一階微分方程式の解の存在と唯一

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本章では、常微分方程式の解の存在と一意性を証明する。証明の核心はPicardの逐次近似法にある。解の存在と一意性を保証するのみならず、初期値に対する解の連続依存性も含む定理を導く。さらに定理の応用についても触れる。

2.1 準備

2.1.1 距離空間

距離空間の概念は解析学の基礎をなすものである。実数直線 $\mathbb{R}$ 上で $x, y$ の間の距離は

$$\rho(x, y) = |x - y|$$

で定義される。$|\cdot|$ は $\mathbb{R}$ 上の絶対値を表す。$\mathbb{R}^n$ では $x = (x_1, \cdots, x_n)$、$y = (y_1, \cdots, y_n)$ に対して

$$\rho(x, y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2}$$

が $x$ と $y$ の距離である。$\rho(\cdot, \cdot)$ は $\forall\, x, y, z \in \mathbb{R}^n$ に対して次の公理を満たす。

$$\rho(x,y) \geq 0,\quad \rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y;\quad \rho(x,y) = \rho(y,x);\quad \rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y).$$

一般に、集合 $X$ 上で任意の $x, y \in X$ に対して $\rho(x,y)$ が定まり、次の3条件を満たすとき、$\rho$ を $X$ 上の距離（計量）という。

$\rho(x,y)$ を $x$ と $y$ の距離といい、$(X, \rho)$ を距離空間という。$Y \subset X$ のとき、$(Y, \rho)$ も距離空間となり、$X$ の部分距離空間という。

例 2.1 $C[a,b]$（区間 $[a,b]$ 上の連続関数の全体）上の距離として

$$\rho(x, y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t) - y(t)| \tag{2.1.1}$$

を定める。$x(t), y(t) \in C[a,b]$ に対して $\rho(x,y)$ は $x$ と $y$ の間の距離を与える。

証明. $(C[a,b], \rho)$ が距離空間であることを示す。非負性と対称性は明らか。三角不等式を示す。$\forall\, x(t), y(t), z(t) \in C[a,b]$ に対して、

$$|x(t) - y(t)| \leq |x(t) - z(t)| + |z(t) - y(t)| \leq \max_{t\in[a,b]}|x(t)-z(t)| + \max_{t\in[a,b]}|z(t)-y(t)| = \rho(x,z) + \rho(z,y).$$

最大値をとると

$$\max_{t\in[a,b]}|x(t)-y(t)| \leq \rho(x,z) + \rho(z,y),$$

よって $\rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y)$。したがって $\rho$ は $C[a,b]$ 上の距離であり、$(C[a,b], \rho)$ は距離空間である。$\square$

なお、

$$\rho(x,y) = \begin{cases} 1, & x(t) \not\equiv y(t), \\ 0, & x(t) \equiv y(t) \end{cases}$$

も $C[a,b]$ 上の距離（離散距離）となるが、これは通常の位相と異なる。

距離空間における収束と完備性について述べる。$(X, \rho)$ を距離空間とする。

補題 10 $(X, \rho)$ を距離空間とし、$\{x_n\} \subset X$ を列とする。

  1. $\{x_n\}$ が収束列であれば、その極限は一意である；
  2. $\{x_n\}$ が収束列であれば、Cauchy列でもある；
  3. $\{x_n\}$ がCauchy列であれば、有界である。
証明

(1) $z, y \in X$ がともに $\{x_n\}$ の極限であるとする。$\forall\, \varepsilon > 0$ に対して $\exists\, N \in \mathbb{N}$ で $n > N$ のとき、

$$\rho(x_n, z) < \frac{\varepsilon}{2}, \quad \rho(x_n, y) < \frac{\varepsilon}{2}.$$

$n_0 > N$ を選ぶと、

$$\rho(z, y) \leq \rho(z, x_{n_0}) + \rho(x_{n_0}, y) < \varepsilon.$$

$\varepsilon > 0$ は任意であったから $\rho(z,y) = 0$、すなわち $z = y$。

(2) $x_n \to z$ とすると、$n, m$ が十分大きいとき $\rho(x_n, x_m) \leq \rho(x_n, z) + \rho(z, x_m) < \varepsilon$。

(3) $\varepsilon = 1$ に対する $N$ をとると、$n \geq N$ で $\rho(x_n, x_N) < 1$ であるから、$\rho(x_n, x_N) \leq \max\{\rho(x_1, x_N), \cdots, \rho(x_{N-1}, x_N), 1\}$ が全ての $n$ に対して成り立つ。$\square$

収束列はCauchy列であるが、逆は一般には成り立たない。すべてのCauchy列が収束するとき、その距離空間を完備という。完備距離空間においては、縮小写像定理（Banachの不動点定理）が成立し、これが§2.2で述べる解の存在・一意性の証明の要となる。

補題 11 $\rho$ を (2.1.1) で定めたとき、$(C[a,b], \rho)$ は完備距離空間である。

証明

$\{x_n\} \subset C[a,b]$ をCauchy列とする。$\forall\, \varepsilon > 0$、$\exists\, N > 0$ で $m, n > N$ のとき

$$\rho(x_n, x_m) = \max_{t\in[a,b]}|x_n(t) - x_m(t)| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

