathbb{R}\}$ を微分系 (6.2.1) の周期 $T$ の周期軌道とする。系の発散量の周期軌道に沿った積分

$$\oint_\Gamma \left(\frac{\partial P(\phi(t))}{\partial x} + \frac{\partial Q(\phi(t))}{\partial y}\right)dt = \int_0^T \left(\frac{\partial P(\phi(t))}{\partial x} + \frac{\partial Q(\phi(t))}{\partial y}\right)dt < 0\ (> 0) \tag{6.2.3}$$

が成立するならば、$\Gamma$ は安定（不安定）極限環である。

証明

この定理は、$\Gamma$ の近傍での局所座標を用いて示される。$\Gamma$ 上の任意の点 $p_0$ を定める。$\Gamma$ が負定向、すなわち時間の増加とともに $p_0$ から出発した軌道が時計回りに進むと仮定する。任意の $p \in \Gamma$ に対して、$p_0$ から $p$ までの弧長を $s$ とし、時計回りを正とする（以下では時計回りのみを考える）。$\Gamma$ の弧長を $l$ とし、弧長 $s$ をパラメータとする $\Gamma$ のパラメータ方程式を

$$x = \phi(s), \quad y = \psi(s), \quad s \in [0, l]$$

とおくと、

$$\phi'(s) = \frac{\dot{x}}{\dot{s}} = \frac{P_0}{\sqrt{P_0^2 + Q_0^2}}, \quad \psi'(s) = \frac{\dot{y}}{\dot{s}} = \frac{Q_0}{\sqrt{P_0^2 + Q_0^2}}$$

が成立する。ここで $\dot{x}$ は $x$ の時間 $t$ に関する導関数、$P_0 = P(\phi(s), \psi(s))$、$Q_0 = Q(\phi(s), \psi(s))$ である。

$\Gamma$ のある十分小さい近傍内の任意の点 $q$ に対して、その局所座標 $(s, n)$ を次のように定義する。$q$ が $\Gamma$ 上のある点 $p$ の法線上にあるとし、$s$ は $p_0$ から $p$ までの弧長、$n$ は $p$ から $q$ までの法線に沿った長さとする。局所座標 $(s, n)$ を用いると $q$ の直交座標表示は

$$x = \phi(s) - n\psi'(s), \quad y = \psi(s) + n\phi'(s) \tag{6.2.4}$$

となる。

$\Gamma$ の十分小さい近傍内の一点 $q$ から出発した軌道が一周したときの $n$ の変化を調べる。この軌道上で $n$ は $s$ の関数であり、軌道方程式は (6.2.4) で与えられる。(6.2.4) を微分系 (6.2.1) に代入すると

$$n'(s) = \frac{Q[s,n]\phi'(s) - P[s,n]\psi'(s) - n(s)(P[s,n]\phi''(s) + Q[s,n]\psi''(s))}{P[s,n]\phi'(s) + Q[s,n]\psi'(s)} =: F(s, n)$$

が得られる。$n$ が十分小さいとき $P[s,n]\phi'(s) + Q[s,n]\psi'(s) \neq 0$（$s \in [0, l]$）かつ $F(s, 0) = 0$ が成立する。$F(s, n)$ を $n$ について Taylor 展開すると

$$n'(s) = H(s)n + o(n) \tag{6.2.5}$$

が得られる。ここで

$$H(s) = \left.\frac{\partial F}{\partial n}\right|_{n=0} = \frac{P_0^2 Q_{0y} - P_0 Q_0(P_{0y} + Q_{0x}) + Q_0^2 P_{0x}}{(P_0^2 + Q_0^2)^{3/2}}$$

は $l$ を周期とする周期関数であり、$f_{0x}$ は $f_0$ の $x$ に関する偏導関数（$f \in \{P, Q\}$）を表す。

微分方程式

$$n'(s) = H(s)n \tag{6.2.6}$$

を積分すると

$$n(l) = n(0)e^{\int_0^l H(\nu)\,d\nu}$$

が得られる。したがって

$$\mathcal{D} := \int_0^l H(\nu)\,d\nu < 0\ (> 0)$$

のとき微分方程式 (6.2.6) の零解は漸近安定（不安定）となり、$\mathcal{D} < 0$（$> 0$）のとき微分方程式 (6.2.5) の零解も漸近安定（不安定）となるから $\Gamma$ は漸近安定（不安定）となる。

