テンソルとリーマン幾何学

これまでに関数とその勾配場、ベクトル場、外微分形式、リーマン計量などの対象に接してきた。これらの成分は座標変換のもとで適切な変換則を満たす。例えば$\mathbb{R}^3$内を運動する質点の速度ベクトルは座標系$(x^i)$では$dx^i/dt$を成分に持ち、座標系$(z^r)$では$dz^r/dt$を成分に持ち、$dx^i/dt = (\partial x^i/\partial z^r)(dz^r/dt)$という変換則に従う。これらを統一的に扱うのがテンソルの概念である。ここでは物理学・力学の文献で標準的な記法を用いて紹介する。

テンソルとその代数演算

定義 1（$(m,k)$型テンソル） 座標系$(x^1,\ldots,x^n)$のもとで関数の組$(T^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_k})$で表され、座標変換$x^i = x^i(z^1,\ldots,z^n)$のもとで変換則

を満たすものを$(m,k)$型テンソル$T$と呼ぶ（$\tilde{T}$は座標系$(z^1,\ldots,z^n)$における表示）。幾何学的記法：$T = T^{i_1\cdots i_m}_{j_1\cdots j_k}\partial_{x^{i_1}}\otimes\cdots\otimes\partial_{x^{i_m}}\otimes dx^{j_1}\otimes\cdots\otimes dx^{j_k}$。

テンソルの4種類の代数演算

練習問題

1. （1）リーマン計量が$(0,2)$型テンソルであることを示せ。 （2）$(m,k)$型テンソル間に各点での線形結合$\lambda T + \mu S$を定義すると、$(m,k)$型テンソルは$n^{m+k}$次元線形空間をなすことを示せ。
2. $k$次外微分形式が$(0,k)$型テンソルであることを証明せよ。
3. Levi-Civita 記号$\varepsilon_{i_1\cdots i_n}$（重複指標があると$0$、偶置換なら$+1$、奇置換なら$-1$）を定義し、テンソル$T = (T^i_j)$のトレースに対して$T^j_{i_k}\varepsilon_{i_1\cdots i_{k-1}ji_{k+1}\cdots i_n} = \mathrm{tr}(T)\varepsilon_{i_1\cdots i_n}$を証明せよ。
4. $\mathbb{R}^3$のベクトル積がテンソル積でないことを説明せよ。

テンソルの リー微分

$M$を$n$次元微分多様体、$\xi\in\mathfrak{X}(M)$とし、$\xi$が誘導する局所1パラメータ変換群を$F_t$とする。座標系$(x^i)$で$\xi$の成分を$(\xi^i)$とし、$F^i_t = x^i\circ F_t$とおくと$\xi^i = (d/dt)F^i_t|_{t=0}$。

点$p$の近傍で

と展開すると

が成り立つ。

定義 1・2（テンソルの引き戻しと リー微分） $(m,k)$型テンソル$T = (T^{(t)_m}_{(r)_k})$（座標系$(x^i)$）に対して、座標系$(x^0)$における表示として

と定め、テンソル$T$のベクトル場$\xi$に沿うリー微分を$L_\xi T^{(i)_m}_{(j)_k} = \frac{d}{dt}(F_t^*T)^{(i)_m}_{(j)_k}\big|_{t=0}$で定義する。

$(2),(3)$式を使って計算すると

が得られる（$t=0$で$x^i = x^i_0$を用いた）。

練習問題

1. 例1と例2を用いて$L_\xi(fT^i) = fL_\xi T^i + (L_\xi f)T^i$を証明せよ。
2. 任意のテンソル$T, R$に対して$L_\xi(T\otimes R) = L_\xi T\otimes R + T\otimes L_\xi R$を示せ。
3. $\omega_1, \omega_2$を任意の微分形式とするとき、$L_\xi(\omega_1\wedge\omega_2) = L_\xi\omega_1\wedge\omega_2 + \omega_1\wedge L_\xi\omega_2$を証明せよ。

