関数の連続性

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連続関数の基本概念

直観的には、関数が連続であるとは、グラフが途切れずにつながっていることである。厳密な定義を与えるために、まずいくつかの例を観察する。

最初の例は符号関数である。

$$f(x) = \mathrm{sgn}~x = \begin{cases} 1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0 \end{cases}$$
図9

グラフを見ると、これは $x=0$ で途切れている。この「不連続点」$x=0$ の顕著な特徴は、$x\to 0$ のとき関数が極限をもたないことである（左右の極限がそれぞれ $-1$ と $1$ で、等しくないため）。したがって、関数がある点で「つながっている」ためには、少なくともその点で極限をもつことが必要である。

2番目の例は次のとおりである。

$$f(x) = \begin{cases} 1, & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$$
図10

これも $x=0$ で途切れている。関数は $x=0$ で極限 $1$ をもつが、その値がこの点での関数自身の値 $f(0)=0$ と一致しないためである。

この関数の $x=0$ での値を極限値に合わせて定義し直せば、$x=0$ で連続になる。変更後の関数は $f(x)=1\ (x\in(-\infty,+\infty))$ である。

図11

図 2.1　$x=0$ での値を $1$ に直した関数

以上の観察から、関数が点 $x_0$ で連続であるためには、次の二つが必要であることがわかる。一つは関数がその点で極限をもつこと、もう一つはその極限値がその点での関数の値と等しいことである。

定義 1 $y = f(x)$ は $x_0$ の近傍（すなわち $x_0$ を含むある開区間内）で定義されているとする。

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

が成り立つとき、$y = f(x)$ は $x_0$ で連続といい、そうでなければ $f(x)$ は $x_0$ で不連続という。

この定義から、点 $x_0$ での連続性は、$x_0$ の付近での関数の値と $x_0$ での値だけで決まる。これは「局所的な性質」である。

「$\varepsilon$-$\delta$」の言葉で述べれば次のようになる：

関数が定義域内の一点 $x_0$ で連続とは、任意の正数 $\varepsilon$ に対して $\delta > 0$ が存在して $|x - x_0| < \delta$ のとき $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ が成り立つことである。

もう一つの同値な定義は、「変化量」を使うものである。

関数が $x_0$ の近傍で定義されているとき、独立変数が値 $x_0$ からもう一つの値 $x$ に変化するとき、独立変数には $x_0$ での増量 $\Delta x = x - x_0$（変化量 $\Delta x$ は正でも負でも零でもよい）が生じる。 それに伴い、関数の値は $y_0 = f(x_0)$ から新しい値 $y = f(x) = f(x_0 + \Delta x)$ に変化し、関数の変化量も独立変数の増量と連動して生じる：

$$\Delta y = y - y_0 = \Delta f(x) = f(x) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$

変化量の言葉では、関数が一点 $x_0$ で連続とは $x_0$ の変化量 $\Delta x$ が 0 に近づくとき関数の変化量 $\Delta y$ も 0 に近づく、すなわち

$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta f(x) = 0, \quad \text{あるいは} \quad \Delta y \to 0\ (\Delta x \to 0)$$

と等価である。

したがって、関数が点で連続であるとは、独立変数が少し変化したとき、関数の値の変化も小さいということである。

定義 2 $y = f(x)$ が区間 $I = (a, b)$ 中の任意の一点で連続であれば、$y = f(x)$ は区間 $I$ 上で連続という。

このようにして区間上の連続関数を定義した。 直観から見ると、区間上で連続な関数のグラフは、断ち切れのない一つの曲線である。

たとえば、多項式関数は $\mathbb{R}$ 上で連続であり（関数の極限の例 11）、$\sin x$ も連続である（例 17）。関数 $f(x) = |x|$ は $x = 0$ で連続である（$||x|-0| = |x-0|$）。

左（右）連続と不連続点

関数 $f(x)$ の一点 $x_0$ での連続性を判別するとき、すなわち $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$ が成り立つかを調べるとき、$f(x)$ の $x_0$ における2つの片側極限を考えると便利なことがある。 片側極限の定義と連続の定義より、$f(x)$ が一点 $x_0$ で連続であることは $f(x)$ の $x_0$ における左右の極限がともに存在し $f(x_0)$ に等しいこと、すなわち

$$f(x_0 + 0) = f(x_0 - 0) = f(x_0)$$

と等価である。

定義 3 $f(x_0 + 0) = f(x_0)$ であれば $y = f(x)$ は $x_0$ で右連続という；$f(x_0 - 0) = f(x_0)$ であれば $y = f(x)$ は $x_0$ で左連続という。

明らかに $f(x)$ が $x_0$ で連続であるための必要十分条件は $f(x)$ が $x_0$ で左連続かつ右連続であることである。

$f(x)$ が端点を含む区間上で連続であるとは、$f(x)$ が区間内部の各点で連続であり、かつ端点において相応の片側連続性を持つことをいう。

定義 4 関数が一点 $x_0$ で不連続になる場合は、次の三つに分けられる。

  1. 関数が $x_0$ で左右の極限がともに存在し等しい（すなわちこの点で極限を持つ）が、$f(x_0)$ に等しくない：
    $$f(x_0 + 0) = f(x_0 - 0) \neq f(x_0);$$
  2. 関数が $x_0$ で左右の極限がともに存在するが等しくない：
    $$f(x_0 + 0) \neq f(x_0 - 0);$$
  3. 関数が $x_0$ で左右の極限の少なくとも一方が存在しない。

$1^\circ$ の不連続点は、$f(x_0)$ の値を $f(x_0 + 0)$ に再定義（変更または補充）するだけで $f(x)$ の $x_0$ での連続性を修復できる。 このような不連続点は、値を直すだけで解消できるので、除去可能な不連続点という。

$2^\circ$ の不連続点では $f(x_0 + 0) \neq f(x_0 - 0)$ だから関数値は $x_0$ で「飛躍」している （飛躍の大きさは $|f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0)|$）。よって $x_0$ を $f(x)$ の跳躍不連続点という。