周期軌道 $\Gamma$ に沿って $ds = \sqrt{P_0^2 + Q_0^2}\,dt$ が成立するから、直接計算により

$$\begin{aligned}\int_0^l H(\nu)\,d\nu &= \int_0^T \frac{P_0^2 Q_{0y} - P_0 Q_0(P_{0y} + Q_{0x}) + Q_0^2 P_{0x}}{P_0^2 + Q_0^2}\,dt \\ &= \int_0^T \left[P_{0x} + Q_{0y} - \frac{P_0^2 P_{0x} + P_0 Q_0(P_{0y} + Q_{0x}) + Q_0^2 Q_{0y}}{P_0^2 + Q_0^2}\right]dt \\ &= \int_0^T (P_{0x} + Q_{0y})\,dt - \frac{1}{2}\oint_\Gamma \frac{d(P_0^2 + Q_0^2)}{P_0^2 + Q_0^2} \\ &= \int_0^T (P_{0x} + Q_{0y})\,dt\end{aligned}$$

が得られる。これにより定理の結論が示された。

微分系 (6.2.1) の周期軌道 $\Gamma$ に対して条件 (6.2.3) が成立するとき、$\Gamma$ を微分系 (6.2.1) の単純極限環（または双曲型極限環）という。そうでない場合を微分系 (6.2.1) の多重極限環という。

以上で極限環理論のいくつかの最も基本的な知識を紹介した。

6.3 微分系の構造安定性と分岐の概要

パラメータを含む微分系においてパラメータが変化するとき、系の軌道の構造（位相的性質）が変化するかどうかを研究するのが力学系の構造安定性と分岐理論の内容である。以下では、平面微分系

$$\dot{x} = P(x,y), \quad \dot{y} = Q(x,y) \tag{6.3.1}$$

（$P, Q \in C^1(\Omega)$、$\Omega \subset \mathbb{R}^2$ は平面閉領域、境界 $\partial\Omega$ は単純閉曲線）の構造安定性の定義と判定条件を概説する。微分系 (6.3.1) の軌道は $\partial\Omega$ と横断的に交わるものとする。

平面微分系

$$\dot{x} = P(x,y) + p(x,y), \quad \dot{y} = Q(x,y) + q(x,y) \tag{6.3.2}$$

（$p, q \in C^1(\Omega)$）に対して

$$d(p,q) = \max_\Omega\{|p|,\, |q|,\, |\partial_x p|,\, |\partial_y p|,\, |\partial_x q|,\, |\partial_y q|\}$$

とおく。解のパラメータへの連続依存性より、微分系 (6.3.1) の軌道が $\partial\Omega$ と横断的に交わるならば、$d(p,q)$ が十分小さいとき微分系 (6.3.2) の軌道もまた $\partial\Omega$ と横断的に交わる。

微分系 (6.3.1) が $\Omega$ 上で構造安定であるとは、ある $\delta > 0$ が存在して、任意の $p, q \in C^1(\Omega)$ に対して $d(p,q) < \delta$ であれば $\Omega$ 上の同相写像 $T$ が存在して系 (6.3.1) の軌道を系 (6.3.2) の軌道に写すことをいう。

次の定理は、平面 $C^1$ 微分系が構造安定であるための必要十分条件を与える。

定理 74 微分系 (6.3.1) が $\Omega$ 上で構造安定であるための必要十分条件は、$\Omega$ 上の特異点と閉軌道の個数がいずれも有限かつ双曲的（存在すれば）であり、鞍点から鞍点への接続軌道をもたないことである。

定理 74 は、Andronov と Pontryagin が1937年に $P$、$Q$ が解析的で写像 $T$ に関する追加の仮定のもとで初めて証明した。De Baggis は1952年に $P$、$Q$ の正則性を $C^1$ に弱めて Andronov と Pontryagin の結果を証明した。Peixoto は1959年に De Baggis の写像 $T$ に関する追加の仮定が不要であることをさらに証明した。

