線形微分方程式の解法

本章では、線形微分方程式系と高階線形微分方程式の解の一般理論と解法について集中的に議論する。

4.1 線形微分方程式系の解の基本理論

線形微分方程式系

$$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x), \quad x\in J:=(\alpha,\beta)\subset\mathbb{R} \quad \text{(4.1.1)}$$

を考える。ここで $A(x)=(a_{ij}(x))_{n\times n}$ は $n$ 次正方行列である。

$$y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix}, \quad f(x)=\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\ \vdots\\ f_{n}(x)\end{pmatrix}$$

(1) $f(x)\not\equiv 0$ ($x\in J$) のとき、(4.1.1) を $n$ 次元線形非斉次微分方程式系と呼ぶ。
(2) $f(x)\equiv 0$ ($x\in J$) のとき、すなわち

$$\frac{dy}{dx}=A(x)y \quad \text{(4.1.2)}$$

を $n$ 次元線形斉次微分方程式系と呼ぶ。

スカラーの線形微分方程式については、直接解を求めることで線形微分方程式の解が係数関数の連続な区間上で存在し連続であることがわかる。本節では線形微分方程式系の解の存在区間について議論する。以下の証明では、多くの数学分野で広く用いられているGronwallの不等式を使用する。それには多くの異なる形式があるが、以下はその中でも比較的基礎的なものである。

命題 40 $c(t),\phi(t),g(t)$ が $[a,b]$ 上の連続関数であり、かつ $g(t)\ge 0, c'(t)\ge 0$ ($t\in[a,b]$) であると仮定する。もし

$$\phi(t)\le c(t)+\int_{a}^{t}g(s)\phi(s)ds, \quad t\in[a,b] \quad \text{(4.1.3)}$$

ならば、

$$\phi(t)\le c(t)e^{\int_{a}^{t}g(s)ds}, \quad t\in[a,b] \quad \text{(4.1.4)}$$

が成り立つ。

証明

$\Phi(t):=c(t)+\int_{a}^{t}g(s)\phi(s)ds$ とおくと、

$$\Phi'(t)=c'(t)+g(t)\phi(t)\le c'(t)+g(t)\Phi(t)$$

となる。したがって、

$$\left(\Phi(t)e^{-\int_{a}^{t}g(s)ds}\right)'\le c'(t)e^{-\int_{a}^{t}g(s)ds}\le c'(t)$$

である。両辺を $a$ から $t$ まで積分すると

$$\Phi(t)e^{-\int_{a}^{t}g(s)ds}-\Phi(a)\le c(t)-c(a)$$

となる。$\Phi(a)=c(a)$ であるから、上式と(4.1.3)より(4.1.4)が得られる。

4.1.1 線形微分方程式系の解の存在区間

定理 41 $A(x), f(x)\in C(J)$、$ (x_{0},y_{0})\in J\times\mathbb{R}^{n}$ とする。このとき、微分方程式系(4.1.1)の初期条件 $y(x_{0})=y_{0}$ を満たす解は $J$ 上に一意に存在し、かつ連続微分可能である。

証明

微分方程式系(4.1.1)の右辺の関数 $F(x,y):=A(x)y+f(x)$ は $J\times\mathbb{R}^{n}$ 上で連続であり、かつ $y$ に関するヤコビ行列 $A(x)$ も連続である。したがって、定理18（の連立系版）より、初期値問題の解は $x_{0}$ を含むある区間 $I=(\alpha_{0},\beta_{0})\subset J$ 上に一意に存在し、連続微分可能である。ここで $I$ は存在区間である。この解を $y=w(x)$ と記す。
$I=J$ であることを証明する。背理法を用いる。$I\ne J$ であれば、一般性を失わず $\beta_{0}<\beta$ と仮定できる。$x\rightarrow\beta_{0}^{-}$ のとき $w(x)$ が有界であることを示し、$I$ が（最大の）存在区間であることと矛盾することを導く。
$w(x)$ が微分方程式系(4.1.1)の解であることから、

$$w(x)-w(x_{0})=\int_{x_{0}}^{x}A(s)w(s)ds+\int_{x_{0}}^{x}f(s)ds, \quad x\in[x_{0},\beta_{0}) \quad \text{(4.1.5)}$$

となる。$A(x)$ と $f(x)$ は $[x_{0},\beta_{0}]$ 上で連続であるため、$A_{0}:=\max_{1\le i,j\le n}\{\max_{x\in[x_{0},\beta_{0}]}|a_{ij}(x)|\}<\infty$、$B_{0}:=\max_{1\le i\le n}\{\max_{x\in[x_{0},\beta_{0}]}|f_{i}(x)|\}<\infty$ とおく。
$\psi(x)=\|w(x)\|:=|w_{1}(x)|+\dots+|w_{n}(x)|$ とおく。(4.1.5)より、$w(x)$ の各成分 $w_{i}(x)$ は

$$|w_{i}(x)|\le A_{0}\int_{x_{0}}^{x}\psi(s)ds+B_{0}(\beta_{0}-x_{0})+|w_{i}(x_{0})|, \quad x\in[x_{0},\beta_{0})$$

を満たす。$c:=nB_{0}(\beta_{0}-x_{0})+\psi(x_{0})\ge 0$ とおくと、

$$\psi(x)\le c+\int_{x_{0}}^{x}nA_{0}\psi(s)ds, \quad x\in[x_{0},\beta_{0})$$

となる。したがってGronwallの不等式より

$$\psi(x)\le ce^{nA_{0}(x-x_{0})}, \quad x\in[x_{0},\beta_{0})$$

となる。ゆえに

$$\lim_{x\rightarrow\beta_{0}^{-}}\|w(x)\|=\lim_{x\rightarrow\beta_{0}^{-}}\psi(x)\le ce^{nA_{0}(\beta_{0}-x_{0})}<\infty$$

である。$w(x)$ は $x\rightarrow\beta_{0}^{-}$ で有界であるから、$\beta_{0}$ を超えて解を延長でき、これは $I=(\alpha_{0},\beta_{0})$ が $(x_{0},y_{0})$ を通る解 $w(x)$ の最大の存在区間であることと矛盾する。この矛盾は、微分方程式系(4.1.1)の $(x_{0},y_{0})$ を通る解の存在区間が $J$ であることを示している。

4.1.2 線形微分方程式系の一般解の構造

区間 $J$ 上で定義された $n$ 次元ベクトル関数 $y_{1}(x),\dots,y_{k}(x)$ ($k\in\mathbb{N}$) について定義する。
(1) $J$ 上で線形従属であるとは、少なくとも1つがゼロでない定数 $c_{1},\dots,c_{k}$ が存在して $c_{1}y_{1}(x)+\dots+c_{k}y_{k}(x)\equiv 0$ ($x\in J$) となることである。
(2) $J$ 上で線形独立であるとは、$c_{1}y_{1}(x)+\dots+c_{k}y_{k}(x)\equiv 0$ ($x\in J$) ならば必ず $c_{1}=\dots=c_{k}=0$ となることである。
以下の結果は線形微分方程式系の一般解の構造を与える。

定理 42 $A(x), f(x)$ が開区間 $J$ 上で連続であると仮定する。このとき以下の結論が成り立つ。
(a) 線形斉次微分方程式系(4.1.2)のすべての解からなる集合は、ベクトルの加法とスカラー乗法のもとで $n$ 次元の線形空間を構成する。
(b) $\tilde{y}_{1}(x),\dots,\tilde{y}_{n}(x)$ が線形斉次微分方程式系(4.1.2)の線形独立な解であり、$y^{*}(x)$ が線形非斉次微分方程式系(4.1.1)の一つの解であるとする。このとき、($b_{1}$) 線形斉次微分方程式系(4.1.2)の一般解は $y(x)=c_{1}\tilde{y}_{1}(x)+\dots+c_{n}\tilde{y}_{n}(x)$ ($x\in J$) である。ここで $c_{1},\dots,c_{n}$ は任意の定数であり、これは微分方程式系(4.1.2)のすべての解を含む。($b_{2}$) 線形非斉次微分方程式系(4.1.1)の一般解は $y(x)=c_{1}\tilde{y}_{1}(x)+\dots+c_{n}\tilde{y}_{n}(x)+y^{*}(x)$ ($x\in J$) である。ここで $c_{1},\dots,c_{n}$ は任意の定数であり、これは微分方程式系(4.1.1)のすべての解を含む。

証明

(a) $S$ を線形斉次微分方程式系(4.1.2)のすべての解からなる集合とする。$\forall y_{1}(x),y_{2}(x)\in S$、$\forall c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}$ に対して $c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)\in S$ となることは容易に検証でき、$S$ は線形空間である。
まず、$S$ が $n$ 個の線形独立な要素を含むこと、すなわち微分方程式系(4.1.2)が $J$ 上に $n$ 個の線形独立な解を持つことを証明する。$x_{0}\in J$ を固定する。$e_{j}$ ($j=1,\dots,n$) を第 $j$ 成分が1でそれ以外が0の $n$ 次元単位ベクトルとする。定理41より、線形斉次微分方程式系(4.1.2)の初期条件 $y(x_{0})=e_{j}$ を満たす解は $J$ 上に一意に存在し、連続微分可能である。これを $\tilde{y}_{j}(x)$ ($x\in J, j=1,\dots,n$) と記す。すると $\tilde{y}_{1}(x),\dots,\tilde{y}_{n}(x)$ は $J$ 上で線形独立である。実際、$c_{1}\tilde{y}_{1}(x)+\dots+c_{n}\tilde{y}_{n}(x)\equiv 0$ ($x\in J$) であれば、$c_{1}e_{1}+\dots+c_{n}e_{n}=c_{1}\tilde{y}_{1}(x_{0})+\dots+c_{n}\tilde{y}_{n}(x_{0})=0$ となる。この線形斉次代数方程式系は零解 $c_{1}=\dots=c_{n}=0$ のみをもつ。これにより、$S$ の中に $n$ 個の線形独立な解ベクトルが存在することが証明された。
次に、$S$ の任意の要素が $\tilde{y}_{1}(x),\dots,\tilde{y}_{n}(x)$ によって $J$ 上で線形表現できることを証明する。$y(x)$ を微分方程式系(4.1.2)の $J$ 上の任意の解とする。$y_{0}:=y(x_{0})$ とおく。$c_{10},\dots,c_{n0}$ を線形非斉次代数方程式系 $c_{1}e_{1}+\dots+c_{n}e_{n}=y_{0}$ の一意の解とすると、解の一意性から $y(x)=c_{10}\tilde{y}_{1}(x)+\dots+c_{n0}\tilde{y}_{n}(x)$ ($x\in J$) となる。これらはどちらも線形斉次微分方程式系(4.1.2)の解であり、かつ同じ初期条件を満たすためである。これにより、$S$ が $n$ 次元の線形空間であることが証明された。
(b) ($b_{1}$) の証明は (a) から容易に得られる。($b_{2}$) は直接代入して検証することで、任意の定数 $c_{1},\dots,c_{n}$ に対して関数 $w(x,c)=c_{1}\tilde{y}_{1}(x)+\dots+c_{n}\tilde{y}_{n}(x)+y^{*}(x)$ ($x\in J$) が線形非斉次微分方程式系(4.1.1)の解であることがわかる。ここで $c=(c_{1},\dots,c_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ である。また $\frac{\partial w}{\partial c}=(\tilde{y}_{1}(x),\dots,\tilde{y}_{n}(x))$ であるから、定数ベクトルは独立であり、$w(x,c)$ は線形微分方程式系(4.1.1)の一般解である。これが線形非斉次微分方程式系(4.1.1)のすべての解を含むことを示す。$y(x)$ ($x\in J$) を微分方程式系(4.1.1)の一つの解とすると、$y(x)-y^{*}(x)$ は線形斉次微分方程式系(4.1.2)の解である。(a)より、$c_{1},\dots,c_{n}$ が存在して $y(x)-y^{*}(x)=c_{1}\tilde{y}_{1}(x)+\dots+c_{n}\tilde{y}_{n}(x)$ ($x\in J$) となる。これで証明が完了した。

注記定理42(a)の証明において、ベクトル群 $e_{1},\dots,e_{n}$ は任意の $n$ 個の線形独立な定数ベクトル群で置き換えることができる。定理42は、$n$ 次元線形斉次微分方程式系(4.1.2)の $n$ 個の線形独立な解の存在を保証している。線形斉次微分方程式系(4.1.2)の任意の $n$ 個の線形独立な解をその基本解系と呼ぶ。

例 4.1 次の斉次微分方程式系

$$\dot{y}_{1}=(\tan x+1)y_{1}+(\sin 2x)^{2}y_{2}, \quad \dot{y}_{2}=(1-\cos x)y_{1}-e^{x}y_{2}$$

は、係数がすべて $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上で連続であるから、この区間上に連続微分可能な基本解系を持つ。

$n$ 個の解が線形独立であるかどうかを簡潔な方法で判定するにはどうすればよいか。

$$\begin{aligned}& y_{1}(x)=(y_{11},\dots,y_{n1})^{T},\dots,\\ & y_{n}(x)=(y_{1n},\dots,y_{nn})^{T}\end{aligned}$$