よって各 $t \in [a,b]$ に対して $|x_n(t) - x_m(t)| < \dfrac{\varepsilon}{2}$。補題13より $\exists\, x(t)$ があって $x_n(t) \rightrightarrows x(t)$（一様収束）。補題14より $x(t) \in C[a,b]$。よって $C[a,b]$ は完備であり、$(C[a,b], \rho)$ は完備距離空間である。$\square$

補題 12 $K > 0$ とし、$\mathcal{C} := \{x(t) \in C[a,b]\,;\; |x(t)| \leq K,\, t \in [a,b]\}$ とおくと、$\rho$（式 (2.1.1)）を $C[a,b]$ から制限した距離により $(\mathcal{C}, \rho)$ は完備距離空間となる。

$E \subset \mathbb{R}$ 上の関数列 $\{f_n(t)\}$ が $f(t)$ に一様収束するとは、$\forall\, \varepsilon > 0$、$\exists\, N > 0$ で $n > N$ のとき $|f_n(t) - f(t)| < \varepsilon$（$\forall\, t \in E$）が成り立つことをいい、$f_n(t) \rightrightarrows f(t)\ [E]$ と書く。

補題 13（一様Cauchy条件） $E$ 上の関数列 $\{f_n(t)\}$ が $E$ 上で一様収束するための必要十分条件は、$\forall\, \varepsilon > 0$、$\exists\, N > 0$ で $n, m > N$ のとき

$$|f_n(t) - f_m(t)| < \varepsilon \quad (\forall\, t \in E)$$

が成り立つことである。

証明

必要性：$f_n \rightrightarrows f\ [E]$ とする。$\exists\, N > 0$ で $n > N$ のとき $|f_n(t) - f(t)| < \dfrac{\varepsilon}{2}$（$t \in E$）。$n, m > N$ のとき

$$|f_m(t) - f_n(t)| \leq |f_m(t) - f(t)| + |f(t) - f_n(t)| < \varepsilon, \quad t \in E.$$

十分性：各 $t \in E$ で $\{f_n(t)\}$ は $\mathbb{R}$ のCauchy列であるから、$\mathbb{R}$ の完備性により極限 $f(t)$ が存在する。仮定で $\varepsilon$ を $\varepsilon/2$ に取り替えると、$\exists\, N > 0$ で $n > N$ と全ての $k \in \mathbb{N}$ に対して

$$|f_{n+k}(t) - f_n(t)| \leq \frac{\varepsilon}{2}, \quad t \in E.$$

$k \to \infty$ とすると

$$|f(t) - f_n(t)| \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon, \quad t \in E.$$

よって $f_n(t) \rightrightarrows f(t)\ [E]$ が成り立つ。$\square$

$C(E)$（$E$ 上の連続関数全体）における一様収束について：

補題 14 $\{f_n(t)\} \subset C(E)$ かつ $f_n(t) \rightrightarrows f(t)\ [E]$ であれば、$f(t) \in C(E)$ である。

証明

$\forall\, t_0 \in E$、$\forall\, \varepsilon > 0$ とする。$f_n(t) \rightrightarrows f(t)\ [E]$ より $\exists\, N > 0$ で $n > N$ のとき、

$$|f_n(t) - f(t)| < \frac{\varepsilon}{3}, \quad t \in E.$$

$f_{N+1}(t)$ は $E$ 上で連続であるから、$\exists\, \delta > 0$ で $t \in E$ かつ $|t - t_0| < \delta$ のとき

$$|f_{N+1}(t) - f_{N+1}(t_0)| < \frac{\varepsilon}{3}.$$

$|t - t_0| < \delta$ のとき、

$$\begin{aligned}|f(t) - f(t_0)| &\leq |f(t) - f_{N+1}(t)| + |f_{N+1}(t) - f_{N+1}(t_0)| + |f_{N+1}(t_0) - f(t_0)| < \varepsilon.\end{aligned}$$

$f(t)$ は $t_0$ で連続である。$t_0 \in E$ は任意であったから $f(t) \in C(E)$。$\square$

$C[a,b]$ 上に、上述の $\rho$ とは別の距離として次のものも考えられる。

2.1.2 縮小写像定理

本節では、解の存在と一意性の証明の要となる縮小写像定理を紹介する。

距離空間 $(X, \rho)$ において、写像 $T: X \to X$ を考える。

縮小写像は連続である（$\rho(Tx, Ty) \leq \alpha\rho(x,y)$ による）。完備距離空間では、縮小写像は必ず不動点をもつ。

定理 15（縮小写像定理・Banachの不動点定理） $(X, \rho)$ を完備距離空間とし、$T: X \to X$ を縮小定数 $\alpha$ の縮小写像とする。このとき次が成り立つ。

  1. $T$ の不動点 $z \in X$ が一意に存在する。
  2. 任意の $x_0 \in X$ に対して、$x_n := T^n x_0$ で定まる点列 $\{x_n\}$ は $z$ に収束する。
  3. $\forall\, m \in \mathbb{N}$ に対して $\rho(z, T^m x_0) \leq \dfrac{\alpha^m}{1-\alpha}\rho(Tx_0, x_0)$。

これはStefan Banach（1892--1945）が1922年に証明した。

証明

まず $\{x_n\}$ がCauchy列であることを示す。

$$\rho(x_{m+1}, x_m) = \rho(Tx_m, Tx_{m-1}) \leq \alpha\rho(x_m, x_{m-1}) = \alpha\rho(Tx_{m-1}, Tx_{m-2}) \leq \alpha^2\rho(x_{m-1}, x_{m-2}) \leq \cdots \leq \alpha^m\rho(x_1, x_0).$$

