2次元リーマン幾何学

数学者リーマンは、若くして第一基本形式のみに関わる幾何学を提唱・研究した。これがリーマン幾何学の始まりである。リーマン幾何学の重要性は、ユークリッド幾何学と双曲幾何学を統一した点にある。

リーマン計量と構造方程式

前章では空間内の曲面を研究し、その第一基本形式は空間の計量に由来するものだった。より一般に、$uv$（$u^1, u^2$）平面$D$上の第一基本形式

（すなわち$\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}$が対称正定値行列）を考える。一般にはこれがある空間曲面のリーマン計量かどうかはわからない。実際、次の例がある：

これをPoincaré 計量と呼ぶ。深い結果として、$(D, ds^2)$は$\mathbb{R}^3$内の曲面のリーマン計量にはなれないことが知られている（ここでの「空間曲面」は$\mathbb{R}^3$内の曲面を指す）。以下、$(D, ds^2)$をリーマン2次元多様体と略称する。

$(1)$式において

ここで係数を

ととると$ds^2 = \theta_1^2 + \theta_2^2$が成り立つ。もちろんこの性質を持つ$\theta_1, \theta_2$は一意ではない（$(2)$式と異なる例を練習として求めてほしい）。 $d\theta_i$は2形式であるから、一意な関数$b_i$が存在して

と書ける。$\omega^1_2 = b_1\theta_1 + b_2\theta_2$、$\omega^2_1 = -\omega^1_2$、$\omega^1_1 = \omega^2_2 = 0$と定義する。

Gauss 曲率の不変性

異なる余標架場$\{\bar{\theta}_1, \bar{\theta}_2\}$（$ds^2 = \bar{\theta}_1^2+\bar{\theta}_2^2$）に対して$S\in O(2)$が存在して$\bar{\theta} = S\theta$と書ける。外微分すると$d\bar{\theta} = dS\wedge\theta + Sd\theta = (dS\cdot S^{-1} - S\omega S^{-1})\wedge\bar{\theta}$となり、対応する Levi-Civita 接続$\bar{\omega}$は$\bar{\omega} = -dS\cdot S^{-1} + S\omega S^{-1}$を満たす。

$d^2\bar{\omega}$の等式を計算すると（$\omega = \begin{pmatrix}0&\alpha\\-\alpha&0\end{pmatrix}$、$S\omega S^{-1} = \begin{pmatrix}0&\beta\\-\beta&0\end{pmatrix}$と書ける1形式$\alpha, \beta$を用いると）、$dS\cdot S^{-1}\wedge dS\cdot S^{-1} = 0$、$S\omega S^{-1}\wedge dS\cdot S^{-1} + dS\cdot S^{-1}\wedge S\omega S^{-1} = 0$が成り立つため

となる。これを成分で書くと$\bar{K}\,\bar{\theta}_1\wedge\bar{\theta}_2 = K\,\theta_1\wedge\theta_2$が得られ、$\bar{\theta}_1\wedge\bar{\theta}_2 = \det S\,\theta_1\wedge\theta_2$（$\det S = 1$）から$\bar{K} = K$。

定理（Gauss 曲率の不変性） 関数$K$は余標架場の特定の選択に依らない。この関数$K$をGauss 曲率と呼ぶ。Gauss はこの結論を美しいとして絶筆定理（Theorema Egregium）と名付けた。

Gauss 曲率の計算（直交座標の場合）

$ds^2 = E\,du^2 + G\,dv^2$（$F = 0$）のとき、$\theta_1 = \sqrt{E}\,du$、$\theta_2 = \sqrt{G}\,dv$として

となる。$E = G$かつ$F = 0$のとき$(u,v)$を等温座標系と呼ぶ（局所的には常にこのような等温座標系が存在する。以下では$D$上でこれが存在すると仮定する）。このとき$K = -\frac{1}{E}\left(\frac{\partial^2}{\partial u^2} + \frac{\partial^2}{\partial v^2}\right)\log\sqrt{E}$が成り立つ。容易に確かめられるように、Poincaré 計量に対しては$K \equiv -1$となる。

接空間と内積

点$x\in D$における接空間は単純に$\mathbb{R}^2$そのものである。余標架場$\{\theta_1, \theta_2\}$の双対標架$\{e_1, e_2\}$（$\theta_i(e_j) = \delta_{ij}$）を標架場と呼び、リーマン2次元多様体$(D, ds^2)$上の点$x$における接空間を$\mathrm{span}_{\mathbb{R}}\{e_1(x), e_2(x)\}$とする。$X = \sum\xi^ie_i$、$Y = \sum\eta^ie_i$に対して内積を$ds^2(X,Y) \equiv \langle X,Y\rangle = \sum\xi^i\eta^i$と定義すると$\{e_1,e_2\}$は正規直交標架場となり、この定義は$\{\theta_1,\theta_2\}$の特定の選択に依らない。