を線形斉次微分方程式系(4.1.2)の $n$ 個の解とする。
(1) 行列関数 $Y(x)=(y_{1}(x),\dots,y_{n}(x))$ を微分方程式系(4.1.2)の解行列と呼ぶ。
(2) $y_{1}(x),\dots,y_{n}(x)$ が線形独立であるとき、$Y(x)$ を微分方程式系(4.1.2)の基本解行列と呼ぶ。
(3) 解行列の行列式 $\det Y(x)$ を解系のロンスキアンと呼び、$W(x)$ と記す。

命題 43 線形斉次微分方程式系(4.1.2)の解系について、以下の結論が成り立つ。
(a) 微分方程式系(4.1.2)の解系が線形従属であるための必要十分条件は、$W(x)\equiv 0$ ($x\in J$) となることである。
(b) 微分方程式系(4.1.2)の解系が線形独立であるための必要十分条件は、$W(x)\ne 0$ ($x\in J$) となることである。

証明

まず、任意の $x_{0}\in J$ に対して $W(x)=W(x_{0})e^{\int_{x_{0}}^{x}\text{tr}A(s)ds}$ （リウヴィルの公式と呼ばれる）が成り立つことを証明する。ここで $\text{tr}A(x)=a_{11}(x)+\dots+a_{nn}(x)$ は行列関数 $A(x)$ のトレースである。実際、$W(x)$ を微分し、行列式の微分の法則を用いると、

$$\frac{dW(x)}{dx}=(\text{tr}A(x))W(x)$$

となる。この $W$ に関する変数分離形方程式を $x_{0}$ から $x$ まで積分すれば、リウヴィルの公式が得られる。
リウヴィルの公式は、解系のロンスキアンが $J$ 上で常にゼロになるか、常にゼロにならないかのいずれかであることを示している。
(a) 必要性は明らかである。十分性を示す。仮定より、$x_{0}\in J$ に対して $W(x_{0})=0$ である。したがって、解系 $y_{1}(x),\dots,y_{n}(x)$ は $x_{0}$ において線形従属であり、少なくとも1つがゼロでない定数 $c_{1},\dots,c_{n}$ が存在して $c_{1}y_{1}(x_{0})+\dots+c_{n}y_{n}(x_{0})=0$ となる。$\tilde{y}(x)=c_{1}y_{1}(x)+\dots+c_{n}y_{n}(x)$ とおくと、$\tilde{y}(x)$ は線形斉次微分方程式系(4.1.2)の解であり、初期条件 $\tilde{y}(x_{0})=0$ を満たす。明らかに $\tilde{y}(x)\equiv 0$ ($x\in J$) も線形斉次微分方程式系(4.1.2)の解であるから、初期値問題の解の一意性により、$c_{1}y_{1}(x)+\dots+c_{n}y_{n}(x)\equiv 0$ ($x\in J$) となる。これで命題(a)が証明された。
(b) 十分性は明らかであり、必要性は背理法と(a)を用いて証明できる。

例 4.2 命題43を用いて、関数群

$$y_{1}(x)=\begin{pmatrix}1\\ x\end{pmatrix}, \quad y_{2}(x)=\begin{pmatrix}x\\ x^{3}\end{pmatrix} \quad \text{(4.1.9)}$$

がある2次元線形斉次微分方程式系の $\mathbb{R}$ 上の2つの解であるかどうかを判定せよ。

解. $W(x)=\det\begin{pmatrix}1 & x \\ x & x^{3}\end{pmatrix}=x^{3}-x^{2}$ は $\mathbb{R}$ 上でゼロになる点もゼロにならない点も両方持つため、(4.1.9)の関数群はどのような2次元線形斉次微分方程式系の $\mathbb{R}$ 上の解にもなり得ない。

系 44 $\Phi(x)$ が線形斉次微分方程式系(4.1.2)の一つの基本解行列であるとする。このとき以下の結論が成り立つ。
(a) $y(x)=\Phi(x)c$ は微分方程式系(4.1.2)の一般解である。ここで $c\in\mathbb{R}^{n}$ は任意の定数ベクトルである。
(b) $C$ が $n$ 次非特異定数行列であれば、$\Phi(x)C$ は微分方程式系(4.1.2)の基本解行列である。
(c) $\Psi(x)$ も微分方程式系(4.1.2)の一つの基本解行列であれば、非特異な $n$ 次定数行列 $C$ が存在して $\Psi(x)=\Phi(x)C$ となる。

定理 45 $\Phi(x)$ が線形斉次微分方程式系(4.1.2)の基本解行列であるとする。このとき、線形非斉次微分方程式系(4.1.1)の一般解は

$$y(x)=\Phi(x)\left(c+\int_{x_{0}}^{x}\Phi^{-1}(s)f(s)ds\right) \quad \text{(4.1.10)}$$

である。ここで $c\in\mathbb{R}^{n}$ は任意の定数ベクトルである。

証明

(4.1.10)が線形非斉次微分方程式系(4.1.1)の解であり、$c$ が独立な定数ベクトルであることは直接検証できるため、(4.1.10)は線形非斉次微分方程式系の一般解である。
以下に(4.1.10)の導出過程を示す。線形斉次微分方程式系(4.1.2)の一般解 $y(x)=\Phi(x)c$ の任意の定数ベクトル $c$ を $x$ の関数に置き換える。すなわち $y^{*}(x):=\Phi(x)c(x)$ とする。これを微分方程式系(4.1.1)に代入して整理すると、$\Phi(x)c'(x)=f(x)$、すなわち $c'(x)=\Phi^{-1}(x)f(x)$ を得る。この微分方程式を $x_{0}$ から $x$ まで積分すると、

$$c(x)=\int_{x_{0}}^{x}\Phi^{-1}(s)f(s)ds+c$$

となる。ここで $c$ は積分定数である。したがって、線形非斉次微分方程式系(4.1.1)は解 $y^{*}(x)=\Phi(x)\int_{x_{0}}^{x}\Phi^{-1}(s)f(s)ds$ と一般解(4.1.10)を持つ。

注記定理45の証明過程において、線形斉次微分方程式系(4.1.2)の一般解における任意の定数ベクトルを $x$ に関する関数に変換することで線形非斉次微分方程式系(4.1.1)の一般解を求めた。この方法を定数変化法と呼び、一般解の公式(4.1.10)を定数変化法の公式と呼ぶ。一般解の公式(4.1.10)から、線形微分方程式系(4.1.1)の初期条件 $y(x_{0})=y_{0}$ を満たす初期値問題の解の定数変化法の公式 $y(x)=\Phi(x)\left(\Phi^{-1}(x_{0})y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}\Phi^{-1}(s)f(s)ds\right)$ が容易に求められる。定数変化法の公式は非線形微分方程式系にも適用できる。$A(x)$ が $J$ 上で連続であり、$\Phi(x)$ が(4.1.2)の基本解行列であるとする。$f(x,y)$ が $J\times\mathbb{R}^{n}$ 上で連続であれば、初期値問題 $y'=A(x)y+f(x,y), y(x_{0})=y_{0}$ の解 $y=w(x)$ は積分方程式 $w(x)=\Phi(x)\left(\Phi^{-1}(x_{0})y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}\Phi^{-1}(s)f(s,w(s))ds\right)$ を満たす。

上記の定理は、線形非斉次微分方程式系を解くには、まず対応する線形斉次微分方程式系の基本解行列を求める必要があることを示している。一般的に、線形斉次微分方程式系の基本解行列を求めることは非常に困難である。次節では、定数係数線形斉次微分方程式系の基本解行列の求め方を示す。
以下に、線形非斉次微分方程式系を解く簡単な例を挙げる。

例 4.3 次の2次元線形非斉次微分方程式系の初期値問題を解け。

$$\begin{aligned}x'(t) &= -\frac{2}{t}x+1, \quad x(1)=\frac{1}{3} \\ y'(t) &= \left(1+\frac{2}{t}\right)x+y-1, \quad y(1)=-\frac{1}{3}\end{aligned}$$

解. 線形斉次微分方程式系

$$x'(t)=-\frac{2}{t}x, \quad y'(t)=\left(1+\frac{2}{t}\right)x+y$$

の第1の方程式からまず $x=c_{1}t^{-2}$ を解き、次に第2の方程式に代入して $y=-c_{1}t^{-2}+c_{2}e^{t}$ を解く（または $x'+y'=x+y$ を用いて $y$ を求める）。これにより、線形斉次微分方程式系の基本解行列

$$\Phi(t)= \begin{pmatrix} t^{-2} & 0 \\ -t^{-2} & e^{t} \end{pmatrix}$$

が得られる。ゆえに、元の線形非斉次微分方程式系の初期値問題の解は

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} =\Phi(t)\left(\Phi^{-1}(1)\begin{pmatrix}3^{-1}\\ -3^{-1}\end{pmatrix}+\int_{1}^{t}\begin{pmatrix}s^{2} & 0\\ e^{-s} & e^{-s}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}ds\right) =\begin{pmatrix}\frac{1}{3}t\\ -\frac{1}{3}t\end{pmatrix}$$

となる。

注記上記の例の求解過程では線形微分方程式系の定数変化法の公式を用いることが期待されるが、実際にはこの例は比較的簡単であるため、読者は満たすべき初期値問題から直接 $x(t)$ を解き、それを第2の方程式に代入して $y$ に関する初期値問題を解くことができる。

以下の例は、これまでの結論を微分方程式系の近似解を求める際に総合的に応用したものである。

例 4.4 $k\in\mathbb{N}\cup\{\infty,\omega\}$ かつ $k\ge 2$ に対し、微小パラメータ $\epsilon$ を含む $C^{k}$ 級の微分方程式系の初期値問題を考える。

$$x'=f(t,x,\epsilon), \quad x(0)=z \quad \text{(4.1.11)}$$

ここで $f(t,x,\epsilon)\in C^{k}(\mathbb{R}\times\Omega\times(-\delta,\delta),\mathbb{R}^{n})$、$\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ は開領域、$\delta>0$ は与えられた定数、$z\in\Omega$ は初期値である。仮定およびPicardの定理より、初期値問題

$$x_{0}'=f(t,x_{0},0), \quad x_{0}(0)=z \quad \text{(4.1.12)}$$

は一意な連続微分可能な解を持つ。この解が明示的な表現 $x=x_{0}(t,z)$ を持つならば、初期値問題(4.1.11)の高次近似解を求めることができる。実際、微分方程式系(4.1.11)の右辺を $\epsilon$ で展開すると

$$x'=f_{0}(t,x)+f_{1}(t,x)\epsilon+f_{2}(t,x)\epsilon^{2}+O(\epsilon^{3}), \quad x(0)=z \quad \text{(4.1.13)}$$

となる。$x(t,z,\epsilon)$ を初期値問題(4.1.13)の解とする。解のパラメータに対する連続依存性より、$x(t,z,\epsilon)$ を $\epsilon$ で展開できる。

$$x(t,z,\epsilon)=x_{0}(t,z)+x_{1}(t,z)\epsilon+x_{2}(t,z)\epsilon^{2}+O(\epsilon^{3}) \quad \text{(4.1.14)}$$

(4.1.14)を(4.1.13)に代入し、$\epsilon$ の同じ次数の項の係数を比較すると

$$\begin{aligned}x_{0}'(t,z) &= f_{0}(t,x_{0}(t,z)), \quad x_{0}(0,z)=z \quad \text{(4.1.15)} \\ x_{1}'(t,z) &= \partial_{x}f_{0}(t,x_{0}(t,z))x_{1}(t,z)+f_{1}(t,x_{0}(t,z)), \quad x_{1}(0,z)=0 \quad \text{(4.1.16)}\end{aligned}$$

が得られる。仮定より、初期値問題(4.1.15)は解の明示的な表現 $x_{0}(t,z)$ を持つ。微分方程式系(4.1.16)の斉次部分

$$x_{1}'(t,z)=\partial_{x}f_{0}(t,x_{0}(t,z))x_{1}(t,z)$$

は、解 $x_{0}(t,z)$ に沿った微分方程式系(4.1.15)の変分方程式である。これは基本解行列を持ち、それを $\Phi(t)$ と記し $\Phi(0)=E$ を満たすとする。定数変化法を利用すると、線形微分方程式系(4.1.16)の解の明示的な表現

$$x_{1}(t,z)=\Phi(t)\int_{0}^{t}\Phi^{-1}(s)f_{1}(s,x_{0}(s,z))ds$$

が得られる。このようにして微分方程式系の初期値問題(4.1.11)の1次近似解が得られる。上記の方法と同様に、微分方程式系(4.1.11)の右辺の関数が十分に滑らかであれば、高次近似解を得ることができる。

4.1.3 高階線形微分方程式の一般解の構造

高階線形微分方程式は線形微分方程式系に変換できるが、高階線形微分方程式自体の特徴から、後の応用の便宜上、本節で単独に議論する。
$n$ 階線形微分方程式

$$y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(x)y'+a_{n}(x)y=f(x), \quad x\in J \quad \text{(4.1.17)}$$

