導関数と微分

関数の変化の割合を調べる道具として、導関数と微分を導入する。接線と瞬間速度という二つの例から出発して、導関数の定義、四則演算・連鎖律・逆関数の微分、高階導関数、ベクトル値関数の導関数を述べ、後半で微分とその形式的な不変性を扱う。

導関数の定義

具体的な議論に入る前に、幾何学と物理学からの二つの例を見ておこう。

1$^\circ$　曲線の接線

まず「曲線上の一点での接線」とは何かを明確にしよう。初等幾何では、円と一点で交わる直線が接線として定義されるが、一般の曲線ではこの定義は適合しない。たとえば放物線（図 3.1）では、点 $A$ で曲線と交わる直線が多数あり、その中に明らかに接線でないものもある。図 3.2 では、直線が曲線と二点で交わるが、交点 $A$ においてその直線は「接線」であるべきである。図 3.3 では曲線が点 $A$ で尖点を持ち、その点と一点で交わる接線はかえって多数ある。

一般の曲線の接線をどのように定義するか？一つの有効な方法は割線から出発し、曲線 $C$ 上の二点 $M_0$ と $M$ を結ぶ割線 $L$（図 3.4）を作り、点 $M$ が曲線 $C$ に沿って $M_0$ に近づくとき、直線 $L$ に「極限位置」があれば、この「極限位置」の直線を曲線の点 $M_0$ での接線と定義する。

平面上の一点を通る直線は $x$ 軸との正の向きのなす角 $\alpha$ で表せる。この角 $\alpha$ は $x$ 軸の原点から直線を反時計回りに回転し、初めて直線と平行になるまでに掃いた角度であり、$0 \leq \alpha \leq \pi$ を満たす。角度の正接 $\tan\alpha$ を直線の傾きという。

割線 $M_0 M$ と $x$ 軸のなす角を $\alpha(M)$ とし、

$$\lim_{M \to M_0} \alpha(M) = \alpha$$

であれば、極限値 $\alpha$ が点 $M_0$ での接線と $x$ 軸のなす角であるべきである。

いま曲線 $C$ が関数 $y = f(x)$ で表されているとし（あるいは曲線は関数 $f(x)$ のグラフ）、点 $M_0$ の座標を $M_0(x_0,\, f(x_0))$、動点 $M$ の座標を $M(x,\, f(x))$ とすれば、割線の傾きは

$$\tan\alpha(M) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

だから、上述の極限を求める過程は

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \tan\alpha(M) = \tan\alpha$$

であり、左辺の極限が存在すれば、それが接線の傾きである。

2$^\circ$　直線運動する質点の瞬間速度

直線上を変速運動する質点を考える。質点の運動距離と時間の関係を $S = S(t)$ とする。時刻 $t_0$ から $t$ までの時間間隔における質点の平均速度は

$$\bar{v} = \frac{S(t) - S(t_0)}{t - t_0}.$$

この平均速度は質点が $t_0$ から $t$ までのより具体的な運動規則を十分に反映しない。質点のある瞬間の変化規則（すなわち速度）を理解するには、上述の平均の時間間隔を徐々に短くしていけばよい。特に極限

$$\lim_{t \to t_0} \bar{v} = \lim_{t \to t_0} \frac{S(t) - S(t_0)}{t - t_0}$$

が存在すれば、これを時刻 $t_0$ での質点の瞬間速度という。

幾何学における割線から接線へ、物理学における平均速度から瞬間速度へ、極限の形式はまったく同じである。抽象的に言えば、どちらも関数が一点での変化率を評価するものであり、つまり一点での関数の増分と独立変数の増分の比の極限である。これを抽象化すれば、導関数の定義が得られる。

定義 1 関数 $y = f(x)$ が $x_0$ の近傍で定義されているとする。

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

が存在するとき、これを $y = f(x)$ の $x_0$ での微分係数といい、$f'(x_0)$，$ \dfrac{df}{dx}\Big|_{x_0} $，あるいは $ \dfrac{dy}{dx}\Big|_{x_0} $ と記す。また $f(x)$ は $x_0$ で微分可能という。

最初の例から、関数の導関数の幾何学的な意味は曲線の一点での接線の傾きであり、第二の例から、導関数の物理的な意味はある瞬間の瞬間速度である。

関数が一点で導関数を持たない場合、それは一つの可能性として極限が無限大になることも含む。この場合の幾何学的な解釈は、関数のグラフが一点で「傾きが無限大」の接線を持ち、すなわち接線が $y$ 軸に平行になることである。一般的には $y$ 軸に平行な接線を考えないことにする。

増分を用いて言えば、上述の定義は次と同値である：関数 $f(x)$ に対して独立変数 $x$ が一点 $x_0$ で増分 $\Delta x$ を加えると（ここで $\Delta x$ は正でも負でもよく、零でない）、関数値に対応する増分 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ が生じる。$f(x)$ の点 $x_0$ での導関数は二つの増分の比の極限

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

である。

定義 2 関数 $y = f(x)$ が点 $x_0$ の右側近傍で定義されているとする。$\Delta x > 0$ として、

$$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

が存在するとき、これを $f(x)$ の $x_0$ での右微分係数といい、$f'_+(x_0)$ と記す。$f(x)$ は $x_0$ で右側から微分可能という。左微分係数 $f'_-(x_0)$ も同様に定義する。

明らかに $f(x)$ が $x_0$ で微分可能であるための必要十分条件は、$f(x)$ が $x_0$ で左側から微分可能かつ右側から微分可能であり、かつ

$$f'_+(x_0) = f'_-(x_0)$$

が成立することである。

定義 3 定義 1 より導関数は局所的な概念であるが、関数 $y = f(x)$ が区間 $I$ 上の各点で微分可能であれば、$f(x)$ は区間 $I$ 上で微分可能という。区間 $I$ が端点を含む場合、端点においては対応する片側微分可能性があればよい。

$y = f(x)$ が区間 $I$ 上で微分可能であれば、$I$ の各点に対して $f'(x)$ の値が対応する：

$$x \longmapsto f'(x)$$

この対応関係は $I$ 上の一つの関数を確定し、$f(x)$ の導関数といい、$f'(x)$，$y'$，$\dfrac{dy}{dx}$，$\dfrac{df}{dx}$ 等と記す。

例 1 $y = c$（定数）とする。$y'$ を求めよ。

解． $y' = \displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{0}{\Delta x} = 0$。

直観的には $y = c$ は一つの水平線であり、その上の任意の一点で傾きは零の接線（水平線でもある）を持つ。物理的には、ある運動する質点の距離が常に $c$ なら、質点は静止しており、その瞬間速度は当然常に零である。また、後で導関数が至る所で零となる関数は $y = c$ しかないことを証明する。

例 2 $y = x^n$，$x \in (-\infty, +\infty)$、$n$ は自然数とする。$y'$ を求めよ。

解．任意の実数 $x$ に対して、二項式定理より

$$\Delta y = (x + \Delta x)^n - x^n = nx^{n-1}\Delta x + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots + (\Delta x)^n$$

だから

$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left[nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}\Delta x + \cdots + (\Delta x)^{n-1}\right] = nx^{n-1}.$$

すなわち $y = x^n$ の導関数は $y' = nx^{n-1}$、導関数の定義域も $(-\infty, +\infty)$ である。特に $n = 1$ のとき、関数 $y = x$ の導関数は定数関数 $y = 1$ であり、すなわち $y = x$ の各点での接線の傾きは常に 1 である。

例 3 正弦関数と余弦関数の導関数を求めよ。

解． $y = \sin x$，$x \in (-\infty, +\infty)$ とする。任意の一点 $x$ に対して、

$$\Delta y = \sin(x + \Delta x) - \sin x = 2\cos\!\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}$$

$\cos x$ の連続性と基本極限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ より、

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \cos\!\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} = \cos x.$$

すなわち $(\sin x)' = \cos x$。同様に $(\cos x)' = -\sin x$。

例 4 対数関数 $y = \log_a x$，$x \in (0, +\infty)$ の導関数を求めよ。ここで $a > 0$，$a \neq 1$。

解．任意の $x > 0$ に対して $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ であり、

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\log_a\!\left(1 + \dfrac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x} = \frac{1}{\ln a}\cdot\frac{\ln\!\left(1 + \dfrac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}$$

極限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$ を利用すると、

$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}.$$

特に $a = e$ のとき

$$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad x \in (0, +\infty).$$

$e$ を底とする自然対数の導関数は特に簡単である。

例 5 次の区分関数の導関数を求めよ。

$$f(x) = \begin{cases} x^3, & x \geq 0, \\ x^2, & x < 0. \end{cases}$$

解．関数 $f(x)$ は関数 $y = x^3$（$x \geq 0$）と $y = x^2$（$x < 0$）が $x = 0$ でつなぎ合わされたものである（グラフは下の図）。$x > 0$ のとき $f'(x) = 3x^2$，$x < 0$ のとき $f'(x) = 2x$，$x = 0$ のとき、

$$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{(\Delta x)^3}{\Delta x} = 0, \qquad f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} = 0.$$

よって

$$f'(x) = \begin{cases} 3x^2, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ 2x, & x < 0. \end{cases}$$