$1^\circ$ と $2^\circ$ の不連続点（すなわち除去可能な不連続点と跳躍点）をまとめて $f(x)$ の第一種不連続点という。

$3^\circ$ の不連続点を $f(x)$ の第二種不連続点という。

明らかに $f(x)$ の定義域の端点には二種類の不連続状況しかない：除去可能な不連続点（この端点で $f(x)$ の相応の片側極限は存在するが関数値と等しくない）と第二種の不連続点（この端点で $f(x)$ の相応の片側極限が存在しない）。

例 1 関数 $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$（$x \neq 0$）の $x = 0$ における連続性を調べよ。

解． $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ だから、関数は $x = 0$ で定義されていないが、$f(0) = 1$ と補充定義すれば

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0 \end{cases}$$

は $0$ で連続となる。

例 2 次の関数の $x = 1$ での連続性を論じよ。

$$f(x) = \begin{cases} 3x+1, & x \geq 1, \\ 2x-5, & x < 1. \end{cases}$$

解． $f(1+0) = 4$，$f(1-0) = -3$ だから $x_0 = 1$ は $f(x)$ の跳躍点であり、跳躍の幅は $7$ である（関数は $x = 1$ で右連続である）。

例 3 次の関数の $x = 0$ での連続性を論じよ。

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0. \end{cases}$$

解． $x \to 0^+$ のとき $\dfrac{1}{x} \to +\infty$ で、右極限が存在しないから $x = 0$ で不連続である（第二種の不連続点）。

例 4 次の Dirichlet 関数は任意の一点で第二種の不連続点を持つことを証明せよ。

$$D(x) = \begin{cases} 1, & x \text{ が有理数,} \\ 0, & x \text{ が無理数.} \end{cases}$$

証明． 任意の一点 $x_0$ に対して、有理数からなる $x_0$ への収束数列 $\{a_n\}$ と、無理数からなる $x_0$ への収束数列 $\{b_n\}$ がともにとれる。よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty} D(a_n) = 1$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty} D(b_n) = 0$。したがって関数はどの点でも極限を持たず、当然連続でもない。

連続関数の演算

連続関数の定義より、関数が一点 $x_0$ で極限を持ちかつその極限が $f(x_0)$ に等しければよいから、自然に連続関数の四則演算と連続関数の合成についての連続性の結論が得られる。

定理 1 $f(x)$ と $g(x)$ がともに $x_0$ で連続であれば、関数 $f(x) \pm g(x)$，$f(x)g(x)$，$\dfrac{f(x)}{g(x)}$ も $x_0$ で連続である（もちろん最後の関数については $g(x_0) \neq 0$ を仮定する）。

定理 2 $u = g(x)$ は区間 $I$ 上で定義されており、$y = f(u)$ は区間 $J$ 上で定義されており、$g(I) \subseteq J$ とする。$g$ が $x_0 \in I$ で連続で、$f$ が $u_0 = g(x_0)$ で連続であれば、合成関数 $f(g(x))$ も $x_0$ で連続である。

証明

任意の正数 $\varepsilon$ に対して $f$ が $u_0$ で連続だから正数 $\eta > 0$ が存在して $|u - u_0| < \eta$ のとき $|f(u) - f(u_0)| < \varepsilon$。上述の $\eta > 0$ に対して $g$ が $x_0$ で連続だから $\delta > 0$ が存在して $|x - x_0| < \delta$ のとき $|g(x) - g(x_0)| = |u - u_0| < \eta$。よって $|x - x_0| < \delta$ のとき $|f(g(x)) - f(g(x_0))| = |f(u) - f(u_0)| < \varepsilon$。すなわち合成関数 $f(g(x))$ は $x_0$ で連続である。

この定理は次の形に表すこともできる：

$$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(g(x_0)) = f\!\left(\lim_{x \to x_0} g(x)\right).$$

すなわち、$f$ が連続であれば、極限と $f$ の順序を入れ替えてよい。

次に逆関数の連続性の問題を論じる。$f(x)$ が $A$ 上で定義されているとして、$f$ が逆関数を持つための必要十分条件は $f$ が $A$ から値域への一一写像であることである。$f$ が $A$ 上で狭義単調であれば逆関数を持つ。ただし、逆関数を持つ関数が狭義単調とは限らない（たとえば $A=[0,1]\cup(2,3]$ 上で $f(x)=x$ ($x\in[0,1]$)，$f(x)=5-x$ ($x\in(2,3]$) とすると、$f$ は 1 対 1 だが単調でない）。

しかし、一つの区間上の連続関数については状況はまったく異なり、次の定理がある。これは逆関数についての最も基本的な一つの結果である。

定理 3 $y = f(x)$ は閉区間 $I = [a, b]$ 上の連続関数とする。$f$ が $I$ 上で逆関数を持つための必要十分条件は、$f$ が $I$ 上で狭義単調増加または狭義単調減少であることである。この条件が成立するとき、$f$ の逆関数 $f^{-1}$ も、その定義域上で狭義単調かつ連続である。

証明

$f$ が $[a, b]$ 上で厳格単調増加であると仮定する。まず逆関数 $f^{-1}$ も厳格単調増加であることを示す。任意に $y_1 < y_2$ をとり $y_1 = f(x_1)$，$y_2 = f(x_2)$ とする。$x_2 \leq x_1$ ならば $f$ の単調性より $y_2 = f(x_2) \leq f(x_1) = y_1$、矛盾する。よって $x_1 < x_2$、すなわち $f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2)$。

次に $x = f^{-1}(y)$ が値域 $J$ 上で連続であることを示す。値域内の任意の一点 $y_0 \in (f(a), f(b))$ をとり $x_0 = f^{-1}(y_0)$ とする。$(x_0 - \varepsilon,\, x_0 + \varepsilon) \subset I$ となる任意の正数 $\varepsilon$ をとる（小さい $\varepsilon$ について示せば十分）。$f$ の単調性より

$$y_1 = f(x_0 - \varepsilon) < y_0 = f(x_0) < f(x_0 + \varepsilon) = y_2.$$

$\delta = \min(y_0 - y_1,\, y_2 - y_0)$ ととれば $|y - y_0| < \delta$ のとき $y_1 < y < y_2$。$f^{-1}$ の単調性より

$$f^{-1}(y_1) = x_0 - \varepsilon < f^{-1}(y) < x_0 + \varepsilon = f^{-1}(y_2),$$

すなわち $|f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon$。よって $f^{-1}(y)$ は $y_0$ で連続である。 端点 $f(a)$，$f(b)$ における片側連続性も同様に示せる。