練習問題

1. Poincaré 計量に対して$\omega^1_2$を求めよ。
2. $ds^2 = (f'(u)^2+g'(u)^2)(du)^2 + f(u)^2(dv)^2$（$f>0$、$f'^2+g'^2>0$）に対して等温座標系（$ds^2 = \lambda(d\xi^2+d\eta^2)$）を求めよ。
3. リーマン計量$ds^2 = (U(u)+V(v))(du^2+dv^2)$の構造方程式と Gauss 曲率を求めよ。
4. リーマン計量$ds^2 = (du^2-4v\,du\,dv+4u\,dv^2)/(4(u-v^2))$（$u > v^2$）の構造方程式と Gauss 曲率を求めよ。

ベクトル場と共変微分

$(D, ds^2)$のリーマン多様体としての接ベクトルの理解を深めよう。 $D$を$uv$平面上の滑らかな領域、$f: D\to\mathbb{R}$を滑らかな関数とする。始点$(a,b)$・終点$(a+\xi, b+\eta)$のベクトル$X$を考えると（図3.1参照）、$X$に沿う$f$の方向微分は$X\cdot f = \xi f_u + \eta f_v\big|_{(a,b)}$である。$f$の任意性により$X = \xi\partial_u + \eta\partial_v$と$(a,b)$点の接ベクトルを同一視する。

定義 1（ベクトル場） $D$上の滑らかな関数$f, g$を用いて$X = f\partial_u + g\partial_v$と書けるものを$D$上の接ベクトル場（またはベクトル場）と呼ぶ。同値な定義として、$D$上のベクトル場とは Leibniz 則を満たす$C^\infty(D)$から$C^\infty(D)$への線形写像である。

1形式$\omega = f_1\,du + f_2\,dv$に対して$\omega(X) = f_1\xi + f_2\eta \equiv \langle\omega, X\rangle$と定義すると、$Xf = \langle df, X\rangle = df(X)$と一致する。座標変換$F: \tilde{D}\to D$（$(t^1,t^2)\mapsto(u^1,u^2)$）のもとで$\omega(X)$は座標に依らないことも容易に確かめられる。

定義 2（リー括弧積） 2つのベクトル場$X, Y$に対して、任意の$f\in C^\infty(D)$に対して$[X,Y]f = X(Yf)-Y(Xf)$を満たす新しいベクトル場$[X,Y]$をリー括弧積（Poisson ブラケット）と呼ぶ。

次に、リーマン2次元多様体$(D, ds^2)$上のベクトル場の共変微分を定義する。$ds^2 = \theta_1^2+\theta_2^2$とし、$\{e_1,e_2\}$を$\{\theta_1,\theta_2\}$の双対とする。

定義 3（共変微分） $X = \xi^1e_1+\xi^2e_2$を曲線$(u(t),v(t))$上のベクトル場とする。この曲線に沿う$X$の共変微分を

と定義する（$\omega^i_j$は$ds^2$の Levi-Civita 接続）。$DX/dt \equiv 0$のとき、$X$はこの曲線に沿って平行であるという。始点$Q$から終点$P$への曲線に沿って$X(P)$が$X(Q)$の平行移動である。

行列記法で$\xi = (\xi^1,\xi^2)^T$、$e = (e_1,e_2)$、$\omega = \begin{pmatrix}0&\omega^1_2\\\omega^2_1&0\end{pmatrix}$と書くと$DX/dt = e\cdot\left(\frac{d\xi}{dt} + \frac{\omega}{dt}\xi\right)$となり、この定義が$\{\theta_1,\theta_2\}$の選択に依らないことが確かめられる。

重要な性質として、曲線$p(t)$上のベクトル場$X, Y$に対して$\frac{d}{dt}\langle X,Y\rangle = \left\langle\frac{DX}{dt},Y\right\rangle + \left\langle X,\frac{DY}{dt}\right\rangle$が成り立つ（$\omega$が反対称行列であることを使えばよい）。特に$DX/dt \equiv 0$かつ$DY/dt \equiv 0$ならば$\langle X,Y\rangle$は曲線に沿って一定となる。

定義 4（Christoffel 記号と共変微分） $ds^2 = \sum_{i,j}g_{ij}\,du^i\,du^j$として$(g^{ij}) = (g_{ij})^{-1}$とおく。