上の例では関数の導関数がすべて存在し、かつ定義域内で連続でもある。これは偶然ではない。

定理 1 関数 $f(x)$ が $x_0$ で微分可能であれば、$f(x)$ は $x_0$ で連続である。言い換えると、もし関数が一点 $x_0$ で不連続であれば、明らかに $x_0$ で微分不可能である。

証明

既知の条件より極限

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)$$

が存在する。よって

$$\lim_{x \to x_0}(f(x) - f(x_0)) = \lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}(x - x_0)\right) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot \lim_{x \to x_0}(x - x_0) = f'(x_0)\cdot 0 = 0.$$

あるいは $x_0$ の付近で $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ は有界であり、すなわち $r > 0$ と $M > 0$ が存在して $0 < |x - x_0| < r$ のとき $\left|\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right| < M$。すなわち $0 < |x - x_0| < r$ のとき $|f(x) - f(x_0)| < M|x - x_0|$。$x \to x_0$ としても証明が得られる。

定理 1 の逆は成立しない、すなわち連続関数は必ずしも微分可能でない。

例 6 関数 $f(x) = |x|$ は $x = 0$ で連続であるが $x = 0$ で微分不可能である。

証明． $x = 0$ のとき、

$$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x - 0}{\Delta x} = 1, \qquad f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x - 0}{\Delta x} = -1.$$

よって $f(x) = |x|$ は $x = 0$ で微分不可能である。図からわかるように、関数は $x = 0$ で尖点を持ち、滑らかでないため接線がない。

例 7 関数 $f(x) = x^{1/3}$ は $x = 0$ で連続であるが微分不可能である。

証明． $x = 0$ において

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^{1/3}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{|\Delta x|^{2/3}} = +\infty.$$

この例は、関数の導関数が存在しないもう一つの形として、一点で「傾きが無限大」の接線を持つことを示す。このとき $f(x) = x^{1/3}$ のグラフは $(0, 0)$ に $y$ 軸に平行な接線を持つ（図 3.6 を参照）。読者は同様に関数 $y = x^{1/3}$ は $x \neq 0$ で微分可能であり、$y' = \dfrac{1}{3}x^{-2/3}$ であることを証明できる。

上の二例では、連続関数がただ一点で微分不可能であった。実は、至る所で連続であるのに至る所で微分不可能な関数も存在する（Weierstrass が最初に構成した）。連続性と微分可能性の定義を比べると、この差がわかる：連続性は、独立変数の変化が小さいとき関数の変化も小さい、という定性的な性質である。一方、微分可能性は、関数の変化と独立変数の増分の比の極限が有限に存在する、という定量的な要求である。

導関数の四則演算

定理 2 $f(x)$ と $g(x)$ が微分可能であれば、$f(x) + g(x)$，$f(x)g(x)$ および $\dfrac{f(x)}{g(x)}$（$g(x) \neq 0$ のとき）はすべて微分可能であり、

$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$；
$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$；
$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$。

証明

1$^\circ$ については、導関数の定義と極限の演算から直接証明できる。2$^\circ$ については次の恒等式を利用する：

$$\begin{aligned}f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x) &= [f(x+\Delta x)-f(x)]g(x+\Delta x) + f(x)[g(x+\Delta x)-g(x)]\end{aligned}$$

より

$$(f(x)g(x))' = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

3$^\circ$ については、まず $g(x) \neq 0$ のとき $g(x)$ は連続だから $x$ の付近でも $g(x) \neq 0$ であることに注意する。よって $\Delta x$ が十分小さいとき $g(x+\Delta x) \neq 0$ であり、

$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)' = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{1}{g(x+\Delta x)}-\frac{1}{g(x)}\right) = -\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{g(x)g(x+\Delta x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = -\frac{g'(x)}{g^2(x)}.$$

2$^\circ$ より

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right)' = f'(x)\frac{1}{g(x)} - f(x)\frac{g'(x)}{g^2(x)} = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}.$$

例 8 $f(x)$ が微分可能であれば $(cf(x))' = cf'(x)$（$c$ は定数）。これは明らかである。

例 9 $f(x) = x^2(\sin x + \cos x)$ の導関数を求めよ。

解．

$$f'(x) = (x^2)'(\sin x + \cos x) + x^2(\sin x + \cos x)' = 2x(\sin x + \cos x) + x^2(\cos x - \sin x).$$

例 10 $\tan x$ と $\cot x$ の導関数を求めよ。

解．

$$(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)'\cos x - (\cos x)'\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

同様に $(\cot x)' = -\csc^2 x$。

例 11 $\sec x$ と $\csc x$ の導関数を求めよ。

解．

$$(\sec x)' = \left(\frac{1}{\cos x}\right)' = -\frac{(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \tan x\sec x.$$

同様に $(\csc x)' = -\cot x\csc x$。

合成関数の微分法（連鎖律）

合成関数の微分法、通常「連鎖律（チェインルール）」と呼ばれるものを論じる。大多数の関数が初等関数を合成して得られるから、合成関数の微分法は微分法の範囲を大幅に拡大する。

定理 3 関数 $y = g(x)$ は区間 $I$ 上で定義されており、関数 $z = f(y)$ は区間 $J$ 上で定義されており、$g(I) \subset J$ とする。$g(x)$ が $x \in I$ で微分可能であり、$f(y)$ が $y = g(x)$ で微分可能であれば、合成関数 $f \circ g$ は $x$ で微分可能であり、

$$(f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x).$$

証明

$x_0$ および $g(x_0)$ がともに区間の端点でない場合のみ証明する（端点の場合は以下の証明に若干の修正を施すだけでよい）。次の差分商を考える：

$$\frac{f \circ g(x) - f \circ g(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} = \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$$

上式は $g(x) \neq g(x_0)$ のときのみ意味をもつ。そこで $y_0 = g(x_0)$ とし、 $$\Phi(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(y_0)}{y - y_0}, & y \neq y_0, \\ f'(y_0), & y = y_0 \end{cases}$$ とおく。$f$ は $y_0$ で微分可能だから $\Phi$ は $y_0$ で連続である。すると $f(g(x)) - f(g(x_0)) = \Phi(g(x))\,(g(x) - g(x_0))$ は $g(x) = g(x_0)$ の場合も含めて常に成り立つ。$x \to x_0$ とすれば $g(x) \to g(x_0)$ なので $\Phi(g(x)) \to f'(g(x_0))$。よって

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f\circ g(x) - f\circ g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)}\cdot\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

実際の使用では、定理 3 は次のように表すこともできる：

$$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.$$

すなわち $z$ が独立変数 $x$ の合成関数で中間変数が $y$ であれば、$z$ の $x$ に対する導関数 $\dfrac{dz}{dx}$ を求めるには、$z$ の中間変数 $y$ に対する導関数 $\dfrac{dz}{dy}$ を求め、次に中間変数 $y$ の $x$ に対する導関数 $\dfrac{dy}{dx}$ を求め、両者の積を得ればよい。

多層の合成関数に対しても、定理 3 より類似の微分法が得られる。たとえば $y = f(u)$ が $u$ に対して微分可能で、$u = g(v)$ が $v$ に対して微分可能で、$v = h(x)$ が $x$ に対して微分可能であり、後の各関数の値域が前の関数の定義域に含まれるとき、合成関数 $y = f \circ g \circ h(x)$ は $x$ に対しても微分可能であり、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx} = f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x).$$

例 12 $\sin x^3$ の導関数を求めよ。

解． $z = \sin x^3$ は $z = \sin y$ と $y = x^3$ の合成である。連鎖律より

$$(\sin x^3)' = (\sin y)'(x^3)' = \cos y \cdot 3x^2 = 3x^2\cos x^3.$$

例 13 $z = \sin(\cos x^2)$ の導関数を求めよ。

解．この関数は $z = \sin u$，$u = \cos v$，$v = x^2$ の三つの関数の合成である。よって

$$(\sin(\cos x^2))' = (\sin u)'(\cos v)'(x^2)' = -2x\cos u\sin v = -2x\cos(\cos x^2)\sin x^2.$$

例 14 $z = (1-x)^9$ の導関数を求めよ。

解． $(1-x)^9$ を二項式定理で展開して $(x^n)' = nx^{n-1}$ および導関数の四則演算を使っても求められる。しかし $z = y^9$ と $y = 1 - x$ の合成と見れば計算はより簡単である：

$$((1-x)^9)' = (y^9)'(1-x)' = -9y^8 = -9(1-x)^8.$$

例 15 $z = \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^3$ の導関数を求めよ。

解．この関数は $z = y^3$ と $y = \dfrac{1+x}{1-x}$ の合成である。よって

$$\left[\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3\right]' = (y^3)'\left(\frac{1+x}{1-x}\right)' = 3y^2\cdot\frac{1\cdot(1-x) - (1+x)\cdot(-1)}{(1-x)^2} = 3\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2 \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{6(1+x)^2}{(1-x)^4}.$$