$\varepsilon > 0$ に対し $\dfrac{\alpha^N}{1-\alpha}\rho(x_1, x_0) < \varepsilon$ となる $N$ をとり、$n > m > N$ とすると

$$\begin{aligned}\rho(x_m, x_n) &\leq \rho(x_m, x_{m+1}) + \rho(x_{m+1}, x_{m+2}) + \cdots + \rho(x_{n-1}, x_n) \\ &\leq (\alpha^m + \alpha^{m+1} + \cdots + \alpha^{n-1})\rho(x_1, x_0) \\ &= \alpha^m \frac{1-\alpha^{n-m}}{1-\alpha}\rho(x_1, x_0) \leq \frac{\alpha^m}{1-\alpha}\rho(x_1, x_0) < \varepsilon.\end{aligned}$$

$\{x_n\}$ は $X$ でCauchy列である。$X$ は完備であるから $\exists\, z \in X$ で $x_n \to z$。$x_n = Tx_{n-1}$ かつ $T$ の連続性から $Tz = z$ が成り立ち、$z$ は $T$ の不動点となる。

別に $y \in X$ が $T$ の不動点であるとすると、$Ty = y$ であり、

$$\rho(y, z) = \rho(Ty, Tz) \leq \alpha\rho(y, z).$$

$\alpha < 1$ より $\rho(y,z) = 0$、すなわち $y = z$。したがって不動点は一意である。

最後に、上の不等式で $n \to \infty$ とすれば、$\forall\, x_0 \in X$ に対して

$$\rho(z, T^m x_0) \leq \frac{\alpha^m}{1-\alpha}\rho(Tx_0, x_0).$$

$T$ 自身は縮小写像でなくても、ある $n \in \mathbb{N}$ に対して $T^n$ が縮小写像となることがある（例えば積分変換）。具体的には $K(t,s) \in C([a,b]^2)$、$f \in C[a,b]$、$\lambda \in \mathbb{R}$ に対して

$$(Tx)(t) = \lambda\int_a^t K(t,s)x(s)\,ds + f(t), \quad x \in C[a,b]$$

は $C[a,b]$ からそれ自身への写像であり、$n \in \mathbb{N}$ が適当に大きければ $T^n$ は $C[a,b]$ 上の縮小写像となる。

さらに一般化として：

補題 17 $(X, \rho)$ を完備距離空間とする。$T: X \to X$ に対して、ある $\alpha \in [0,1)$ と $n \in \mathbb{N}$ が存在して $\forall\, x, y \in X$ について

$$\rho(T^n x, T^n y) \leq \alpha\rho(x,y)$$

が成り立つとき、$T$ は $X$ 上に唯一の不動点を持つ。

この拡張形は、Volterra積分方程式の解析などに有用である。

2.2 解の存在・一意性定理：Picard--Lindelöfの定理

本節では§2.1の準備をもとに、Picard--Lindelöfの解の存在・一意性定理を証明する。

定理 18（Picard--Lindelöf） $f(x,y)$ を $\mathbb{R}^2$ の開集合 $\Omega$ 上の連続関数とし、$y$ について局所Lipschitz連続であるとする。このとき、$\forall\, (x_0, y_0) \in \Omega$ に対して初期値問題

$$\frac{dy}{dx} = f(x,y), \quad y(x_0) = y_0 \tag{2.2.1}$$

は $x_0$ を含むある区間で唯一の解を持つ。

証明

(2.2.1) の解は次の積分方程式と同値である。

$$y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\,dt. \tag{2.2.2}$$

(2.2.2) の $x_0$ 周辺の近傍における解の存在を示す。

長方形領域 $R := \{(x,y)\,;\; |x-x_0| \leq a,\; |y-y_0| \leq b\} \subset \Omega$（$a, b > 0$）

図8

図2.1 Picardの逐次近似法における長方形領域

$$M := \max_{(x,y)\in R} |f(x,y)|,$$

$L$ は $f(x,y)$ の $R$ 上のLipschitz定数（$|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \leq L|y_1 - y_2|$、$\forall\, (x,y_1),(x,y_2) \in R$）とする。

$$\delta \in \left(0,\, \min\!\left\{\frac{1}{L},\, a,\, \frac{b}{M}\right\}\right)$$

をとり、完備距離空間 $(\mathcal{C}, \rho)$ を

$$\mathcal{C} = \{y(x) \in C[x_0-\delta, x_0+\delta]\,;\; |y(x)-y_0| \leq b\}$$

で定める（$\rho$ は一様距離）。

写像 $T$ を

$$(Ty)(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, y(t))\,dt, \quad y(x) \in \mathcal{C}$$