上の定理は直観的にも明らかである。関数と逆関数のグラフは、直線 $y = x$ に関して対称だからである。なお、この証明では値域が $[f(a), f(b)]$ であること（中間値定理）と、必要性の部分（連続な 1 対 1 写像は単調）を後で補う。

初等関数の連続性

前の2節で連続関数の定義と基本的な性質を紹介した。 次に具体的な関数——初等関数——の連続性を論じる。初等関数はその定義域内で連続であることがわかる。

（1）多項式関数： まず定数関数 $f(x) = c$（$c$ は定数）と線形関数 $f(x) = x$ が区間 $(-\infty, +\infty)$ 上の連続関数であることに注意する。したがって四則演算によって得られる任意の $x$ の多項式関数はすべて連続である。

（2）三角関数（と逆三角関数）： 関数の極限の例 17 より、$\sin x$ は連続関数である。$\cos x$ は $\sin u$ と $u = \dfrac{\pi}{2} - x$ の2つの連続関数の合成

$$\cos x = \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$

だから連続である。その他の三角関数

$$\begin{aligned}\tan x &= \frac{\sin x}{\cos x}\;(x \neq (2k+1)\tfrac{\pi}{2},\,k\text{ は整数}), & \cot x &= \frac{\cos x}{\sin x}\;(x \neq k\pi,\,k\text{ は整数}),\\ \sec x &= \frac{1}{\cos x}\;(x \neq (2k+1)\tfrac{\pi}{2},\,k\text{ は整数}), & \csc x &= \frac{1}{\sin x}\;(x \neq k\pi,\,k\text{ は整数})\end{aligned}$$

はいずれも $\sin x$，$\cos x$ および $f(x) = 1$ から四則演算で得られるから、各自の定義域内で連続関数である。

すべての逆三角関数 $\arcsin x$，$\arccos x$，$\arctan x$，$\text{arccot}\,x$ は、定理 3 よりそれぞれの定義域内で連続である（定理 3 は閉区間について述べたが、連続性は局所的な性質なので、各点の近くの閉区間に制限して適用すればよい。以下も同様）。

（3）指数関数と対数関数： 関数の極限の例 13 より、指数関数 $f(x) = a^x$（$a > 0$，$a \neq 1$）はその定義域内で連続である。特に $e^x$ は連続関数である。$a > 1$ のとき $a^x$ は $(-\infty, +\infty)$ 上で狭義単調増加、$0 < a < 1$ のとき狭義単調減少で、いずれの場合も値域は $(0, +\infty)$ である。したがって定理 3 より、その逆関数 $\log_a x$ は $(0, +\infty)$ 上で連続である。特に $\ln x$ は連続関数である。

（4）冪関数： 冪関数 $f(x) = x^\alpha$（$\alpha \neq 0$）については、その基本的な定義域 $x > 0$ において

$$x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$$

であり、指数関数・対数関数・および合成関数の連続性より、冪関数は $x > 0$ で連続である。

定理 4 上述の結論より、すべての基本初等関数はそれぞれの定義域内で連続であることがわかった。定理 1 と定理 2 より、初等関数はその定義域内で連続関数である。

これにより、初等関数 $f(x)$ の定義域内の一点 $x_0$ があれば、$f(x)$ のその点での極限はただその点での値 $f(x_0)$ に等しい。

例 5 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(\arctan(x+1))$ を求めよ。

解． $x = 0$ は関数 $\sin(\arctan(x+1))$ の定義域内の点だから、極限はその点での値 $\sin(\arctan 1) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

例 6 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ を証明せよ。

証明． $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ だから、

$$f(x) = \begin{cases} (1+x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0, \\ e, & x = 0 \end{cases}$$

とおけば $f(x)$ は $x = 0$ で連続である（関数の極限の定理 11）。$\ln y$ は $y = e$ で連続だから、合成関数 $\ln f(x)$ は $x = 0$ で連続となる。$x \neq 0$ では $\ln f(x) = \dfrac{\ln(1+x)}{x}$ だから、

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = \ln\!\left(\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right) = \ln e = 1.$$

練習問題

  1. $f(x)$ は $x_0$ の付近で定義されており、$\displaystyle\lim_{h\to 0}[f(x_0+h) - f(x_0-h)] = 0$ とする。$f(x)$ は必ず $x = x_0$ で連続であるか？
  2. 任意の正数 $\varepsilon$ に対して $f(x)$ が $[a+\varepsilon,\, b-\varepsilon]$ 上で連続であれば、$f(x)$ は $(a, b)$ 内で連続であることを証明せよ。
  3. $x_0$ で $f(x)$ は連続で $g(x)$ は不連続とする。$f(x) \pm g(x)$ と $f(x)g(x)$ の $x_0$ での連続性はどうか？$f(x)$，$g(x)$ がともに $x_0$ で不連続の場合、同様の問いに答えよ。
  4. $f(x)$ が $x = x_0$ で連続であれば、関数 $|f(x)|$ も $x = x_0$ で連続であることを証明せよ。
  5. このような $f(x)$ が存在することを証明せよ：至るところ不連続だが $|f(x)|$ は至るところ連続である（ヒント：Dirichlet 関数を適切に修正すれば例が一つ得られる）。
  6. 次の関数の不連続点を求め、その種類を答えよ。

