現代幾何学

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現代微分幾何学発展の主な動力は Einstein の相対性理論にある。大学数学においてこの中心的な数学領域に触れることが必要であると考えるが、ここではその極めて重要な一部しか紹介できない。この種の数学は幾何学の分野に属するが比較的抽象的であるため、公理的方法で定義を直接与えるほかない。しかし一度この思考法に慣れれば、数学的に大きな進歩が得られるであろう。

微分多様体と外微分形式

微分多様体

簡略に言えば、$n$次元多様体とは集合に位相構造を与えたもので、局所的に$n$次元ユークリッド空間のように見えるものである。正確な定義を与える。

定義 1（微分多様体） 次の2条件を持つ集合$M$を$n$次元微分多様体と呼ぶ。

$\mathbb{R}^n$内の開集合$V_\alpha$と単射$f_\alpha: V_\alpha\to M$が存在して$\bigcup_\alpha f_\alpha(V_\alpha) = M$を満たし、$W \equiv f_\alpha(V_\alpha)\cap f_\beta(V_\beta)\neq\emptyset$のとき$f_\alpha^{-1}(W)$と$f_\beta^{-1}(W)$は$\mathbb{R}^n$内の開集合で、写像$f_\alpha^{-1}\circ f_\beta$と$f_\beta^{-1}\circ f_\alpha$は滑らかである。
集族$\mathcal{V} \equiv \{(V_\alpha, f_\alpha)\}$は条件(1)に関して極大である（$\mathcal{V}$と共通部分を持つ条件(1)を満たす任意の集族は$\mathcal{V}$に含まれる）。

$(V_\alpha, f_\alpha)$を点$p\in f_\alpha(V_\alpha)$のパラメータ化、$\varphi_\alpha = f_\alpha^{-1}$として$(\varphi_\alpha, U_\alpha)$（$U_\alpha = f_\alpha(V_\alpha)$）を座標系と呼ぶ（図4.1参照）。

注意． (1) 条件(2)は技術的条件である。実際、条件(1)を満たす集族はいつでも極大に拡張できる。$\mathbb{R}^3$内の曲面は2次元微分多様体であることが容易に確かめられる。

(2) $M$上には自然な位相が定まる。すなわち、集合$U\subset M$が開集合であるとは、任意の$(V_\alpha, f_\alpha)$に対して$f_\alpha^{-1}(U)\subset V_\alpha$が$\mathbb{R}^n$内の開集合であることである。多様体$M$には Hausdorff 公理（相異なる2点はそれぞれの開近傍を持ち互いに素）と可算公理（可算個の座標近傍で被覆できる）を要求する。

多様体の例

例 1 $\mathbb{R}^n$内の開集合$\Omega$は$n$次元微分多様体である（$U = \Omega$、$\varphi = \mathrm{id}$）。

例 2 $H = \{x\in\mathbb{R}^{n+1} : x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2 = 1,\; x_0 > 0\}$。 $\varphi: H\to\mathbb{R}^n$を$\varphi(x) = (x_1,\ldots,x_n)$で定めると、これは$H$の大域座標系をなし、$H$は$n$次元微分多様体となる。

例 3（球面） $S^n$を単位球面とし、北極$N = (1,0,\ldots,0)$と南極$S = (-1,0,\ldots,0)$をとる。$U_1 = S^n\setminus\{N\}$、$U_2 = S^n\setminus\{S\}$として立体射影（図4.2参照）

$$\Pi_1(x) = (x_1,\ldots,x_n)/(1-x_0),\qquad \Pi_2(x) = (x_1,\ldots,x_n)/(1+x_0)$$

を定める。$(U_i, \Pi_i)$が$S^n$の座標系をなし、$\Pi_2\circ\Pi_1^{-1}: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$は$\Pi_2\circ\Pi_1^{-1}(y) = y/|y|^2$と計算でき、これは滑らかであるから$S^n$は$n$次元微分多様体となる。

定義 2（滑らかな写像・はめ込み・埋め込み） $f: M_1^n\to M_2^k$が点$p$で滑らかであるとは、$p$のある座標系$(U_\alpha,\varphi_\alpha)$が存在して、$(U_\beta,\varphi_\beta)$に対し$\varphi_\beta\circ f\circ\varphi_\alpha^{-1}$が$\varphi_\alpha(p)$で滑らかなことをいう。