例 16 $f(x)$ が $x$ で微分可能かつ $f(x) \neq 0$ であれば、$\ln|f|$ は $x$ で微分可能であり、

$$(\ln|f|)' = \frac{f'(x)}{f(x)}.$$

特に

$$(\ln|x|)' = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0.$$

証明． $f(x)$ が $x$ で微分可能だから連続であり、よって $x$ を含む区間 $(x-\delta,\, x+\delta)$ が存在して関数 $f$ はその上で符号を保つ。$(x-\delta,\, x+\delta)$ 上で正符号をとるとき $|f| = f$、すなわち $\ln|f| = \ln f$ であり、これは $z = \ln y$，$y = f(x)$ の合成だから

$$(\ln|f|)' = (\ln y)'\cdot f'(x) = \frac{1}{y}\cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}.$$

$(x-\delta,\, x+\delta)$ 上で負符号をとるとき $|f| = -f$、よって $\ln|f| = \ln(-f)$ であり、これは $z = \ln y$，$y = -f(x)$ の合成だから

$$(\ln|f|)' = (\ln y)'\cdot(-f'(x)) = \frac{1}{y}\cdot(-f'(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.$$

以上より求める結果が得られる。

逆関数の微分法

関数 $f$ が区間上で連続かつ逆関数 $f^{-1}$ を持つことがわかっており、$f$ がさらに微分可能であれば、自然にその逆関数も微分可能かどうかを問い、微分可能ならばどのように計算するか、という問題が生じる。

定理 4 関数 $y = f(x)$ は区間 $I$ 上で連続かつ逆関数 $f^{-1}$ を持つとする。$f$ が $x$ で微分可能かつ $f'(x) \neq 0$ であれば、区間 $J = f(I)$ 上で定義された逆関数 $f^{-1}$ は $y = f(x)$ で微分可能であり、

$$(f^{-1})'(y)f'(x) = 1$$

あるいは

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.$$

証明

$x$ および $y$ が区間の端点でない場合のみ証明する。端点の場合は以下の修正で対応できる。

逆関数 $x = f^{-1}(y)$ の微分可能性を示すには、

$$\lim_{h\to 0}\frac{f^{-1}(y+h) - f^{-1}(y)}{h}$$

の極限が存在するかどうかを調べればよい。$y$ が区間 $J$ の端点でないから $h$ が小さいとき $y + h \in J = f(I)$ である。$f$ が厳密に単調だから唯一の $u = u(h) \in I$ が存在して $y + h = f(x+u)$ が成り立ち、さらに一方で $h \neq 0$ のとき $u \neq 0$、他方で $f^{-1}(y)$ の連続性より $h \to 0$ のとき $u \to 0$。よって

$$\frac{f^{-1}(y+h) - f^{-1}(y)}{h} = \frac{(x+u) - x}{f(x+u) - f(x)} = \frac{u}{f(x+u) - f(x)}$$

の中で $h \to 0$ のとき最右辺の極限は $\dfrac{1}{f'(x)}$ となる。

注記

(1) 同一の座標系では、関数 $y = f(x)$ と逆関数 $x = f^{-1}(y)$ は同一の曲線を表す。よって曲線上の一点 $(x, y)$ での接線 $L$ について、関数 $y = f(x)$ の角度から見ると $L$ の傾きは $x$ 軸正方向との角の正接であり、関数 $x = f^{-1}(y)$ の角度から見ると $L$ の傾きは $y$ 軸正方向との角の正接であり、両者は互いに逆数となる。

(2) $f'(x_0) = 0$ の場合を考えると、曲線はこの点 $(x_0, y_0)$（$y_0 = f(x_0)$）での接線が $x$ 軸に平行であることを意味する。関数 $x = f^{-1}(y)$ の角度から見ると、接線と独立変数のある数軸（$y$ 軸）の傾きは無限大となる。よって $f^{-1}(y)$ は $y_0 = f(x_0)$ で微分不可能（あるいは導関数が無限大という）。

(3) 一般に習慣上 $x$ を一つの関数の独立変数、$y$ を従属変数として用いる。そのため混乱が生じない状況では $y = f(x)$ の逆関数を $y = f^{-1}(x)$ と記す。

例 17 逆三角関数の導関数を求めよ。

解． $y = \arcsin x$ は $x = \sin y$，$|y| < \dfrac{\pi}{2}$ の逆関数であり、$x = \sin y$ は区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上で微分可能かつ $(\sin y)' = \cos y \neq 0$ だから、逆関数 $y = \arcsin x$ は対応する区間 $(-1, 1)$ 上で微分可能であり、

$$(\arcsin x)' = \frac{1}{(\sin y)'} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

同様に

$$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \in (-1, 1).$$

次に $y = \arctan x$ を考える。これは $x = \tan y$ の逆関数であり、区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上で $(\tan y)' = \sec^2 y \neq 0$ だから、逆関数 $y = \arctan x$ は対応する区間上で微分可能であり、

$$(\arctan x)' = \frac{1}{(\tan y)'} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1+\tan^2 y} = \frac{1}{1+x^2}, \quad |x| < +\infty.$$

同様に

$$(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}, \quad |x| < +\infty.$$

例 18 指数関数 $y = a^x$ の導関数を求めよ。ここで $a > 0$，$a \neq 1$。

解．指数関数 $y = a^x$ は対数関数 $x = \log_a y$ の逆関数であり、区間 $(0, +\infty)$ 上で $(\log_a y)' = \dfrac{1}{y\ln a} \neq 0$ だから、逆関数 $y = a^x$ は対応する区間 $(-\infty, +\infty)$ 上で微分可能であり、

$$(a^x)' = \frac{1}{(\log_a y)'} = y\ln a = a^x\ln a, \quad x \in (-\infty, +\infty).$$

特に $a = e$ のとき

$$(e^x)' = e^x, \quad x \in (-\infty, +\infty).$$

すなわち $e$ を底とする指数関数の導関数はそれ自身に等しい。実はこれがこの指数関数の特徴的な性質である。後で $f' = f$ を満たす微分可能な関数 $f$ は必ず $f(x) = Ce^x$（$C$ は任意定数）であることを証明する。この観点から $e$ を底とする指数関数 $e^x$ とその逆関数（$e$ を底とする対数関数）$\ln x$ は一定の特殊な地位を持つことが理解できる。

例 19 $y = x^\alpha$，$(x > 0)$，$\alpha$ は任意の実数とする。$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ を証明せよ。

証明． $\alpha$ が自然数（$\alpha = 0$ を含む）のときは例 2 より既に証明されている。$\alpha \neq 0$ のとき（当然正の自然数も含む）、$x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$ であり、これは $y = e^u$ と $u = \alpha\ln x$ の合成だから、

$$\frac{dx^\alpha}{dx} = \frac{de^u}{du}\cdot\frac{du}{dx} = e^u\cdot\frac{\alpha}{x} = x^\alpha\cdot\frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}.$$

例 18 と例 19 より、$a > 0$，$a \neq 1$ であれば、関数 $u = u(x)$ が $x$ で微分可能かつ $v = v(x)$ が $x$ で微分可能であり、$v(x) > 0$ であれば関数 $y = v(x)^{u(x)}$ は $x$ で微分可能であり、$(a^u)' = a^u u'(x)\ln a$ および $(v^\alpha)' = \alpha v^{\alpha-1}v'(x)$ が成立する。さらにこれらを総合して次が得られる。

例 20 $u(x)$，$v(x)$ が微分可能かつ $v(x) > 0$ であれば、関数 $y = v(x)^{u(x)}$ は微分可能であり、

$$(v(x)^{u(x)})' = v(x)^{u(x)}\left(u'(x)\ln v(x) + \frac{u(x)v'(x)}{v(x)}\right).$$

証明． $y = e^{u(x)\ln v(x)}$ は $y = e^w$，$w = u(x)\ln v(x)$ の合成だから、$x$ での導関数は

$$y'(x) = e^{u(x)\ln v(x)}(u\ln v)' = v(x)^{u(x)}\left(u'(x)\ln v(x) + u(x)\frac{v'(x)}{v(x)}\right).$$

本題は次の方法でも解ける：$y = v^u$ の両辺に対数をとれば $\ln y(x) = u(x)\ln v(x)$。この式の両辺を $x$ に対して微分すると

$$\frac{y'(x)}{y(x)} = u'(x)\ln v + u(x)\frac{v'(x)}{v(x)}$$

となりこれも結論を与える。

注記両辺に対数をとる方法は一定の普遍的適用性を持つ。対数の効用は積を和に変えることであり、乗積（または累乗）に関わる関数に対しては対数をとって微分するとしばしば便利である。

基本初等関数の導関数

これまでに六種の基本初等関数の導関数公式を習得した。まとめると次の通りである。

$$\begin{aligned}(c)' &= 0 \quad (c\text{ は定数}); \\[4pt] (\sin x)' &= \cos x; &\qquad (\cos x)' &= -\sin x; \\[4pt] (\tan x)' &= \sec^2 x; &\qquad (\cot x)' &= -\csc^2 x; \\[4pt] (\sec x)' &= \tan x\sec x; &\qquad (\csc x)' &= -\cot x\csc x; \\[4pt] (\arcsin x)' &= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}; &\qquad (\arccos x)' &= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \\[6pt] (\arctan x)' &= \dfrac{1}{1+x^2}; &\qquad (\operatorname{arccot} x)' &= -\dfrac{1}{1+x^2}; \\[6pt] (e^x)' &= e^x; &\qquad (\ln x)' &= \dfrac{1}{x}; \\[4pt] (a^x)' &= a^x\ln a; &\qquad (\log_a x)' &= \dfrac{1}{x\ln a}; \\[4pt] (x^\mu)' &= \mu x^{\mu-1}; &&\end{aligned}$$