    1. $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$；
    2. $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{|x|}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0; \end{cases}$
    3. $f(x) = [\!|\cos x|\!]$；
    4. $f(x) = \dfrac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}$；
    5. $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x+7}, & -\infty < x < -7, \\ x, & -7 \leq x \leq 1, \\ (x-1)\sin\dfrac{1}{x-1}, & 1 < x < +\infty; \end{cases}$
    6. $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-2}, & x \neq 2, \\ A, & x = 2. \end{cases}$
  7. $a$ を確定して、関数 $f(x) = \begin{cases} e^x, & x < 0, \\ a+x, & x \geq 0 \end{cases}$ が $x = 0$ で連続となるようにせよ。
  8. 関数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{\frac{1}{x}} - e^{-\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x}} + e^{-\frac{1}{x}}}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ は $x = 0$ で右連続であるが左連続でないことを証明せよ。
  9. 各実数 $x$ に対して $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1+x}{1+x^{2n}}$ が存在する。この極限値を $f(x)$ として、$f(x)$ の連続性を論じよ。
  10. $f(x)$ が $x_0$ で連続であれば、正数 $\delta > 0$ が存在して $f(x)$ は区間 $(x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)$ 上で有界である（この結果を連続関数の局所有界性という）ことを示せ。
  11. $f(x)$ が $x_0$ で連続かつ $f(x_0) \neq 0$ であれば、正数 $\delta > 0$ が存在して $f(x)$ は区間 $(x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)$ 上で $f(x_0)$ と同符号である（この結果を連続関数の局部符号保存性という）。さらに正数 $\gamma$ が存在して $f(x)$ はこの区間上で $|f(x)| \geq \gamma$ を満たすことを示せ。
  12. $\displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x) = a \neq g(x_0)$（すなわち $x_0$ は $g(x)$ の除去可能な間断点），$f(u)$ は $u = a$ で連続であれば，次式を証明せよ。
    $$\lim_{x\to x_0} f(g(x)) = f\!\left(\lim_{x\to x_0} g(x)\right) = f(a).$$
    （この結論は他の五種の極限過程に対しても成立する。）
  13. $u(x)$，$v(x)$ が $x_0$ で連続かつ $u(x_0) > 0$ であれば、関数 $u(x)^{v(x)}$ も $x_0$ で連続であることを証明せよ。
  14. $x \to 0$ のとき $\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$ を用いて $\arcsin x \sim x$，$\arctan x \sim x$ を証明せよ；$\ln(1+x) \sim x$ を用いて $(e^x - 1) \sim x$ を証明せよ。

    （これらの等価な無限小量は、微積分の基本的な事実である。）
  15. 極限を求めよ。

    1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{\sin 2x}$；
    2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{1-\cos x}$；
    3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt[10]{1+\tan x}-1)(\sqrt{1+x}-1)}{2x\sin x}$；
    4. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot\arcsin(\sin x)}{1-\cos x}$；
    5. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4}$；
    6. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x(\sqrt{x^2+100}+x)$；
    7. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x})$；
    8. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{2-\dfrac{\sin x}{x}}$。
  16. 関数 $\operatorname{sh} x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$ と $\operatorname{ch} x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ をそれぞれ双曲正弦と双曲余弦という（合わせて双曲関数という）。これらはともに $(-\infty, +\infty)$ 上で連続である。以下の各題を証明せよ（三角関数の性質と比較するとよい）。

    1. $\operatorname{sh}(-x) = -\operatorname{sh} x$，$\operatorname{ch}(-x) = \operatorname{ch} x$；
    2. $\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1$；
    3. $\operatorname{sh} 2x = 2\operatorname{sh} x\,\operatorname{ch} x$；
    4. $\operatorname{ch} 2x = \operatorname{sh}^2 x + \operatorname{ch}^2 x$；
    5. $\operatorname{sh}(x \pm y) = \operatorname{sh} x\,\operatorname{ch} y \pm \operatorname{ch} x\,\operatorname{sh} y$；
    6. $\operatorname{ch}(x \pm y) = \operatorname{ch} x\,\operatorname{ch} y \pm \operatorname{sh} x\,\operatorname{sh} y$。
解答
  1. 連続とは限らない。$f(x) = 1\ (x \neq 0)$，$f(0) = 0$ では $f(h) - f(-h) = 0$ だが、$x = 0$ で連続でない。
  2. $x_0 \in (a, b)$ に対し $\varepsilon$ を十分小さくとれば、$x_0$ は閉区間 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ の内部にあるから、そこで連続である。連続性は局所的な性質なので、$(a,b)$ の各点で連続。
  3. $f$ 連続，$g$ 不連続ならば $f \pm g$ は不連続（$g = (f \pm g) \mp f$ が連続になってしまうため）。$fg$ は連続のことも不連続のこともある（$f(x) = x$，$g = \operatorname{sgn}$ なら $fg = |x|$ は連続，$f \equiv 1$ なら不連続）。ともに不連続の場合は、和・差・積のいずれも連続なことも不連続なこともある（$g = -f$ なら和は $0$）。
  4. $\big||f(x)| - |f(x_0)|\big| \leq |f(x) - f(x_0)|$。
  5. $f(x) = D(x) - (1 - D(x))$，すなわち有理数で $1$，無理数で $-1$ とする。至るところ不連続だが $|f| \equiv 1$。
  6. (1) $x = 2$ は第二種（$\pm\infty$ に発散）。(2) $x = 0$ で左極限 $-1$，右極限 $1$ なので跳躍点（第一種）。$f(0) = 1$ なので右連続。(3) $|\cos x| = 1$ すなわち $x = k\pi$ で $f = 1$，その他で $f = 0$。$x = k\pi$ は除去可能な不連続点（第一種）。(4) $x \to 0^+$ で $\to 0$，$x \to 0^-$ で $\to 1$。$x = 0$ は跳躍点（第一種）。(5) $x = -7$：左側で $\dfrac{1}{x+7} \to -\infty$，第二種。$x = 1$：左極限 $1$，右極限 $0$，跳躍点（第一種）。(6) $\dfrac{x^2-4}{x-2} = x + 2 \to 4$。$A \neq 4$ なら除去可能な不連続点（第一種），$A = 4$ なら連続。
  7. $f(0-0) = 1$，$f(0+0) = a$ なので $a = 1$。
  8. $x \to 0^+$ で $e^{1/x} \to \infty$ なので $f \to 1 = f(0)$（右連続）。$x \to 0^-$ では $e^{1/x} \to 0$，$e^{-1/x} \to \infty$ なので $f \to -1 \neq f(0)$。
  9. $|x| < 1$ で $f = 1 + x$，$x = 1$ で $f = 1$，$x = -1$ で $f = 0$，$|x| > 1$ で $f = 0$。$x = -1$：左極限 $0$，右極限 $1 + (-1) = 0$，$f(-1) = 0$ で連続。$x = 1$：左極限 $2$，右極限 $0$，$f(1) = 1$ で不連続（跳躍）。それ以外の点では連続。
  10. $\varepsilon = 1$ に対する $\delta$ をとれば、$|x - x_0| < \delta$ で $|f(x)| < |f(x_0)| + 1$。
  11. $\varepsilon = \dfrac{|f(x_0)|}{2}$ に対する $\delta$ をとれば、$|x - x_0| < \delta$ で $|f(x) - f(x_0)| < \dfrac{|f(x_0)|}{2}$ なので、$f(x)$ は $f(x_0)$ と同符号で $|f(x)| > \dfrac{|f(x_0)|}{2} =: \gamma$。
  12. $\varepsilon > 0$ に対し、$f$ の $a$ での連続性から $\eta$ をとり、$\lim g = a$ から $0 < |x - x_0| < \delta$ で $|g(x) - a| < \eta$ とすれば $|f(g(x)) - f(a)| < \varepsilon$。
  13. $u(x)^{v(x)} = e^{v(x)\ln u(x)}$ は連続関数の合成（局所符号保存性より $u(x) > 0$ が $x_0$ の付近で成り立つ）。
  14. $\arcsin x = t$ とおくと $x \to 0$ で $t \to 0$，$x = \sin t \sim t$ なので $\arcsin x \sim x$。$\arctan$ も同様。$e^x - 1 = t$ とおくと $x = \ln(1+t) \sim t$ なので $e^x - 1 \sim x$。
  15. (1) 分子 $\sim \dfrac{x}{2}$，分母 $\sim 2x$ なので $\dfrac{1}{4}$。(2) 分子 $\sim \dfrac{x^2}{2}$，分母 $\sim \dfrac{x^2}{2}$ なので $1$。(3) $\dfrac{\tan x}{10} \cdot \dfrac{x}{2} \Big/ 2x^2 \to \dfrac{1}{40}$。(4) $\arcsin(\sin x) = x$（$x$ が小さいとき）なので $\dfrac{x^2}{x^2/2} = 2$。(5) $1 - \cos(1-\cos x) \sim \dfrac{(1-\cos x)^2}{2} \sim \dfrac{x^4}{8}$ なので $\dfrac{1}{8}$。(6) 有理化して $x \cdot \dfrac{100}{\sqrt{x^2+100} - x} = \dfrac{100x}{|x|\sqrt{1+100/x^2} + |x|} \to -50$。(7) 和差化積で $2\cos\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\sin\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$，$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} \to 0$ なので $0$。(8) $\dfrac{\sin x}{x} \to 0$ なので $\sqrt{2}$。
  16. 定義から計算する。たとえば (2) $\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = \dfrac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = 1$。(3) $2\operatorname{sh} x\operatorname{ch} x = \dfrac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$。(5) $\operatorname{sh} x\operatorname{ch} y + \operatorname{ch} x\operatorname{sh} y = \dfrac{e^{x+y} - e^{-(x+y)}}{2}$ と、$y$ を $-y$ で置き換えて差の式を得る。(6) も同様。(1)(4) も定義から直ちに従う。