について考える。
(1) $f(x)\not\equiv 0$ ($x\in J$) のとき、非斉次であるという。
(2) $f(x)\equiv 0$ ($x\in J$) のとき、斉次であるという。すなわち

$$y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}(x)y'+a_{n}(x)y=0, \quad x\in J \quad \text{(4.1.18)}$$

である。
高階線形微分方程式(4.1.17)は、変換 $y_{1}=y(x), y_{2}=y'(x), \dots, y_{n}=y^{(n-1)}(x)$ の下で、線形微分方程式系

$$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x) \quad \text{(4.1.19)}$$

に変換できる。ここで

$$A(x)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_{n}(x) & -a_{n-1}(x) & -a_{n-2}(x) & \dots & -a_{1}(x) \end{pmatrix}, \quad y(x)= \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n-1} \\ y_{n} \end{pmatrix}, \quad f(x)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(x) \end{pmatrix}$$

である。注記 $n$ 階線形微分方程式(4.1.17)と $n$ 次元線形微分方程式系(4.1.19)の解の間には、以下の既知の関係がある。
(1) $y=\phi(x)$ が(4.1.17)の解であることと、$y=(\phi(x),\phi'(x),\dots,\phi^{(n-1)}(x))^{T}$ が(4.1.19)の解であることは同値である（$T$ はベクトルの転置を表す）。
(2) $\phi_{1}(x),\dots,\phi_{n}(x)$ が(4.1.17)の線形独立な解であることと、$n$ 個のベクトルが(4.1.19)の線形独立な解であることは同値である。
上記の関係に鑑み、線形斉次微分方程式(4.1.18)の解系 $\phi_{1}(x),\dots,\phi_{n}(x)$ のロンスキアンを以下のように定義できる。

$$W(x)=\det \begin{pmatrix} \phi_{1}(x) & \phi_{2}(x) & \dots & \phi_{n}(x) \\ \phi_{1}'(x) & \phi_{2}'(x) & \dots & \phi_{n}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{1}^{(n-1)}(x) & \phi_{2}^{(n-1)}(x) & \dots & \phi_{n}^{(n-1)}(x) \end{pmatrix}$$

命題43の証明および(4.1.19)の特殊な形式を用いると、$x_{0}\in J$ に対して

$$W(x)=W(x_{0})e^{-\int_{x_{0}}^{x}a_{1}(s)ds}, \quad x\in J$$

が得られる。これをリウヴィルの公式と呼ぶ。
線形微分方程式系の解の理論から、以下の結論が得られる。

定理 46 $n$ 階線形非斉次微分方程式(4.1.17)および線形斉次微分方程式(4.1.18)について、以下の結論が成り立つ。
(a) $a_{1}(x),\dots,a_{n}(x),f(x)\in C(J)$ と仮定すると、$\forall(x_{0},y_{0},y_{1},\dots,y_{n-1})\in J\times\mathbb{R}^{n}$ に対して、微分方程式(4.1.17)の初期条件 $y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0})=y_{1}, \dots, y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}$ を満たす解は $J$ 上に一意に存在し、連続微分可能である。
(b) $\phi_{1}(x),\dots,\phi_{n}(x)$ を斉次微分方程式(4.1.18)の解とする。これらが $J$ 上で線形独立であるための必要十分条件は、それらのロンスキアンが $W(x)\ne 0$ ($x\in J$) となることである。このとき、$\phi_{1}(x),\dots,\phi_{n}(x)$ を斉次微分方程式(4.1.18)の基本解系と呼ぶ。
(c) $\phi_{1}(x),\dots,\phi_{n}(x)$ を斉次微分方程式(4.1.18)の基本解系とする。
($c_{1}$) 斉次微分方程式(4.1.18)の一般解は $y(x)=c_{1}\phi_{1}(x)+\dots+c_{n}\phi_{n}(x)$ ($x\in J$) である。ここで $c_{1},\dots,c_{n}$ は任意の定数である。
($c_{2}$) 非斉次微分方程式(4.1.17)の一般解は $y(x)=c_{1}\phi_{1}(x)+\dots+c_{n}\phi_{n}(x)+\phi^{*}(x)$ ($x\in J$) である。ここで $c_{1},\dots,c_{n}$ は任意の定数であり、$\phi^{*}$ は(4.1.17)の一つの解である。$\phi^{*}$ としては、$\phi_{1}(x),\dots,\phi_{n}(x)$ を用いて次のものがとれる。

$$\phi^{*}(x)=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}(x)\int_{x_{0}}^{x}\frac{W_{k}(s)}{W(s)}f(s)ds$$

であり、$W_{k}(x)$ は $W(x)$ の $(n,k)$ 成分の余因子である。

証明

(a)、(b) および ($c_{1}$) の証明は、微分方程式系の解の理論から容易に得られる。読者自身で完成させてほしい。
($c_{2}$) を証明する。

$$\Phi(x):= \begin{pmatrix} \phi_{1}(x) & \phi_{2}(x) & \dots & \phi_{n}(x) \\ \phi_{1}'(x) & \phi_{2}'(x) & \dots & \phi_{n}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{1}^{(n-1)}(x) & \phi_{2}^{(n-1)}(x) & \dots & \phi_{n}^{(n-1)}(x) \end{pmatrix}$$

とおくと、微分方程式系(4.1.19)の一般解は

$$y(x)= \begin{pmatrix} y(x) \\ y'(x) \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(x) \end{pmatrix} =\Phi(x)c+\Phi(x)\int_{x_{0}}^{x}\Phi^{-1}(s)f(s)ds$$

となる。以下、$y(x)$ の式を求める。明らかに $\Phi(x)c$ の第1行の成分は $c_{1}\phi_{1}(x)+\dots+c_{n}\phi_{n}(x)$ である。逆行列の余因子による表現から

$$\Phi^{-1}(s)=\frac{1}{W(s)} \begin{pmatrix} * & \dots & * & W_{1}(s) \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ * & \dots & * & W_{n}(s) \end{pmatrix}$$

となる。ここで $*$ は明示的な表現が与えられていない量である。したがって

$$\Phi^{-1}(s)f(s)=\frac{1}{W(s)} \begin{pmatrix} f(s)W_{1}(s) \\ \vdots \\ f(s)W_{n}(s) \end{pmatrix}$$

となる。ゆえに $\Phi(x)\int_{x_{0}}^{x}\Phi^{-1}(s)f(s)ds$ の第1行の成分は $\phi^{*}(x)$ となる。定理が証明された。

注記 $n=2$ のとき、微分方程式(4.1.17)の一般解は次のように書ける。

$$y(x)=c_{1}\phi_{1}(x)+c_{2}\phi_{2}(x)+\int_{x_{0}}^{x}\frac{\phi_{1}(s)\phi_{2}(x)-\phi_{2}(s)\phi_{1}(x)}{\phi_{1}(s)\phi_{2}'(s)-\phi_{2}(s)\phi_{1}'(s)}f(s)ds \quad \text{(4.1.20)}$$

$n$ 階線形非斉次微分方程式(4.1.17)の一般解は、斉次微分方程式(4.1.18)の一般解から定数変化法を用いても得られる。

$$\phi(x):=c_{1}(x)\phi_{1}(x)+\dots+c_{n}(x)\phi_{n}(x)$$

とおく。$\phi(x)$ を順次微分し、$\phi^{(k)}(x)$ ($k=1,\dots,n-1$) において

$$c_{1}'(x)\phi_{1}^{(k-1)}(x)+\dots+c_{n}'(x)\phi_{n}^{(k-1)}(x)=0, \quad k=1,\dots,n-1 \quad \text{(4.1.21)}$$

とおき、$\phi^{(k)}(x)$ ($k=0,1,\dots,n$) を線形非斉次微分方程式(4.1.17)に代入して整理すると

$$c_{1}'(x)\phi_{1}^{(n-1)}(x)+\dots+c_{n}'(x)\phi_{n}^{(n-1)}(x)=f(x) \quad \text{(4.1.22)}$$

となる。$n$ 次線形非斉次代数方程式系(4.1.21)および(4.1.22)から $c_{1}'(x),\dots,c_{n}'(x)$ を解き、積分すれば、$n$ 階線形非斉次微分方程式(4.1.17)の一般解が得られる。

例 4.5 $y=\phi(x)$ が2階微分方程式

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0, \quad x\in(a,b) \quad \text{(4.1.23)}$$

の非ゼロ解（ここで非ゼロ解とは恒等的にゼロではない解を指す）であり、かつ $p(x), q(x)$ が $(a,b)$ 上で連続であるとする。このとき
(a) $\phi(x)$ は $(a,b)$ の任意の閉部分区間上で最大でも有限個の零点しか持たず、$\phi(x)$ の零点においてその導関数はゼロではない。
(b) $\phi(x)\ne 0$ ($x\in(a,b)$) であれば、微分方程式(4.1.23)の一般解は

$$y(x)=\phi(x)\left(c_{1}+c_{2}\int_{x_{0}}^{x}\frac{1}{\phi^{2}(s)}e^{-\int_{x_{0}}^{s}p(t)dt}ds\right)$$

である。ここで $c_{1}, c_{2}$ は任意の定数である。

証明. 仮定より、微分方程式(4.1.23)の解は $(a,b)$ 上で連続微分可能である。
(a) 背理法を用いる。$\phi(x)$ が $(a,b)$ のある閉部分区間上に無数に多くの零点を持つとすると、$\phi(x)$ のこれらの零点には少なくとも1つの集積点が必ず存在する。それを $x^{*}$ と記す。$\{x_{n}\}$ を $\phi(x)$ の零点とし、$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x^{*}$ とすると、

$$\phi(x^{*})=\lim_{n\rightarrow\infty}\phi(x_{n})=0, \quad \phi'(x^{*})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\phi(x_{n})-\phi(x^{*})}{x_{n}-x^{*}}=0$$

となる。解の一意性より $\phi(x)\equiv 0$ となり、仮定と矛盾する。したがって、$\phi(x)$ は $(a,b)$ のいかなる閉部分区間上でも最大で有限個の零点しか持たない。
$x^{*}$ が $\phi(x)$ の零点であれば、$\phi'(x^{*})\ne 0$ である。そうでなければ、解の一意性より $\phi(x)\equiv 0$ ($x\in(a,b)$) となり矛盾する。
(b) $y(x)$ を微分方程式(4.1.23)の任意の解とする。$\phi(x)\ne 0$ ($x\in(a,b)$) であるから、リウヴィルの公式より

$$\phi(x)y'(x)-y(x)\phi'(x)=ce^{-\int_{x_{0}}^{x}p(t)dt} \implies \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{\phi}\right)=\frac{c}{\phi^{2}}e^{-\int_{x_{0}}^{x}p(t)dt}$$

となる。ゆえに

$$\frac{y}{\phi}=c\int_{x_{0}}^{x}\frac{1}{\phi^{2}(s)}e^{-\int_{x_{0}}^{s}p(t)dt}ds+c_{1}$$

である。これにより、微分方程式(4.1.23)の一般解が得られた。証明が完了した。

注記変係数線形斉次微分方程式系と同様に、高階変係数線形斉次微分方程式にも一般的な解法はない。しかし、その1つの非ゼロ解がわかれば、元の高階微分方程式を1階下げることができる。読者は練習として自身で完成させてほしい。
オイラー方程式

$$x^{n}\frac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{1}x^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\dots+a_{n-1}x\frac{dy}{dx}+a_{n}y=0$$

は、独立変数の変換 $x=e^{t}$ によって定数係数線形微分方程式に変換できる。ここで $a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}$ は定数である。

次の2つの節では、定数係数線形微分方程式系と高階線形微分方程式の解法について議論する。

4.2 定数係数線形微分方程式系の解法

定数係数線形微分方程式系

$$\frac{dy}{dx}=Ay+f(x), \quad x\in J=(a,b) \quad \text{(4.2.1)}$$

を考える。ここで $A$ は $n$ 次実定数行列、$f(x)\in C(J)$ である。$n=1$ のとき、$A=a$ と記すと、微分方程式(4.2.1)に対応する斉次微分方程式は一般解 $y=ce^{ax}$ を持つ。$n>1$ のとき、線形非斉次微分方程式系(4.2.1)に対応する線形斉次微分方程式系の一般解にも同様の形式があるだろうか。