$f$がはめ込み（immersion）であるとは、$n\leq k$かつ任意の$p$で$df_p: T_pM_1\to T_{f(p)}M_2$が単射なこと。さらに$f(M_1)$が$M_2$の相対位相を持ち、$f: M_1\to f(M_1)$が同相であるとき埋め込み（embedding）という。$M_1\subset M_2$かつ包含写像$i: M_1\to M_2$が埋め込みのとき、$M_1$を$M_2$の埋め込み部分多様体という。

例 4（特殊直交群） $SO(n) = \{A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) : \det A = 1,\; AA^T = I\}$。 $GL^+(n) = \{A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) : \det A > 0\}$は$\mathbb{R}^{n^2}$内の開集合であり、$F: GL^+(n)\to S_{n\times n}$（$S_{n\times n}$は対称行列の空間）を$F(A) = AA^T - I$で定めると$SO(n) = F^{-1}(0)$となる。曲面論と同様に陰関数定理を用いると、$SO(n)$は$M_{n\times n}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{n^2}$内の$n(n-1)/2$次元部分多様体であることが示せる。

定義 3（接束） 接束を$TM = \{(p,v) : p\in M,\; v\in T_pM\}$で定義する。$TM$は$2n$次元微分多様体である（$(V_\alpha\times\mathbb{R}^n, F_\alpha)$が座標系を与える）。

定義 4（接ベクトル・接空間） $\gamma: I\to M$を滑らかな曲線（$\gamma(0) = p$）とし、$p$での滑らかな関数全体を$A$とする。$\gamma$の$p$での接ベクトルを$\gamma'(0): A\to\mathbb{R}$として$\gamma'(0)\varphi = (d/dt)(\varphi\circ\gamma)|_{t=0}$で定める（図4.3参照）。$p$での接空間$T_pM$は、$p$での全ての接ベクトルのなす空間である。

座標系$(x^1,\ldots,x^n)$のもとで$\gamma'(0) = \dot{x}^i(0)\partial_{x^i}|_p$と表せ、$T_pM = \mathrm{span}_{\mathbb{R}}\{\partial_{x^i}|_p\}$（$n$次元線形空間）が成り立つ。余接空間を$T^*_pM = (T_pM)^*$と定義する。

練習問題

2つの多様体$M, N$の直積$M\times N$が多様体であることを示し、次元と接空間を述べよ。また射影写像$\Pi_1: M\times N\to M$、$\Pi_2: M\times N\to N$が滑らかであることを証明せよ。
例4の$SO(n)$の点$A$における接空間$T_ASO(n)$を求めよ。
実射影空間$P^n(\mathbb{R}) = (\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\})/\sim$（$x\sim y\iff \exists\lambda\in\mathbb{R}: x=\lambda y$）が多様体であることを示し、接束を求めよ。
$S^n$の単位の分割と接束を求めよ。例3とは異なる座標系を構成せよ。
行列式が1の$3\times3$実行列の空間$M$について、 (1) $M$の微分構造を構成せよ。(2) $M$が$\mathbb{R}^9$の超曲面であることを示せ。 (3) $M$の単位行列$I$での接空間$T_IM$を求めよ。

$\mathbb{R}^n$内の開集合上の外微分形式

外微分形式を系統的に導入する。 $p\in\mathbb{R}^n$として$\mathbb{R}^n_p$を$p$での接空間、$(\mathbb{R}^n_p)^*$をその双対空間（$\mathbb{R}^n_p$上の全線形関数の空間）とする。以下$E = \mathbb{R}^n_p$、$E^* = (\mathbb{R}^n_p)^*$、$e_i = \partial_{x^i}|_p$と書く。

定義 1（$k$次交代テンソル） $\varphi: E\times\cdots\times E\to\mathbb{R}$が各変数に線形で$\varphi(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots) = -\varphi(\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots)$（交代性）を満たすとき、$\varphi$を$E$上の$k$次交代線形関数と呼ぶ。その空間を$\wedge^k E^*$と書く。$k > n$のとき$\wedge^k E^* = 0$となる。