対称テンソルと反対称テンソル、テンソルの微分

定義 1・2（対称・反対称テンソル） $(0,2)$型テンソル$T = (T_{ij})$が対称（symmetric）であるとは$T_{ij} = T_{ji}$が常に成り立つことをいい、2階対称テンソルと呼ぶ。 $(0,k)$型テンソル$T = (T_{i_1\cdots i_k})$が反対称（antisymmetric, alternating）であるとは、指標の奇置換で$T$が符号変化し偶置換で変化しないことをいう（$(k,0)$型の反対称テンソルも同様に定義される）。

リーマン計量$(g_{ij})$は2階対称テンソルの代表例であり、多様体上の$k$形式は$(0,k)$型反対称テンソルである。定義からして$(0,k)$型反対称テンソルとは$k$形式に他ならず、以前との違いは記法のみである。以下、$M$上の$k$形式の空間を$A^k(M)$と記す。

一般の$(0,2)$型テンソル$A = (A_{ij})$は対称部と反対称部に分解できる：

$(i\,j)$は対称化、$[i\,j]$は反対称化を表す。リーマン空間では指標の上げ下げで$(1,1)$型や$(2,0)$型の対称・反対称テンソルも定義できる。

$(M,g)$を$n$次元広義リーマン多様体とし、$|g| = |\det(g_{ij})|$、$(g^{ij}) = (g_{ij})^{-1}$、$\mathrm{sgn}(g) = \mathrm{sgn}(\det(g_{ij}))$とおく。

定義 3（Hodge 作用素） $k$形式$T = T_{i_1\cdots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$に対してHodge 作用素$*$を

で定義する（$T^{i_1\cdots i_k} = g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k}T_{j_1\cdots j_k}$）。

定義 4（外微分の同値な定義） $k$形式$T$の外微分を

で定義する（$\hat{i}_m$はインデックス$i_m$を削除することを意味する）。この定義から$d^2T = 0$も容易に確かめられる。

余微分と Hodge--Laplace 演算子

$k$形式に対して余微分$\delta$を

で定義する（$k$形式$T$から$(k-1)$形式$\delta T$を得る。$\delta^2 = 0$）。これによりHodge--Laplace 演算子を

で定義する。

定義 5（調和形式） $k$形式$T$が$\Delta T = 0$を満たすとき、$T$を調和$k$形式（harmonic $k$-form）と呼ぶ。

練習問題

1. $k$形式$T$に対して$*(*T) = (-1)^{k(n-k)}\mathrm{sgn}(g)\,T$を証明せよ。
2. ベクトル場$T$の$(y)$座標での共変微分
   $$\tilde{T}^i_{;\,j} = \partial\tilde{T}^i/\partial y^j + \Gamma^i_{mj}\tilde{T}^m$$
   について、 (1)
   $$\Gamma^i_{mj} = (\partial y^i/\partial z^t)\Gamma^t_{rs}(\partial z^r/\partial y^m)(\partial z^s/\partial y^j) + (\partial^2 z^t/\partial y^m\partial y^j)(\partial y^i/\partial z^t)$$
   を証明せよ。 (2) $T^i_{[mj]} = \Gamma^i_{mj}-\Gamma^i_{jm}$がテンソルであることを示せ。 (3) $D_j(fT^i) = \partial_j f\cdot T^i + f D_j T^i$を証明せよ。
3. $*\Delta = \Delta*$を確かめよ。
4. $\mathbb{R}^4$上で$*P = -P$、$*Q = -Q$、$*\Omega = -\Omega$を満たす3つの2形式$P, Q, \Omega$を求め、例2の$R, S, T$と合わせて$A^2(\mathbb{R}^4)$の基底を構成せよ。
5. $\mathbb{C}^2$上に行列乗法の構造$(z,w) := \begin{pmatrix}1&0&0\\z&1&0\\w&-\bar{z}&1\end{pmatrix}$を導入し、Heisenberg 群$H^3 = \{(z,w)\in\mathbb{C}^2 : |z|^2+w+\bar{w}=0\}$について： (1) $H^3$が変換$z\mapsto z+a$、$w\mapsto w-\bar{a}z+b$の下で不変な微分構造を持つ群であることを確かめよ。 (2) $ds^2 = |dz|^2+|dw+\bar{z}\,dz|^2$が$H^3$上のリーマン計量であることを確かめよ。 (3) $z = x+\sqrt{-1}\,y$、$w = u+\sqrt{-1}\,v$とおき$\eta_1=dx$、$\eta_2=dy$、$\eta_3=dv+x\,dy-y\,dx$に対して$ds^2 = \eta_1^2+\eta_2^2+\eta_3^2$を確かめよ。 (4) $(\eta_i)$の構造方程式を計算せよ。
6. $S^2$と同相な滑らかな閉曲面$M^2$について、$T^1M$（単位接束）が3次元多様体であることを証明し、$T^1M$上のリーマン計量$\tfrac{1}{4}(\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_{12}^2)$の構造方程式を計算せよ。
7. 例4の Maxwell 方程式において$\Omega$と$J$が変数$(x^1,x^2)$のみに依存するとき、最も簡単な形の Maxwell 方程式を求めよ。