閉区間上の連続関数の性質

本節では、閉区間上の連続関数のいくつかの重要な性質を述べる。証明には、数列の項で示した確界原理とボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理を用いる。

零点定理と中間値定理

練習問題 2.1 の局所符号保存性を思い出そう：$f(x)$ が一点 $x_0$ で連続かつ $f(x_0) \neq 0$（$f(x_0) > 0$ としてよい）であれば、正数 $\delta$ が存在して区間 $(x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)$ 内で $f(x) > 0$。これは地面に一つの連続した縄を置いて、縄の一点を持ち上げると、どれだけ高く持ち上げても周辺の縄もついて来るようなイメージである。 この事実の逆として、以下のことが言える：もし $x_0$ を中心とする任意の開区間 $(x_0 - \varepsilon,\, x_0 + \varepsilon)$ 内で $f(x)$ が正の値も負の値もとるならば、$f(x_0) = 0$ しかありえない。 したがって、関数が一点で連続であれば、その付近の局所的な情報から、関数のその点での値が零かどうかを推断することができる。

もし関数が一つの閉区間上で連続であれば、次のより強い定理が成り立つ。

定理 5（零点定理） $f(x)$ が $[a, b]$ 上で連続であり、かつ両端点での値 $f(a)$ と $f(b)$ が異符号、すなわち $f(a)f(b) < 0$ であれば、必ず一点 $\xi \in (a, b)$ が存在して $f(\xi) = 0$（図 2.2）。

図12

図 2.2　零点定理の幾何学的意味

証明

$f(a) < 0 < f(b)$ の場合を示す（逆の場合は $-f$ を考える）。集合 $S = \{x \in [a, b] \mid f(x) < 0\}$ は $a$ を含み上に有界なので、確界原理により $\xi = \sup S$ が存在する。$f(\xi) < 0$ とすると、$f(b) > 0$ より $\xi < b$ で、連続性から $\xi$ のすぐ右でも $f < 0$ となり、$\xi$ が $S$ の上界であることに反する。$f(\xi) > 0$ とすると、連続性から $(\xi - \delta, \xi]$ で $f > 0$ となり、$S$ の元はすべて $\xi - \delta$ 以下になって $\xi$ が最小の上界であることに反する。したがって $f(\xi) = 0$ で、$f(a), f(b) \neq 0$ より $\xi \in (a, b)$。

幾何学的に見れば、閉区間上の連続関数のグラフは $x$ 軸の上方から下方に（または下方から上方に）通り抜けるとき、必ず $x$ 軸を通過する。定理の条件の三つの基本要素に注意：閉区間・連続・端点異符号。

例 7 関数 $f(x) = 2^x - 4x$ は区間 $(0, \frac{1}{2})$ 内に零点を持つことを証明せよ。

証明． $f(x)$ は $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 上で連続であり、$f(0) = 1 > 0$，$f\!\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{2} - 2 < 0$ だから、零点定理より $f(x) = 2^x - 4x$ は区間 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 内に零点を持つ。

例 8 任意の奇数次多項式は少なくとも一つの実数根を持つことを証明せよ。

証明． $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ を奇数次多項式とする、すなわち $n$ は奇数、$a_n \neq 0$。$a_n > 0$ と仮定してよい。$P(x) \sim a_n x^n$，$(x \to \infty)$ であり、$n$ が奇数だから $x \to \pm\infty$ のとき $P(x) \to \pm\infty$。よって $M' < M$ なる 2 数が存在して $P(M') < 0 < P(M)$ となる。定理 5 より $P(x)$ は必ず一つの零点を持つ。