$\varphi_1,\ldots,\varphi_k\in E^*$に対して

$$(\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_k)(v_1,\ldots,v_k) = \det(\varphi_i(v_j))$$

で外積を定義する。$I_{n,k} = \{(i_1,\ldots,i_k) : 1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n\}$とおく。

命題 1 $\{dx^\alpha : \alpha\in I_{n,k}\}$（$dx^\alpha = dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$）は$\wedge^k E^*$の基底をなす。したがって$\dim\wedge^k E^* = \binom{n}{k}$。

定義 2（外微分$k$形式） $\mathbb{R}^n$内の開集合$W$上の外微分$k$形式とは、任意の$p\in W$で$\omega(p)\in\wedge^k E^*$を満たし、$\omega = \sum_{\alpha\in I_{n,k}}a_\alpha dx^\alpha$（$a_\alpha: W\to\mathbb{R}$は滑らか）と書けるものをいう。$W$上の$k$形式全体を$\wedge^k(W)$と書く。

定義 3（外微分） $k$形式$\omega = \sum_\alpha a_\alpha dx^\alpha$の外微分を$d\omega = \sum_\alpha da_\alpha\wedge dx^\alpha$で定義する。

命題 2（外微分の性質）

$d(\omega_1+\omega_2) = d\omega_1+d\omega_2$
$\omega\in\wedge^k(W)$、$\varphi\in\wedge^s(W)$のとき$d(\omega\wedge\varphi) = d\omega\wedge\varphi + (-1)^k\omega\wedge d\varphi$
$d^2\omega = 0$

証明は練習問題とする。

例 $\omega = xy\,dx + yz\,dy + (x+z)\,dz\in\wedge^1(\mathbb{R}^3)$のとき

$$\begin{aligned}d\omega &= d(xy)\wedge dx + d(yz)\wedge dy + d(x+z)\wedge dz \\ &= -x\,dx\wedge dy - y\,dy\wedge dz + dx\wedge dz\end{aligned}$$

となる。

定義 4（引き戻し（pullback）） 滑らかな写像$f: W\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$と$\omega\in\wedge^k(\mathbb{R}^m)$に対して引き戻し$f^*\omega\in\wedge^k(W)$を

$$(f^*\omega)|_p(v_1,\ldots,v_k) = \omega|_{f(p)}(df_p(v_1),\ldots,df_p(v_k))$$

で定義する。滑らかな関数$h$に対しては$f^*(h) = h\circ f$と約束する。

命題 3 $f: W\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$を滑らかな写像とする。

$f^*(\omega+\varphi) = f^*\omega + f^*\varphi$
$f^*(h\omega) = f^*(h)\cdot f^*(\omega)$
$f^*(\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_k) = f^*\varphi_1\wedge\cdots\wedge f^*\varphi_k$
$d(f^*\omega) = f^*(d\omega)$

証明

（(4)のみ） $h: \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$が滑らかなとき、$f^*(dh) = f^*(h_{y^i}dy^i) = h_{y^i}\circ f\cdot f^i_{x^j}dx^j = d(h\circ f) = d(f^*h)$。一般の$k$形式$\omega = \sum_\alpha a_\alpha dx^\alpha$に対しては$d(f^*\omega) = \sum d(f^*(a_\alpha))\wedge f^*(dx^\alpha) = f^*(d\omega)$となる。

練習問題

$\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_k(v_1,\ldots,v_k) = \det(\varphi_i(v_j))$（$\varphi_i\in\wedge^1(W)$）が成り立つことを示せ。
$\omega$を$k$形式、$\varphi$を$s$形式、$\theta$を$r$形式とするとき次を証明せよ： (1) $(\omega\wedge\varphi)\wedge\theta = \omega\wedge(\varphi\wedge\theta)$、 (2) $\omega\wedge\varphi = (-1)^{ks}(\varphi\wedge\omega)$、 (3) $r=s$のとき$\omega\wedge(\varphi+\theta) = \omega\wedge\varphi+\omega\wedge\theta$。
$\varphi_1,\varphi_2$を$\mathbb{R}^m$上の外微分形式とするとき$f^*(\varphi_1\wedge\varphi_2) = (f^*\varphi_1)\wedge(f^*\varphi_2)$を証明せよ。
$\varphi$を$k$形式（$k$は奇数）とするとき$\varphi\wedge\varphi = 0$を示せ。
$\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$上の2形式 $\omega = (x\,dy\wedge dz - y\,dx\wedge dz + z\,dx\wedge dy)/(x^2+y^2+z^2)^{3/2}$ に対して、$S^2\hookrightarrow\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$への包含写像$\Phi$の引き戻し$\Phi^*\omega$と$d\Phi^*\omega$を計算せよ。