構造安定性と対照をなすのが分岐理論である。おおまかに言えば、これは微分系のパラメータが変化するとき、微分系全体または局所的な軌道の構造がどのように変化するか（位相的な意味で）を主として研究する。

分岐理論は極めて豊富な内容をもつ。本節では簡単な例を通じて力学系に現れるいくつかの典型的な分岐現象を紹介する。平面微分系 (6.2.1) に対して

$$J = \frac{\partial(P,Q)}{\partial(x,y)}$$

をその Jacobi 行列とする。

図13

図6.4 (a) 同宿軌道、(b) 異宿軌道、(c) 異宿環

以下では簡単な例を通じて典型的な分岐現象を紹介する。

例 6.9 （一次元鞍結節分岐）パラメータ $\lambda$ を含む一次元微分方程式

$$x' = x^2 + \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

$\lambda > 0$ のとき特異点をもたない。$\lambda = 0$ のとき唯一の二重特異点をもち、それは半安定であり鞍結節点と呼ばれる。$\lambda < 0$ のときこの二重特異点は二つの特異点に分裂し、一つは安定、もう一つは不安定となる。このような二つの特異点が重なって消滅する現象を鞍結節分岐という。

例 6.10 （トランスクリティカル分岐）パラメータ $\lambda$ を含む一次元微分方程式

$$x' = x^2 - \lambda x, \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

$\lambda > 0$ のとき二つの特異点をもつ。特異点 $x = 0$ は安定、特異点 $x = \lambda$ は不安定である。$\lambda = 0$ のとき二つの特異点が $x = 0$ で重なり半安定な二重特異点となる。$\lambda < 0$ のときこの二重特異点は分裂し、$x = 0$ は不安定、$x = \lambda$ は安定となる。このような二つの特異点が重なって安定性を交換する現象をトランスクリティカル分岐（transcritical bifurcation）という。

例 6.11 （草叉分岐）パラメータ $\lambda$ を含む一次元微分方程式

$$x' = x(x^2 + \lambda), \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

$\lambda > 0$ のとき唯一の不安定特異点 $x = 0$ をもつ。$\lambda = 0$ のとき唯一の三重特異点 $x = 0$ をもち、これもまた不安定である。$\lambda < 0$ のときこの三重特異点は三つの特異点に分裂し、$x = 0$ は安定、$x = \pm\sqrt{-\lambda}$ はいずれも不安定となる（亜臨界の草叉分岐）。このようにパラメータの変化のある過程で一つの特異点が保持され、その後突然三つの特異点に分裂する現象を草叉分岐という。

例 6.12 （ヒステリシス分岐）パラメータ $\lambda$ を含む一次元微分方程式

$$x' = x^3 - x - 2\lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

$\lambda > 3^{-3/2}$ のとき唯一の不安定特異点 $x = x_1$ をもつ。$\lambda = 3^{-3/2}$ のとき二つの特異点をもつ。不安定特異点 $x = x_1$ と一つの鞍結節点 $x = x_0$（$x_0 < x_1$）である。$-3^{-3/2} < \lambda < 3^{-3/2}$ のとき鞍結節点 $x_0$ は $x = x_2$ と $x = x_3$ に分裂し、三つの特異点 $x_3 < x_2 < x_1$ はそれぞれ不安定・安定・不安定となる。$\lambda = -3^{-3/2}$ のとき $x = x_2$ と $x = x_1$ が重なって鞍結節点となる。$\lambda < -3^{-3/2}$ のとき鞍結節点は消滅し、唯一の不安定特異点 $x = x_3$ が残る。このようにパラメータの変化の過程で鞍結節点が突然現れ、分裂し、再び他の特異点と結合して鞍結節点となった後に突然消滅する現象をヒステリシス分岐という。

例 6.13 （二次元鞍結節分岐）パラメータ $\lambda$ を含む二次元微分方程式

$$x' = x^2 - \lambda, \quad y' = y, \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