をChristoffel 記号と呼び、$D_{\partial_{u^i}}\partial_{u^j} = \sum_k\Gamma^k_{ij}\partial_{u^k}$とおく。曲線$p(t) = (u^1(t),u^2(t))$上のベクトル場$X = \sum_i X^i\partial_{u^i}$の平行条件は

である。

練習問題

1. $X^i, Y^i$を用いて$[X,Y]$を表せ。
2. Jacobi の恒等式$[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y] = 0$を証明せよ。
3. $\mathbb{R}^2_+ = \{(u,v)\in\mathbb{R}^2 : v>0\}$上で$ds^2 = (du^2+dv^2)/v^2$、$e_1 = v\partial_u$、$e_2 = v\partial_v$として、直線$u = t$、$v = \mathrm{const}$に沿う平行ベクトル場を求めよ。

測地線

$ds^2 = \sum_{i,j}g_{ij}\,du^i\,du^j$とする。

定義 1（測地線） 曲線$p(t) = (u^1(t), u^2(t))$が$(D, ds^2)$の測地線であるとは、$D_{p'(t)}p'(t) = 0$（$\forall\, t\in I$）が成り立つこと、すなわち速度ベクトル場$p'(t)$が曲線$p(t)$に沿って平行であることをいう。 測地線方程式は

となる。

定理 1 $(D, ds^2)$上の任意の点とその点における任意の接ベクトルを与えると、その点を通りそのベクトルを速度とする測地線が一意に存在する。

証明は常微分方程式の基本定理による。

練習問題

1. $ds^2 = du^2 + g^2\,dv^2$に対して$v \equiv \mathrm{const}$が測地線であることを証明せよ。
2. $ds^2 = (f'(u)^2+g'(u)^2)(du)^2+f(u)^2(dv)^2$（$f>0$、$f'^2+g'^2>0$）の測地線方程式を求めよ。
3. $ds^2 = (U(u)+V(v))(du^2+dv^2)$の測地線方程式を求めよ。
4. $ds^2 = (du^2-4v\,du\,dv+4u\,dv^2)/(4(u-v^2))$（$u>v^2$）の測地線方程式を求めよ。

発散・勾配演算子

$(D, ds^2)$をリーマン2次元多様体とし、局所座標$(u^i)$において$ds^2 = g = \sum_{i,j}g_{ij}\,du^i\,du^j$、$|g| = \det(g_{ij})$とする。

定義 1（勾配・発散・Laplace 演算子） $f\in C^2(D)$に対して勾配を$\nabla f = g^{ij}f_{u^j}$で定義し（$|\nabla f|^2 = \sum_{i,j}g^{ij}f_{u^i}f_{u^j}$）、ベクトル場$X = \sum_j X^j\partial_j$に対して発散を

で定義する。$\Delta_g f = \operatorname{div}(\nabla f)$をLaplace 演算子と呼ぶ：

活動標架法による同値な定義も与えられる。$g = \theta_1^2+\theta_2^2$として$du = \sum_i u_i\theta_i$と書くと、$du_{ji}\theta_j = du_j + u_i\theta^i_j$で定義される$u_{ij}$は対称（$u_{ij} = u_{ji}$）であり、$\Delta_g u = u_{ii}$（縮約）と定義する。等温座標系$g = e^{2f}(dx^2+dy^2)$のもとでは2つの定義が一致することが確かめられる。

定理 1（共形変換による曲率変換公式） $u\in C^2(D)$として$\hat{g} = e^{2u}g$とおく。$k$を$g$の Gauss 曲率、$K$を$\hat{g}$の Gauss 曲率とすると

となる。

この公式から興味深い問題が生まれる。球面$S^2$上で関数$K\in C^2(S^2)$が与えられたとき、Gauss 曲率が$K$となる計量$\hat{g}$は存在するか——これを予定 Gauss 曲率問題と呼ぶ。Stokes の定理より$K$がどこかで正であることが必要条件の一つであり、Kazdan--Warner 条件という別の条件も存在する。この問題には多くの日本・中国の数学者が貢献している。

また、閉曲面$(V, g_0)$上の計量の熱流問題

（$K_g$は$g$の Gauss 曲率）は現在も盛んに研究されている（Calabi 熱流とも関連する）。

練習問題

$g$と$\hat{g}$の発散・勾配演算子の間の関係を求めよ。

Gauss--Bonnet の公式

$(D, ds^2)$をリーマン2次元多様体とし、$C$を$D$内の単純閉曲線、$A = \mathrm{int}\, C$とする。

定理 1（Stokes の定理） $D$上の1形式$\varphi$に対して

が成り立つ。ここで$C$の積分の向きは、質点が$C$上をこの方向に進むとき常に領域$A$の内部が左側にあるようなもの（図3.2参照）。この向きを$\partial A$と記す。