多様体上の微分形式とベクトル場

$p\in M$として$\wedge^k(T_pM)^*$を$T_pM$上の$k$次交代テンソルの空間とする。

定義 1（多様体上の$k$形式） $w$が$M$上の$k$形式であるとは、任意の$p\in M$で$w(p)\in\wedge^k(T_pM)^*$を満たし、パラメータ化$(V_\alpha,f_\alpha)$ごとに$w_\alpha(v_1,\ldots,v_k) = w(df_\alpha(v_1),\ldots,df_\alpha(v_k))$（$v_i\in\mathbb{R}^n$）が定める$w_\alpha\in\wedge^k(V_\alpha)$が整合条件$w_\alpha = (f_\beta^{-1}\circ f_\alpha)^*w_\beta$を満たすことをいう。

前節の命題3(4)より$d w_\alpha = (f_\beta^{-1}\circ f_\alpha)^*d w_\beta$が成り立つから、$\{dw_\alpha\}$から$M$上の$(k+1)$形式$dw$が定まり（$d^2 = 0$）、これを$w$の外微分と呼ぶ。

定義 2（滑らかなベクトル場） $X$が$M$上の滑らかなベクトル場であるとは、$X\in C^\infty(M, TM)$かつ任意の$p\in M$で$X(p)\in T_pM$を満たし、各$V_\alpha$上で$X(p) = \sum_i a^i_\alpha \partial_{x^i_\alpha}|_p$（$a^i_\alpha\in C^\infty(U_\alpha)$）と表せることをいう。$M$上の滑らかなベクトル場全体を$\mathfrak{X}(M)$と書く（図4.4参照）。

局所表示$X = a^i\partial_{x^i}$、$Y = b^i\partial_{x^i}$のもとでリー括弧積$[X,Y] = XY - YX\in\mathfrak{X}(M)$は

$$[X,Y] = \left(a^i\frac{\partial b^j}{\partial x^i} - b^i\frac{\partial a^j}{\partial x^i}\right)\partial_{x^j}$$

と計算される。

命題 1（リー括弧積の性質） $X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M)$、$a,b\in\mathbb{R}$、$\varphi,\theta\in C^\infty(M)$に対して：

$[X,Y] = -[Y,X]$（反対称性）
$[aX+bY,Z] = a[X,Z]+b[Y,Z]$（双線形性）
$[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y] = 0$（Jacobi 恒等式）
$[\theta X,\varphi Y] = \theta\varphi[X,Y] + \theta\cdot X(\varphi)Y - \varphi\cdot Y(\theta)X$

外微分とリー括弧積の間には密接な関係がある。

定理 1 $\omega\in\wedge^1(M)$、$X,Y\in\mathfrak{X}(M)$に対して

$$d\omega(X,Y) = X\omega(Y) - Y\omega(X) - \omega([X,Y])$$

が成り立つ。

証明

$\omega = f\,dx^k$（$f\in C^\infty(M)$）として計算すると、$d(f\,dx^k)(\partial_{x^i}, \partial_{x^j}) = \delta_{kj}f_{x^i} - \delta_{ki}f_{x^j}$。一方$[\partial_{x^i},\partial_{x^j}] = 0$を用いると右辺も同じ値になることが確かめられる。

次に$\mathbb{R}^n$上の構造方程式を述べる。

定義 3（リーマン構造） $n$次元微分多様体$M$のリーマン構造または計量$g$とは、任意の$p\in M$で$g(p) = \langle\,,\,\rangle_p$が$T_pM$上の正定値内積であり、任意の$X,Y\in\mathfrak{X}(M)$に対して$p\mapsto\langle X,Y\rangle_p$が滑らかであることをいう。リーマン計量を持つ多様体をリーマン多様体と呼び$(M,g)$と書く。