と定義する。$T$ が $\mathcal{C}$ から $\mathcal{C}$ 自身への写像であること、すなわち $\forall\, y(x) \in \mathcal{C}$ に対して

$$(x, y(x)) \in R, \quad x \in [x_0-\delta, x_0+\delta]$$

が成り立つことを示す。$|x - x_0| \leq \delta$ のとき $|(Ty)(x) - y_0| \leq \left|\displaystyle\int_{x_0}^x |f(t, y(t))|\,dt\right| \leq M\delta \leq b$ であるから、確かに $Ty \in \mathcal{C}$ である。次に $\forall\, y_1(x), y_2(x) \in \mathcal{C}$ に対して

$$\begin{aligned}\rho(Ty_1, Ty_2) &= \max_{x \in [x_0-\delta, x_0+\delta]} \left|\int_{x_0}^x (f(t, y_1(t)) - f(t, y_2(t)))\,dt\right| \\ &\leq \max_{x \in [x_0-\delta, x_0+\delta]} \left|\int_{x_0}^x |f(t, y_1(t)) - f(t, y_2(t))|\,dt\right| \\ &\leq \max_{x \in [x_0-\delta, x_0+\delta]} \left|\int_{x_0}^x L|y_1(t) - y_2(t)|\,dt\right| \\ &\leq L\delta \max_{t \in [x_0-\delta, x_0+\delta]} |y_1(t) - y_2(t)| = L\delta\rho(y_1, y_2).\end{aligned}$$

$L\delta < 1$ であるから、$T$ は $\mathcal{C}$ 上の縮小写像である。補題12（を $y_0$ だけ平行移動したもの）より $(\mathcal{C}, \rho)$ は完備距離空間であるから、縮小写像定理（定理15）より $T$ の不動点 $\phi_0(x)$ が $\mathcal{C}$ 内に一意に存在する。すなわち $\phi_0(x) = T\phi_0(x)$ が成り立ち、これは $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ 上での積分方程式 (2.2.2) の解である。$\phi_0(x)$ は (2.2.1) の解である。

一意性：$[x_0-\delta, x_0+\delta]$ 上の (2.2.1) の任意の解 $y$ は積分方程式 (2.2.2) を満たす。また $|y - y_0| = b$ となる最初の点があれば、そこまでは $|y - y_0| \leq M|x - x_0| < b$ となって矛盾するから、$y$ は $\mathcal{C}$ の元である。したがって不動点の一意性により $y = \phi_0$ である。

解の延長：$x_1 = x_0 \pm \delta$ とし、$(x_1, \phi_0(x_1)) \in \Omega$ を初期点として同じ議論を行うと、$x_1$ のまわりの区間 $[x_1-\delta_1, x_1+\delta_1]$ 上に解 $\phi_1$ が存在し、共通部分では局所一意性から $\phi_0 = \phi_1$ である。そこで

$$\widetilde{\phi}_1(x) := \begin{cases} \phi_0(x), & x \in [x_0-\delta, x_0+\delta], \\ \phi_1(x), & x \in [x_1-\delta_1, x_1+\delta_1] \end{cases}$$

とおくと、$\widetilde{\phi}_1(x)$ は (2.2.1) を $[x_0-\delta, x_0+\delta] \cup [x_1-\delta_1, x_1+\delta_1]$ 上で満たす。この操作を延長できる限り繰り返すと、最大の区間 $J$ 上の解 $y = \phi(x)$ が得られ、局所一意性により $J$ 上の解は一意に定まる。$\square$

定理18に関する注意事項をまとめる。

Picardの逐次近似法：$\phi_0(x) \equiv y_0$ から始めて

$$\phi_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(s, \phi_{n-1}(s))\,ds, \quad n = 1, 2, \cdots,\; x \in [x_0-\delta, x_0+\delta]$$

と定める（Picard列）。これは $\phi_n = T\phi_{n-1}$、すなわち $\phi_n = T^n y_0$ であるから、定理15 (2) により $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ 上で (2.2.1) の解に一様収束する。

2.3 Peanoの存在定理

§2.2ではLipschitz条件のもとで解の存在と一意性を証明した。本節ではLipschitz条件なしで解の存在のみを示すPeanoの定理を扱う。証明には以下の2つの補題が必要となる。

1. Ascoli--Arzelàの定理の準備

有界閉区間 $I \subset \mathbb{R}$ 上の関数列 $\{f_n(x)\}$ について、次の2条件を考える。

Ascoli--Arzelàの定理 有界閉区間 $I$ 上で一様有界かつ同程度一様連続な連続関数列 $\{f_n(x)\}$ は、$I$ 上で一様収束する部分列を含む。

2. Peanoの存在定理の証明

定理 19（Peano） $f(x,y)$ を開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上の連続関数とする。$\forall\, (x_0, y_0) \in \Omega$ に対して、初期値問題 (2.2.1) は少なくとも1つの解を持つ。

証明

定理18の証明と同様に $R$ を定める。ただし今度はLipschitz条件を仮定しない。

$$R := \{(x,y)\,;\; |x-x_0| \leq a,\; |y-y_0| \leq b\} \subset \Omega, \quad a, b > 0.$$
$$M := \max_{(x,y)\in R} |f(x,y)|, \quad \delta = \min\!\left\{a,\, \frac{b}{M}\right\}, \quad I = [x_0, x_0+\delta].$$

$M = 0$ のとき $f(x,y) \equiv 0$（$(x,y) \in R$）であるから、$y(x) = y_0$（$x \in (x_0-a, x_0+a)$）が (2.2.1) の解となる。以下 $M > 0$ とする（$I = [x_0-\delta, x_0]$ の場合は対称な議論による）。