共変微分とリーマン曲率

$M$を$n$次元滑らかな多様体、$T^{1,1}(M)$を$(1,1)$型テンソルの空間とする。

共変微分（接続）の公理的定義 Leibniz 則を満たす線形作用素$D: \mathfrak{X}(M)\to T^{1,1}(M)$を共変微分（covariant derivative）または接続（connection）と呼ぶ。Leibniz 則とは任意の$f\in C^\infty(M)$と$X\in\mathfrak{X}(M)$に対して$D(fX) = df\otimes X + fDX$が成り立つことをいう。

局所座標系$(x^i)$のもとで$X = X^i\partial_{x^i}$として$DX = X^i_{;\,k}\partial_{x^i}\otimes dx^k$と書き、$v\in T_pM$に対して$D_VX \equiv \langle DX, V\rangle_p = V^kX^i_{;\,k}\partial_{x^i}|_p$とおく。$D_i = D_{\partial_{x^i}}$を$D$の局所表示、Christoffel 記号$\Gamma^k_{ij}$を$D_i\partial_{x^j} = \Gamma^k_{ij}\partial_{x^k}$で定義すると、Leibniz 則から

となる。$A_i = (\Gamma^j_{ik})$を用いて$D_i = \partial_i + A_i$と書くことができ、この記法は現代のゲージ場理論（Yang--Mills 理論）で広く使われている。

定義 1（一般テンソルの共変微分） $(2,1)$型テンソル$T = (T^{ij}_k)$の共変微分テンソル$DT$を

で定義する。一般に$(m,l)$型テンソルの共変微分は$(m,l+1)$型テンソルである。

リーマン多様体$(M,g)$では、Levi-Civita が次の定理を証明した。

定理 1（Levi-Civita 接続の存在一意性） 広義リーマン多様体$(M,g)$（$g$は$M$上の非退化$(0,2)$型対称テンソル）に対して、

を満たす唯一の共変微分$D$が存在する（Levi-Civita 接続）。座標系$(x^i)$において

が成り立つ。

平行移動と測地線

曲線$z(t)$に沿うベクトル場$T = (T^k)$の共変微分を$D_{\xi(t)}T^k = \xi^i(t)D_iT^k$（$\xi^i = dz^i/dt$）で定める。

定義 2・3（平行移動・測地線） $D_{\xi(t)}T^k = 0$（$\forall t$）のとき$T$は曲線$z(t)$に沿って平行という。始点$p$での値$T_p$を終点$q$まで平行移動したものを$T_p$の$z(t)$に沿う平行移動という。