リーマン多様体の代表例は空間曲面である。座標$(x^1,\ldots,x^n)$のもとで$g_{ij}(p) = \langle\partial_{x^i},\partial_{x^j}\rangle_p$とおくと$g = g_{ij}\,dx^i\,dx^j$と書ける。

定理 2（$\mathbb{R}^n$上の構造方程式） $\{e_i\}_{i=1}^n$を$\mathbb{R}^n$上の正規直交活動標架（$\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$）、$\{\omega_i\}$をその双対余標架とする。このとき反対称な1形式$(w_{ij})$（$w_{ij} = -w_{ji}$）が存在して

$$d\omega_i = \sum_k\omega_k\wedge\omega_{ki},\qquad d\omega_{ij} = \sum_k\omega_{ik}\wedge\omega_{kj}$$

が成り立つ。

証明

$e_i = \sum_j b_{ij}\delta_j$（$(b_{ij})\in O(n)$は直交行列）とすると$\omega_i = \sum_j b_{ij}\,dx^j$。$de_i = \sum_j\omega_{ij}e_j$（$\omega_{ij} = -\omega_{ji}$）と定義する。$\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$を微分すると$\omega_{ij}+\omega_{ji}=0$が確かめられる。 $de_i = d(b_{ij}\delta_j) = db_{ij}\delta_j$と$\omega_{ij}e_j = \sum_k\omega_{ij}b_{jk}\delta_k$を比較すると$db_{ij} = \sum_k\omega_{ik}b_{kj}$。これを外微分すると

$$d\omega_i = \sum_j db_{ij}\wedge dx^j = \sum_{j,k}\omega_{ik}b_{kj}\wedge dx^j = \sum_k\omega_k\wedge\omega_{ki}$$

が得られる。$d^2 = 0$から$0 = d(db_{ij}) = \sum_k d\omega_{ik}b_{kj} - \sum_k\omega_{ik}\wedge db_{kj}$、すなわち$\sum_k d\omega_{ik}b_{kj} = \sum_k\omega_{ik}\wedge\omega_{km}b_{mj}$となり、第2の式が従う。

向き付け可能多様体

定義 4（向き付け可能多様体） $n$次元微分多様体$M$が向き付け可能（orientable）であるとは、$M$上にどこでも$0$でない$n$形式が存在することをいう。そうでない場合を向き付け不可能と呼ぶ。この概念は多様体上の積分論で重要な役割を果たす。