ステップ1：Euler折れ線の構築

$I$ を $n$ 等分し、分点を $\{x_0, x_1, \cdots, x_n\}$（$x_i < x_j$（$0 \leq i < j \leq n$）、$x_n = x_0 + \delta$）とする。Euler折れ線の初期段は $(x_0, y_0)$ から：

$$\psi_1(x) = y_0 + f(x_0, y_0)(x - x_0), \quad x \in [x_0, x_1].$$

$y_1 = \psi_1(x_1)$ とおき、$(x_1, y_1)$ から：

$$\psi_2(x) = y_1 + f(x_1, y_1)(x-x_1), \quad x \in [x_1, x_2].$$

一般に $[x_i, x_{i+1}]$（$i = 1, \cdots, n-1$）上では：

$$\psi_{i+1}(x) = y_i + f(x_i, y_i)(x-x_i), \quad x \in [x_i, x_{i+1}], \quad y_i = \psi_i(x_i).$$

これらをつなぎ合わせて $\gamma_n$ を $I$ 上のEuler折れ線と呼ぶ（図2.2参照）。

図9

図2.2 Euler折れ線

ステップ2：Euler折れ線の積分方程式表示

$\phi_n(x)$（$x \in I$）をEuler折れ線とすると、

$$\phi_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, \phi_n(t))\,dt + \sigma_n(x), \quad x \in I. \tag{2.3.1}$$

ここで $I$ 上での誤差項 $\sigma_n(x) \rightrightarrows 0$（$n \to \infty$）である。具体的に、$\forall\, x \in I$、$\exists\, s \in \{0,1,\cdots,n-1\}$ で $x \in (x_s, x_{s+1}]$ のとき、

$$\phi_n(x) = y_0 + \sum_{k=0}^{s-1} f(x_k, y_k)(x_{k+1}-x_k) + f(x_s, y_s)(x-x_s).$$

各項を変換すると

$$\begin{aligned}f(x_k, y_k)(x_{k+1}-x_k) &= \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(t, \phi_n(t))\,dt + \int_{x_k}^{x_{k+1}} (f(x_k, y_k) - f(t, \phi_n(t)))\,dt, \\ f(x_s, y_s)(x-x_s) &= \int_{x_s}^x f(t, \phi_n(t))\,dt + \int_{x_s}^x (f(x_s, y_s) - f(t, \phi_n(t)))\,dt.\end{aligned}$$

よって $\sigma_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{s-1} r_n(k) + r_n^*(x)$ とおくと、

$$r_n(k) = \int_{x_k}^{x_{k+1}} (f(x_k, y_k) - f(t, \phi_n(t)))\,dt, \quad r_n^*(x) = \int_{x_s}^x (f(x_s, y_s) - f(t, \phi_n(t)))\,dt, \quad x \in (x_s, x_{s+1}].$$

$\sigma_n(x) \rightrightarrows 0$（$x \in I$）の証明：$f$ は $R$ 上で一様連続であるから、$\forall\, \varepsilon > 0$、$\exists\, \sigma > 0$ で $(x,y), (x^*,y^*) \in R$ かつ $\|(x,y)-(x^*,y^*)\| < \sigma$（$\|\cdot\|$ は $\mathbb{R}^2$ の距離）のとき $|f(x,y) - f(x^*,y^*)| < \varepsilon/\delta$。$x \in [x_k, x_{k+1}]$ のとき $|x-x_k| \leq \delta/n$、$|\phi_n(x) - y_k| = |f(x_k, y_k)(x-x_k)| \leq M(x-x_k) \leq M\delta/n$ であるから、$\forall\, k \in \{0,1,\cdots,n-1\}$、$\exists\, N > 0$ で $n > N$ のとき $\|(x_k, y_k) - (x, \phi_n(x))\| < \sigma$（$x \in [x_k, x_{k+1}]$）となる。よって $|f(x_k, y_k) - f(x, \phi_n(x))| < \varepsilon/\delta$（$x \in [x_k, x_{k+1}]$）が成り立ち、

$$|r_n(k)| < \int_{x_k}^{x_{k+1}} \frac{\varepsilon}{\delta}\,dx = \frac{\varepsilon}{n}, \quad |r_n^*(x)| < \int_{x_s}^x \frac{\varepsilon}{\delta}\,dx \leq \frac{\varepsilon}{n}, \quad x \in (x_s, x_{s+1}].$$

したがって $|\sigma_n(x)| < \varepsilon + \dfrac{\varepsilon}{n} \leq 2\varepsilon$（$x \in I$）、すなわち $\sigma_n(x) \rightrightarrows 0$。

ステップ3：$\{\phi_n(x)\}$ の一様有界性と同程度一様連続性

各小区間で折れ線の傾きの絶対値は $M$ 以下であるから $|\phi_n(x) - y_0| \leq M\delta \leq b$ となり、$\gamma_n \subset R$ である。したがって $|\phi_n(x)| \leq |y_0| + b$。また $\forall\, \varepsilon > 0$ に対して $\delta_0 = \varepsilon/M$ ととると、$\forall\, s, t \in I$、$\forall\, n \in \mathbb{N}$ に対して $(s, \phi_n(s))$ と $(t, \phi_n(t))$ の間の変化率は $-M$ から $M$ の範囲であるから、$|s-t| < \delta_0$ のとき

$$|\phi_n(s) - \phi_n(t)| \leq M|s-t| < \varepsilon.$$

よって $\{\phi_n(x)\}$ は $I$ 上で一様有界かつ同程度一様連続である。

ステップ4：Ascoli--Arzelàの定理の適用と極限

Ascoli--Arzelàの定理より、$\{\phi_n(x)\}$ から $I$ 上で一様収束する部分列 $\{\phi_{n_k}(x)\}$ が取り出せる。その極限を $\phi(x)$ とすると、(2.3.1) において $\phi_{n_k}(x)$ に $k \to \infty$ の極限を取ると $\sigma_{n_k}(x) \rightrightarrows 0$ と $f$ の連続性から、

$$\phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t, \phi(t))\,dt, \quad x \in I.$$