基本初等関数の導関数はすべて初等関数であることがわかる。

上の公式と、導関数の四則演算、合成関数の微分法（連鎖律）、逆関数の微分法を組み合わせることで、初等関数はその定義域内で微分可能であるだけでなく、その導関数を求めることもできる。

高階導関数

関数 $y = f(x)$ が区間 $I$ 上で微分可能であれば、その導関数 $y' = f'(x)$ もまた $x$ の関数として調べることができる。

$f'(x)$ が一点 $x_0$ で微分可能であれば、関数 $f(x)$ は $x_0$ で2階微分可能という。その導関数値 $(f'(x))'|_{x=x_0}$ を通常

$$f''(x_0),\quad y''(x_0),\quad \left.\frac{d^2 f}{dx^2}\right|_{x=x_0},\quad \left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{x=x_0}$$

と記し、関数 $f(x)$ の$x_0$ における2階導関数という。

混乱が生じない場合は

$$\left.\frac{d^2 f}{dx^2}\right|_{x=x_0} = \frac{d^2 f(x_0)}{dx^2},\quad \left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{x=x_0} = \frac{d^2 y(x_0)}{dx^2}$$

とも記す。

同様に、3階・4階・$\cdots$ の導関数 $f'''(x)$，$f^{(4)}(x)$，$\cdots$ や、その $x_0$ での値 $f'''(x_0)$，$f^{(4)}(x_0)$，$\cdots$ を考えることができる。

一般に $n \geq 1$ として、関数 $y = f(x)$ の $n-1$ 階導関数 $f^{(n-1)}(x)$ が $x_0$ で微分可能であれば、$f$ は $x_0$ で $n$ 階微分可能であり、

$$y^{(n)}(x_0),\quad f^{(n)}(x_0),\quad \left.\frac{d^n y}{dx^n}\right|_{x=x_0},\quad \text{あるいは}\quad \left.\frac{d^n f}{dx^n}\right|_{x=x_0}$$

と記し、関数 $f$ の$x_0$ における $n$ 階導関数という。

$f^{(n-1)}(x)$ の導関数が存在すれば、これを関数 $f$ の $n$ 階導関数といい、

$$y^{(n)}(x),\quad f^{(n)}(x),\quad \frac{d^n y}{dx^n}(x),\quad \text{あるいは}\quad \frac{d^n f}{dx^n}(x)$$

と記す。明らかに

$$\frac{d^n f}{dx^n} = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1} f}{dx^{n-1}}\right).$$

注記

(1) 定義からわかるように、関数の導関数は必ずしも連続でなく、更に微分可能とは限らない（本節の練習問題第 12 問を参照）。したがって関数の高階導関数を求めるには、関数への要求が高くなるほど制限が多くなる。$f(x) = |x|$ の例では、この関数は $x = 0$ で微分不可能だから、関数のグラフにはそこに尖点があり、滑らかでない。したがって一般に、高階の導関数を持つほど関数は「滑らか」である。関数の状態が良くなるのである。

(2) 高階導関数を求めることは連続して何度も微分することであり、技術的には特筆すべきことはない。たとえば $f(x)$ と $g(x)$ がともに $n$ 階微分可能であれば $(f(x) + g(x))^{(n)} = f^{(n)}(x) + g^{(n)}(x)$ は明らかである。二つの関数の積の $n$ 階導関数については次の定理がある。

定理 5（ライプニッツの公式） $u(x)$ と $v(x)$ が $n$ 階導関数を持つとき、

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}.$$

証明

$n$ に関する帰納法による。$n = 1$ のとき明らかである。$n \geq 1$ として

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}$$

が成り立つと仮定すると、

$$\begin{aligned}(uv)^{(n+1)} &= \left(\sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}\right)' \\ &= \sum_{k=0}^{n}\left(C_n^k u^{(n-k+1)}v^{(k)} + C_n^k u^{(n-k)}v^{(k+1)}\right) \\ &= u^{(n+1)}v + \sum_{k=1}^{n}C_n^k u^{(n+1-k)}v^{(k)} + \sum_{k=1}^{n}C_n^{k-1}u^{(n+1-k)}v^{(k)} + uv^{(n+1)} \\ &= u^{(n+1)}v + \sum_{k=1}^{n}(C_n^k + C_n^{k-1})u^{(n+1-k)}v^{(k)} + uv^{(n+1)} \\ &= \sum_{k=0}^{n+1} C_{n+1}^k u^{(n+1-k)}v^{(k)}.\end{aligned}$$

帰納法より定理が成立する。

例 21 $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ を $n$ 次多項式とする。各階の導関数を求めよ。

解．

$$P'_n(x) = na_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1.$$

その結果は $n-1$ 次多項式であり、多項式の導関数はもとの多項式より「簡単」、すなわち次数が下がる。引き続き微分して $k$ 回目（$1 \leq k \leq n$）の結果は $n-k$ 次多項式

$$P_n^{(k)}(x) = n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k} + \cdots + k!\,a_k.$$

特に $k = n$ のとき定数

$$P_n^{(n)}(x) = n!\,a_n$$

となり、$k \geq n+1$ のとき

$$P_n^{(k)}(x) = 0.$$

よって多項式は何度も微分していくと次第に「簡単」になり、最終的に零になる。

注記多項式についてこのような一つの結果も証明できる：$x_0$ が多項式 $P_n(x)$ の $r$ 重根であれば、$P_n(x)$ は次のように因数分解できる

$$P_n(x) = (x - x_0)^r Q_{n-r}(x),$$

ここで $Q_{n-r}(x)$ は $n-r$ 次多項式で $Q_{n-r}(x_0) \neq 0$。これは $P_n(x)$ が次の条件を満たすことと同値である：

$$P_n(x_0) = 0,\quad P'_n(x_0) = 0,\quad \cdots,\quad P_n^{(r-1)}(x_0) = 0,\quad P_n^{(r)}(x_0) \neq 0.$$

この条件は任意の微分可能な関数の零点の多重度にまで一般化することができる。すなわち関数 $f(x)$ に対して、

$$f(x_0) = 0,\quad f'(x_0) = 0,\quad \cdots,\quad f^{(r-1)}(x_0) = 0,\quad f^{(r)}(x_0) \neq 0$$

であれば $x_0$ を $f(x)$ の $r$ 重根という。

例 22 $f(x) = e^{ax}$，$x \in (-\infty, +\infty)$，$a$ は定数とする。

解． $(e^{ax})' = ae^{ax}$，$(e^{ax})'' = (ae^{ax})' = a^2 e^{ax}$，$\cdots$，一般に

$$(e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax}.$$

特に $(e^x)^{(n)} = e^x$。

例 23 $f(x) = \ln(1+x)$，$x \in (-1, +\infty)$ の $n$ 階導関数を求めよ。

解．帰納法により

$$\frac{d^n \ln(1+x)}{dx^n} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}, \quad n = 1, 2, \cdots.$$

よって

$$\left.\frac{d^n \ln(1+x)}{dx^n}\right|_{x=0} = (-1)^{n-1}(n-1)!$$

例 24 $\sin x$ と $\cos x$ の $n$ 階導関数を求めよ，$x \in (-\infty, +\infty)$。

解．数学的帰納法により容易に証明できる：

$$(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right), \qquad (\cos x)^{(n)} = \cos\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right), \quad n = 1, 2, \cdots.$$

特に $x = 0$ において、

$$(\sin x)^{(n)}|_{x=0} = \sin\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} 0, & n \text{ が偶数}, \\ (-1)^{(n-1)/2}, & n \text{ が奇数},\end{cases}$$

$$(\cos x)^{(n)}|_{x=0} = \cos\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} (-1)^{n/2}, & n \text{ が偶数}, \\ 0, & n \text{ が奇数}.\end{cases}$$

例 25 $(1+x)^\alpha$，$x \in (-1, +\infty)$ の $n$ 階導関数を求めよ。

解．冪関数の微分法から容易に得られる：

$$((1+x)^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}, \quad n = 1, 2, \cdots.$$

特に

$$((1+x)^\alpha)^{(n)}|_{x=0} = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1), \quad n = 1, 2, \cdots.$$

例 26 $y = \arctan x$ とする。$y^{(n)}(0)$ を求めよ。

解． $y' = \dfrac{1}{1+x^2}$ より、$\arctan x$ は任意の階の導関数を持ち、

$$(1+x^2)y' = 1.$$

ライプニッツの公式を適用すると

$$(1+x^2)y^{(n)} + 2(n-1)xy^{(n-1)} + (n-1)(n-2)y^{(n-2)} = 0.$$

$x = 0$ を代入すると漸化式

$$y^{(n)}(0) = -(n-1)(n-2)y^{(n-2)}(0)$$

が得られる。$y(0) = 0$，$y'(0) = 1$ であるから、

$$y^{(2k+1)}(0) = (-1)^k(2k)!, \quad y^{(2k)}(0) = 0. \quad (k = 0, 1, 2, \cdots)$$