偶数次多項式の場合はそうではなく、たとえば $P(x) = x^2 + 1$ は実数根を持たない。

定理 6（中間値定理） $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ 上で連続かつ $f(a) \neq f(b)$ であれば、$f(x)$ は $[a, b]$ 上で $f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値をとることができる。

証明

$f(a) < f(b)$ としてよく、$r$ を $f(a) < r < f(b)$ なる一数とする。補助関数 $g(x) = f(x) - r$ とおけば $g(x)$ も $[a, b]$ 上の連続関数であり

$$g(a) = f(a) - r < 0, \quad g(b) = f(b) - r > 0$$

だから零点定理の条件を満たし、$(a, b)$ 内に $\xi$ が存在して $g(\xi) = 0$、すなわち $f(\xi) = r$。

定理 3 の補足

$f$ が $[a, b]$ 上で連続かつ 1 対 1 ならば、狭義単調であることを示す。そうでないとすると、$x_1 < x_2 < x_3$ で $f(x_2)$ が $f(x_1), f(x_3)$ のどちらよりも大きい（または小さい）ものがある。大きい場合、$\max(f(x_1), f(x_3)) < r < f(x_2)$ なる $r$ をとれば、中間値定理により $[x_1, x_2]$ と $[x_2, x_3]$ にそれぞれ $f(s) = r$ となる $s$ があり、$f$ が 1 対 1 であることに反する。小さい場合も同様。また、$f$ が狭義単調増加なら、中間値定理により値域は $[f(a), f(b)]$ になる。

注記 零点定理において、一つの区間上の連続関数は区間内任意の2点での値が異符号であれば、必ず零点が存在する。当然、中間値定理においても、関数は区間内任意の2点の間の任意の値をとることができる。中間値定理は零点定理を $y$ 軸方向に平行移動した状況と見ることもできる。

有界性と最大最小値定理

関数の連続性の定義より、$f(x)$ が一点 $x_0$ で連続で、たとえば $\varepsilon = 1$ とすれば、正数 $\delta$ が存在して $|x - x_0| < \delta$ のとき $|f(x) - f(x_0)| < 1$。言い換えれば、区間 $(x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)$ 上で

$$|f(x)| < 1 + |f(x_0)|$$

だから有界である。すなわち「一点連続は付近で有界」である。もし関数が区間全体で連続ならば、関数の有界性はどうなるか？

定理 7 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ 上で連続であれば、$f(x)$ は区間全体で有界である。すなわち定数 $M$ が存在して $a \leq x \leq b$ のとき $|f(x)| \leq M$。

定理 8（最大値・最小値の定理） $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ 上で連続であれば、$f(x)$ は $[a, b]$ 上で最大値と最小値をとる。すなわち $x_1 \in [a, b]$ と $x_2 \in [a, b]$ が存在して、すべての $x \in [a, b]$ に対して

$$f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2).$$

この定理は定理 7 よりさらに一歩進んでいる。閉区間上の連続関数は有界なだけでなく、上確界と下確界に実際に到達する。

定理 7，8 の証明

定理 7：有界でないとすると、各 $n$ に対して $|f(x_n)| > n$ なる $x_n \in [a, b]$ がある。ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理により $x_{n_k} \to \xi \in [a, b]$ なる部分列がとれ、連続性から $f(x_{n_k}) \to f(\xi)$ となるが、これは $|f(x_{n_k})| > n_k \to \infty$ に反する。

定理 8：定理 7 より $M = \sup f([a,b])$ が有限に存在する。$f(y_n) \to M$ なる $y_n$ をとり、部分列 $y_{n_k} \to \eta \in [a, b]$ をとれば $f(\eta) = M$。最小値も $-f$ に同じ議論を適用して得られる。

注記 定理 3・4 において「閉区間」という条件は不可欠である。たとえば関数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ は開区間 $(0, 1)$ 上で定義されており無界であるから最大値に達することもできない。連続性という条件も必須である。たとえば関数

$$f(x) = \begin{cases} x, & 0 < x < 1, \\ \dfrac{1}{2}, & x = 0, 1 \end{cases}$$

は開区間 $(0, 1)$ 上で連続であるが、閉区間 $[0, 1]$ 上では連続でなく、有界ではあるが最大値と最小値に到達できない。

定理 7 と定理 8 を合わせて次が得られる。

定理 9 閉区間 $I = [a, b]$ 上の連続関数 $f(x)$ の値域は一つの閉区間である。

証明

定理 8 より任意の点での関数値は最大値 $f(x_1)$ と最小値 $f(x_2)$ の間にあるから $f(I) \subset [f(x_1),\, f(x_2)]$。一方、定理 6（中間値定理）より任意の $r \in [f(x_1),\, f(x_2)]$ に対して $r = f(x_0)$ なる $x_0$ が存在するから $[f(x_1),\, f(x_2)] \subset f(I)$。 よって値域はちょうど閉区間 $[f(x_1),\, f(x_2)]$ である。

一様連続性

まず一つの例を観察しよう。

$$f(x) = \frac{1}{x}, \quad x \in (0, 1)$$

は区間 $(0, 1)$ 上の連続関数で、各点で連続である。しかし、正数 $\varepsilon$ を決めたとき、各点 $x_0$ で「$|x - x_0| < \delta$ ならば $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$」となる $\delta$ は、点によって異なる。たとえば $x_0 = \dfrac{1}{n}$ では $\delta \approx \dfrac{\varepsilon}{n^2}$ 程度で、$x_0$ が $0$ に近づくほど $\delta$ を小さくしなければならず、$x_0$ が $1$ に近いところでは $\delta$ を大きくとれる。したがって、すべての点に共通の $\delta$ はとれない。

そこで、任意の正数 $\varepsilon$ に対して、$I$ 中のどの点 $x_0$ に対しても統一された正数 $\delta$ が存在して $|x - x_0| < \delta$ のとき $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ が成り立つならば、このような連続性を「一様」という。厳格に言えば：

定義 5 $y = f(x)$ は区間 $I$ 上で定義されているとする。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ が存在して、$I$ 内の任意の $x_0, x$ について、$|x - x_0| < \delta$ ならば $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ が成り立つとき、関数 $f$ は $I$ 上で一様連続という。