速度場$T^k = dz^k/dt$が曲線に沿って平行のとき$z(t)$を測地線と呼ぶ。平行条件から測地線方程式

が得られる。一般の曲線$z(t)$に対しては$k_g(t) = D_\xi\xi$（測地曲率ベクトル）を定義する。

リーマン曲率テンソル

共変微分の交換子$D_kD_l - D_lD_k$を計算する。ベクトル場$T = (T^i)$に対して直接計算すると

が得られる。ここで、

定義 4（リーマン曲率テンソル）

で定まるテンソル$(R^i_{r k l})$をリーマン曲率テンソルと呼ぶ。$R_{q i k l} = g_{ip}R^p_{q k l}$とおくと

が成り立つ。また次のBianchi 恒等式が成り立つ：$R^i_{q k l}+R^i_{q l k}+R^i_{k l q} = 0$。

より詳細な表示として

が成り立ち（$(R_{q i k l})$が$(0,4)$型テンソルで$(9)$式の性質を持つことも確認できる）。

定義 5（断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率） $(2,0)$型テンソル$T^1, T^2$に対して曲率作用素$R(T^1,T^2) = T^{ij}_1T^{kl}_2R_{ijkl}$と定義する。ベクトル場$\xi,\eta$に対して$\langle\xi\wedge\eta,\xi\wedge\eta\rangle = g(\xi,\xi)g(\eta,\eta)-g(\xi,\eta)^2$とおき、$\xi\wedge\eta$平面上の断面曲率（sectional curvature）を$R(\xi,\eta) = R(\xi\wedge\eta,\xi\wedge\eta)/\langle\xi\wedge\eta,\xi\wedge\eta\rangle$で定義する。

Ricci 曲率テンソル $R_{ql} = R^i_{qil}$、 スカラー曲率（純量曲率 উভ $R = g^{lq}R_{ql} = g^{lq}R^i_{qil}$。

外微分形式による Bianchi 恒等式

接続1形式$\omega^i_j = \Gamma^i_{jr}dz^r$と曲率2形式$\Omega^i_j = d\omega^i_j - \omega^k_j\wedge\omega^i_k$を定義すると

が成り立つ。$\omega_{ij} = g_{jk}\omega^k_i$、$\Omega_{ij} = g_{jk}\Omega^k_i$とおくと$\Omega = d\omega - \omega\wedge\omega$を外微分してBianchi 恒等式

が得られる。正規直交活動標架$(\theta^i)$を用いた計算も同様に行える（$\omega^i_j$を満たすべき構造方程式は$d\theta^i = \theta^j\wedge\omega^i_j$）。

広義相対論への応用

広義リーマン多様体$(M,g)$において、著名なEinstein 場方程式は

と書かれる（$T_{ql}$は物理量を表すテンソル、$\lambda$は滑らかな関数）。特に$R_{ql} = 0$を真空 Einstein 方程式と呼ぶ（曲率テンソル$R_{qikl} = 0$の平坦な計量はこの解）。

定義 6（Calabi--Yau 多様体） 真空 Einstein 方程式を満たすKähler 多様体（複素多様体にリーマン幾何学的構造を備えたもの）をCalabi--Yau 多様体と呼ぶ。コンパクトな非自明な例は現在も知られていない。