$y = \phi(x)$ は (2.2.1) を $I$ 上で満たす解である。

定理19についての注意事項をまとめる。

定理19について注意する。上の証明のようにEuler折れ線を用いる方法はTonelliの方法と呼ばれる。Peanoの定理は解の存在のみを保証し、一意性は保証しない。Picardの定理（定理18）とは補完的な関係にある。

例 2.2 方程式 $y' = (1-y^2)e^{x^2+y^2}$ の解の挙動を調べる。

$f(x,y) = (1-y^2)e^{x^2+y^2}$ と $f_y$ は $\mathbb{R}^2$ 全体で連続であるから、定理18より任意の点を通る解が局所的に唯一存在する。$y = \pm 1$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義される解である。異なる解は交わらないから、$y_0 \neq \pm 1$ の解は直線 $y = \pm 1$ を横切らない。$(x_0, y_0)$ を通る解 $y = \phi(x)$ の最大定義区間を $J$ とする。

2.4 初期値に関する解の連続依存性

解は初期値にどう依存するか、またパラメーターにどう依存するかという問いは応用上重要である。例として：

$$\frac{dx}{dt} = ax, \quad x(t_0) = x_0$$

の解は $x(t) = x_0 e^{a(t-t_0)}$ であり、$t$、$a$、$(t_0, x_0)$ に対して滑らかに依存する。$x(t)$ を $x(t; t_0, x_0, a)$ と書く。

より一般の場合：

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y, \lambda), \quad y(x_0) = y_0, \tag{2.4.1}$$

ここで $\lambda \in K \subset \mathbb{R}^m$（$m$ 次元コンパクト集合）。$t = x - x_0$、$u = y - y_0$ と置換すると、

$$\frac{du}{dt} = f(t+x_0, u+y_0, \lambda), \quad u(0) = 0,$$

これは (2.4.1) と同値であり、簡単のため

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y, \lambda), \quad y(0) = 0 \tag{2.4.2}$$

と書き直す。

定理 20 $f(x,y,\lambda)$ を $\Omega \times \Lambda \subset \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^m$ 上の連続関数とし、$y$ について局所Lipschitz連続とする。すなわち $\forall\, Z_0 = (x_0, y_0, \lambda_0) \in \Omega \times \Lambda$ に対してある近傍 $U_{Z_0}$ と定数 $L_{Z_0}$ が存在して、$\forall\, (x, y_1, \lambda),\, (x, y_2, \lambda) \in U_{Z_0}$ に対して

$$|f(x, y_1, \lambda) - f(x, y_2, \lambda)| \leq L_{Z_0}|y_1 - y_2|$$

が成り立つとする。$(0,0) \in \Omega$ のとき、(2.4.2) は唯一の解 $y = \phi(x, \lambda)$ を持ち、$\phi$ は $(x, \lambda)$ について連続である。

証明

定理18と同様の議論による。$\lambda_0 \in \Lambda$ を固定し、$\lambda_0$ の近傍 $C_0 \subset \Lambda$ をとる。

$$R := \{(x,y)\,;\; |x| \leq a,\, |y| \leq b\} \subset \Omega, \quad M = \max_{(x,y,\lambda)\in R\times C_0} |f(x,y,\lambda)|.$$

$f(x,y,\lambda)$ は $R \times C_0$ 上でLipschitz定数 $L$ を持つとする。

$$\delta \in \left(0,\, \min\!\left\{\frac{1}{L},\, a,\, \frac{b}{M}\right\}\right), \quad I = [-\delta, \delta].$$
$$\mathcal{C} := \{y(x,\lambda) \in C(I \times C_0)\,;\; |y(x,\lambda)| \leq b\}.$$

$\mathcal{C}$ 上の距離を

$$\rho(y_1, y_2) = \max_{(x,\lambda)\in I\times C_0} |y_1(x,\lambda) - y_2(x,\lambda)|, \quad \forall\, y_1, y_2 \in \mathcal{C}$$

と定める。補題11より $(\mathcal{C}, \rho)$ は完備距離空間。(2.4.2) の解は積分方程式

$$y(x,\lambda) = \int_0^x f(t, y(t,\lambda), \lambda)\,dt \tag{2.4.3}$$

と同値。写像 $(Ty)(x,\lambda) = \int_0^x f(t,y(t,\lambda),\lambda)\,dt$（$y(x,\lambda) \in \mathcal{C}$）は $\mathcal{C}$ から $\mathcal{C}$ への縮小写像であり（定理18と同様）、不動点 $y = \phi(x,\lambda)$ が存在する。これは $I \times C_0$ 上で (2.4.2) の唯一の解となる。定理18と同様に (2.4.2) の解は $J \times C_0$ 上に延長でき、$y = \phi(x,\lambda)$（$x \in J$）が得られる。