4.2.1 行列指数関数と定数係数線形微分方程式系の解

$\mathcal{M}$ を $n$ 次実定数行列の全体からなる集合とする。$\mathcal{M}$ は行列の加法と行列と実数の乗法のもとで1つの線形空間を構成する。$A=(a_{ij})\in\mathcal{M}$ に対し、$A$ のノルムを

$$\|A\|=\sum_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|$$

と定義する。行列のノルムは以下の性質を満たす。$\forall A,B\in\mathcal{M}$、$\forall\lambda\in\mathbb{R}$ に対し、
(1) $\|A\|\ge 0$、$\|A\|=0 \iff A=0$
(2) $\|\lambda A\|=|\lambda|\|A\|$
(3) $\|A+B\|\le \|A\|+\|B\|$
(4) $\|AB\|\le \|A\|\|B\|$、$\|A^{k}\|\le \|A\|^{k}$ ($k\in\mathbb{N}$)
最初の3つの性質は明らかである。4つ目の性質を証明する。$A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$ に対し、

$$c_{ij}:=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

とおくと、$AB=(c_{ij})$ である。したがって

$$\begin{aligned}\|AB\| &= \sum_{i,j=1}^{n}|c_{ij}|\le\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|a_{ik}||b_{kj}|=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|a_{ik}|\sum_{j=1}^{n}|b_{kj}| \\ &\le \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}|a_{ik}|\sum_{k,j=1}^{n}|b_{kj}|=\|A\|\|B\|\end{aligned}$$

となる。さらに $\|A^{k}\|\le \|A^{k-1}\|\|A\|\le \|A\|^{k}$ となる。

命題 47 $A,B\in\mathcal{M}$ に対し、以下の結論が成り立つ。
(a) 行列冪級数

$$E+A+\frac{1}{2!}A^{2}+\dots+\frac{1}{k!}A^{k}+\dots$$

は絶対収束する。その和を $e^{A}$ または $\exp(A)$ と記し、行列指数関数と呼ぶ。
(b) $A, B$ が可換であれば（すなわち $AB=BA$）、$e^{A+B}=e^{A}e^{B}$ である。
(c) 任意の $A\in\mathcal{M}$ に対し、$e^{A}$ は可逆であり $(e^{A})^{-1}=e^{-A}$ である。
(d) 任意の可逆行列 $P\in\mathcal{M}$ に対し、$e^{PAP^{-1}}=Pe^{A}P^{-1}$ である。

証明

(a) $a=\|A\|$ と記すと、

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\|A^{k}\|}{k!}\le\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k}}{k!}<\infty \quad \text{(4.2.2)}$$

となる。行列冪級数

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}, \quad A^{0}=E \quad \text{(4.2.3)}$$

の $(i,j)$ 成分（$i,j\in\{1,\dots,n\}$）は

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}a_{ij}^{(k)} \quad \text{(4.2.4)}$$

となることに注意する。ここで $a_{ij}^{(k)}$ は行列 $A^{k}$ の $(i,j)$ 成分である。$|a_{ij}^{(k)}|\le \|A^{k}\|$ であるため、(4.2.2)より、冪級数(4.2.4)は絶対収束する。これにより、行列冪級数(4.2.3)の中の $n^{2}$ 個の冪級数がすべて絶対収束することが証明され、したがって

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}\in\mathcal{M}$$

となる。
(b) 直接計算すると

$$e^{A+B}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(A+B)^{k}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}A^{i}B^{k-i}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{k}\frac{A^{i}B^{k-i}}{i!(k-i)!}=e^{A}e^{B}$$

となる。ここで $\binom{k}{i}=\frac{k!}{i!(k-i)!}$ であり、最後の等式は冪級数の表現と2つの冪級数の積の $k$ 次斉次式の表現を用いた。
(c) および (d) の証明は容易に得られるため省略する。証明が完了した。

任意の実行列または複素行列 $A$ に対し、以下の結論が成り立つ。

$$\begin{aligned}\det e^{tA} &= 1+t\operatorname{tr} A+O(t^{2}), \quad |t|\ll 1 \\ \det e^{A} &= e^{\operatorname{tr} A}\end{aligned}$$

ここで $\det$ は行列の行列式を表し、$\operatorname{tr}$ は行列のトレースを表す。注: 1つ目の等式は行列式を $t$ についてテイラー展開することで得られ、2つ目の等式は関数 $f(t):=\det e^{tA}$ が $f(t+s)=f(t)f(s)$ を満たすことと1つ目の等式を利用して得られる。

定理 48 定数係数線形微分方程式系について、以下の結論が成り立つ。
(a) 行列指数関数 $Y(x)=e^{xA}$ は定数係数線形斉次微分方程式系

$$\frac{dY}{dx}=AY \quad \text{(4.2.5)}$$

の基本解行列である。
(b) $f(x)\in C(J), x_{0}\in J$ と仮定すると、定数係数線形非斉次微分方程式系(4.2.1)の一般解は

$$y(x)=e^{xA}c+\int_{x_{0}}^{x}e^{(x-s)A}f(s)ds$$

である。ここで $c$ は任意の $n$ 次元定数ベクトルである。また、$(x_{0},y_{0})\in J\times\mathbb{R}^{n}\subset\mathbb{R}^{n+1}$ を通る初期値問題の解は

$$y(x)=e^{(x-x_{0})A}y_{0}+\int_{x_{0}}^{x}e^{(x-s)A}f(s)ds$$

である。

証明

(a) 任意の $x\in\mathbb{R}$ に対し、$I\subset\mathbb{R}$ を $x$ を内点として持つ有界な開区間とする。

$$e^{xA}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}A^{k}}{k!}$$

は $I$ 上で絶対一様収束するため、行列指数関数を項別微分すると

$$\frac{de^{xA}}{dx}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}A^{k}}{(k-1)!}=A\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}A^{k-1}}{(k-1)!}=A e^{xA}$$

となり、すなわち $e^{xA}$ は線形斉次微分方程式系(4.2.5)の解行列である。また $e^{xA}$ は可逆であるから、線形斉次微分方程式系(4.2.5)の基本解行列である。
(b) (a) および線形非斉次微分方程式系の解の定数変化法の公式から直ちに得られる。定理が証明された。

注記定理48は定数係数線形微分方程式系の解法を理論的に解決した。しかし、与えられた $A\in\mathcal{M}$ に対してどのように $e^{xA}$ を求めるかは解決すべき課題である。

4.2.2 定数係数線形斉次微分方程式系の基本解行列の求め方

1. ジョルダン標準形を用いて基本解行列を求める。

$A\in\mathcal{M}$ に対し、線形代数のジョルダン標準形の理論より、非特異行列 $P$（実または複素）が存在して

$$A=PJP^{-1}$$

となる。ここで

$$J=\operatorname{diag}(J_{1},\dots,J_{m})= \begin{pmatrix} J_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & J_{m} \end{pmatrix}, \quad J_{i}=\lambda_{i}E_{n_{i}}+N_{i}= \begin{pmatrix} \lambda_{i} & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{i} & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_{i} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \lambda_{i} \end{pmatrix}$$

であり、$\lambda_{i}$ ($i=1,\dots,m$) は $A$ の固有値、$n_{i}$ は行列 $J_{i}$ の次数、$n_{1}+\dots+n_{m}=n$、$E_{n_{i}}$ は $n_{i}$ 次単位行列である。

$$e^{xA}=Pe^{xJ}P^{-1}=P\operatorname{diag}(e^{xJ_{1}},\dots,e^{xJ_{m}})P^{-1}$$

となる。また $i=1,\dots,m$ に対して

$$\begin{aligned}e^{xJ_{i}} &= e^{x\lambda_{i}E_{n_{i}}}e^{xN_{i}}=e^{\lambda_{i}x}e^{xN_{i}} \\ &= e^{\lambda_{i}x} \begin{pmatrix} 1 & x & \frac{x^{2}}{2!} & \dots & \frac{x^{n_{i}-2}}{(n_{i}-2)!} & \frac{x^{n_{i}-1}}{(n_{i}-1)!} \\ 0 & 1 & x & \dots & \frac{x^{n_{i}-3}}{(n_{i}-3)!} & \frac{x^{n_{i}-2}}{(n_{i}-2)!} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & x \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{pmatrix}\end{aligned}$$

となる。このようにして、基本解行列 $e^{xA}$ の求め方の問題は理論的に解決された。

注記行列指数関数法を用いた基本解行列の求め方、および $e^{xA}P$ もまた基本解行列であることから、線形斉次微分方程式系(4.2.5)は基本解行列 $Pe^{xJ}$ を持つことがわかる。明らかに、その各列ベクトルは $e^{\lambda_{i}x}$ と次数が $n_{i}-1$ 以下の多項式との積で構成される。基本解行列のこの構造は、以下の新しい解法を探るためのアプローチを提供する。

例 4.6 次の定数係数線形非斉次微分方程式系を解け。

$$\frac{dy}{dx}=Ay+f(x), \quad y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}, \quad f(x)=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ x\end{pmatrix}$$

解. $A$ はジョルダン標準形であるため、直接計算すると

$$e^{xA}= \begin{pmatrix} e^{2x} & 0^{T} \\ 0 & e^{-x}\exp\left(x\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{2x} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-x} & 0 \\ 0 & xe^{-x} & e^{-x} \end{pmatrix}$$

となる。したがって定数変化法の公式より、元の方程式の一般解は

$$y(x)=e^{xA}c+\int_{0}^{x}e^{(x-s)A}f(s)ds=e^{xA}c+\begin{pmatrix}0\\ 1-e^{-x}\\ x-xe^{-x}\end{pmatrix}$$

となる。ここで $c$ は任意の3次元定数ベクトルである。

行列指数関数法は定数係数線形微分方程式系の基本解行列の求め方を解決したが、実際の計算は非常に困難である。なぜなら、行列のジョルダン標準形を求めること自体が非常に困難な作業だからである。以下では、計算が容易な別の方法を提供する。

2. 固有値と固有ベクトルを用いて基本解行列を求める。

この方法を説明するために、線形代数の以下の結論が必要となる。

命題 49 $\lambda_{1},\dots,\lambda_{s}$ を行列 $A$ のすべての互いに異なる固有値とし、それらの代数的多重度をそれぞれ $n_{1},\dots,n_{s}$ とし、かつ $n_{1}+\dots+n_{s}=n$ であるとする。このとき
(1) 線形代数方程式系

$$(A-\lambda_{i}E)^{n_{i}}r_{0}^{(i)}=0 \quad \text{(4.2.6)}$$

は $n_{i}$ 個の線形独立な解を持ち、それらを $r_{j0}^{(i)}$ ($j=1,\dots,n_{i}$) と記す。
(2) $n$ 個のベクトル $r_{10}^{(1)},\dots,r_{n_{1}0}^{(1)},\dots,r_{10}^{(s)},\dots,r_{n_{s}0}^{(s)}$ は線形独立である。

定理 50 $\lambda_{1},\dots,\lambda_{s}$ を行列 $A$ のすべての互いに異なる固有値とし、それらの代数的多重度をそれぞれ $n_{1},\dots,n_{s}$ とし、かつ $n_{1}+\dots+n_{s}=n$ であるとする。$r_{10}^{(i)},\dots,r_{n_{i}0}^{(i)}$ を線形斉次代数方程式系(4.2.6)の $n_{i}$ 個の線形独立な解とする ($i=1,\dots,s$)。このとき以下の結論が成り立つ。
(a) $s=n$ であれば $n_{i}=1$ ($i=1,\dots,n$) であり、$r_{10}^{(i)}$ は $\lambda_{i}$ の固有ベクトルとなる。行列関数

$$\Phi(x)=(e^{\lambda_{1}x}r_{10}^{(1)},\dots,e^{\lambda_{n}x}r_{10}^{(n)})$$

は定数係数線形斉次微分方程式系(4.2.5)の基本解行列である。
(b) $s<n$ の場合、$n_{i}>1$, $j=1,\dots,n_{i}$ に対して

$$r_{jl}^{(i)}:=(A-\lambda_{i}E)r_{j,l-1}^{(i)}, \quad l=1,\dots,n_{i}-1$$

とおくと、行列関数

$$\Phi(x)=(e^{\lambda_{1}x}P_{1}^{(1)}(x),\dots,e^{\lambda_{1}x}P_{n_{1}}^{(1)}(x),\dots,e^{\lambda_{s}x}P_{1}^{(s)}(x),\dots,e^{\lambda_{s}x}P_{n_{s}}^{(s)}(x))$$

は定数係数線形斉次微分方程式系(4.2.5)の基本解行列である。ここで

$$P_{j}^{(i)}(x)=\sum_{k=0}^{n_{i}-1}\frac{x^{k}}{k!}r_{jk}^{(i)}, \quad i=1,\dots,s, \quad j=1,\dots,n_{i}$$

である。

証明

(a) 異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立であるため、$\Phi(0)=(r_{10}^{(1)},\dots,r_{10}^{(n)})$ は非特異行列である。また、

$$\frac{d\Phi(x)}{dx}=(e^{\lambda_{1}x}\lambda_{1}r_{10}^{(1)},\dots,e^{\lambda_{n}x}\lambda_{n}r_{10}^{(n)})=(e^{\lambda_{1}x}Ar_{10}^{(1)},\dots,e^{\lambda_{n}x}Ar_{10}^{(n)})=A\Phi(x)$$