$\lambda < 0$ のとき特異点をもたない。$\lambda = 0$ のとき唯一の特異点 $(0,0)$ をもち、これを鞍結節点という。$\lambda > 0$ のときこの特異点は二つの特異点に分裂し、$(\sqrt{\lambda}, 0)$ は不安定な結節点、$(-\sqrt{\lambda}, 0)$ は鞍点となる。このように突然一つの特異点が現れ、鞍点と結節点に分裂する現象を鞍結節分岐という。

6.4 カオス入門：二つの例

カオス理論は H. Poincaré と J. Hadamard の研究にすでにその萌芽が見られる。この理論は気象学・物理学・工学・生化学・経済学などの学問分野に広く応用されている。アメリカの数学者・気象学者 Edward Lorenz は1963年に初めて数値シミュレーションによって微分系が複雑な力学的現象をもつことを発見した。彼は大気対流を記述する簡単な数学モデル（後に Lorenz モデルと呼ばれる）を構築した。

$$\frac{dx}{dt} = \sigma(y - x), \quad \frac{dy}{dt} = \rho x - y - xz, \quad \frac{dz}{dt} = -\beta z + xy \tag{6.4.1}$$

ここで $\sigma$、$\rho$、$\beta$ は系のパラメータであり、通常は正の値をとる。このモデルは電気回路や化学反応などの分野にも応用されている。

Lorenz は数値シミュレーションで $\sigma = 10$、$\beta = 8/3$、$\rho = 28$ を取り、図 6.10 に示すような複雑な力学的現象を得た。Lorenz はこれを奇妙なアトラクター（strange attractor）と呼び、バタフライ効果（butterfly effect）とも呼んだ。1975年に T.-Y. Li（李天岩）と J. A. Yorke は区間上の一次元写像が3周期点をもてば任意の周期の周期点が存在することを研究してカオス（chaos）の概念を導入した。この奇妙なアトラクターは後にカオス現象とも呼ばれるようになった。

Lorenz 系はパラメータが変化するとき他にも多くの複雑な力学的現象を示し、今日でも完全には解明されていない。以下では Lorenz 系の特異点のパラメータによる変化を簡単に分析する。

$\rho < 1$ のとき、系 (6.4.1) は唯一の特異点 $O = (0,0,0)$ をもち、それは安定である（気象学的には対流現象が存在しない状態に対応する）。すべての軌道は $t \to \infty$ のとき $O$ に収束し、系の力学は最も単純である。

$\rho = 1$ のとき、系 (6.4.1) は依然として唯一の特異点をもつが、その線形化は零固有値一つと二つの負固有値 $-\beta$、$-(\sigma+1)$ をもつ。系は $(x,y,z) \mapsto (-x,-y,z)$ に関して対称であり、このとき草叉分岐が生じる。

$\rho > 1$ のとき、系 (6.4.1) は特異点 $O$ からさらに二つの特異点

$$P_\pm = \bigl(\pm\sqrt{\beta(\rho-1)},\, \pm\sqrt{\beta(\rho-1)},\, \rho-1\bigr)$$

が分岐して現れる。このとき $O$ は鞍点となり、二つの負固有値と一つの正固有値をもつ。

$$\lambda_1 = -\beta, \quad \lambda_{2,3} = \frac{-\sigma - 1 \pm \sqrt{(\sigma+1)^2 - 4\sigma(1-\rho)}}{2}.$$

特異点 $P_\pm$ の特性多項式は

$$\lambda^3 + (\beta+\sigma+1)\lambda^2 + \beta(\sigma+\rho)\lambda + 2\sigma\beta(\rho-1) = 0$$

である。$\sigma > \beta + 1$ かつ $1 < \rho < \sigma\dfrac{\sigma+\beta+3}{\sigma-\beta-1}$ のとき、特異点 $P_\pm$ の固有値はすべて負の実部をもつから安定である。このときすべての軌道は $O$ か $P_\pm$ のいずれかに引き付けられ、奇妙なアトラクターは現れない。$\rho$ が増加すると特異点 $P_\pm$ は同時に Hopf 分岐を起こして安定性を失い、両者ともに二つの正の実部をもつ固有値と一つの負の固有値をもつようになる。例えば $\sigma = 10$、$\beta = 8/3$ のとき、$\rho < 24.73684$ では特異点 $P_\pm$ はともに安定であり、一つの負の実根と負の実部をもつ一対の共役複素根をもつ。$\rho > 24.73685$ では特異点 $P_\pm$ はともに鞍焦点となり、一つの負の実根と正の実部をもつ一対の共役複素根をもつ。したがって系 (6.4.1) は $\rho$ が $(24.73684, 24.73685)$ 内のある値 $\rho_H$ のとき Hopf 分岐を起こす。この Hopf 分岐は劣臨界型であり、$\rho < \rho_H$ の側で $P_\pm$ の近傍に不安定な極限環が存在し、$\rho \to \rho_H$ でそれが $P_\pm$ に収縮して $P_\pm$ が安定性を失う。$\rho$ の値がさらに増大すると系は奇妙なアトラクターなどの複雑な力学的現象を示すようになる。