真空 Einstein 方程式の特解をいくつか挙げる。

練習問題

1. $(M,g)$が2次元リーマン多様体のとき、$R/2$が$(M,g)$の Gauss 曲率であることを証明せよ。 （ヒント：$z=f(x,y)$で$Df(x,y)=0$となる点で確かめるだけでよい。）
2. $(M^n,g)$をリーマン多様体とし、$\Gamma^i_{ik} = \partial_{x^k}\log\sqrt{|g|}$を証明して、$D\eta = 0$（$\eta = \sqrt{|g|}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$）を示せ。
3. $u\in C^\infty(\Omega,\mathbb{R})$を$\det(u_{ij}) = 1$の狭義凸関数（$u_{ij} = \partial^2u/\partial x^i\partial x^j$）とし$g_{ij} = u_{ij}$とおく。$\Gamma^i_{jk}$、Ricci 曲率、スカラー曲率を求めよ。
4. 正規直交活動標架$(\theta^i)$を使って例1〜3の接続1形式と曲率2形式を計算せよ。
5. $(M^n,g)$のリーマン計量$g$に対して$\hat{g} = e^{2f}g$（$f\in C^\infty(M)$）のリーマン曲率$\hat{R}_{iqkl}$、Ricci 曲率$\hat{R}_{ij}$、スカラー曲率$\hat{R}$を$f$の微分と$(R_{iqkl})$、$(R_{ij})$、$R$で表せ。
6. ベクトル場$X$を用いて$L_Xh = |g|^{-1/n}(L_Xg - (2/n)D_jY^j g)$を証明せよ（$h = |g|^{-1/n}g$、$Y = \sum_j X^j\partial_{x^j}$）。
7. $\mathbb{R}^n$上で斉次関数$u = u(x^1,\ldots,x^n)$から$g = u_{x^1}(dx^1)^2+\cdots+u_{x^n}(dx^n)^2$を定義し、$du$の共変微分が$0$となる（Frobenius 多様体）と仮定する。 (1) $X = \partial_{x^1}+\cdots+\partial_{x^n}$の共変微分が$0$であることを証明せよ。 (2) $n=3$として$s = (x^1-x^2)/(x^3-x^2)$を導入し、$g=-A^{-2}(dx^1)^2+B^{-2}(dx^2)^2+CB^{-2}(dx^3)^2$が平坦であることと$(A,B,C)$が方程式系$A' = -BC/(s(1-s))$、$B' = -AC/s$、$C' = -AB/(1-s)$を満たすことが等価であることを示せ。 (3) $(A,B,C)$が上記方程式系を満たすならば$A^2-B^2-C^2 = -1/4$を証明せよ。

ユークリッド空間の部分多様体

まず一般的な結果から始める。$(N^{n+d},g)$をリーマン多様体とし、$(\theta^A) = (\theta^1,\ldots,\theta^{n+d})$を$N$上の局所正規直交余標架、$(e_A) = (e_1,\ldots,e_{n+d})$をその双対標架とする（$g_{AB} = \delta_{AB}$）。指標の範囲を$1\leq A,B,C,D\leq n+d$、$1\leq\alpha,\beta\leq d$、$1\leq i,j,k,l\leq n$とする。

$N$の構造方程式は

（$K^A_{BCD} = -K^A_{BDC}$）と書かれ、指標を下げると同様の式が得られる。

$M^n$を$n$次元滑らかな多様体とし、滑らかなはめ込み$F: M\to N^{n+d}$がある。$M$を$N^{n+d}$のはめ込み部分多様体と呼ぶ。標架を$M$上で$\theta^\alpha = 0$（$\alpha = 1,\ldots,d$）を満たすようにとると（この方程式系の積分多様体が$F(M)$）、$d\theta^\alpha = 0$（$M$上）から$w^\alpha_i\wedge\theta^i = 0$となり、Cartan の補題より

が得られる。$M$上の構造方程式（第一・第二基本形式を含む）を書き下し、$dw^i_j - w^k_j\wedge w^i_k = w^\alpha_j\wedge w^i_\alpha + \Phi^i_j$を利用すると$\tfrac{1}{2}R^i_{jkl}\theta^k\wedge\theta^l = -h^\alpha_{jk}h^\alpha_{il}\theta^k\wedge\theta^l + \tfrac{1}{2}K^i_{jkl}\theta^k\wedge\theta^l$が得られ、次のGauss 方程式が導かれる。

Gauss 方程式（部分多様体）

曲面論と同様に Codazzi 方程式も導出できる（証明は省略、練習問題とする）。

$M$を$\mathbb{R}^{n+d}$のはめ込み部分多様体として、$F: M\to\mathbb{R}^{n+d}$とする。局所座標系$(x^1,\ldots,x^n)$のもとで$F_j = \partial F/\partial x^j$とおく。