となる。これにより、$\Phi(x)$ が定数係数線形斉次微分方程式系(4.2.5)の基本解行列であることが証明された。
(b) 命題49より $\Phi(0)=(r_{10}^{(1)},\dots,r_{n_{1}0}^{(1)},\dots,r_{10}^{(s)},\dots,r_{n_{s}0}^{(s)})$ は非特異である。以下、$e^{\lambda_{i}x}P_{j}^{(i)}(x)$ ($i=1,\dots,s$、$j=1,\dots,n_{i}$) が線形斉次微分方程式系(4.2.5)の解であることを証明するだけでよい。実際、

$$\begin{aligned}\frac{d}{dx}\left(e^{\lambda_{i}x}P_{j}^{(i)}(x)\right) &= \lambda_{i}e^{\lambda_{i}x}\sum_{k=0}^{n_{i}-1}\frac{x^{k}}{k!}r_{jk}^{(i)}+e^{\lambda_{i}x}\sum_{k=1}^{n_{i}-1}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}r_{jk}^{(i)} \\ &= \lambda_{i}e^{\lambda_{i}x}\sum_{k=0}^{n_{i}-1}\frac{x^{k}}{k!}r_{jk}^{(i)}+e^{\lambda_{i}x}\sum_{k=1}^{n_{i}-1}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}(A-\lambda_{i}E)r_{j,k-1}^{(i)} \\ &= \lambda_{i}e^{\lambda_{i}x}\frac{x^{n_{i}-1}}{(n_{i}-1)!}r_{j,n_{i}-1}^{(i)}+e^{\lambda_{i}x}\sum_{k=0}^{n_{i}-2}\frac{x^{k}}{k!}Ar_{jk}^{(i)} \\ &= Ae^{\lambda_{i}x}\sum_{k=0}^{n_{i}-1}\frac{x^{k}}{k!}r_{jk}^{(i)}=Ae^{\lambda_{i}x}P_{j}^{(i)}(x)\end{aligned}$$

となる。ここで3つ目の等式では $\lambda_{i}r_{j,n_{i}-1}^{(i)}=Ar_{j,n_{i}-1}^{(i)}$ を用いた。これは

$$(A-\lambda_{i}E)r_{j,n_{i}-1}^{(i)}=(A-\lambda_{i}E)^{2}r_{j,n_{i}-2}^{(i)}=\dots=(A-\lambda_{i}E)^{n_{i}}r_{j0}^{(i)}=0$$

となるためである。
これにより、$\Phi(x)$ が定数係数線形斉次微分方程式系(4.2.5)の基本解行列であることが証明された。

注記定理50(a)は $n$ 個の互いに異なる固有値を要求しているが、実際のところ証明から次のことがわかる。$n$ 個の線形独立な固有ベクトル $r_{1},\dots,r_{n}$ があり、対応する固有値が $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$（これらは等しくてもよい）である場合、$\Phi(x)=(e^{\lambda_{1}x}r_{1},\dots,e^{\lambda_{n}x}r_{n})$ は微分方程式系(4.2.5)の基本解行列である。
実行列 $A$ が複素固有値 $\lambda_{i}$ を持つ場合、$\lambda_{j}=\overline{\lambda}_{i}$ も固有値となる（横線は共役を表す）。$r_{m0}^{(i)}$、$r_{m0}^{(j)}=\overline{r}_{m0}^{(i)}$ ($m\in\{1,\dots,n_{i}\}$) がそれぞれ線形代数方程式系(4.2.6)の $\lambda_{i}$ と $\lambda_{j}$ に対応する解であると記すと、基本解行列 $\Phi(x)$ は複素行列となる。一方では $e^{xA}=\Phi(x)\Phi^{-1}(0)$ から実基本解行列を得ることができるし、他方では線形斉次微分方程式系(4.2.5)の任意の1組の共役複素解 $e^{\lambda_{i}x}P_{m}^{(i)}(x)$ と $e^{\lambda_{j}x}P_{m}^{(j)}(x)=e^{\overline{\lambda}_{i}x}\overline{P}_{m}^{(i)}(x)$ に対して、この共役複素解の実部と虚部をとることで、すなわち $e^{\lambda_{i}x}P_{m}^{(i)}(x)=u(x)+\sqrt{-1}v(x)$、$e^{\overline{\lambda}_{i}x}\overline{P}_{m}^{(i)}(x)=u(x)-\sqrt{-1}v(x)$ とすることで、線形斉次微分方程式系(4.2.5)の2つの線形独立な実解 $u(x)$ と $v(x)$ を得ることができる。さらに、これら2つの実解を用いて基本解行列の中のこの1組の共役複素解を置き換えれば、実基本解行列を得ることができる。

例 4.7 定数係数線形斉次微分方程式系 $\frac{dy}{dx}=Ay$ の基本解行列を求めよ。

$$A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\ -2&1&3\\ 0&-1&1\end{pmatrix}$$

解. $\det(A-\lambda E)=(2-\lambda)((\lambda-1)^{2}+1)$ であるから、$A$ の固有値は $\lambda_{1}=2, \lambda_{2}=1+\sqrt{-1}, \lambda_{3}=1-\sqrt{-1}$ である。
これらに対応する固有ベクトルはそれぞれ

$$r_{1}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 1\end{pmatrix}, \quad r_{2}=\begin{pmatrix}1\\ -\sqrt{-1}\\ 1\end{pmatrix}, \quad r_{3}=\begin{pmatrix}1\\ \sqrt{-1}\\ 1\end{pmatrix}$$

である。$e^{(1+\sqrt{-1})x}r_{2}$ または $e^{(1-\sqrt{-1})x}r_{3}$ の実部と虚部をとることで、元の方程式の2つの線形独立な実解

$$e^{x}\begin{pmatrix}\cos x\\ \sin x\\ \cos x\end{pmatrix}, \quad e^{x}\begin{pmatrix}\sin x\\ -\cos x\\ \sin x\end{pmatrix}$$

を得る。ゆえに元の斉次微分方程式系は基本解行列

$$\Phi(x)=\begin{pmatrix}2e^{2x}&e^{x}\cos x&e^{x}\sin x\\ -e^{2x}&e^{x}\sin x&-e^{x}\cos x\\ e^{2x}&e^{x}\cos x&e^{x}\sin x\end{pmatrix}$$

を持つ。

例 4.8 定数係数線形斉次微分方程式系 $\frac{dy}{dx}=Ay$ の基本解行列を求めよ。

$$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ -1&2&0&0\\ -2&2&1&0\\ 0&1&0&-1\end{pmatrix}$$

解. $\det(A-\lambda E)=(\lambda+1)(\lambda-1)^{3}$ より、固有値は $\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=1$（代数的多重度3）である。
$\lambda_{1}=-1$ に対する固有ベクトルは $r_{1}=(0,0,0,1)^{T}$ である。
$\lambda_{2}=1$ に対して、線形代数方程式系 $(A-E)^{3}r=0$ の3つの線形独立な解として

$$r_{10}^{(2)}=\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \quad r_{20}^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \quad r_{30}^{(2)}=\begin{pmatrix}4\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$

がとれる。さらに

$$\begin{aligned}r_{11}^{(2)} &= (A-E)r_{10}^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\ 2\\ 4\\ 1\end{pmatrix}, \quad r_{12}^{(2)}=(A-E)r_{11}^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \\ r_{21}^{(2)} &= (A-E)r_{20}^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \\ r_{31}^{(2)} &= (A-E)r_{30}^{(2)}=\begin{pmatrix}-4\\ -4\\ -8\\ -2\end{pmatrix}, \quad r_{32}^{(2)}=(A-E)r_{31}^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

となる。したがって、元の斉次微分方程式系は基本解行列

$$\begin{aligned}\Phi(x) &= (e^{-x}r_{1}, e^{x}(r_{10}^{(2)}+xr_{11}^{(2)}), e^{x}r_{20}^{(2)}, e^{x}(r_{30}^{(2)}+xr_{31}^{(2)})) \\ &= \begin{pmatrix}0&-e^{x}+2xe^{x}&0&4e^{x}-4xe^{x}\\ 0&e^{x}+2xe^{x}&0&-4xe^{x}\\ 0&4xe^{x}&e^{x}&-8xe^{x}\\ e^{-x}&xe^{x}&0&e^{x}-2xe^{x}\end{pmatrix}\end{aligned}$$

を持つ。

定理50を用いて、定数係数線形斉次微分方程式系の解の評価を与える。

系 51 $A\in\mathcal{M}$ とする。$A$ の固有値の実部がすべて負であれば、ある $\rho>0, a>0$ が存在して、$\forall v=(v_{1},\dots,v_{n})^{T}\in\mathbb{R}^{n}$ に対して

$$\|e^{xA}v\|_{2}\le a e^{-\rho x}\|v\|_{2}, \quad x\ge 0$$

となる。ここで $\|v\|_{2}=\sqrt{v_{1}^{2}+\dots+v_{n}^{2}}$ である。

証明

定理50より、$\Phi(x)=(e^{\lambda_{1}x}P_{1}^{(1)}(x),\dots,e^{\lambda_{s}x}P_{n_{s}}^{(s)}(x))$ は斉次微分方程式系(4.2.5)の基本解行列であるから、非特異な定数行列 $C\in\mathcal{M}$ が存在して

$$e^{xA}=\Phi(x)C=:(w_{1}(x),\dots,w_{n}(x))$$

となる。ここで $w_{i}(x)=\sum_{j=1}^{s}P_{ij}(x)e^{\lambda_{j}x}$ ($i=1,\dots,n$) であり、$P_{ij}(x)$ は次数が $n-1$ 以下の $n$ 次元ベクトル値多項式である。
$\lambda_{j}=\alpha_{j}+\sqrt{-1}\beta_{j}$、$\alpha=\max_{1\le j\le s}\alpha_{j}$ と記す。三角不等式とコーシーの不等式により

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}\|w_{i}(x)\|_{2}^{2} &\le \sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{s}\|P_{ij}(x)e^{\lambda_{j}x}\|_{2}\right)^{2} = \sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{s}\|P_{ij}(x)\|_{2}e^{\alpha_{j}x}\right)^{2} \\ &\le \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{s}\|P_{ij}(x)\|_{2}^{2}\sum_{j=1}^{s}e^{2\alpha_{j}x} \le n e^{2\alpha x}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{s}\|P_{ij}(x)\|_{2}^{2} \\ &\le n e^{2\alpha x}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{s}nM^{2}\left(\sum_{k=0}^{n-1}|x|^{k}\right)^{2} \le n^{4}M^{2}e^{2\alpha x}\left(\sum_{k=0}^{n-1}|x|^{k}\right)^{2}\end{aligned}$$

となる。ここで $M$ は $P_{ij}(x)$ ($i=1,\dots,n, j=1,\dots,s$) の係数の絶対値の最大値である。したがって、再び三角不等式とコーシーの不等式により

$$\|e^{xA}v\|_{2} \le \sum_{i=1}^{n}\|w_{i}(x)\|_{2}|v_{i}| \le \|v\|_{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\|w_{i}(x)\|_{2}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \le \|v\|_{2}n^{2}M e^{\alpha x}\sum_{k=0}^{n-1}|x|^{k}$$

となる。
$\rho\in(0,-\alpha)$ をとる。$\lim_{x\rightarrow\infty}e^{x(\alpha+\rho)}\sum_{k=0}^{n-1}|x|^{k}=0$ であるから、ある $K_{0}>0$ が存在して $e^{x\alpha}\sum_{k=0}^{n-1}|x|^{k}\le K_{0}e^{-\rho x}$ ($x\in[0,\infty)$) となる。$a:=n^{2}MK_{0}$ とおけば、系の証明が得られる。

4.2.3 応用: 平面定数係数線形微分システムの局所構造

定数係数線形斉次微分方程式系の解法の応用として、本小節では平面定数係数線形微分方程式系

$$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\ne 0 \quad \text{(4.2.7)}$$

の特異点 $(0,0)$ の近傍における軌道の局所構造について議論する。ここで $0$ は2次零行列を表す。

一般的な2次元微分方程式系

$$\frac{dx}{dt}=P(x,y), \quad \frac{dy}{dt}=Q(x,y)$$

について考える。
点 $(x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}$ は、$P(x_{0},y_{0})=0$ かつ $Q(x_{0},y_{0})=0$ であるとき、この方程式系の特異点と呼ばれる。特異点 $(x_{0},y_{0})$ は、$P, Q$ の $(x_{0},y_{0})$ におけるヤコビ行列の固有値が少なくとも1つゼロでないとき初等特異点と呼ばれ、すべてゼロであるとき非初等特異点と呼ばれる。初等特異点の2つの固有値がいずれもゼロでないとき非退化と呼ばれ、そうでないとき退化と呼ばれる。非退化初等特異点の固有値の実部がいずれもゼロでないとき双曲的と呼ばれ、そうでないとき非双曲的と呼ばれる。非初等特異点のヤコビ行列がゼロでないとき冪零特異点と呼ばれ、ゼロであるとき高階特異点と呼ばれる。
これらの定義を総合すると、平面微分システムの特異点は次のように分類される。
特異点は初等特異点と非初等特異点に分かれる。初等特異点は非退化初等特異点と退化初等特異点に分かれ、非退化初等特異点はさらに双曲特異点と非双曲特異点に分かれる。非初等特異点は冪零特異点と高階特異点に分かれる。