練習問題

$F: M^m\to N^n$を滑らかな写像、$p\in M$、$q=F(p)$として$F_*: T_pM\to T_qN$（$\langle F_*X, \omega\rangle_q = \langle X, F^*\omega\rangle_p$）を定義する（図4.5参照）。座標系$(x^i)$（$p$の近傍）と$(y^\alpha)$（$q$の近傍）のもとで$F^\alpha = y^\alpha\circ F$とおくとき、 (1) $F^*(dy^\alpha) = \sum_i F^\alpha_{x^i}dx^i$、 (2) $F_*\partial_{x^i} = \sum_\alpha F^\alpha_{x^i}\partial_{y^\alpha}$、 (3) $dF_* = F_*d$を確かめよ。
（Cartan の補題）$k\leq m$として$\omega_1,\ldots,\omega_k\in\wedge^1(\mathbb{R}^m)$が各点で線形独立とする。$\theta_1,\ldots,\theta_k\in\wedge^1(\mathbb{R}^m)$が$\sum_i\theta_i\wedge\omega_i = 0$を満たすならば、$A_{ij} = A_{ji}$なる滑らかな関数$A_{ij}$が存在して$\theta_i = \sum_j A_{ij}\omega_j$と書けることを示せ。
$\mathbb{R}^n$の正規直交活動標架$\{e_i\}$と双対余標架$\{\omega_i\}$に対して第一構造方程式$d\omega_i = \sum_k\omega_k\wedge\omega_{ki}$が成り立つ（再確認）。$\Phi = \omega_I$（$I = (1,\ldots,k)$、$k < n$）と定義するとき、ある$\varphi\in\wedge^1(\mathbb{R}^n)$が存在して$d\Phi = \varphi\wedge\Phi$となることを示せ。
$\mathbb{R}^3$上のベクトル場$X = \sum_i X^i\partial_{x^i}$に対して、$d\varphi = \sum_i X^i\partial_{x^i}dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$を満たす$\varphi\in\wedge^1(\mathbb{R}^3)$を求めよ。
$\mathbb{R}^3$上のベクトル場 $X = \tfrac{1}{2}(1+x^2-y^2-z^2)\partial_x + (xy-z)\partial_y + (xz+y)\partial_z$、 $Y = (xy+z)\partial_x + \tfrac{1}{2}(1-x^2+y^2-z^2)\partial_y + (yz-x)\partial_z$、 $Z = (xz-y)\partial_x + (yz+x)\partial_y + \tfrac{1}{2}(1-x^2-y^2+z^2)\partial_z$について、 (1) 各$p\in\mathbb{R}^3$で$\{X,Y,Z\}$が正規直交基底をなすことを確かめよ。 (2) $[X,Y]$、$[Y,Z]$、$[Z,X]$を計算して$\{X,Y,Z\}$で表せ。 (3) $U = \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$上の写像$F: (x,y,z)\mapsto(x,y,z)/(x^2+y^2+z^2)$に対して$F_*X$、$F_*Y$、$F_*Z$を計算せよ。
$\mathbb{R}^{2n+1}$上で$\omega = dx^{2n+1} + \sum_{i=1}^n x^{2i-1}dx^{2i}$と定義する。$\omega\wedge(d\omega)^n$がどこでも$0$でないことを確かめよ。
$\mathbb{R}^n$上で$\Omega = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$とし、ベクトル場$X = \sum_i X^i\partial_{x^i}$に対して$(n-1)$形式$i_X\Omega$を$i_X\Omega(Y_1,\ldots,Y_{n-1}) = \Omega(X,Y_1,\ldots,Y_{n-1})$で定義する。$d(i_X\Omega)$を求めよ。

リー微分

$X\in\mathfrak{X}(M)$として、その積分曲線（integral curve）の方程式$\gamma'(t) = X(\gamma(t))$を考える。

命題 1 任意の$p\in M$に対して区間$I_p$（$0\in I_p$）と一意な滑らかな曲線$\gamma_p: I_p\to M$が存在して$\gamma_p(0) = p$かつ$\gamma_p'(t) = X(\gamma_p(t))$を満たす。さらに$\gamma_p$は$p\in M$に滑らかに依存する。$\varphi_t(p) = \gamma_p(t)$と定めると、$t_1, t_2\in I_p$かつ$t_1+t_2\in I_p$のとき$\varphi_{t_1+t_2} = \varphi_{t_1}\circ\varphi_{t_2}$が成り立つ。

この性質を持つ$\varphi_t$を$X$の局所1パラメータ変換群（local one-parameter group）、または積分曲線と呼ぶ。逆に$X$を局所1パラメータ変換群$\varphi_t$が$M$上誘導するベクトル場という。

例 1 $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$として$\mathbb{R}^3$上のベクトル場$X(x) = ax^1\partial_{x^1} + bx^2\partial_{x^2} + cx^3\partial_{x^3}$の積分曲線は$\gamma_x(t) = (e^{at}x^1, e^{bt}x^2, e^{ct}x^3)$である。

以下$\bigcap_{p\in M}I_p$が$0$を含む開区間$I = (-\varepsilon,\varepsilon)$であると仮定する。このとき$\varphi_t\circ\varphi_{-t} = \mathrm{Id}$、$\varphi_0 = \mathrm{Id}$から$\varphi_t$は$M$の微分同相であり$\varphi_t^{-1} = \varphi_{-t}$。また$X_p = X(p)$として$X_pf = \frac{d}{dt}f(\varphi_t(p))|_{t=0}$（$f\in C^\infty(M)$）が成り立つ。$L_Xf = Xf$と約束する。

定義 1（ベクトル場のリー微分） $Y$を$M$上のベクトル場（$\gamma_p$上で定義）とするとき、$(\varphi_t^{-1})_*Y_{\varphi_t(p)}\in T_pM$は$t$の滑らかな曲線をなす。その$t=0$での微分

$$L_XY = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}(\varphi_t^{-1})_*Y_{\varphi_t(p)}$$