カオス現象を示す三次元微分系の例は他にも多く知られており、Rössler カオスアトラクター、Rikitake アトラクター、Rabinovich アトラクター、さまざまなChua 回路系のカオスアトラクターなどがある。

以下では Rössler カオスアトラクターを簡単に紹介する。

$$\frac{dx}{dt} = -y - z, \quad \frac{dy}{dt} = x + ay, \quad \frac{dz}{dt} = b - cz + xz \tag{6.4.2}$$

ここで $a$、$b$、$c$ は系の正のパラメータである。これはドイツの生化学者 Rössler が1976年に構築したものである。$a = 0.2$、$b = 0.2$、$c = 5.7$ とすると、図 6.11 に示すカオスアトラクターが得られる。

直接計算により、$c^2 < 4ab$ のとき系 (6.4.2) は特異点をもたず、$c^2 = 4ab$ のとき唯一の特異点をもち少なくとも一つの固有値が零となる。$c^2 > 4ab$ のとき系 (6.4.2) は二つの特異点

$$P_\pm = \left(\frac{c \pm \sqrt{c^2-4ab}}{2},\, \frac{-c \mp \sqrt{c^2-4ab}}{2a},\, \frac{c \pm \sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right)$$

をもつ。$a = 0.2$、$b = 0.2$、$c = 5.7$ のとき、$P_-$ は一つの負の固有値と正の実部をもつ一対の共役複素固有値をもち、カオスアトラクターの輪の中心に位置する。一方 $P_+$ は一つの正の固有値と負の実部をもつ一対の共役複素固有値をもち、カオスアトラクターから比較的遠い位置にある。

以上では具体的な例を通じて数値シミュレーションによる奇妙なアトラクターの出現を示し、カオス現象の発生を説明した。カオス現象はまた、初期条件への敏感な依存性などの現象の出現によっても判定できる。初期条件への敏感な依存性とは（おおまかに言えば）、コンパクト空間において現在の軌道が任意に小さな摂動のもとでその力学的性質が本質的に変化することを意味する。すなわち、与えられた初期点とその任意に近い初期点が本質的に異なる軌道をもつことである。

理論的にある系がカオス現象をもつかどうかを判定するには、正の Lyapunov 指数・正の位相的エントロピー（または測度エントロピー）・Smale のホースシュー（horseshoe）の出現などを証明する必要がある。これらはここでの範囲を超えるため、扱わない。

練習問題

1. 系 66 を証明せよ。

2. 次の微分方程式の特性乗数を求め、零解の安定性を判定せよ。

(2.1) $x' = 4\sin(3t)x$

(2.2) $x' = -2x + \sin(2t)y$、$\quad y' = -2y$

(2.3) $x' = x + \cos(2\pi t)y$、$\quad y' = (1 + \cos(2\pi t))y$

3. Mathieu 方程式

$$x'' + (a + b\cos t)x = 0$$

は Hill 方程式の重要な特殊ケースであり、$a$、$b$ は定数である。$a$、$b$ の様々な値に対して、Mathieu 方程式の零解の安定性と周期解の存在性を判定せよ。

4. 次の微分方程式系の零解の安定性を判定せよ。

(4.1) $\dot{x} = 2x - y + x^2 y + 3y^3 - 5y^5$、$\quad \dot{y} = x - y + x^2 - y^2 + 2xy$