2.5 1階線形方程式の解の構造

§1.2で学んだ解法を踏まえ、§2.2および§2.4の理論により、1階線形方程式の解の構造を詳しく論じる。

1階線形常微分方程式は次の形で書ける。

$$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x), \tag{2.5.1}$$

ここで $p(x)$、$q(x)$ は区間 $(\alpha, \beta)$ 上の連続関数である。$q(x) \equiv 0$ のとき、(2.5.1) は斉次方程式

$$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0 \tag{2.5.2}$$

となる。$q(x) \not\equiv 0$ のとき、(2.5.1) は非斉次方程式という。応用例として、RL回路の方程式

$$L\frac{dI}{dt}(t) + RI(t) = E(t)$$

が挙げられる。ここで $L$ はインダクタンス、$R$ は抵抗、$I(t)$ は電流、$E(t)$ は起電力である。

定理 21 $p(x),\, q(x) \in C(\alpha, \beta)$ のとき、方程式 (2.5.1) および (2.5.2) について次が成り立つ。

  1. 任意の $x_0 \in (\alpha, \beta)$、$y_0 \in \mathbb{R}$ に対して、(2.5.1) の $y(x_0) = y_0$ を満たす解が $(\alpha, \beta)$ 全体で唯一存在する。
  2. (2.5.2) の解の全体は（実）線形空間をなす。零でない解は $(\alpha, \beta)$ 上に零点をもたない。
  3. (2.5.1) の一般解は、(2.5.2) の一般解と (2.5.1) の一つの特解の和で表される。
証明

(1) §1.1.2の例(3)の公式により、$(\alpha, \beta)$ 全体で定義された解が存在する。$F(x,y) = -p(x)y + q(x)$ について $F_y = -p(x)$ は連続であるから、定理18より解は局所的に唯一であり、したがって $(\alpha, \beta)$ 全体で唯一である。

(2) 斉次方程式の解の線形結合は再び解である。$y \equiv 0$ は $y(x_0) = 0$ を満たす解であるから、(1) の一意性より、ある点 $x_0$ で $\varphi(x_0) = 0$ となる解 $\varphi$ は $\varphi \equiv 0$ に限る。

(3) $y_p$ を (2.5.1) の特解とすると、(2.5.1) の任意の解 $y$ について $y - y_p$ は (2.5.2) の解であり、逆に (2.5.2) の解に $y_p$ を加えたものは (2.5.1) の解である。$\square$

次に、パラメーター $\lambda$ を含む場合を考える。

$$\frac{dy}{dx} + p(x,\lambda)y = q(x,\lambda), \tag{2.5.3}$$

ここで $\lambda \in \Lambda \subset \mathbb{R}^m$（$\Lambda$ はコンパクト集合）。定理20と定理21より次が成り立つ。

定理 22 $p(x,\lambda),\, q(x,\lambda) \in C\bigl((\alpha, \beta) \times \Lambda\bigr)$、$x_0 \in (\alpha, \beta)$、$y_0 \in \mathbb{R}$ のとき、(2.5.3) の $y(x_0) = y_0$ を満たす解は $y = \varphi(x;\lambda, x_0, y_0)$ と書け、$(\alpha, \beta)$ 全体で一意かつ連続的に $\lambda$ に依存する（$\lambda \in \Lambda$）。

証明

(2.5.3) の斉次方程式

$$\frac{dy}{dx} + p(x,\lambda)y = 0 \tag{2.5.4}$$

の一般解は

$$y = c(\lambda)e^{-\int p(x,\lambda)\,dx},$$

ここで $c(\lambda)$ は $\lambda$ に依存する任意定数である。定数 $c(\lambda)$ を $x$ の関数 $c(x,\lambda)$ とおく（定数変化法）と、

$$y = c(x,\lambda)e^{-\int p(x,\lambda)\,dx}$$

を (2.5.3) に代入して

$$\frac{dc(x,\lambda)}{dx}e^{-\int p(x,\lambda)\,dx} = q(x,\lambda).$$

積分すると

$$c(x,\lambda) = \int q(x,\lambda)e^{\int p(x,\lambda)\,dx}\,dx + c^*(\lambda),$$

ここで $c^*(\lambda)$ は $\lambda$ に依存する積分定数。よって (2.5.3) の一般解は

$$y(x;\lambda,c) = e^{-\int p(x,\lambda)\,dx}\!\left(c + \int q(x,\lambda)e^{\int p(x,\lambda)\,dx}\,dx\right),$$

$c$ は任意定数。

具体的に (2.5.3) の解を初期条件で指定すると、$x_0 \in (\alpha, \beta)$ とすると：

$$y = \varphi(x;\lambda, x_0, c) = e^{-\int_{x_0}^x p(s,\lambda)\,ds}\!\left(c + \int_{x_0}^x q(t,\lambda)e^{\int_{x_0}^t p(s,\lambda)\,ds}\,dt\right),$$

これは $ce^{-\int_{x_0}^x p(s,\lambda)\,ds}$ と $\int_{x_0}^x q(t,\lambda)e^{\int_x^t p(s,\lambda)\,ds}\,dt$ の和である。前者は (2.5.2) の解、後者は (2.5.3) の特解。

$x_0 \in (\alpha, \beta)$ で $y(x_0) = y_0 \in \mathbb{R}$ を指定すると $c = y_0$ となり、

$$y = \varphi(x;\lambda, x_0, y_0) = e^{-\int_{x_0}^x p(s,\lambda)\,ds}\!\left(y_0 + \int_{x_0}^x q(t,\lambda)e^{\int_{x_0}^t p(s,\lambda)\,ds}\,dt\right), \quad x \in (\alpha, \beta). \tag{2.5.5}$$