ベクトル値関数の導関数

ベクトル値関数とは実数の集合から $\mathbf{R}^k$ への写像

$$\boldsymbol{f}\colon [a, b] \subset \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R}^k,\quad \boldsymbol{f}\colon t \longmapsto \boldsymbol{f}(t)$$

のことである。簡単に言えば $\mathbf{R}^k$ はすべての $\boldsymbol{x} = (x_1, \cdots, x_k)$，$x_i \in \mathbf{R}$ の形のベクトルで構成される空間であり、成分形式で書けば $\boldsymbol{f}(t) = (f_1(t), f_2(t), \cdots, f_k(t))$ となり、各成分 $f_i = f_i(t)$ は $t$ の関数である。

$\mathbf{R}^k$ は距離空間であり、その距離は

$$|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}| = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + \cdots + (x_k-y_k)^2}.$$

この距離によりベクトル値関数の連続性を定義できる。連続関数の定義における不等式 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ を $|\boldsymbol{f}(t) - \boldsymbol{f}(t_0)| < \varepsilon$ に換えるだけでよい。明らかにベクトル値関数 $\boldsymbol{f}(t)$ の連続性の必要十分条件はその各成分 $f_i(t)$，$1 \leq i \leq k$ の連続性である。

同様の方法でベクトル値関数 $\boldsymbol{f}(t)$ の導関数を定義できる：

$$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\boldsymbol{f}(t+\Delta t) - \boldsymbol{f}(t)}{\Delta t} = \boldsymbol{f}'(t).$$

この極限が存在すれば容易にわかるように、ベクトル値関数 $\boldsymbol{f}(t)$ が微分可能であるための必要十分条件はその各成分 $f_1(t), \cdots, f_k(t)$ がすべて微分可能であることであり、

$$\boldsymbol{f}'(t) = (f'_1(t), \cdots, f'_k(t)).$$

$\mathbf{R}^k$ 中にはベクトルの加法・スカラー倍・内積があり、特に $k = 3$ のとき外積もある。よって次の性質がある。

$(\boldsymbol{f}(t) \pm \boldsymbol{g}(t))' = \boldsymbol{f}'(t) \pm \boldsymbol{g}'(t)$；
$(\boldsymbol{f}(t) \cdot \boldsymbol{g}(t))' = \boldsymbol{f}'(t) \cdot \boldsymbol{g}(t) + \boldsymbol{f}(t) \cdot \boldsymbol{g}'(t)$；
$k = 3$ のとき $(\boldsymbol{f}(t) \times \boldsymbol{g}(t))' = \boldsymbol{f}'(t) \times \boldsymbol{g}(t) + \boldsymbol{f}(t) \times \boldsymbol{g}'(t)$。

上述の公式は読者が自分で証明できる。しかし必ずしもすべての関数の導関数の性質をベクトル値関数に自然に一般化できるわけではない。後で平均値の定理がベクトル値関数には成立しなくなる例を挙げる。

注記関数の媒介変数表示 $x = x(t)$，$y = y(t)$ も二次元のベクトル値関数と見なせる。通常ベクトル値関数は幾何と物理でよく使われる。たとえば幾何中の螺旋線はベクトル値関数によって描かれる：$\boldsymbol{r}(t) = (\cos t, \sin t, kt)$，$t \in [0, 2\pi]$（$k$ は定数）。物理中の万有引力の公式は

$$m\ddot{\boldsymbol{r}}(t) = -\frac{gmM\boldsymbol{r}(t)}{r^3(t)}$$

であり、$g$ は引力定数，$m$，$M$ はそれぞれ二つの互いに作用する質点の質量、$r = |\boldsymbol{r}|$。力学の習慣上、関数の上に点を加えて微分を求める記法を用いる。

練習問題（導関数）

次の関数が $x = 0$ で微分可能かどうかを論じよ。(a) $f(x) = x|x|$；(b) $f(x) = |\sin x|$；(c) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$。
$a$，$b$ の値を求め、次の関数が至る所で微分可能となるようにせよ。
1. $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1, \\ ax+b, & x > 1; \end{cases}$
2. $f(x) = \begin{cases} \ln(1+x), & x < 0, \\ ax+b, & x \geq 0. \end{cases}$
関数 $g(x)$ が $x = a$ で連続とし、$f(x) = (x-a)g(x)$ とする。$f'(a) = g(a)$ を証明せよ。
関数 $f(x)$ が $x_0$ で微分可能であれば、次を証明せよ。
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+\alpha h) - f(x_0-\beta h)}{h} = (\alpha+\beta)f'(x_0) \quad (\alpha,\, \beta \text{ は定数}).$$
関数 $f(x)$ が $x = a$ で微分可能かつ $f(a) \neq 0$ であれば、関数 $|f(x)|$ も $x = a$ で微分可能であることを証明せよ。$f(a) = 0$ のとき結論は成立するか？
次の関数の導関数を求めよ。
1. $y = \dfrac{3x^2+9x-2}{5x+8}$；
2. $y = \sin x\tan x + \cot x$；
3. $y = x^2\log_3 x$；
4. $y = \dfrac{x}{1-\cos x}$；
5. $y = \dfrac{1+\ln x}{1-\ln x}$；
6. $y = \dfrac{(1+x^2)\ln x}{\sin x + \cos x}$；
7. $y = (x^2+1)(3x-1)(1-x^3)$；
8. $y = x^3\cdot\tan x\cdot\ln x$。
次の関数の導関数を求めよ。
1. $y = x\sqrt{1-x^2}$；
2. $y = \sqrt[3]{1+\ln^2 x}$；
3. $y = \arccos\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}$；
4. $y = (\sin x + \cos x)^3$；
5. $y = (\sin x^3)^3$；
6. $y = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$；
7. $y = \sin[\sin(\sin x)]$；
8. $y = \sin[\cos^5(\arctan x^3)]$；
9. $y = \left(\dfrac{x^3-1}{x^4+1}\right)^3$；
10. $y = x\sqrt{1+x^2}\sin x$；
11. $y = e^{\sqrt{x^2+1}}$；
12. $y = \ln[\ln^2(\ln^3 x)]$；
13. $y = x^{x^x} + x^x + x^{2^x}$；
14. $y = (\ln x)^{e^x}$；
15. $y = (\tan x)^{\cot x}$；
16. $y = 10^x\cdot(\sin x)^{\cos x}$；
17. $y = \dfrac{(x+5)^2(x-4)^{\frac{1}{3}}}{(x+2)^5(x+4)^{\frac{1}{2}}}$；
18. $y = \dfrac{x^2}{1-x}\sqrt{\dfrac{x+1}{1+x+x^2}}$。
$f(x) = x^3$ とするとき、$f'(x^2)$ と $[f(x^2)]'$ を求めよ。
$f(x) = \ln(x+\sqrt{1+x^2})$，$g(x) = e^{\sqrt{x^2+1}}$ とするとき、$f'[g(x)]$ と $[f(g(x))]'$ を求めよ。
$f(x)$ が至る所で微分可能とするとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
1. $y = f(x^3)$；
2. $y = f(\sin^2 x) + f(\cos^2 x)$；
3. $y = f(e^x + x^e)$；
4. $y = \sin[f(\sin f(x))]$；
5. $y = f\{f[f(\sin x + \cos x)]\}$；
6. $y = f(e^x)e^{f(x)}$。
次の関数の導関数を求めよ。
1. $y = \begin{cases} \dfrac{xe^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0; \end{cases}$
2. $y = |1-2x|\sin x$。
$n$ を自然数とし、関数 $f(x) = \begin{cases} x^n\sin\dfrac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ を考えよ。次を証明せよ。
1. $n = 1$ のとき $f(x)$ は $x = 0$ で微分不可能；
2. $n = 2$ のとき $f(x)$ は $x = 0$ で微分可能だが、導関数は $x = 0$ で不連続（実はそこに第2種の不連続点がある）；
3. $n \geq 3$ のとき $f(x)$ は $x = 0$ で微分可能かつ導関数は $x = 0$ で連続である。
関数 $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\dfrac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ が区間 $[-1, 1]$ 上で至る所で微分可能だが、導関数はこの区間上で有界でないことを証明せよ。
次の関数の逆関数の導関数を求めよ。
1. $y = xe^x$；
2. $y = \arctan\dfrac{1}{x}$；
3. $y = 2x^{-x} - e^{-2x}$；
4. $y = \ln(e^x + \sqrt{1+e^{2x}})$。
微分可能な偶関数の導関数は奇関数であることを証明せよ；微分可能な奇関数の導関数は偶関数であることを証明せよ。
微分可能な周期関数の導関数は依然として同じ周期の関数であることを証明せよ。
次の各式の和を求めよ。
1. $P_n = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1}$；
2. $Q_n = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \cdots + n^2 x^{n-1}$；
3. $R_n = \cos 1 + 2\cos 2 + \cdots + n\cos n$。
次の関数の2階導関数を求めよ。
1. $y = e^{-x^2}$；
2. $y = x^2 2^x$；
3. $y = (1+x^2)\arctan x$；
4. $y = \begin{cases} x^2, & x \geq 0, \\ -x^2, & x < 0. \end{cases}$
関数 $f(x)$ が至る所で3階導関数を持つとし、次を求めよ。
1. $y = f(x^2)$ のとき $y''$，$y'''$；
2. $y = f(e^x + x)$ のとき $y''$，$y'''$。
$f(x) = x^n|x|$（$n$ は自然数）とするとき、$f^{(n)}(0)$ が存在するが $f^{(n+1)}(0)$ が存在しないことを証明せよ。
$x_0$ が多項式 $P_n(x)$ の $r$ 重根であれば $P_n(x)$ は次のように因数分解できることを証明せよ：
$$P_n(x) = (x-x_0)^r Q_{n-r}(x),$$
ここで $Q_{n-r}(x)$ は $n-r$ 次多項式かつ $Q_{n-r}(x_0) \neq 0$。このとき $P_n(x)$ は次の条件を満たす：
$$P_n(x_0) = 0,\quad P'_n(x_0) = 0,\quad \cdots,\quad P_n^{(r-1)}(x_0) = 0,\quad P_n^{(r)}(x_0) \neq 0.$$
次の関数の高階導関数を求めよ。
1. $(x^2 e^x)^{(n)}$；
2. $[(x^2+1)\sin x]^{(n)}$；
3. $\left(\dfrac{1}{x^2-3x+2}\right)^{(n)}$；
4. $(\sin x\cdot\cos x)^{(n)}$。
曲線 $y = \cos x$ の $x = \dfrac{\pi}{4}$ における接線方程式と法線方程式を求めよ。
双曲線 $xy = 1$ 上の任意の一点での接線が両座標軸と構成する三角形の面積は一定値であることを証明せよ。
底半径 $r$ センチ、高さ $h$ センチの正円錐形容器に頂部から $a$ cm$^3$/秒の速度で水を注入するとき、水面が上昇する速度を求めよ。
水の高さ 18 センチ、底半径 6 センチの円錐形漏斗から直径 10 センチの円柱形筒に流れ込む。水が漏斗中の深さ 12 センチのとき水面が下降する速度が 1 センチ/分であるとき、円柱形筒の水面が上昇する速度を求めよ。