系： $\varphi\in C^2(D)$に対して$\int_A d^2\varphi = 0$。

測地曲率と Gauss--Bonnet の公式

$ds^2 = \theta_1^2+\theta_2^2$、$\{e_1,e_2\}$を対偶標架、$\omega^i_j$を Levi-Civita 接続とする。$\gamma = \gamma(s)$（$s$は自然パラメータ）を$D$内の曲線として$\gamma' = \sum_i\xi^ie_i$（$\sum(\xi^i)^2 = 1$）、$T = \gamma'$、$N = -\xi^2e_1+\xi^1e_2$（$N\perp T$）とおく。測地曲率$k_g$を$k_g = \langle\bm{k}_g, N\rangle$（$\bm{k}_g = \sum_i(d\xi^i/ds + \sum_j\omega^i_j/ds\cdot\xi^j)e_i$）で定義すると、$\xi^1 = \cos\alpha$、$\xi^2 = \sin\alpha$とおいて計算すると

となる。

定理 2（Gauss--Bonnet の定理、単連通領域の場合） $(D, ds^2)$をリーマン2次元多様体とし、$A$を$D$内の単連通領域で境界が区分的に滑らかな閉曲線$\partial A = \sum_{i=1}^n\gamma_i$（$\gamma_i$は滑らかな曲線）からなるとする。$\beta_i$を$\gamma_i$から$\gamma_{i+1}$への外角（外側から測った向き変化の角）とすると

となる。

証明

まず$d\omega^1_2 = K\theta_1\wedge\theta_2$を思い出す。Stokes の定理を適用すると

$$\int_A K\theta_1\wedge\theta_2 = \int_A d\omega^1_2 = \oint_{\partial A}\omega^1_2$$

各$\gamma_i$上で$\omega^1_2 = d\alpha_i - k_g\,ds$であるから

$$\int_A K\theta_1\wedge\theta_2 = \sum_{i=1}^n\int_{\gamma_i}d\alpha_i - \oint_{\partial A}k_g\,ds$$

となる。

場合 1： $\partial A$が1本の滑らかな閉曲線$\gamma$のみからなる場合。$A$が単連通（可縮）であるから、$A$内の1点$p_0$を取り極座標$(r,\alpha)$を導入して$r = r(s)$、$\alpha = \alpha(s)$がちょうど$\gamma$のパラメータ表示を与えるようにできる。$p_0$の小円板$D_\varepsilon$を取り$A_\varepsilon = A\setminus D_\varepsilon$とする（図3.4参照）。

Stokes の定理より$0 = \int_{A_\varepsilon}d\alpha = \int_A d\alpha - \int_{D_\varepsilon}d\alpha$。 $\varepsilon\to 0$のとき$\int_{D_\varepsilon}d\alpha\to 2\pi$であるから、$\int_A K\theta_1\wedge\theta_2 + \oint_{\partial A}k_g\,ds = 2\pi$が得られる。

場合 2： $\partial A = \gamma_1+\cdots+\gamma_n$の一般の場合。$\bar{A}$内に$\partial A$の滑らかな近似閉曲線$\beta = \beta'+\beta''$（$\beta'\subset A$）を取ると、$\int_{\beta'}d\alpha\to\int_A d\alpha$および$\int_{\beta''}d\alpha\to\sum_i\beta_i$が成り立ち、場合1から$2\pi = \int_A d\alpha + \sum_i\beta_i$が従う。

また$\mathbb{R}^3$内の閉曲面$S$に対して三角形分割を行い、Euler 数$\chi(S) = v-e+f$（$v$：頂点数、$e$：辺数、$f$：面数）を定義すると、上の系を繰り返し適用することで次の定理が得られる。

練習問題

1. $D = [0,a]\times[0,b]$上の Gauss 曲率$K\leq 0$のリーマン計量$ds^2$に対して、2本の測地線は2点では交わらないことを証明せよ（重なる場合を除く）。
2. 単位球面上で2つの大円が南北極で交わり、交点での内角が$\alpha$であるとき、それらが囲む領域の面積を求めよ。
3. $\mathbb{R}^3$内のトーラス$T^2$上で$\int_{T^2}K\theta_1\wedge\theta_2 = 0$を証明せよ。
4. $\mathbb{R}^3$内の閉曲面$S$上にどこでも$0$でないベクトル場$X$が存在するならば、$S$の Euler 数は$0$であることを証明せよ。
5. $V$を$S^2$と微分同相な空間閉曲面で Gauss 曲率が正関数とする。$V$上の任意の2本の閉測地線は少なくとも1点で交わることを証明せよ。