を$Y$の点$p$における$X$に関するリー微分（Lie derivative）と呼ぶ。

定理 1 $L_XY = [X,Y] =: \mathrm{ad}_X Y$

証明

$f$を$p$の近傍で定義された滑らかな関数とすると、

$$(L_XY)_pf = \lim_{t\to 0}\frac{(\varphi_t^{-1})_*Y_{\varphi_t(p)}f - Y_pf}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{Y_{\varphi_t(p)}(f\circ\varphi_t^{-1}) - Y_pf}{t}$$

$f\circ\varphi_t^{-1}(p) = f\circ\varphi_{-t}(p) = f(p) + th_t(p)$（ただし$h_0(p) = -X_pf$）を用いると、

$$(L_XY)_pf = \lim_{t\to 0}\frac{Y_{\varphi_t(p)}f - Y_pf}{t} + \lim_{t\to 0}Y_{\varphi_t(p)}h_t = X_p(Yf) - Y_p(Xf) = [X,Y]_pf$$

となる。

定義 2（1形式のリー微分） $\omega\in\wedge^1(M)$のリー微分を$(L_X\omega)(Y) = L_X(\omega(Y)) - \omega(L_XY)$で定義する（$X, Y$はベクトル場）。

Frobenius の定理

$X_1,\ldots,X_k\in\mathfrak{X}(M)$が各点で線形独立のとき、$k$次元部分多様体$N^k\subset M$が存在して$T_pN = \mathrm{span}\{X_i|_p\}$（$\forall p\in N$）となるかという問題を考える。$k=1$のとき命題1から可能だが、一般には難しい問題である。

もし可能なら$[X_i,X_j]_p\in T_pN$でなければならず、滑らかな関数$c^m_{ij}$が存在して

Frobenius 条件（可積分条件）

$$[X_i, X_j] = \sum_{m=1}^k c^m_{ij}X_m \quad (1\leq i,j\leq k)$$

が成り立つ必要がある。

定理（Frobenius の定理） 座標近傍$U$上で線形独立なベクトル場$X_1,\ldots,X_k$が Frobenius 条件を満たすならば、各$p\in U$に対して$k$次元部分多様体$N\subset U$（$p\in N$）が存在して$T_qN = \mathrm{span}\{X_i|_q\}$（$\forall q\in N$）となる。

（証明は省略。文献を参照されたい。）

Frobenius の定理は微分形式の言葉で次のように述べられる。

定理（Frobenius の定理（外微分形式による記述）） 1形式の組$\{\omega_\alpha\}$に対して方程式系$\omega_\alpha = 0$が可積分であるための必要十分条件は、微分形式の組$\{F_{\alpha\beta}\}$が存在して$d\omega_\alpha = \sum_\beta F_{\alpha\beta}\wedge\omega_\beta$が成り立つことである。

例 2（Frobenius 条件の確認） $\mathbb{R}^2$上で$\omega = P\,dx + Q\,dy = 0$を考える。$d\omega = (Q_x - P_y)dx\wedge dy$であり、Frobenius 条件$d\omega = F\wedge\omega$（ある$F = A\,dx+B\,dy$）は$Q_x - P_y = AQ - BP$と同値である。Frobenius の定理より、任意の点$(x_0,y_0)$に対して$(x_0,y_0)$を通る滑らかな曲線が存在し、それは陰関数表示$f(x,y) = c$あるいは陽表示$p(t) = (x(t),y(t))$で与えられる。$\omega(p') = 0$（$Px'+Qy'=0$）から、点$(x_0,y_0)$で$C(x,y)\omega = df$を満たす滑らかな関数$C$が存在する——これは「積分因子」の存在と同値である。

例 3（Frobenius の定理の応用）関数$u = u(x,y)$、$v = v(x,y)$が方程式系

$$u_x + B_1v = C_1,\quad u_y + B_2v = C_2,\quad v_x + A_1u = C_3,\quad v_y + A_2u = C_4$$