ジョルダン標準形の理論より、実可逆行列 $P$ が存在して $P^{-1}AP$ が以下のジョルダン標準形のいずれかになる。

$$\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&\mu\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}\lambda&0\\ 1&\lambda\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta&\alpha\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}$$

ここで $\lambda,\mu,\beta\ne 0$ である。変換 $\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}\xi\\ \eta\end{pmatrix}$ のもとで、微分方程式系(4.2.7)は $\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}\xi\\ \eta\end{pmatrix}=P^{-1}AP\begin{pmatrix}\xi\\ \eta\end{pmatrix}$ に変換される。線形変換は伸縮と回転の役割を果たすのみであるため、一般性を失うことなく、以下では $A$ が上記の標準形のいずれかを持つ場合に、微分方程式系(4.2.7)の軌道が特異点 $(0,0)$ の近傍で持つ性質についてのみ議論する。

(I) $A=\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&\mu\end{pmatrix}$ の場合。
線形斉次微分方程式系(4.2.7)の一般解は $x=c_{1}e^{\lambda t}, y=c_{2}e^{\mu t}$ である。ここで $c_{1},c_{2}$ は任意の定数である。さらに、微分方程式系(4.2.7)の軌道は $x=0$ または $y(x)=c|x|^{\frac{\mu}{\lambda}}$ の形で表される。ここで $c$ は任意の定数である。
(1) $\lambda=\mu$ のとき。微分方程式系(4.2.7)の解は $x=0$ または $y=cx$ となる（$c$ は任意の定数）。微分方程式系(4.2.7)の解の $(0,0)$ における局所構造は放射状になる。このとき $(0,0)$ を臨界結節点と呼ぶ。$\lambda=\mu<0$ のときは安定な臨界結節点と呼び、$\lambda=\mu>0$ のときは不安定な臨界結節点と呼ぶ。
(2) $\lambda\ne\mu$ かつ $\lambda\mu>0$ のとき。$\frac{\mu}{\lambda}>1$ のときは、すべての軌道（$x=0$ を除く）は原点で $x$ 軸に接する。$\frac{\mu}{\lambda}<1$ のときは、すべての軌道（$y=0$ を除く）は原点で $y$ 軸に接する。したがって微分方程式系(4.2.7)の軌道は放物線状に原点に向かう。任意の軌道が $x$ 軸方向または $y$ 軸方向に沿って原点に近づくため、このとき $(0,0)$ を両方向結節点、略して結節点と呼ぶ。$\lambda>0$（または $\lambda<0$）のとき、不安定な結節点（または安定な結節点）と呼ばれる。
(3) $\lambda\mu<0$ のとき。$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}c|x|^{\frac{\mu}{\lambda}}=0$ および $\lim_{x\rightarrow 0}c|x|^{\frac{\mu}{\lambda}}=\infty$ であるため、微分方程式系(4.2.7)の軌道の局所構造は双曲線状になる。このとき $(0,0)$ を鞍点と呼ぶ。

(II) $A=\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 1&\lambda\end{pmatrix}$ の場合。
線形斉次微分方程式系(4.2.7)の軌道は $x=0$ または $y(x)=cx+\frac{x}{\lambda}\ln|x|$ となる。ここで $c$ は任意の定数である。また $\lim_{x\rightarrow 0}y(x)=0$ であり、$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{dy(x)}{dx}$ は $\lambda>0$ のとき $-\infty$、$\lambda<0$ のとき $\infty$ となる。したがってすべての軌道が $y$ 軸方向に沿って原点に近づく。このとき $(0,0)$ を単方向結節点と呼ぶ。

(III) $A=\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta&\alpha\end{pmatrix}$ の場合。
極座標変換 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ を通じて、線形斉次微分方程式系(4.2.7)は $\frac{dr}{dt}=\alpha r, \frac{d\theta}{dt}=\beta$ に変換される。そのすべての軌道は $r=c\exp(\frac{\alpha}{\beta}\theta)$ となる。ここで $c\ge 0$ は任意の定数である。したがって微分方程式系(4.2.7)の軌道は螺旋状（あるいは円）となる。
さらに詳しく見ると、$\alpha=0$ のときは $r=c$ となり、$(0,0)$ は中心と呼ばれる。このとき $(0,0)$ の近傍は周期軌道で満たされる。
$\alpha>0$ のときは、$(0,0)$ は不安定な焦点と呼ばれる。このとき $(0,0)$ の近傍の軌道は $t$ が増加するにつれて螺旋状にこの特異点から遠ざかる。$\beta>0$（または $\beta<0$）のときは、すべての軌道は反時計回り（または時計回り）に回転する。
$\alpha<0$ のときは、$(0,0)$ は安定な焦点と呼ばれる。このとき $(0,0)$ の近傍の軌道は $t$ が増加するにつれて螺旋状にこの特異点に近づく。$\beta>0$（または $\beta<0$）のときは、すべての軌道は反時計回り（または時計回り）に回転する。

(IV) $A=\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ の場合。
このとき $y$ 軸上の点はすべて特異点となる。線形斉次微分方程式系(4.2.7)の一般解は $x=c_{1}e^{\lambda t}, y=c_{2}$ である。ここで $c_{1}, c_{2}$ は任意の定数である。したがって微分方程式系(4.2.7)の軌道の局所構造は $x$ 軸に平行な直線となる。このとき $y$ 軸上は特異点で満たされており、これらの特異点は非孤立的であり、かつ法線双曲的な退化初等特異点である。ここで法線双曲的とは、特異点においてヤコビ行列の $y$ 軸方向にない固有ベクトルに対応する固有値の実部がゼロでないことを指す。

(V) $A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}$ の場合。
この場合も $y$ 軸上の点はすべて特異点となる。線形斉次微分方程式系(4.2.7)の一般解は $x=c_{1}, y=c_{1}t+c_{2}$ である。ここで $c_{1}, c_{2}$ は任意の定数である。したがって軌道の局所構造は $y$ 軸に平行な直線となる。このとき $y$ 軸上は特異点で満たされており、これらは非孤立的である。それらのヤコビ行列の2つの固有値はともにゼロであるが、ヤコビ行列自体はゼロではないため、これらはいずれも冪零特異点である。

上述の2次元定数係数線形斉次微分方程式系(4.2.7)の特異点 $(0,0)$ の近傍における軌道の局所構造の分析から、微分方程式系(4.2.7)の $(0,0)$ 付近の局所構造は、その係数行列の固有値と対応するジョルダン標準形によって完全に決定されることがわかる。以上の分析をまとめると、以下の結論が得られる。

定理 52 $\det(A-\lambda E)=\lambda^{2}+p\lambda+q$ と記す。ここで $p=-\operatorname{tr} A=-(a+d)$、$q=\det A=ad-bc$ である。2次元定数係数線形斉次微分方程式系(4.2.7)の原点は以下の性質を持つ。
(a) $q<0$（$A$ が2つの異符号の固有根を持つ）のとき、$(0,0)$ は鞍点である。
(b) $q=0$（$A$ が少なくとも1つのゼロ固有根を持つ）のとき、$(0,0)$ は退化初等特異点または非初等特異点である。
(c) $q>0$ かつ $p^{2}>4q$（$A$ が2つの等しくない同符号の固有根を持つ）のとき、$(0,0)$ は結節点である。
(d) $q>0$ かつ $p^{2}=4q$（$A$ が2つの等しい固有根を持つ）のとき、$(0,0)$ は臨界結節点または単方向結節点である。
(e) $q>0$ かつ $0<p^{2}<4q$（$A$ が実部がゼロでない1組の複素固有根を持つ）のとき、$(0,0)$ は焦点である。
(f) $q>0$ かつ $p=0$（$A$ が1組の純虚固有根を持つ）のとき、$(0,0)$ は中心である。

注記 $A$ が標準形を持たない場合、微分方程式系(4.2.7)の特異点 $(0,0)$ の近傍における軌道の局所相図は、以下の手順で解決できる。
まず $A$ の固有値を利用して微分方程式系(4.2.7)の特異点 $(0,0)$ の種類を決定する。
特異点が中心または焦点である場合、系が特異点付近に持つ局所相図は容易に描ける。重要なのは軌道の運動方向を決定することであり、これは $x$ 軸上の $\frac{dy}{dt}$ の符号と $y$ 軸上の $\frac{dx}{dt}$ の符号から決定できる。
微分方程式系(4.2.7)の原点が鞍点または結節点である場合、軌道が正方向または負方向に特定の方向に沿って原点へ向かう方向を決定する必要がある。$A$ がジョルダン標準形であるとき、微分方程式系(4.2.7)は2本の直線軌道を持つことに注意する。結節点の場合、他のすべての軌道はこの2本の直線軌道のいずれかに沿って原点に向かう。$A$ からジョルダン標準形への変換は元の系を回転および伸縮させるだけであるため、$A$ を係数行列とする微分方程式系(4.2.7)もまた2本の直線軌道を持つ。
鞍点と結節点の場合に2本の直線軌道を決定する簡便な方法は、求めた固有値 $\lambda_{1}$ と $\lambda_{2}$ およびそれらに対応する固有ベクトル $r_{1}$ と $r_{2}$ を用いることである。$e^{\lambda_{1}t}r_{1}$ と $e^{\lambda_{2}t}r_{2}$ はまさに微分方程式系の2本の直線軌道であり、時間 $t$ の増加に伴ってその直線軌道が原点に向かうか遠ざかるかは、その直線軌道に対応する固有値が負か正かによって決定される。
鞍点の相図は容易に描ける。結節点の相図は、軌道がどの方向から原点に向かうかを決定することが重要である。前述の $A$ がジョルダン標準形を持つ場合の分析から、1本の軌道を除き、他のすべての軌道は絶対値が小さい固有値に対応する固有ベクトルの方向に沿って原点に入るか、あるいは原点から離れることがわかる。さらに $x$ 軸上の $\frac{dy}{dt}$ の符号と $y$ 軸上の $\frac{dx}{dt}$ の符号を組み合わせることで、相図を描くことができる。臨界結節点と単方向結節点の判定については、2重固有値が存在し、かつ $A$ のジョルダン標準形 $J$ が対角行列のときは臨界結節点、非対角行列のときは単方向結節点となる。

例 4.9
(1) 2次元微分方程式系

$$x'=x+y, \quad y'=3x-y$$

の係数行列の固有値は $\lambda_{1}=2$ と $\lambda_{2}=-2$ である。$\lambda_{1}$ と $\lambda_{2}$ に対応する固有ベクトルはそれぞれ $r_{1}=(1,1)^{T}$ と $r_{2}=(1,-3)^{T}$ である。これより原点は鞍点であり、2本の直線軌道は $y=x$ と $y=-3x$ である。

(2) 2次元微分方程式系

$$x'=x-6y, \quad y'=x-4y$$

の係数行列の固有値は $\lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=-1$ であり、$\lambda_{1}$ と $\lambda_{2}$ に対応する固有ベクトルはそれぞれ $r_{1}=(2,1)^{T}$ と $r_{2}=(3,1)^{T}$ である。$y$ の正（負）の半軸上で $\frac{dx}{dt}=-6y<0 (>0)$、$x$ の正（負）の半軸上で $\frac{dy}{dt}=x>0 (<0)$ であるため、原点は安定な結節点であり、かつ $y=\frac{1}{3}x$ に沿って無数に多くの軌道が原点に向かう。

4.3 高階定数係数線形微分方程式の解法

高階微分方程式は方程式系に変換できるため、高階定数係数線形微分方程式の解法の問題も完全に解決されているが、高階線形微分方程式を微分方程式系に変換することは計算上多くの不便をもたらす。高階定数係数線形微分方程式自体の特徴に鑑み、直接解くための簡便な方法を探求する必要がある。
$n$ 階定数係数線形非斉次微分方程式

$$L(y):=y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y'+a_{n}y=f(x) \quad \text{(4.3.1)}$$

およびそれに対応する線形斉次微分方程式

$$y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\dots+a_{n-1}y'+a_{n}y=0 \quad \text{(4.3.2)}$$

を考える。ここで $a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R}$ であり、$f(x)$ は開区間 $J=(a,b)$ 上で連続である。以下、これらの新しい解法について議論する。

4.3.1 定数係数線形斉次微分方程式の解法

$n$ 階定数係数線形微分方程式を定数係数線形微分方程式系に変換し、その線形微分方程式系の係数行列に対応する特性方程式を考えることで、高階線形微分方程式(4.3.1)または(4.3.2)の特性方程式

$$P(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1}\lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+a_{n}=0 \quad \text{(4.3.3)}$$

を得ることができる。これからわかるように、高階定数係数線形微分方程式の特性方程式は計算することなく微分方程式自体から直接得ることができる。
以下の結果は、高階定数係数線形斉次微分方程式の基本解系を与える。