(4.2) $\dot{x} = -2x - y + xy - y^3 + 3xy^2$、$\quad \dot{y} = -y + xy^2 + 2x^3$

(4.3) $\dot{x} = 2x - 3y + x^2 + 3y^2$、$\quad \dot{y} = 3x + 2y + xy^2 - y^3 + x^2 y^2$

(4.4) $\dot{x} = -y - \alpha x(x^2 + y^2 - 1)$、$\quad \dot{y} = x - \alpha y(x^2 + y^2 - 1)$

5. 三極電子管の自励振動方程式

$$\ddot{x} + \varepsilon(x^2 - 1)\dot{x} + x = 0$$

はオランダの物理学者 Balthasar van der Pol が1926年に構築したものである（後に van der Pol 方程式と呼ばれる）。この方程式は物理・生物などの分野に広く応用されている。van der Pol 方程式の零解の安定性を論じよ。ヒント：微分方程式系に変換して議論せよ。

6. 非線形微分系の例を挙げよ。零解が漸近安定であるが、その線形近似系の零解が不安定であるもの（このとき $A$ は正の実部をもつ固有値を持たない）。

7. Lyapunov の第二法を用いて次の微分方程式系の零解の安定性を判定せよ。

(7.1) $\dot{x} = -y + \alpha x^5$、$\quad \dot{y} = x + \alpha y^5$

(7.2) $\dot{x} = -x + 2xy^2$、$\quad \dot{y} = -4x^2 y - 3y^5$

(7.3) $\dot{x} = 2x^2 - y^2$、$\quad \dot{y} = xy$ ヒント：$V(x,y) = x^2 - y^2$ を取れ。

(7.4) $\dot{x} = x^3 - 2y^3$、$\quad \dot{y} = xy^2 + 2x^2 y + y^3$

(7.5) $\dot{x} = y - 2x - 3x^3 y^2$、$\quad \dot{y} = -5x - 7y$

(7.6) $\dot{x} = y + 2y^3$、$\quad \dot{y} = -x - 2x^3$

8. $f(x,y) \in C^1(\mathbb{R}^2)$ と仮定する。微分方程式系

$$\dot{x} = y - xf(x,y), \quad \dot{y} = -x - yf(x,y)$$

の零解の安定性を論じよ。

9. $f(x) \in C(\mathbb{R})$ かつ $xf(x) < 0$（$x \neq 0$）と仮定する。微分方程式系

$$\dot{x} = y, \quad \dot{y} = f(x)$$

の零解の型と安定性を論じよ。

10. 微分方程式系

$$\dot{x} = -2y, \quad \dot{y} = 2x + 3x^2$$

のすべての特異点の型と安定性を判定せよ。

11. 平面微分系

$$\dot{x} = -y + \alpha x(x^2+y^2-1)^2(x^2+y^2-4), \quad \dot{y} = x + \alpha y(x^2+y^2-1)^2(x^2+y^2-4)$$

が極限環をもつかどうかを判定せよ。もつ場合はその表式を求め、安定性を判定せよ。

12. 系 70 を証明せよ。

13. 次のパラメータを含む微分方程式の分岐を分析し、分岐図を描け。

(13.1) $x' = x^3(x - \lambda)$

(13.2) $x' = x^2 - \alpha x + \beta$

(13.3) $x' = x^3 - \lambda x + 2$

(13.4) $x' = \dfrac{x^2}{1+x^2} - \lambda$

(13.5) $x' = \mu x - y - \beta x(x^2+y^2)$、$\quad y' = x + \mu y - \beta y(x^2+y^2)$

(13.6) $x' = y$、$\quad y' = -x(1-x) + \lambda(1-x)y$

付録

A.1 Ascoli--Arzelà の補題の証明

定理 75（Ascoli--Arzelàの定理） 関数列 $\{f_n(x)\}$ が有界閉区間 $I = [a,b]$ 上で一様有界かつ同程度一様連続であれば、$\{f_n(x)\}$ は $I$ 上で一様収束する部分列をもつ。