を満たすとする。$B = B_1\,dx+B_2\,dy$、$A = A_1\,dx+A_2\,dy$、$R = C_1\,dx+C_2\,dy$、$W = C_3\,dx+C_4\,dy$とおくと、方程式系は$du + Bv = R$、$dv + Au = W$と書け、$\omega_1 = du+Bv-R = 0$、$\omega_2 = dv+Au-W = 0$の可積分性の問題となる。Frobenius の定理より可積分条件は$d\omega_1\wedge\omega_1\wedge\omega_2 = 0$かつ$d\omega_2\wedge\omega_1\wedge\omega_2 = 0$。$A,B,R,W$が2次元空間で定義されることを使って計算すると、可積分条件は

$$\frac{\partial A_2}{\partial x} = \frac{\partial A_1}{\partial y},\quad \frac{\partial B_2}{\partial x} = \frac{\partial B_1}{\partial y},\quad C_{2x}-C_{1y}+B_1C_4-B_2C_3 = 0,\quad C_{4x}-C_{3y}+A_1C_2-A_2C_1 = 0$$

となる。

Cartan の外微分法と Frobenius の定理は微分幾何の問題、特に偏微分方程式系の研究に広く応用される。この分野の代表的な研究者として陳省身（S. S. Chern）、P. Griffiths、R. Bryant らが挙げられる。

練習問題

$\mathbb{R}^3$上のベクトル場$X = y\partial_x - x\partial_y$と$Y = z\partial_x - y\partial_z$に対して$L_XY$を求めよ。
$f\in C^\infty(M)$に対して$L_Xdf = dL_Xf$を証明せよ。
$U\subset\mathbb{R}^n$を開集合、$f\in C^\infty(U)$、$X,Y\in\mathfrak{X}(U)$として$\langle dL_X^m f(x), \mathrm{ad}_X^{k+r}Y(x)\rangle = \sum_{i=0}^r(-1)^iC^i_r L_X^{r-i}\langle dL_X^{m+i}f(x),\mathrm{ad}_X^kY(x)\rangle$を（$m,k\in\mathbb{N}$として）帰納的に証明せよ。
$\mathbb{R}^{2n}$上の2形式$\omega = \sum_i dx^i\wedge dx^{n+i}$（シンプレクティック構造）について、 (1) $\omega^n$がどこでも$0$でないことを確かめよ。 (2) ベクトル場$X$に対して$\omega_X(Y) = \omega(X,Y)$で定まる1形式$\omega_X$について、$d\omega_X = 0\iff L_X\omega = 0$を証明せよ。 (3) 写像$X\mapsto\omega_X$が$\mathfrak{X}(\mathbb{R}^{2n})$から$\wedge^1(\mathbb{R}^{2n})$への同型であることを確かめよ。 (4) $f\in C^2(\mathbb{R}^{2n})$に対して$df = \omega_{X_f}$となるベクトル場$X_f$を求めよ。
$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$上で$\omega = -y\,dx+x\,dy = 0$が可積分であることを確かめよ。
$\mathbb{R}^3$上で$\omega = P\,dx+Q\,dy+R\,dz = 0$の可積分条件を求めよ。
$\mathbb{R}^2$上の$x' = y$、$y' = -x+(1-x^2-y^2)y$が閉じた積分曲線をただ1本しか持たないことを証明せよ。
$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$上の$x' = (x^2+y^2)^{-3/2}(12x^2y^2-3x^4-y^4)$、$y' = (x^2+y^2)^{-3/2}(10xy^3-6x^3y)$の積分曲線を求めよ。
$\mathbb{R}^4$上の$\omega_1 = [x^3-(x^1)^2]dx^1+x^1x^2dx^2+dx^3 = 0$、$\omega_2 = f\,dx^1+g\,dx^2 = 0$（$f,g$は未定）について、 (1) $f=1$のとき、方程式系が可積分となる$g$の条件を求めよ。 (2) $f=g=2$のときの積分多様体を求めよ。 (3) 可積分となる$f,g$の一般条件を求めよ。
$\mathbb{R}^3$上の$\omega = [x^3-(x^1)^2-x^1x^2]dx^1\wedge dx^2-dx^2\wedge dx^3+dx^3\wedge dx^1 = 0$について、曲線$x^1=at$、$x^2=bt$、$x^3=ct$を通る積分多様体を求めよ。

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