定理 53 代数方程式(4.3.3)が $s$ 個の互いに異なる根 $\lambda_{1},\dots,\lambda_{s}\in\mathbb{C}$ を持ち、それらの多重度がそれぞれ $n_{1},\dots,n_{s}$ であり、かつ $n_{1}+\dots+n_{s}=n$ であるとする。このとき、関数群

$$e^{\lambda_{1}x},xe^{\lambda_{1}x},\dots,x^{n_{1}-1}e^{\lambda_{1}x},\dots,e^{\lambda_{s}x},xe^{\lambda_{s}x},\dots,x^{n_{s}-1}e^{\lambda_{s}x}$$

は $n$ 階定数係数線形斉次微分方程式(4.3.2)の1つの基本解系である。

証明

記号の便宜上、以下では $a_{0}=1$ と記す。まず、各

$$x^{k}e^{\lambda_{l}x}, \quad l=1,\dots,s, \quad k=0,1,\dots,n_{l}-1$$

が線形斉次微分方程式(4.3.2)の解であることを証明する。
$\lambda_{l}$ ($l=1,\dots,s$) は特性方程式(4.3.3)の多重根であるため、

$$\left.\frac{d^{j}}{d\lambda^{j}}\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\lambda^{n-i}\right)\right|_{\lambda=\lambda_{l}}=0, \quad j=0,1,\dots,n_{l}-1$$

すなわち

$$\sum_{i=0}^{n}a_{i}\frac{(n-i)!}{(n-i-j)!}\lambda_{l}^{n-i-j}=0, \quad l=1,\dots,s, \quad j=0,1,\dots,n_{l}-1 \quad \text{(4.3.4)}$$

が成り立つ。積の関数の導関数に関するライプニッツ(Leibniz)の公式

$$(f(x)g(x))^{(m)}=\sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}f^{(j)}g^{(m-j)}$$

を利用すると、

$$\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n}a_{i}(x^{k}e^{\lambda_{l}x})^{(n-i)} &= \sum_{i=0}^{n}a_{i}\left(\sum_{j=0}^{n-i}\binom{n-i}{j}(x^{k})^{(j)}(e^{\lambda_{l}x})^{(n-i-j)}\right) \\ &= \sum_{i=0}^{n}a_{i}\sum_{j=0}^{k}\binom{n-i}{j}\frac{k!}{(k-j)!}x^{k-j}\lambda_{l}^{n-i-j}e^{\lambda_{l}x} \\ &= \sum_{i=0}^{n}a_{i}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\frac{(n-i)!}{(n-i-j)!}x^{k-j}\lambda_{l}^{n-i-j}e^{\lambda_{l}x} \\ &= \sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}x^{k-j}e^{\lambda_{l}x}\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\frac{(n-i)!}{(n-i-j)!}\lambda_{l}^{n-i-j}\right) \quad \text{(4.3.5)}\end{aligned}$$

となる。ここで2つ目の等式では、$(x^{k})^{(j)}=0$ ($j>k$) および $\binom{n-i}{j}=0$ ($j>n-i$) という事実を用いた。(4.3.4)により最後の括弧内はゼロになるため、これがゼロになることがわかる。これで $x^{k}e^{\lambda_{l}x}$ ($l=1,\dots,s, k=0,1,\dots,n_{l}-1$) が微分方程式(4.3.2)の解であることが証明された。

次に、この解系が $\mathbb{R}$ 上で線形独立であることを証明する。解系中の関数を順に $y_{1}(x),\dots,y_{n}(x)$ と記す。これらが $\mathbb{R}$ 上で線形独立であるための必要十分条件は、そのロンスキアンが $W(x)\ne 0$ ($x\in\mathbb{R}$) となることである。
背理法を用いる。リウヴィルの公式より、$W(x)\equiv 0$ ($x\in\mathbb{R}$) と仮定する。$x_{0}\ne 0$ をとると、上記のロンスキアンの行ベクトルは $x_{0}$ において線形従属となる。したがって、少なくとも1つがゼロでない定数 $b_{0},b_{1},\dots,b_{n-1}$ が存在して

$$b_{0}y_{j}^{(n-1)}(x)+b_{1}y_{j}^{(n-2)}(x)+\dots+b_{n-2}y_{j}'(x)+b_{n-1}y_{j}(x)|_{x=x_{0}}=0, \quad j=1,\dots,n$$

となる。$y_{j}(x)\in\{x^{k}e^{\lambda_{l}x}; l=1,\dots,s, k=0,1,\dots,n_{l}-1\}$ であるから、等式(4.3.5)と同様の計算により

$$\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}(x^{k}e^{\lambda_{l}x})^{(n-1-i)}=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}x^{k-j}e^{\lambda_{l}x}\left(\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}\frac{(n-1-i)!}{(n-1-i-j)!}\lambda_{l}^{n-1-i-j}\right)$$

を得る。ゆえに $l=1,\dots,s, k=0,1,\dots,n_{l}-1$ に対して

$$\left.\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}x^{k-j}e^{\lambda_{l}x}\left(\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}\frac{(n-1-i)!}{(n-1-i-j)!}\lambda_{l}^{n-1-i-j}\right)\right|_{x=x_{0}}=0 \quad \text{(4.3.6)}$$

となる。$\forall l\in\{1,\dots,s\}$ に対して(4.3.6)で $k=0$ とすると（したがって $j=0$ となる）、

$$\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}\frac{(n-1-i)!}{(n-1-i)!}\lambda_{l}^{n-1-i}=0$$

となる。(4.3.6)で $k=1$ とし上式と組み合わせると、

$$\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}\frac{(n-1-i)!}{(n-2-i)!}\lambda_{l}^{n-2-i}=0$$

となる。この方法を繰り返すことで、順次

$$\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}\frac{(n-1-i)!}{(n-1-i-j)!}\lambda_{l}^{n-1-i-j}=0, \quad j=2,\dots,n_{l}-1$$

を得る。したがって、$\forall l\in\{1,\dots,s\}$ に対して

$$\left.\frac{d^{j}}{d\lambda^{j}}\left(\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}\lambda^{n-1-i}\right)\right|_{\lambda=\lambda_{l}}=0, \quad j=0,1,\dots,n_{l}-1$$

となる。これは $\lambda_{l}$ ($l\in\{1,\dots,s\}$) が代数方程式

$$\sum_{i=0}^{n-1}b_{i}\lambda^{n-1-i}=0$$

の少なくとも $n_{l}$ 重根であることを示しており、したがってこの代数方程式は（重複度を含めて）少なくとも $n_{1}+\dots+n_{s}=n$ 個の根を持つことになる。しかし、次数が最大でも $n-1$ 次の代数方程式が $n$ 個の根を持つことは不可能である。この矛盾は、解系のロンスキアンが $W(x)\ne 0$ ($x\in\mathbb{R}$) であることを示している。したがって、この関数群は線形斉次方程式(4.3.2)の基本解系である。定理は証明された。

注記特性方程式(4.3.3)が複素固有値を持つ場合（例えば $\lambda_{l}, \overline{\lambda}_{l}$）、微分方程式(4.3.2)の1組の共役複素解 $x^{k}e^{\lambda_{l}x}$ と $x^{k}e^{\overline{\lambda}_{l}x}$ の実部と虚部をとることで、微分方程式(4.3.2)の1組の線形独立な実解を得ることができ、それにより定数係数線形斉次微分方程式(4.3.2)の実基本解系を得ることができる。

例 4.10
(1) 微分方程式

$$y^{(7)}+3y^{(6)}+5y^{(5)}+7y^{(4)}+7y'''+5y''+3y'+y=0$$

の一般解を求めよ。

解. 微分方程式の特性方程式は

$$\lambda^{7}+3\lambda^{6}+5\lambda^{5}+7\lambda^{4}+7\lambda^{3}+5\lambda^{2}+3\lambda+1=(\lambda+1)^{3}(\lambda^{2}+1)^{2}=0$$

であり、その根は $\lambda_{1}=-1$（3重根）、$\lambda_{2}=\pm\sqrt{-1}$（2重共役複素根）である。したがって元の微分方程式は基本解系

$$e^{-x}, \ xe^{-x}, \ x^{2}e^{-x}, \ \cos x, \ x\cos x, \ \sin x, \ x\sin x$$

を持つ。ゆえに元の微分方程式の一般解は

$$y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}xe^{-x}+c_{3}x^{2}e^{-x}+c_{4}\cos x+c_{5}x\cos x+c_{6}\sin x+c_{7}x\sin x$$

となる。ここで $c_{1},\dots,c_{7}$ は任意の定数である。

(2) $\beta\in\mathbb{R}$ をゼロでない定数とし、$f(x)$ を周期 $\omega$ の連続関数とする。2階微分方程式

$$y''+2\beta y'+y=f(x)$$

が周期 $\omega$ の周期解をただ1つ持つことを証明せよ。

証明. 元の微分方程式に対応する特性方程式の特性根が $\lambda_{1,2}=-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-1}$ であることは容易に計算できる。

(i) $|\beta|=1$ のとき。$\lambda=-\beta$（2重根）となる。2階線形非斉次微分方程式の一般解の公式(4.1.20)により、元の微分方程式の一般解は

$$y(x)=c_{1}e^{-\beta x}+c_{2}xe^{-\beta x}+\int_{0}^{x}(x-s)e^{\beta(s-x)}f(s)ds$$

となる。ここで $c_{1}, c_{2}$ は任意の定数である。

$$y(x+\omega)=c_{1}e^{-\beta(x+\omega)}+c_{2}(x+\omega)e^{-\beta(x+\omega)}+\int_{-\omega}^{x}(x-t)e^{\beta(t-x)}f(t+\omega)dt$$

であり、$f(t+\omega)=f(t)$ を用いると、$y(x)$ が周期 $\omega$ の周期解であるための必要十分条件は $y(x+\omega)\equiv y(x)$ ($x\in\mathbb{R}$) である。したがって最後の等式を整理すると、$y(x)$ が周期 $\omega$ の周期解であるための必要十分条件は

$$\left[c_{1}(e^{-\beta\omega}-1)+c_{2}\omega e^{-\beta\omega}-\int_{-\omega}^{0}te^{\beta t}f(t)dt\right] + \left[c_{2}(e^{-\beta\omega}-1)+\int_{-\omega}^{0}e^{\beta t}f(t)dt\right]x \equiv 0, \quad x\in\mathbb{R}$$

となる。この方程式は

$$\begin{aligned}c_{1}(e^{-\beta\omega}-1)+c_{2}\omega e^{-\beta\omega}-\int_{-\omega}^{0}te^{\beta t}f(t)dt &= 0, \\ c_{2}(e^{-\beta\omega}-1)+\int_{-\omega}^{0}e^{\beta t}f(t)dt &= 0\end{aligned}$$

と同値である。$\beta\omega\ne 0$ であるため、上記の線形代数方程式系は一意の解

$$c_{1}=\frac{1}{1-e^{-\beta\omega}}\left(\frac{\omega e^{-\beta\omega}}{1-e^{-\beta\omega}}\int_{-\omega}^{0}e^{\beta t}f(t)dt - \int_{-\omega}^{0}te^{\beta t}f(t)dt\right), \quad c_{2}=\frac{1}{1-e^{-\beta\omega}}\int_{-\omega}^{0}e^{\beta t}f(t)dt$$

を持つ。ゆえに元の微分方程式はただ1つの周期 $\omega$ の周期解を持つ。

(ii) $|\beta|\ne 1$ のとき。$\rho:=\sqrt{\beta^{2}-1}$ とおく（$|\beta|<1$ のときは $\rho$ は純虚数である）と、元の微分方程式の一般解は

$$y(x)=c_{1}e^{(-\beta+\rho)x}+c_{2}e^{(-\beta-\rho)x}+\frac{1}{2\rho}\int_{0}^{x}(e^{(-\beta+\rho)(x-s)}-e^{(-\beta-\rho)(x-s)})f(s)ds$$

となる。ここで $c_{1}, c_{2}$ は任意の定数である。

$$\begin{aligned}y(x+\omega) &= c_{1}e^{(-\beta+\rho)(x+\omega)}+c_{2}e^{(-\beta-\rho)(x+\omega)} \\ &\quad +\frac{1}{2\rho}\int_{-\omega}^{x}(e^{(-\beta+\rho)(x-t)}-e^{(-\beta-\rho)(x-t)})f(t)dt\end{aligned}$$

となるため、$y(x+\omega)\equiv y(x)$ を整理すると、$y(x)$ が周期 $\omega$ の周期解であるための必要十分条件は

$$\begin{aligned}&e^{\rho x}\left[c_{1}(e^{(-\beta+\rho)\omega}-1)+\frac{1}{2\rho}\int_{-\omega}^{0}e^{(\beta-\rho)t}f(t)dt\right] \\ &+ e^{-\rho x}\left[c_{2}(e^{(-\beta-\rho)\omega}-1)-\frac{1}{2\rho}\int_{-\omega}^{0}e^{(\beta+\rho)t}f(t)dt\right] \equiv 0, \quad x\in\mathbb{R}\end{aligned}$$

となる。この方程式は

$$\begin{aligned}c_{1}(e^{(-\beta+\rho)\omega}-1)+\frac{1}{2\rho}\int_{-\omega}^{0}e^{(\beta-\rho)t}f(t)dt &= 0, \\ c_{2}(e^{(-\beta-\rho)\omega}-1)-\frac{1}{2\rho}\int_{-\omega}^{0}e^{(\beta+\rho)t}f(t)dt &= 0\end{aligned}$$