証明

$|f_n(x)| \leq K$（$n \in \mathbb{N}$、$x \in I$）とする。

第一段 $I \cap \mathbb{Q}$ の元を $q_1, q_2, \ldots$ と一列に並べる。$\{f_n(q_1)\}$ は有界数列であるから収束部分列 $\{f^{(1)}_n\}$ をもつ。$\{f^{(1)}_n(q_2)\}$ も有界であるから収束部分列 $\{f^{(2)}_n\}$ をもつ。この操作を繰り返して部分列 $\{f^{(k)}_n\}_n$（$k = 1, 2, \ldots$）を作ると、$\{f^{(k+1)}_n\} \subset \{f^{(k)}_n\}$ であり、$\{f^{(k)}_n\}_n$ は $q_1, \ldots, q_k$ で収束する。対角線をとって $g_j := f^{(j)}_j$ とおくと、$\{g_j\}$ は $\{f_n\}$ の部分列であり、すべての $q_k$ で収束する。

第二段 $\{g_j\}$ が $I$ 上で一様収束することを示す。$\varepsilon > 0$ を任意にとる。同程度一様連続性より、$\delta > 0$ が存在して、$|x - x'| < \delta$ のとき全ての $j$ に対して $|g_j(x) - g_j(x')| < \varepsilon/3$ が成り立つ。$I$ はコンパクトであるから、$I \cap \mathbb{Q}$ の有限個の点 $q_{k_1}, \ldots, q_{k_m}$ を、任意の $x \in I$ がこのうちのどれかから $\delta$ 未満の距離にあるようにとれる。各 $q_{k_i}$ で $\{g_j\}$ は収束するから、$N$ が存在して $j, l > N$ のとき

$$|g_j(q_{k_i}) - g_l(q_{k_i})| < \frac{\varepsilon}{3}, \quad i = 1, \ldots, m.$$

任意の $x \in I$ に対して $|x - q_{k_i}| < \delta$ となる $i$ をとると、$j, l > N$ のとき

$$|g_j(x) - g_l(x)| \leq |g_j(x) - g_j(q_{k_i})| + |g_j(q_{k_i}) - g_l(q_{k_i})| + |g_l(q_{k_i}) - g_l(x)| < \varepsilon.$$

よって $\{g_j\}$ は $I$ 上で一様Cauchyであり、補題13より一様収束する。$\square$

注意. 連続関数列の一様収束の性質より、$\{f_{n_k}(x)\}$ が $I$ 上で一様収束する極限関数 $f(x)$ は有界閉集合 $I$ 上で一様連続となる。

A.2 行列対数の存在性の証明

定理 76 行列対数について、次の結論が成立する。

(a) $C$ が $n$ 次非退化行列（実あるいは複素）であれば、$C = e^B$ を満たす $n$ 次行列 $B$ が存在する。$B$ を $C$ の行列対数という。

(b) $C$ が $n$ 次非退化実行列であれば、$C^2 = e^B$ を満たす $n$ 次実行列 $B$ が存在する。

証明

(a) 行列の Jordan 標準形理論より、$n$ 次非退化行列 $P$ が存在して $P^{-1}CP = J$ が Jordan 標準形となる。$J = e^K$ を満たす $n$ 次行列 $K$ が存在すれば、$B := Pe^K P^{-1}$ が $C$ の行列対数となる。したがって以下では Jordan 標準形 $J$ が行列対数をもつことを示せばよい。

$J := \mathrm{diag}(J_1, \ldots, J_m)$（$J_i$ は Jordan ブロック）とおく。行列指数の性質より各 Jordan ブロックが行列対数をもつことを示せばよい。記号の簡便のため、$J$ が Jordan ブロックであると仮定する。

$$J := \lambda E + N = \lambda(E + \lambda^{-1}N)$$

とおくと $N$ は冪零行列である。$\ln(1+x)$ の Taylor 展開を用いると

$$\ln J = (\ln\lambda)E + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(\lambda^{-1}N)^k \tag{A.2.1}$$

が得られる（冪零行列の性質 $N^k = 0$（$k \geq n$）を用いた）。したがって $K = \ln J$ が $J$ の対数となる。

(b) $C$ は実行列であるから、非退化な実行列が存在して $C^2$ はその実 Jordan 標準形に相似となる。したがって (a) の証明と同様に、$C^2$ の Jordan 標準形が実の対数をもつことを示せばよい。