誘導計量は$g_{ij} = \langle F_i, F_j\rangle$（$(g^{ij}) = (g_{ij})^{-1}$）であり、Levi-Civita 接続は通常の Christoffel 記号で与えられる。 $(*)$：$D_iX^j = \partial X^j/\partial x^i + \Gamma^j_{ik}X^k$、 $(*)'$：$D_i\xi_j = \partial\xi_j/\partial x^i - \Gamma^k_{ij}\xi_k$。

$D_kF_j$の幾何的な意味は $\partial g_{lk}/\partial x^j = \langle F_{lj},F_k\rangle+\langle F_l,F_{kj}\rangle$ から

となる。

$N_p$を点$p$での法空間、$\nu_\alpha$（$\alpha=1,\ldots,d$）を単位正規直交法ベクトルの基底とする（図5.1参照）。

Gauss 公式 $F_{kj} = D_kF_j + h^\alpha_{kj}\nu_\alpha$（$h^\alpha_{kj} = \langle F_{kj},\nu_\alpha\rangle = h^\alpha_{jk}$）。

定義（第二基本形式・平均曲率ベクトル） $\mathrm{II} = h^\alpha_{kj}\nu_\alpha\,dx^i\,dx^j$を$M$の第二基本形式、$\vec{H} = g^{kj}h^\alpha_{kj}\nu_\alpha = (g^{kj}F_{kj})^N$を平均曲率ベクトルと呼ぶ。

定理 1 $F: M\to\mathbb{R}^{n+d}$をはめ込み部分多様体とすると$\vec{H} = \Delta F$。特に$M$がコンパクト・境界なし・$\vec{H}=0$ならば$F=\mathrm{const}$。

定理 2 $\varphi\in C^\infty(M)$に対して$\Delta\varphi = g^{ij}D_iD_j\varphi$（$\Delta$は$D_iD_j$のトレース）。

練習問題

1. $y=u(x)$（$x\in\mathbb{R}^n$）のグラフ面の$(\mathbb{R}^{n+1},dz^2)$における平均曲率を求めよ。
2. 上問で$u$が凸かつ平均曲率$=0$のとき$u$は線形関数かどうか答えよ。
3. 計量$e^{-2|z|^2}dz^2$のもとで同グラフ面の平均曲率を求めよ。
4. $M(u)$（$y=u(x)$）が平均曲率$H=0$のとき$A(u)\leq A(f)$（$f|_{\partial U}=u$）を示せ。
5. $S^3\subset\mathbb{R}^4$の局所正規直交余標架と曲率テンソルを求めよ。
6. $\Delta F$と$F(M)$が直交することを直接示して定理1の別証を与えよ。
7. リーマン空間$N^{n+d}$へのはめ込み$F: M^n\to N^{n+d}$の Codazzi 方程式を導け。

一定曲率空間

$(M^n,g)$をリーマン多様体、$(\theta^1,\ldots,\theta^n)$を局所正規直交余標架とする。

定義 1〜4（一定曲率・単連通・完備・空間形式） 一定曲率$K$ 曲率作用素が$\Omega^i_j = K\theta^j\wedge\theta^i$を満たすとき、すなわち各点での断面曲率が定数$K$に等しいとき、$(M,g)$は一定曲率$K$を持つという。これは$R_{ijkl} = K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})$と同値である。

単連結 任意の連続写像$f: S^1\to M$に対して$F(\cdot,0)=f$・$F(\cdot,1)=$定値となる連続写像$F: S^1\times[0,1]\to M$が存在する。