解答

(a) $\dfrac{x|x|}{x} = |x| \to 0$ なので微分可能（$f'(0)=0$）。(b) 右微分係数 $1$，左微分係数 $-1$ で微分不可能。(c) $\dfrac{x^{2/3}}{x} = x^{-1/3}$ は $x \to 0$ で発散するので微分不可能。
(a) 連続性から $a + b = 1$、微分係数の一致から $a = 2$。よって $a = 2$，$b = -1$。(b) 連続性から $b = 0$、微分係数の一致から $a = 1$。よって $a = 1$，$b = 0$。
$\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = g(x) \to g(a)$。
$\dfrac{f(x_0+\alpha h) - f(x_0-\beta h)}{h} = \alpha\dfrac{f(x_0+\alpha h) - f(x_0)}{\alpha h} + \beta\dfrac{f(x_0) - f(x_0-\beta h)}{\beta h} \to (\alpha+\beta)f'(x_0)$（$\alpha$ または $\beta$ が $0$ の場合はその項が $0$）。
$f(a) \neq 0$ なら連続性により $a$ の付近で $|f| = f$ または $|f| = -f$ なので微分可能。$f(a) = 0$ では成り立つとは限らない（$f(x) = x$ なら $|x|$ は $x = 0$ で微分不可能）。ただし $f(a) = 0$，$f'(a) = 0$ なら $\left|\dfrac{|f(x)|}{x - a}\right| \to 0$ で微分可能。
(a) $\dfrac{15x^2 + 48x + 82}{(5x+8)^2}$。(b) $\cos x\tan x + \sin x\sec^2 x - \csc^2 x = \sin x + \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} - \dfrac{1}{\sin^2 x}$。(c) $2x\log_3 x + \dfrac{x}{\ln 3}$。(d) $\dfrac{1 - \cos x - x\sin x}{(1-\cos x)^2}$。(e) $\dfrac{2}{x(1-\ln x)^2}$。(f) $\dfrac{[2x\ln x + (1+x^2)/x](\sin x + \cos x) - (1+x^2)\ln x(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$。(g) $2x(3x-1)(1-x^3) + 3(x^2+1)(1-x^3) - 3x^2(x^2+1)(3x-1)$。(h) $3x^2\tan x\ln x + x^3\sec^2 x\ln x + x^2\tan x$。
(a) $\dfrac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$。(b) $\dfrac{2\ln x}{3x(1+\ln^2 x)^{2/3}}$。(c) $-\dfrac{2}{\sqrt{2+4x-4x^2}}$。(d) $3(\sin x + \cos x)^2(\cos x - \sin x)$。(e) $9x^2\sin^2(x^3)\cos(x^3)$。(f) $\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\left[1 + \dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}\left(1 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right]$。(g) $\cos(\sin\sin x)\cos(\sin x)\cos x$。(h) $\cos[\cos^5(\arctan x^3)]\cdot 5\cos^4(\arctan x^3)\cdot(-\sin(\arctan x^3))\cdot\dfrac{3x^2}{1+x^6}$。(i) $\dfrac{3(x^3-1)^2(-x^6 + 4x^3 + 3x^2)}{(x^4+1)^4}$。(j) $\sqrt{1+x^2}\sin x + \dfrac{x^2\sin x}{\sqrt{1+x^2}} + x\sqrt{1+x^2}\cos x$。(k) $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}e^{\sqrt{x^2+1}}$。(l) $\ln^3 x$ を $(\ln x)^3$ と読むと $y = 2\ln(3\ln\ln x)$ なので $y' = \dfrac{2}{x\ln x\ln\ln x}$。(m) $x^{x^x}\!\left[x^x(1+\ln x)\ln x + x^{x-1}\right] + x^x(1+\ln x) + x^{2^x}\!\left[2^x\ln 2\ln x + \dfrac{2^x}{x}\right]$。(n) $(\ln x)^{e^x}\!\left[e^x\ln\ln x + \dfrac{e^x}{x\ln x}\right]$。(o) $(\tan x)^{\cot x}\csc^2 x\,(1 - \ln\tan x)$。(p) $10^x(\sin x)^{\cos x}\!\left[\ln 10 - \sin x\ln\sin x + \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}\right]$。(q) 対数微分法で $y\!\left[\dfrac{2}{x+5} + \dfrac{1}{3(x-4)} - \dfrac{5}{x+2} - \dfrac{1}{2(x+4)}\right]$。(r) 同様に $y\!\left[\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1+2x}{1+x+x^2}\right)\right]$。
$f'(x^2) = 3x^4$，$[f(x^2)]' = (x^6)' = 6x^5$。
$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ なので $f'[g(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 + e^{2\sqrt{x^2+1}}}}$。$[f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x) = \dfrac{x\,e^{\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{1+e^{2\sqrt{x^2+1}}}}$。
(a) $3x^2f'(x^3)$。(b) $\sin 2x\,[f'(\sin^2 x) - f'(\cos^2 x)]$。(c) $f'(e^x + x^e)(e^x + e\,x^{e-1})$。(d) $\cos[f(\sin f(x))]\,f'(\sin f(x))\cos f(x)\,f'(x)$。(e) $f'\{f[f(\sin x+\cos x)]\}\,f'[f(\sin x+\cos x)]\,f'(\sin x+\cos x)(\cos x - \sin x)$。(f) $f'(e^x)e^xe^{f(x)} + f(e^x)e^{f(x)}f'(x)$。
(a) $x \neq 0$ で $y' = \dfrac{e^{1/x}\,(1 + e^{1/x} - 1/x)}{(1+e^{1/x})^2}$。$x = 0$ では右微分係数 $\lim\dfrac{e^{1/h}}{1+e^{1/h}} = 1$，左微分係数 $0$ で微分不可能。(b) $x > \dfrac12$ で $2\sin x + (2x-1)\cos x$，$x < \dfrac12$ で $-2\sin x + (1-2x)\cos x$。$x = \dfrac12$ では左右の微分係数が $\mp 2\sin\dfrac12$ で微分不可能。
(1) $\dfrac{f(x)}{x} = \sin\dfrac1x$ は $x \to 0$ で極限をもたない。(2) $\dfrac{f(x)}{x} = x\sin\dfrac1x \to 0$ で $f'(0) = 0$。$x \neq 0$ では $f'(x) = 2x\sin\dfrac1x - \cos\dfrac1x$ で、$x \to 0$ で極限をもたないので $f'$ は $0$ で不連続（第二種）。(3) $f'(0) = 0$，$x \neq 0$ で $f'(x) = nx^{n-1}\sin\dfrac1x - x^{n-2}\cos\dfrac1x \to 0 = f'(0)$（$n \geq 3$）。
$f'(0) = \lim x\sin\dfrac{1}{x^2} = 0$。$x \neq 0$ で $f'(x) = 2x\sin\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x}\cos\dfrac{1}{x^2}$。$x_k = \dfrac{1}{\sqrt{2k\pi}}$ で $f'(x_k) = -2\sqrt{2k\pi} \to -\infty$ だから有界でない。
(a) $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{(1+x)e^x}$（$x > -1$）。(b) $y' = -\dfrac{1}{1+x^2}$ なので $\dfrac{dx}{dy} = -(1+x^2)$。(c) $y' = 2e^{-2x} - 2x^{-x}(1+\ln x)$ なので $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{2e^{-2x} - 2x^{-x}(1+\ln x)}$（$x>0$ で $y' \neq 0$ の範囲）。(d) $y' = \dfrac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}$ なので $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{\sqrt{1+e^{2x}}}{e^x}$。
偶関数 $f(-x) = f(x)$ の両辺を微分して $-f'(-x) = f'(x)$。奇関数 $f(-x) = -f(x)$ からは $f'(-x) = f'(x)$。
$f(x+T) = f(x)$ の両辺を微分して $f'(x+T) = f'(x)$。
(a) $x \neq 1$ で $P_n = \dfrac{d}{dx}\dfrac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$ より $\dfrac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}$。(b) $Q_n = \dfrac{d}{dx}(xP_n) = \dfrac{1 + x - (n+1)^2x^n + (2n^2+2n-1)x^{n+1} - n^2x^{n+2}}{(1-x)^3}$。(c) $\sum_{k=1}^{n}\sin k\theta = \dfrac{\cos\frac\theta2 - \cos(n+\frac12)\theta}{2\sin\frac\theta2}$ を $\theta$ で微分して $\theta = 1$ とおくと $R_n = \dfrac{(2n+1)\sin(n+\frac12)\sin\frac12 + \cos(n+\frac12)\cos\frac12 - 1}{4\sin^2\frac12}$。
(a) $(4x^2-2)e^{-x^2}$。(b) $2^x(2 + 4x\ln 2 + x^2\ln^2 2)$。(c) $2\arctan x + \dfrac{2x}{1+x^2}$。(d) $y = x|x|$ で $x \neq 0$ では $y'' = 2\operatorname{sgn}x$。$x = 0$ では $y' = 2|x|$ が微分不可能なので $y''(0)$ は存在しない。
(a) $y'' = 2f'(x^2) + 4x^2f''(x^2)$，$y''' = 12xf''(x^2) + 8x^3f'''(x^2)$。(b) $u = e^x + x$ として $y'' = f''(u)(e^x+1)^2 + f'(u)e^x$，$y''' = f'''(u)(e^x+1)^3 + 3f''(u)(e^x+1)e^x + f'(u)e^x$。
$x > 0$ で $f = x^{n+1}$，$x < 0$ で $f = -x^{n+1}$ より $f^{(n)}(x) = (n+1)!\,|x|$（$x \neq 0$）。帰納的に $f^{(k)}(0) = 0$（$k \leq n$）で、$f^{(n)} = (n+1)!|x|$ は $0$ で微分不可能なので $f^{(n+1)}(0)$ は存在しない。
ライプニッツの公式で $P_n^{(k)}(x_0) = \sum_j C_k^j[(x-x_0)^r]^{(j)}(x_0)\,Q_{n-r}^{(k-j)}(x_0)$。$[(x-x_0)^r]^{(j)}(x_0)$ は $j < r$ で $0$、$j = r$ で $r!$。よって $k < r$ では $0$、$k = r$ では $r!\,Q_{n-r}(x_0) \neq 0$。
(a) $e^x(x^2 + 2nx + n(n-1))$。(b) $(x^2+1)\sin(x+\tfrac{n\pi}{2}) + 2nx\sin(x+\tfrac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1)\sin(x+\tfrac{(n-2)\pi}{2})$。(c) $\dfrac{1}{x^2-3x+2} = \dfrac{1}{x-2} - \dfrac{1}{x-1}$ より $(-1)^nn!\left[\dfrac{1}{(x-2)^{n+1}} - \dfrac{1}{(x-1)^{n+1}}\right]$。(d) $\sin x\cos x = \tfrac12\sin 2x$ より $2^{n-1}\sin(2x + \tfrac{n\pi}{2})$。
$y' = -\sin x$。接点 $\left(\dfrac\pi4, \dfrac{\sqrt2}{2}\right)$，傾き $-\dfrac{\sqrt2}{2}$。接線 $y - \dfrac{\sqrt2}{2} = -\dfrac{\sqrt2}{2}\left(x - \dfrac\pi4\right)$，法線 $y - \dfrac{\sqrt2}{2} = \sqrt2\left(x - \dfrac\pi4\right)$。
$(a, \tfrac1a)$ での接線の傾きは $-\tfrac{1}{a^2}$。切片は $x$ 軸で $2a$，$y$ 軸で $\tfrac2a$。面積は $\tfrac12\cdot 2a\cdot\tfrac2a = 2$（一定）。
水深 $z$ のときの水の体積は $V = \dfrac{\pi r^2}{3h^2}z^3$。$\dfrac{dV}{dt} = a$ より $\dfrac{dz}{dt} = \dfrac{a h^2}{\pi r^2z^2}$（頂点を下にした円錐形容器の場合）。
水深 $z$ では水面の半径は $\dfrac{z}{3}$，$V = \dfrac{\pi z^3}{27}$。$z = 12$ で $\dfrac{dz}{dt} = -1$ のとき $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\pi z^2}{9}\dfrac{dz}{dt} = -16\pi$ cm$^3$/分。円柱の半径は $5$ なので水面の上昇速度は $\dfrac{16\pi}{25\pi} = \dfrac{16}{25}$ cm/分。