$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ を $C$ の固有値とすると、$\lambda_1^2, \ldots, \lambda_n^2$ が $C^2$ の固有値であり、$C^2$ の Jordan 標準形中の Jordan ブロックは $C$ の Jordan 標準形中の Jordan ブロックに対応する。$C$ の固有値の型に応じて、次の三つの場合に分ける。

(1) $C$ の実固有値 $\lambda$ に対応する $C^2$ の Jordan ブロック $J$。このとき

$$J = \lambda^2 E_i + N_i$$

（$E_i$、$N_i$ は適切な次数の単位行列と実冪零行列）となる。(A.2.1) より実 Jordan ブロック $J$ は実の行列対数をもつ。

(2) $C$ の純虚固有値 $\lambda = \sqrt{-1}\,b$ に対応する $C^2$ の Jordan ブロック $J$。このとき

$$J = \begin{pmatrix} -b^2 & & \\ 1 & -b^2 & \\ & \ddots & \ddots \\ & & 1 & -b^2 \end{pmatrix}.$$

$C$ は実行列であるから複素固有値は対になって現れる。したがって $C^2$ の $C$ の純虚固有値 $-\sqrt{-1}\,b$ に対応する Jordan ブロックも $J$ となる。これにより $C^2$ の Jordan 標準形中にブロック $M = \mathrm{diag}(J, J)$ が現れる。$J$ を $l$ 次行列とする。$M$ が実の行列対数をもつことを示す。

まず $M$ が

$$\Lambda + N$$

に相似であることが容易に示される。ここで

$$\Lambda = \begin{pmatrix} -b^2 E_2 & & \\ & -b^2 E_2 & \\ & & \ddots \\ & & & -b^2 E_2 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & & & \\ E_2 & \mathbf{0} & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & E_2 & \mathbf{0} \end{pmatrix}$$

であり、$\mathbf{0}$ は二次零行列、$E_2$ は二次単位行列である。したがって

$$\ln(\Lambda + N) = \ln\Lambda + \ln(E_{2l} + \Lambda^{-1}N) = \ln\Lambda + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(\Lambda^{-1}N)^k$$

（第二の等式で $\Lambda^{-1}N$ が冪零行列であることを用いた）。また

$$\ln\Lambda = \begin{pmatrix} \ln(-b^2 E_2) & & \\ & \ln(-b^2 E_2) & \\ & & \ddots \\ & & & \ln(-b^2 E_2) \end{pmatrix},$$
$$\ln(-b^2 E_2) = \begin{pmatrix} \ln b^2 & (2k+1)\pi \\ -(2k+1)\pi & \ln b^2 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

これにより $M$ は実の行列対数をもち、したがって $J$ は実の行列対数をもつ。

(3) $C$ の複素固有値 $\lambda = a + \sqrt{-1}\,b$（$ab \neq 0$）に対応する $C^2$ の Jordan ブロック $J$。このとき

$$J = \begin{pmatrix} D_2 & & \\ E_2 & D_2 & \\ & \ddots & \ddots \\ & & E_2 & D_2 \end{pmatrix}, \quad D_2 = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}.$$

(2) の証明と同様に $J$ を

$$J = \Lambda + N$$

と書く。ここで

$$\Lambda = \begin{pmatrix} D_2 & & \\ & D_2 & \\ & & \ddots \\ & & & D_2 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & & & \\ E_2 & \mathbf{0} & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & E_2 & \mathbf{0} \end{pmatrix}.$$
$$\ln D_2 = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\ln(a^2+b^2) & \theta + 2l\pi \\[8pt] -\theta - 2l\pi & \dfrac{1}{2}\ln(a^2+b^2) \end{pmatrix}, \quad l \in \mathbb{Z}$$

（ただし $\theta$ は $a = \sqrt{a^2+b^2}\cos\theta$、$b = \sqrt{a^2+b^2}\sin\theta$ を満たす角）であるから、(2) の証明と同様にして $J$ は実の対数をもつことが示される。

以上の三つの場合の証明をまとめると、$C^2$ の実 Jordan 標準形は実の対数をもち、したがって $C^2$ は実の対数をもつ。

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