完備 すべての測地線が無限に延長可能。

空間形式 単連結・完備・一定曲率のリーマン多様体。$\mathbb{R}^n$は一定曲率$0$の例。

練習問題

1. $S^n$が一定曲率$1$のリーマン多様体であることを証明せよ。
2. 一定曲率$K$のとき$R_{ijkl} = -K(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})$を証明せよ。
3. $B_R\subset\mathbb{R}^n$上で$g_{ij} = (1+K|x|^2/4)^{-2}\delta_{ij}$が一定曲率$K$であることを示せ。
4. $H^n(-1)\times S^k$の各種曲率を計算せよ。

多様体上の積分入門

単位の分割$(\xi_\alpha)$を用いて$n$形式$\omega$の$M^n$上の積分を定義する。

定義 1（多様体上の積分） $\int_M\omega = \sum_\alpha\int_{V_\alpha}\varphi_\alpha^*(\omega\xi_\alpha)$。この値は単位の分割の選択に依らない。

Stokes の定理 $M^n$：コンパクト・向き付け可能・境界付き多様体、$\omega$：$(n-1)$形式のとき、$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$。

$(M^n,g)$のベクトル場$X = X^i\partial_{x^i}$の発散を$\operatorname{div}X = |g|^{-1/2}\partial_i(\sqrt{|g|}\,X^i)$、体積要素を$dv_g = \sqrt{|g|}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$とする。

定義 2 $u\in C(M)$の積分を$\int_M u\,dv_g$で定義する。

発散定理・Green の公式 $(M^n,g)$：コンパクト・向き付け可能・境界付き（$n>2$）、$\nu$：単位外法ベクトルのとき、

系 $u\in C^2(M)$に対して$\int_M\Delta u\,dv_g = \int_{\partial M}\langle\nabla u,\nu\rangle\,d\sigma_g$。

この系を用いた§5.5定理1の別証 $f = F^A$とおき$\Delta(|f|^2/2) = f\Delta f + |\operatorname{grad}f|^2$を積分すると$\Delta f=0$・$\partial M=\emptyset$から$\int_M|\operatorname{grad}f|^2 = 0$、したがって$F=\mathrm{const}$。

練習問題

1. $f|_{\partial U}=0$として$\frac{d}{dt}A(u+tf)\big|_{t=0} = -n\int_U Hf$を証明せよ。
2. $(M^n,g)$がコンパクト・境界付き（$n>2$）のとき$\int_M L_XR\,dv_g = \frac{2n}{n-2}\int_{\partial M}T(X,\nu)\,d\sigma_g$を証明せよ（$T = \mathrm{Ric}-(R/n)g$）。

附録

常微分方程式の基本定理 $U\subset\mathbb{R}^n$を開集合、$f^i(t,x)\in C^r(I_\varepsilon\times U)$（$r\geq 1$）とする。各$x\in U$に対して$\delta>0$と近傍$V\subset U$が存在し、任意の$a\in V$に対して$\frac{dx^i}{dt} = f^i(t,x)$・$x(0)=a$を満たす一意な$C^{r+1}$写像$x^a: I_\delta\to U$が存在する。写像$x: I_\delta\times V\to U$（$(t,a)\mapsto x^a(t)$）は$C^r$写像である。

陰関数定理 $F: U\times V\to\mathbb{R}^n$（$U\subset\mathbb{R}^k$、$V\subset\mathbb{R}^n$）を$C^r$写像（$r\geq 1$）、$F(x_0,y_0)=0$かつ$F_y(x_0,y_0)$が可逆とする。このとき$U_1\ni x_0$、$V_1\ni y_0$と$h\in C^r(U_1,\mathbb{R}^n)$が存在して(1) $F(x,h(x))=0$（$\forall x\in U_1$）、(2) $F(x,y)=0$かつ$(x,y)\in U_1\times V_1\Rightarrow y=h(x)$、(3) $h_x(x) = -[F_y(p)]^{-1}F_x(p)$（$p=(x,h(x))$）が成り立つ。

最大値原理 $(M^n,g)$をコンパクト・境界なしのリーマン多様体、$u\in C^\infty(M)$を調和関数（$\Delta u=0$）とする。このとき$u$は定数である。