微分

微分の定義

関数 $y = f(x)$ がある一点 $x$ の付近で定義されているとする。独立変数に増分 $\Delta x$ を加えると、関数値 $y$ の対応する増分は $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$ となる。 $\Delta x$ と $\Delta y$ の間には関数 $f$ と点 $x$ による因果関係がある。すなわち関数 $f$ に対して、ある一点を固定した後、$x_0$ での増分 $\Delta x$ に対して対応する関数値の増分 $\Delta y$ が一意に定まる。もしこの因果関係が $\Delta x \to 0$ の付近で線形関係に近似できるならば、

$$\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x), \quad (\Delta x \to 0 \text{ のとき})$$

ここで $A = A(x)$ は $x$ に関係し $\Delta x$ に無関係とする。このとき線形部分 $A\cdot\Delta x$ を関数 $y = f(x)$ の $x$ での微分といい、関数は $x$ で微分可能（微分が存在する）という。記号では

$$dy = A\cdot\Delta x, \quad \text{あるいは} \quad df(x) = A\cdot\Delta x$$

と書く。よって

$$\Delta y = dy + o(\Delta x)$$

すなわち $dy$ は関数の増分 $\Delta y$ が $\Delta x \to 0$ のときの主要部分（もう一方は $\Delta x \to 0$ のときの高位の無限小）である。

関数 $f$ が $x$ で微分可能であれば、すなわち $\Delta y = A\cdot\Delta x + o(\Delta x)$ であれば、

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right) = A$$

すなわち関数はこの点で微分可能である。逆に、関数 $f$ が $x$ で微分可能であれば、

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y - f'(x)\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(f(x+\Delta x)-f(x)) - f'(x)\Delta x}{\Delta x} = 0$$

これは

$$\varepsilon(\Delta x) = \frac{\Delta y - f'(x)\Delta x}{\Delta x}$$

が $\Delta x \to 0$ のときの高位の無限小であることを示す。すなわち $\varepsilon(\Delta x) = o(\Delta x)$ だから $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$、ここで $A = f'(x)$。したがって関数は $x$ で微分可能である。以上の分析をまとめると次の定理が得られる。

定理 1 $\Delta y = A\,\Delta x + o(\Delta x)$ と書けること（微分が存在すること）と、$f$ が $x$ で導関数をもつこと（微分可能であること）は同値であり、このとき $A = f'(x)$，$dy = f'(x)\Delta x$ である。

$y = f(x) = x$ ととると

$$dy = dx = (x)'\Delta x = \Delta x.$$

すなわち独立変数の微分はその増分に等しい。よって関数 $y = f(x)$ の $x$ での微分は次のようにも書ける：

$$dy = df(x) = f'(x)\,dx.$$

幾何学的な意味 図 3.7 に示すように、$y = f(x)$ のグラフ上の一点 $(x, f(x))$ を通る接線 $L$ を考える。関数のグラフの縦座標の増分は $\Delta y$ であり、接線 $L$ 上の点の縦座標の変量（関数 $y = f(x)$ の $x$ での微分）は $dy = f'(x)\Delta x$。 $|\Delta y - dy| = o(\Delta x)$ だから、$|\Delta x|$ が小さいとき、関数の増分と接線の増分の差は独立変数の増分 $\Delta x$ と比べると高位の無限小である。よって $x$ の付近では、接線で関数のグラフを描くことができる。これが微積分における「直線で曲線を近似する」という基本的な思想である。