$(\lambda, x_0, y_0) \in \Lambda \times (\alpha, \beta) \times \mathbb{R}$ に対して (2.5.5) は一意の解を与える。(2.5.5) の右辺は $(\lambda, x, x_0, y_0)$ について連続であるから、連続依存性が従う。

定理 23 $p(x,\lambda),\, q(x,\lambda) \in C\bigl((\alpha, \beta) \times \Lambda\bigr)$、$x_0 \in (\alpha, \beta)$、$y_0 \in \mathbb{R}$ に対して、(2.5.3) の $y(x_0) = y_0$ を満たす解 $y = \varphi(x;\lambda, x_0, y_0)$ は $(\alpha, \beta)$ 全体で定義され、$\lambda \in \Lambda$ および $(x, x_0, y_0) \in (\alpha, \beta)^2 \times \mathbb{R}$ について連続的に依存する。

例 2.3 以下の各問いに答える。

練習問題

1. 補題10の(b)(c)を示せ。

2. $b > 0$、$a$、$\alpha$、$\beta$（$\alpha < \beta$）を定数とする。

$$\mathcal{C} := \{y(x) \in C[\alpha,\beta]\,;\; |y(x)-a| \leq b\}$$

に対して $\rho$ を $\mathcal{C}$ 上の一様距離として $(\mathcal{C}, \rho)$ が完備距離空間であることを示せ。

3. 補題12を示せ。

4. $\Omega \subset \mathbb{R}^n$、$b > 0$ として

$$\mathcal{C} := \{y(x) \in C(\Omega)\,;\; |y(x)| \leq b\}$$

に対して $\rho(y_1, y_2) = \max_{x \in \Omega}|y_1(x) - y_2(x)|$（$\forall\, y_1, y_2 \in \mathcal{C}$）とおくと $(\mathcal{C}, \rho)$ が完備距離空間であることを示せ。

5. 定理15の評価式 (3) を示せ。

6. 補題17を示せ。

7. 定理18の証明で、$T$ が $\mathcal{C}$ を $\mathcal{C}$ に写すことを確かめよ。

8. Picard列が一様収束することを、$\rho(\phi_{n+1}, \phi_n) \leq (L\delta)^n\rho(\phi_1, \phi_0)$ を示すことで確かめよ。

9. 定理18の逐次近似法を用いて初期値問題

$$y'(x) = y^2 + x^2, \quad y(0) = 1$$

の第3近似 $\phi_3$（3回の逐次近似）を求めよ。

10. §2.3のAscoli--Arzelàの定理を証明せよ。

11. Ascoli--Arzelàの定理を用いて定理19（Peano）を、Euler折れ線（Tonelliの方法）を用いて自力で証明せよ。

12. $f(x,y)$、$F(x,y)$ を $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上の連続関数で、

$$f(x,y) < F(x,y), \quad (x,y) \in \Omega$$

を満たすとする。$\phi(x)$、$\Phi(x)$ をそれぞれ $y' = f(x,y)$、$y' = F(x,y)$ の同一点 $(x_0, y_0) \in \Omega$ を通る解とすると、

$$\phi(x) < \Phi(x),\; x > x_0; \qquad \phi(x) > \Phi(x),\; x < x_0$$

が成り立つことを示せ。

13. $\delta \in \mathbb{R}$ に対して初期値問題

$$\frac{dy}{dx} = \begin{cases} 0, & y = 0, \\ y\ln^\delta|y|, & y \neq 0, \end{cases} \quad y(0) = 0$$

を考える。$\delta > 0$ のとき解の一意性について議論せよ。

14. 次の各方程式の解の最大定義区間を求めよ。

(14.1) $y' = y^2$； (14.2) $y' = x^2 + y^2$； (14.3) $y' = 1/(x^2 + y^2)$.

15. $p(x)$、$q(x)$ を $\mathbb{R}$ 上の連続関数とし、$y_1(x)$、$y_2(x)$ をいずれも方程式

$$y' + p(x)y = q(x)$$

の $\mathbb{R}$ 上の相異なる解とする。このとき $\mathbb{R}$ 上の任意の解 $y(x)$ が

$$\frac{y(x) - y_1(x)}{y_2(x) - y_1(x)} = c, \quad x \in \mathbb{R}$$

（$c$ は任意定数）の形で表せることを示せ。

16. $q(x)$ を $\mathbb{R}$ 上の連続関数とし $\lim_{x \to 0} q(x) = b$ とし、$a \in \mathbb{R}$ を定数とする。方程式

$$xy' + ay = q(x)$$

について、(a) $a > 0$ のとき $x \to 0$ での挙動、(b) $a < 0$ のとき $x \to 0$ での挙動を調べよ。

17. $q(x)$ を $\mathbb{R}$ 上の連続周期関数とする。方程式 $y' + y = q(x)$ について、(a) $\mathbb{R}$ 上の有界解の存在、(b) $q(x)$ が周期 $\omega$ をもつとき周期 $\omega$ の解の存在を示せ。

18. 連続関数 $f(x)$ が

$$\int_0^x \frac{f(t)}{f^2(t) + t}\,dt = f(x) - 1$$

を満たすとき $f(x)$ を求めよ。

19. 方程式

$$xy' - (2x^2+1)y = x^2$$

の $x \to \infty$ でのすべての解の漸近挙動を求めよ。

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