と同値である。これは一意の解

$$c_{1}=\frac{1}{2\rho(1-e^{(-\beta+\rho)\omega})}\int_{-\omega}^{0}e^{(\beta-\rho)t}f(t)dt, \quad c_{2}=\frac{-1}{2\rho(1-e^{(-\beta-\rho)\omega})}\int_{-\omega}^{0}e^{(\beta+\rho)t}f(t)dt$$

を持つ。ゆえに元の微分方程式はただ1つの周期 $\omega$ の周期解を持つ。

4.3.2 定数係数線形非斉次微分方程式の未定係数法

本節では、微分方程式(4.3.1)の非斉次項 $f(x)$ がいくつかの特殊な形式を持つ場合に、未定係数法を用いて線形非斉次微分方程式(4.3.1)の解を求める方法について議論する。
(1) $f(x)=P_{m}(x)e^{\mu x}$ の場合。
ここで $P_{m}(x)$ は $m$ 次多項式である。微分方程式(4.3.1)は

$$\phi^{*}(x)=x^{k}Q_{m}(x)e^{\mu x}$$

の形式の解を持つ。ここで $k$ は $\mu$ が特性方程式(4.3.3)の根であるときの多重度である（$\mu$ が特性方程式(4.3.3)の根でなければ $k=0$ とする）。$Q_{m}(x)$ は未定の $m$ 次多項式である。$\phi^{*}(x)$ を微分方程式(4.3.1)に代入して整理し、$e^{\mu x}$ を消去した後、方程式の両辺の同じ次数の項の係数を比較して $Q_{m}(x)$ を求める。

(2) $f(x)=(A_{m}(x)\cos(\beta x)+B_{m}(x)\sin(\beta x))e^{\alpha x}$ の場合。
ここで $A_{m}(x), B_{m}(x)$ は多項式であり、$\max\{\deg A_{m}, \deg B_{m}\}=m$ である。微分方程式(4.3.1)は

$$\phi^{*}(x)=x^{k}(C_{m}(x)\cos(\beta x)+D_{m}(x)\sin(\beta x))e^{\alpha x}$$

の形式の解を持つ。ここで $k$ は $\alpha+\sqrt{-1}\beta$ が特性方程式(4.3.3)の根であるときの多重度である（$\alpha+\sqrt{-1}\beta$ が特性方程式(4.3.3)の根でなければ $k=0$ とする）。$C_{m}(x), D_{m}(x)$ は未定の $m$ 次多項式である。$\phi^{*}(x)$ を微分方程式(4.3.1)に代入して整理し、$e^{\alpha x}$ を消去した後、方程式の両辺の $\cos(\beta x)$ と $\sin(\beta x)$ の係数を比較して $C_{m}(x)$ と $D_{m}(x)$ を求める。

注記微分方程式(4.3.1)における $f(x)$ が上記の形式を持たない場合でも、それがいくつかの項の和に分解できる場合、すなわち

$$f(x)=f_{1}(x)+\dots+f_{k}(x)$$

であり、各 $f_{i}(x)$ ($i=1,\dots,k$) が上記のいずれかの形式を持つならば、$L(y)=f_{i}(x)$ の解 $\phi_{i}^{*}(x)$ を求めることによって、元の微分方程式(4.3.1)の解

$$\phi^{*}(x)=\phi_{1}^{*}(x)+\dots+\phi_{k}^{*}(x)$$

を得ることができる。

例 4.11 微分方程式

$$y''+2y'+y=(x^{2}-5)e^{-x}+\sin(2x) \quad \text{(4.3.7)}$$

の一般解を求めよ。

解. 特性方程式 $\lambda^{2}+2\lambda+1=0$ より、特性根 $\lambda=-1$（2重根）を得る。したがって、微分方程式(4.3.7)に対応する斉次方程式の一般解は

$$y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}xe^{-x}$$

となる。ここで $c_{1}, c_{2}$ は任意の定数である。
非斉次方程式

$$y''+2y'+y=(x^{2}-5)e^{-x} \quad \text{(4.3.8)}$$

を考える。$\mu=-1$ は2重の特性値であるため、微分方程式(4.3.8)は

$$\phi_{1}^{*}(x)=x^{2}(ax^{2}+bx+c)e^{-x}$$

の形式の解を持つ。これを(4.3.8)に代入して整理すると

$$12ax^{2}+6bx+2c=x^{2}-5$$

となる。この方程式の両辺の同じ次数の項の係数を比較すると、$a=1/12, b=0, c=-5/2$ となる。ゆえに微分方程式(4.3.8)は解

$$\phi_{1}^{*}(x)=x^{2}\left(\frac{1}{12}x^{2}-\frac{5}{2}\right)e^{-x}$$

を持つ。
次に非斉次方程式

$$y''+2y'+y=\sin(2x) \quad \text{(4.3.9)}$$

を考える。$\alpha+\sqrt{-1}\beta=0+2\sqrt{-1}$ は特性方程式の根ではないため、微分方程式(4.3.9)は

$$\phi_{2}^{*}(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$$

の形式の解を持つ。これを(4.3.9)に代入して整理すると

$$(-3a+4b)\cos(2x)-(4a+3b)\sin(2x)=\sin(2x)$$

となる。この方程式の両辺の $\sin(2x), \cos(2x)$ の係数を比較すると、$a=-4/25, b=-3/25$ となる。ゆえに方程式(4.3.9)は解

$$\phi_{2}^{*}(x)=-\frac{4}{25}\cos(2x)-\frac{3}{25}\sin(2x)$$

を持つ。
これら2つの微分方程式の解を総合すると、微分方程式(4.3.7)の一般解は

$$y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}xe^{-x}+x^{2}\left(\frac{1}{12}x^{2}-\frac{5}{2}\right)e^{-x}-\frac{4}{25}\cos(2x)-\frac{3}{25}\sin(2x)$$

となる。ここで $c_{1}, c_{2}$ は任意の定数である。

練習問題

1. $b(x)>0$ ($x\in I=[c,d]$) と仮定する。もし $\phi(x),a(x),b(x)\in C(I)$ であり、かつ不等式 $\phi(x)\le a(x)+\int_{c}^{x}b(s)\phi(s)ds$ を満たすならば、$\phi(x)\le a(x)+\int_{c}^{x}a(s)b(s)e^{\int_{s}^{x}b(t)dt}ds$ となることを証明せよ。

2. グロンウォールの不等式を用いて、定理18における解の一意性を証明せよ。

3. 定理42の仮定と記号の下で、$\tilde{y}_{1}(x)+y^{*}(x),\dots,\tilde{y}_{n}(x)+y^{*}(x),y^{*}(x)$ が線形非斉次微分方程式系(4.1.1)の $n+1$ 個の線形独立な解であることを証明せよ。さらに、微分方程式(4.1.1)が最大でも $n+1$ 個の線形独立な解しか持たないことを証明せよ。

4. 関数群 $y_{1}(x)=(1, \sin x)^{T}, y_{2}(x)=(0, x^{2})^{T}$ ($x\in\mathbb{R}$) がいかなる2次元線形斉次微分方程式系の解系にもなり得ないことを証明せよ。

5. 系44を証明せよ。

6. 線形斉次微分方程式系(4.1.2)に対して、$y'=-A^{T}(x)y$ を(4.1.2)の共役方程式系と呼ぶ。ここで $T$ は行列の転置を表す。以下の結論を証明せよ。
(a) もし $\Phi(x)$ が微分方程式系(4.1.2)の基本解行列であれば、$(\Phi^{T}(x))^{-1}$ は(4.1.2)の共役方程式系の基本解行列である。
(b) もし $\Phi(x), \Psi(x)$ がそれぞれ微分方程式系(4.1.2)とその共役方程式系の基本解行列であれば、それらの積 $\Phi^{T}(x)\Psi(x)$ は非特異な定数行列である。
(c) もし $w(x), v(x)$ がそれぞれ微分方程式系(4.1.2)とその共役方程式系の解であれば、それらの内積 $w(x)\cdot v(x)$ は定数である。

7. 定理45の注記で述べた、初期値問題の解の公式と、非線形項をもつ場合の積分方程式を証明せよ。

8. 次の方程式系の一般解を求めよ。
(8.1) $x'(t)=\frac{2}{t}x-1, \quad y'(t)=-\frac{1}{t^{3}}x+\frac{1}{t}y+\frac{1}{t^{2}}, \quad x(1)=1, \quad y(1)=1$
(8.2) $x'(t)=-\frac{1}{t}x+y, \quad y'(t)=-\frac{2}{t^{2}}x+\frac{1}{t}y, \quad x(1)=1, \quad y(1)=2$

9. 高階線形斉次微分方程式の1つの非ゼロ解がわかっている場合、その線形微分方程式の階数を1つ下げることができることを示せ。

10. 次の変係数線形微分方程式を定数係数線形微分方程式に変換せよ。
(10.1) $x^{2}y''+3xy'-2y=0$
(10.2) $x^{3}y'''-5x^{2}y''+2xy'+7y=0$

11. $\mathcal{M}(\mathbb{C})$ を $n$ 次複素行列全体からなる集合とする。任意の $A,B\in\mathcal{M}(\mathbb{C})$ に対し、それらの交換子を $[A,B]:=AB-BA$ と定義する。もし $[A,B]$ が $A$ とも $B$ とも可換であれば、$e^{tA}e^{tB}=e^{tB}e^{tA}e^{t^{2}[A,B]}$ ($t\in\mathbb{R}$) となることを証明せよ。

12. 行列指数関数法を用いて次の定数係数線形微分方程式を解け。
$\frac{dy}{dx}=Ay+f(x)$
(12.1) $A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad f(x)=\begin{pmatrix}-1\\ x\end{pmatrix}$
(12.2) $A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}, \quad f(x)=\begin{pmatrix}-1\\ x\\ 0\end{pmatrix}$

13. 定数係数線形斉次微分方程式系(4.2.5)の係数行列の固有値の実部がすべてゼロより小さいことの必要十分条件は、この微分方程式系のすべての解が $x\rightarrow\infty$ のときにゼロに近づくことであることを証明せよ。

14. $\Phi(x)$ が $\mathbb{R}$ 上で連続な $n$ 次行列であり、$\det\Phi(0)\ne 0$ かつ $\dot{\Phi}(0)$ が存在し、さらに $\forall t,s\in\mathbb{R}$ に対して $\Phi(t+s)=\Phi(t)\Phi(s)$ を満たすとする。このとき $\Phi(x)$ がある $n$ 次元定数係数線形斉次微分方程式系の基本解行列であることを証明せよ。

15. 次の定数係数線形微分方程式系の一般解を求めよ。
(15.1) $\dfrac{dy}{dx}=\begin{pmatrix}1&2\\ 3&2\end{pmatrix}y$
(15.2) $\dfrac{dy}{dx}=\begin{pmatrix}0&1\\ -4&0\end{pmatrix}y$
(15.3) $\dfrac{dy}{dx}=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}y$

16. 次の定数係数線形微分方程式系の初期値問題を解け。
(16.1) $\dfrac{dy}{dx}=\begin{pmatrix}2&1\\ 0&2\end{pmatrix}y,\quad y(0)=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$
(16.2) $\dfrac{dy}{dx}=\begin{pmatrix}3&-2\\ 2&-1\end{pmatrix}y,\quad y(0)=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$

17. 次の平面線形微分方程式系の原点の種類を判定し、局所相図を描け。
(17.1) $x'=2x+y,\ y'=x+2y$
(17.2) $x'=x-2y,\ y'=2x+y$
(17.3) $x'=x+2y,\ y'=2x+y$
(17.4) $x'=y,\ y'=-x$

18. $a,b\in\mathbb{R}$ を定数とする。2階線形微分方程式 $y''+ay'+by=0$ (*) について以下を問う。
(a) $a,b$ がどのような値のとき、微分方程式(*)のすべての解が $\mathbb{R}$ 上で有界となるか。
(b) $a,b$ がどのような値のとき、微分方程式(*)のすべての解が $x\rightarrow\infty$ のときにゼロに近づくか。
(c) $a,b$ がどのような値のとき、微分方程式(*)のすべての解が $\mathbb{R}$ 上に無数に多くの零点を持つか。

19. $f(x)$ が $[0,\infty)$ 上で連続であるとする。2階線形微分方程式 $y''+4y'+3y=f(x)$ (**) について以下を証明せよ。
(a) もし $f(x)$ が $[0,\infty)$ 上で有界であれば、微分方程式(**)のすべての解は $[0,\infty)$ 上で有界となる。
(b) もし $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$ であれば、微分方程式(**)のすべての解は $x\rightarrow\infty$ のときにゼロに近づく。

20. 次の定数係数線形微分方程式を解け。
(20.1) $y''-3y'+2y=e^{3x}$
(20.2) $y'''-y'=x$
(20.3) $y''+y=\cos x$
(20.4) $y^{(4)}-y=0$

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