等価な言い方：任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ が存在して、$x_1, x_2 \in I$ かつ $|x_1 - x_2| < \delta$ ならば $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。

増量の言葉では：任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ が存在して、$I$ 中のどこにある $x$ でも増量 $\Delta x < \delta$ であれば関数の増量 $|\Delta y| = |f(x + \Delta x) - f(x)| < \varepsilon$。

例 9 $f(x) = \sin x$ は $(-\infty, +\infty)$ 上で一様連続である。

証明． $|\sin x_1 - \sin x_2| = 2\left|\sin\dfrac{x_1-x_2}{2}\cos\dfrac{x_1+x_2}{2}\right| \leq |x_1 - x_2|$ より、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta = \varepsilon$ ととれば $|x_1 - x_2| < \delta$ のとき $|\sin x_1 - \sin x_2| < \varepsilon$。

例 10 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ は $(0, 1)$ 上で一様連続でない。

証明． $\varepsilon = \dfrac{1}{2}$ ととる。任意の正数 $\delta$ に対して自然数 $n$ が存在して $\dfrac{1}{n} < \delta$。$x' = \dfrac{1}{n}$，$x'' = \dfrac{1}{n+1}$ ととれば $x' - x'' = \dfrac{1}{n(n+1)} < \dfrac{1}{n} < \delta$、しかし $\dfrac{1}{x''} - \dfrac{1}{x'} = 1 > \dfrac{1}{2}$。よって、どんな $\delta$ をとっても $\varepsilon = \dfrac12$ の条件は満たされず、$f$ は $(0,1)$ 上で一様連続でない。

例 10 で定義域を $[a, +\infty)$（$a > 0$）に限れば、$\left|\dfrac1{x_1} - \dfrac1{x_2}\right| = \dfrac{|x_1 - x_2|}{x_1 x_2} \leq \dfrac{|x_1 - x_2|}{a^2}$ なので $\delta = a^2\varepsilon$ ととれて、一様連続になる。このように、一様連続性は定義域と切り離せない。特に閉区間上の連続関数については次が成立する。

定理 10 閉区間 $[a, b]$ 上で定義された連続関数 $f(x)$ は必ず $[a, b]$ 上で一様連続である。

証明

一様連続でないとすると、ある $\varepsilon_0 > 0$ と、$|x_n - y_n| < \dfrac1n$ かつ $|f(x_n) - f(y_n)| \geq \varepsilon_0$ なる $x_n, y_n \in [a, b]$ がある。部分列 $x_{n_k} \to \xi$ をとると $y_{n_k} \to \xi$ でもあり、連続性から $f(x_{n_k}) - f(y_{n_k}) \to f(\xi) - f(\xi) = 0$ となるが、これは $\geq \varepsilon_0$ に反する。

練習問題

  1. 関数 $x \cdot 2^x - 1$ が $[0, 1]$ 内に零点を持つことを証明せよ。
  2. 関数 $x - a\sin x - b$（$a$，$b$ は正数）が $(0, +\infty)$ 上に零点を持ち、かつ零点が $a + b$ を超えないことを証明せよ。
  3. 関数 $x - \sin(x+1)$ が実数零点を持つことを証明せよ。
  4. $f(x)$ が $[a, b]$ 上で連続かつ値域がちょうど $[a, b]$ である。$f(x)$ は $[a, b]$ 上に不動点、すなわち $x_0 \in [a, b]$ が存在して $f(x_0) = x_0$ を持つことを証明せよ。
  5. $f(x)$，$g(x)$ が区間 $[a, b]$ 上で連続かつ $f(a) > g(a)$，$f(b) < g(b)$ であることを証明せよ：$(a, b)$ 内に $x_0$ が存在して $f(x_0) = g(x_0)$。
  6. $f(x)$ が $[0, 2a]$ 上で連続かつ $f(0) = f(2a)$ である。$[0, a]$ 上に $x_0$ が存在して $f(x_0) = f(x_0 + a)$ を証明せよ。
  7. $f(x)$ が $[a, b]$ 上で連続，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ が区間内の任意の値であれば，$[a, b]$ 内に一点 $\xi$ が存在して
    $$f(\xi) = \frac{1}{n}[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)].$$
    となることを証明せよ。さらに一般に，$q_1 > 0$，$q_2 > 0$，$\cdots$，$q_n > 0$ かつ $q_1 + q_2 + \cdots + q_n = 1$ であれば，$[a, b]$ 内に一点 $\xi$ が存在して
    $$f(\xi) = q_1 f(x_1) + q_2 f(x_2) + \cdots + q_n f(x_n).$$
  8. $f(x)$ が区間 $[a, +\infty)$ 上で連続かつ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ が存在する。$f(x)$ は $[a, +\infty)$ 上で有界であることを証明せよ。
  9. 関数 $f(x) = \dfrac{1+x^2}{1-x^2+x^4}$ は $(-\infty, +\infty)$ 上で有界であることを証明せよ。
  10. 任意の正数 $\varepsilon$ に対して関数 $f(x)$ が閉区間 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 上で有界であっても、開区間 $(a, b)$ 上で有界であるとは限らないことを例を挙げて示せ（練習 2.1 第 2 問参照）。
  11. $y = f(x)$ が開区間 $I = (a, b)$ 上で連続かつ厳格単調であることを証明せよ：$y = f(x)$ の値域 $f(I)$ も開区間である。
  12. $f(x)$ が $(a, b)$ 上で一様連続である。$f(x)$ は $a$ 点の右極限が存在し、$b$ 点の左極限が存在することを証明せよ。
  13. $f(x)$ が $(0, +\infty)$ 上で一様連続，$\{a_n\}$ は正の収束数列である。$\{f(a_n)\}$ も収束することを証明せよ。また逆に $f(x)$ が連続のみならば、結論は成立するか？
  14. $f(x)$ が $(-\infty, +\infty)$ 上で連続である，$\{a_n\}$ は収束数列である。$\{f(a_n)\}$ も収束することを証明せよ。
解答
  1. $f(x) = x2^x - 1$ は連続で $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$。零点定理による。
  2. $f(x) = x - a\sin x - b$ とおく。$f(0) = -b < 0$，$f(a+b) = a(1 - \sin(a+b)) \geq 0$。$f(a+b) = 0$ なら $a+b$ が零点、$> 0$ なら $(0, a+b)$ に零点がある。
  3. $f(x) = x - \sin(x+1)$ とおくと $f(-1) = -1 < 0$，$f(1) = 1 - \sin 2 > 0$。
  4. $g(x) = f(x) - x$ とおくと、$f(a) \geq a$，$f(b) \leq b$ から $g(a) \geq 0 \geq g(b)$。零点定理（等号なら端点が不動点）。
  5. $h = f - g$ は連続で $h(a) > 0 > h(b)$。零点定理。
  6. $g(x) = f(x + a) - f(x)$（$x \in [0, a]$）とおくと、$g(0) = f(a) - f(0)$，$g(a) = f(2a) - f(a) = -g(0)$。$g(0) = 0$ ならそのまま、そうでなければ $g(0)g(a) < 0$ で零点定理。
  7. 最大値 $M$，最小値 $m$ に対し $m \leq \dfrac{1}{n}\sum f(x_i) \leq M$。中間値定理より、その値をとる $\xi$ がある。重み付きの場合も $m \leq \sum q_i f(x_i) \leq M$。
  8. $\lim f = L$ とする。$x \geq X$ で $|f(x) - L| < 1$ となる $X \geq a$ をとれば、$[X, \infty)$ 上で $|f| < |L| + 1$，$[a, X]$ 上では定理 7 により有界。
  9. $f$ は連続な偶関数で、$1 - x^2 + x^4 = \left(x^2 - \dfrac12\right)^2 + \dfrac34 > 0$ なので分母は消えない。$x \to \pm\infty$ で $f \to 0$ なので、8 番より有界。
  10. $f(x) = \dfrac{1}{x - a}$ は $(a, b)$ 上で連続で、$[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 上では有界だが、$(a,b)$ 上で無界。
  11. 狭義単調増加とする。$m = \inf f(I)$，$M = \sup f(I)$ とすると、狭義単調なので最大値・最小値をとらない（とれば端点で連続でなくなるため、内部の点で最大になり矛盾）。中間値定理より $f(I) = (m, M)$。
  12. $x_n \to a^+$ とすると、一様連続性より $\{f(x_n)\}$ はコーシー列で収束する。別の列 $x_n' \to a^+$ との交互列を考えれば、極限は列によらず一定。したがって右極限が存在する。左端も同様。
  13. $\{a_n\}$ はコーシー列。一様連続性により $\{f(a_n)\}$ もコーシー列で収束する。連続のみでは成り立たない：$f(x) = \dfrac{1}{x}$，$a_n = \dfrac{1}{n}$。
  14. $a_n \to a$ なら、$f$ の連続性から $f(a_n) \to f(a)$。