図 3.7　微分の幾何学的意味

ついでに指摘しておくと、曲線上の一点 $(x_0, y_0)$，$(y_0 = f(x_0))$ における接線方程式は

$$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$

である。

微分の演算と1階微分の形式の不変性

微分の式 $dy = f'(x)\,dx$ および基本初等関数の導関数公式より、基本初等関数の微分公式が対応して得られる：

$$\begin{aligned}d(c) &= 0\quad (c\text{ は定数}); \\[4pt] d\sin x &= \cos x\,dx; &\qquad d\cos x &= -\sin x\,dx; \\[4pt] d\tan x &= \sec^2 x\,dx; &\qquad d\cot x &= -\csc^2 x\,dx; \\[4pt] d\arcsin x &= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx; &\qquad d\arccos x &= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx; \\[6pt] d\arctan x &= \dfrac{1}{1+x^2}\,dx; &\qquad d\operatorname{arccot} x &= -\dfrac{1}{1+x^2}\,dx; \\[6pt] de^x &= e^x\,dx; &\qquad d\ln x &= \dfrac{1}{x}\,dx; \\[4pt] da^x &= a^x\ln a\,dx; &\qquad d\log_a x &= \dfrac{1}{x\ln a}\,dx; \\[4pt] dx^\mu &= \mu x^{\mu-1}\,dx; &&\end{aligned}$$

また微分と導関数の対応関係より、次の定理が得られる。

定理 2 関数 $u$ と $v$ が $x$ で微分可能であれば、関数 $cu$，$u \pm v$，$u\cdot v$，$\dfrac{u}{v}$（$v \neq 0$ のとき）は $x$ で微分可能であり、

$$\begin{aligned}d(cu) &= c\,du \quad (c\text{ は定数}); \\ d(u \pm v) &= du \pm dv; \\ d(uv) &= v\,du + u\,dv; \\ d\!\left(\frac{u}{v}\right) &= \frac{v\,du - u\,dv}{v^2} \quad (v \neq 0).\end{aligned}$$

以上の公式と法則はすべて微分の定義と導関数の演算の直接的な結果である。

定理 3 関数 $y = \varphi(x)$ は区間 $I$ 上で定義されており、関数 $z = f(y)$ はある $\varphi(I)$ を含む区間 $J$ 上で定義されているとする。$y = \varphi(x)$ が $x$ で微分可能で、$z = f(y)$ が $y = \varphi(x)$ で微分可能であれば、合成関数 $z = f(\varphi(x))$ も $x$ で微分可能であり、

$$dz = f'(y)\,dy$$

ここで $dy = \varphi'(x)\,dx$ は関数 $y = \varphi(x)$ の $x$ での微分である。

証明

微分の式と合成関数の連鎖律（チェインルール）より、

$$dy = (f(\varphi(x)))'dx = f'(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = f'(y)\,dy.$$

定理 3 は、形式的に見ると $y$ が独立変数であっても中間変数であっても、$z = f(y)$ の（1階）微分は同じ形式 $dz = f'(y)\,dy$ を持つことを示している。この性質を1階微分の形式の不変性という。

ただし、これはあくまで形式が変わらないということであり、実際の意味は同じではない：$y$ が独立変数のとき $dy = \Delta y$ であり；$y$ が中間変数のとき、それはまた別の変数の関数 $y = \varphi(x)$ であり、このとき $dy = \Delta y + o(\Delta x)$，$(\Delta x \to 0)$ である。

例 1 $y = e^{-ax}\sin bx$ の微分を求めよ。ここで $a$，$b$ はともに定数。

解．微分の積の演算と1階微分の形式の不変性を利用すると、

$$\begin{aligned}dy &= d(e^{-ax}\sin bx) = e^{-ax}\,d\sin bx + \sin bx\,de^{-ax} \\ &= e^{-ax}\cos bx\,d(bx) + \sin bx\,e^{-ax}\,d(-ax) \\ &= be^{-ax}\cos bx\,dx - ae^{-ax}\sin bx\,dx \\ &= e^{-ax}(b\cos bx - a\sin bx)\,dx.\end{aligned}$$

例 2 関数 $y = \ln(x + \sqrt{x^2+a^2})$ の微分を求めよ。ここで $a$ は定数。

解．

$$\begin{aligned}d\!\left(\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})\right) &= \frac{d(x+\sqrt{x^2+a^2})}{x+\sqrt{x^2+a^2}} \\ &= \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a^2}}\left(dx + \frac{d(x^2+a^2)}{2\sqrt{x^2+a^2}}\right) \\ &= \frac{1}{x+\sqrt{x^2+a^2}}\left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right)dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx.\end{aligned}$$

これより導関数 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$ も得られる。

例 3 $0 < q < 1$ として、関数 $y = y(x)$ が次の方程式を満たすとする：

$$y - x - q\sin y = 0.$$

関数 $y = y(x)$ の導関数を求めよ。

解．方程式から $y$ の陽関数表示を解くことができないから、$y'(x)$ を求めるには上式の両辺を $x$ に対して微分し、1階微分の形式の不変性を利用する：

$$dy - dx - q\cos y\,dy = 0$$

よって

$$y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - q\cos y}.$$

次の例は非常に重要であり、媒介変数表示で表された関数の導関数（媒介変数表示については関数の極限の章を参照）を求める方法を示している。

例 4 媒介変数方程式 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ が $y$ を $x$ の関数として確定するとき、$\dfrac{dy}{dx}$ と $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を求めよ。

解． $dy = \psi'(t)\,dt$，$dx = \varphi'(t)\,dt$ より、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.$$

$\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ については、

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{1}{\varphi'(t)\,dt}\,d\!\left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right) = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{(\varphi'(t))^3}.$$

練習問題（微分）

$y = x^2 + x$ として、$x = 1$ において $\Delta x = 10, 1, 0.1, 0.01$ のとき対応する関数の増分 $\Delta y$ と関数の微分 $dy$ を計算し、差 $\Delta y - dy$ が $\Delta x$ の減少にともなってどう変化するかを観察せよ。
次の関数の微分 $dy$ を求めよ。(a) $y = x^2 e^{-x}$；(b) $y = \arctan\sqrt{x}$；(c) $y = \ln\tan\dfrac{x}{2}$。
次の関数について $\dfrac{dy}{dx}$ と $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を求めよ。
1. $\begin{cases} x = \ln(1+t^2) \\ y = t - \arctan t; \end{cases}$
2. $\begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t; \end{cases}$
3. $\begin{cases} x = \varphi\cos\varphi \\ y = \varphi\sin\varphi; \end{cases}$
4. $\begin{cases} x = \cos^3\varphi \\ y = \sin^3\varphi. \end{cases}$
次の曲線の指定された点での接線方程式と法線方程式を求めよ。
1. $\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases}$，$t = \dfrac{\pi}{4}$ の点；
2. $\begin{cases} x = \dfrac{3t}{1+t^2} \\ y = \dfrac{3t^2}{1+t^2} \end{cases}$，$t = 2$ の点。
$x$ を独立変数として関数 $y = e^x$ の1階微分 $dy$ と2階微分 $d^2y$ を求めよ。また $x$ を中間変数として同様に求めよ。
$y = \sin x$，$x = e^t$ として、(1) $x$ と $dx$；(2) $t$ と $dt$ で $d^2y$ を表せ。

解答

$\Delta y = 3\Delta x + (\Delta x)^2$，$dy = 3\Delta x$。$\Delta x = 10, 1, 0.1, 0.01$ のとき $\Delta y = 130,\ 4,\ 0.31,\ 0.0301$，$dy = 30,\ 3,\ 0.3,\ 0.03$。差 $\Delta y - dy = (\Delta x)^2 = 100,\ 1,\ 0.01,\ 0.0001$ は $\Delta x$ より速く $0$ に近づく。
(a) $dy = (2x - x^2)e^{-x}dx$。(b) $dy = \dfrac{dx}{2\sqrt{x}(1+x)}$。(c) $dy = \dfrac{dx}{\sin x}$。
(a) $dx = \dfrac{2t}{1+t^2}dt$，$dy = \dfrac{t^2}{1+t^2}dt$ より $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac t2$，$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{1+t^2}{4t}$。(b) $\dfrac{dy}{dx} = \cot\dfrac t2$，$\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{1}{4\sin^4(t/2)}$。(c) $\dfrac{dy}{d x} = \dfrac{\sin\varphi + \varphi\cos\varphi}{\cos\varphi - \varphi\sin\varphi}$，$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\varphi^2 + 2}{(\cos\varphi - \varphi\sin\varphi)^3}$。(d) $\dfrac{dy}{dx} = -\tan\varphi$，$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{1}{3\cos^4\varphi\sin\varphi}$。
(a) 接点 $\left(\tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}\right)$，傾き $-\cot t = -1$。接線 $x + y = \sqrt2$，法線 $y = x$。(b) $t = 2$ で点 $\left(\tfrac65, \tfrac{12}{5}\right)$，$\dfrac{dx}{dt} = -\dfrac{9}{25}$，$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{12}{25}$ より傾き $-\dfrac43$。接線 $4x + 3y = 12$，法線 $3x - 4y + 6 = 0$。
$x$ が独立変数のとき $dy = e^x dx$，$d^2y = e^x dx^2$。$x$ が中間変数（$x = x(t)$）のとき $dy = e^x dx$，$d^2y = e^x dx^2 + e^x d^2x$。
(1) $x$ を独立変数と見て $d^2y = -\sin x\,dx^2$。(2) $x = e^t$ なので $dx = e^t dt$，$d^2x = e^t dt^2$。$d^2y = -\sin x\,dx^2 + \cos x\,d^2x = \left(-e^{2t}\sin e^t + e^t\cos e^t\right)dt^2$。

« 関数の連続性平均値の定理と不定形の極限 »