補充問題

  1. 関数 $f(x) = \begin{cases} 0, & x \text{ が有理数,} \\ x, & x \text{ が無理数} \end{cases}$ は $x = 0$ の点のみで連続であることを証明せよ。
  2. $x_1, x_2, \cdots, x_n \in [0, 1]$，$f(x) = \dfrac{|x-x_1| + \cdots + |x-x_n|}{n}$ と定義する。$[0, 1]$ 内に $x_0$ が存在して $f(x_0) = \dfrac{1}{2}$ となることを証明せよ。
  3. 関数 $\dfrac{a_1}{x-\lambda_1} + \dfrac{a_2}{x-\lambda_2} + \dfrac{a_3}{x-\lambda_3}$（$a_1, a_2, a_3 > 0$ かつ $\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$）は $(\lambda_1, \lambda_2)$ と $(\lambda_2, \lambda_3)$ の各々に少なくとも一つの零点を持つことを証明せよ。
  4. $f(x)$ は多項式であれば、$|f(x_0)| \leq |f(x)|$ を任意の実数 $x$ に対して満たす点 $x_0$ が存在することを証明せよ。
  5. $f(x)$ が $[0, 1]$ 上で連続かつ $f(0) = f(1)$ である。任意の自然数 $n$ に対して $\left[0, 1-\dfrac{1}{n}\right]$ 内に点 $\xi$ が存在して $f(\xi) = f\!\left(\xi + \dfrac{1}{n}\right)$ を証明せよ。
  6. 実数 $x$ で $x^5 + \dfrac{\cos x}{1 + x^2 + \sin^2 x} = 72$ を満たすものが存在することを証明せよ。
解答
  1. $x_0 \neq 0$ では、$x_0$ に収束する有理数列と無理数列で $f$ の値の極限が $0$ と $x_0$ と異なる。$x_0 = 0$ では $|f(x)| \leq |x| \to 0$。
  2. $f(0) = \dfrac{1}{n}\sum x_i$，$f(1) = \dfrac{1}{n}\sum(1 - x_i) = 1 - f(0)$。よって $f(0)$ と $f(1)$ の一方は $\dfrac12$ 以下、他方は $\dfrac12$ 以上。中間値定理。
  3. $(\lambda_1, \lambda_2)$ 上で、$x \to \lambda_1^+$ のとき第 1 項が $+\infty$ に発散し、$x \to \lambda_2^-$ のとき第 2 項が $-\infty$ に発散する（他の項は有界）。よって符号が変わり、中間値定理。$(\lambda_2, \lambda_3)$ も同様。
  4. 定数なら自明。そうでなければ $|f(x)| \to \infty$（$|x| \to \infty$）なので、ある $R$ をとれば $|x| > R$ で $|f(x)| > |f(0)|$。$[-R, R]$ で $|f|$ は最小値をとり、それは $|f(0)|$ 以下。これが全体の最小値。
  5. $g(x) = f\!\left(x + \dfrac1n\right) - f(x)$（$x \in [0, 1 - \tfrac1n]$）とおくと、$\sum_{k=0}^{n-1} g\!\left(\dfrac{k}{n}\right) = f(1) - f(0) = 0$。$g$ が全て $0$ でないなら、正の値と負の値をとる点が存在し、中間値定理により零点がある。
  6. $F(x) = x^5 + \dfrac{\cos x}{1 + x^2 + \sin^2 x} - 72$ は連続で、$\left|\dfrac{\cos x}{1+x^2+\sin^2 x}\right| \leq 1$ より $F(2) \leq 32 + 1 - 72 < 0$，$F(3) \geq 243 - 1 - 72 > 0$。
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