関数の極限

数列の極限の考え方を、変数が連続的に動く関数に広げる。独立変数が無限大に近づく場合と、ある点に近づく場合の極限、その性質と求め方、二つの重要な極限、無限大と無限小の比較を述べる。

関数

関数とは量と量の間の数学的関係のことである。 数学やその他の自然科学の中の大多数の関係は関数関係の支配を受けている。 たとえば、

• 自由落下体の落下時間と落下距離の間の関係は $h = \dfrac{1}{2}gt^2$（$g$ は重力加速度）；
• 質量 $m$ の運動質点の動能は運動速度 $v$ を通じて $E = \dfrac{1}{2}mv^2$ で与えられる；
• 導線中に電流が流れるとき単位時間内に生じる熱量と電流強度 $I$ の関係は $Q = \dfrac{1}{2}RI^2$（$R$ は導線の電気抵抗）；
• 鋭角 $\alpha$ を持つ直角三角形において、$\alpha$ に隣接する直角辺の長さ $x$ と三角形面積 $S$ の関係は $S = \dfrac{1}{2}(\tan\alpha)x^2$；
• 二次元平面座標中の放物線上の点の横座標と縦座標の関係は $y = \dfrac{1}{2}ax^2$（$a$ は放物線の開き方向と大きさを表す）。

これらのそれぞれ異なる問題における量と量の関係は、いずれも同じ二次関数である。

実数の集合 $\mathbf{R}$ の部分集合上に定義され、値域が実数の関数について、その厳格な定義は次の通りである。

$A$ を $\mathbf{R}$ の部分集合とする。$A$ の各元 $x$ に対して唯一確定の $y \in \mathbf{R}$ が対応するとき（すなわち関数の単値性）、$y$ を $f(x)$ と記し、$f$ を $A$ 上の一つの実数値関数という。 集合 $A$ を $f$ の定義域といい、数 $f(x)$ を $f$ の値という。 $f$ の一切の値の集合を $f$ の値域といい、通常 $f(A)$ と記す、すなわち $f(A) = \{y \mid y = f(x),\, x \in A\}$。 習慣上、$x$ を独立変数、$y$ を従属変数という。

一つの関数は、$A \subset \mathbf{R}$ を $\mathbf{R}$ 内に写す一つの写像とも見なせる：

実数と実数直線上の点を一一対応させれば、実数上に定義され実数値をとる関数には幾何的な表示がある。 すなわち $y = f(x)$ のグラフである。 定義域が存在する数軸を二次元座標平面 $Oxy$ の横軸、値域が存在する数軸を縦軸とすれば、$y = f(x)$ のグラフは $Oxy$ 中の座標が $(x, f(x))$，$(x \in A)$ となる点の集合（大多数の場合この点集合は一つの曲線）である。

逆に、平面上の一つの曲線上の点の座標 $(x, y)$ が方程式 $y = f(x)$（あるいは $x = f(y)$）を満たすとき、その曲線は関数表示を持つという。 たとえば上向きに開く放物線は $y = ax^2$ であり、左右に開く放物線は $x = ay^2$ である。

関数の単値性はグラフ上では、$y$ 軸に平行な任意の直線と $y = f(x)$ のグラフは高々一点しか交わらないこととして反映される。

関数 $f$ の定義域を $A$ とするとき、一般にその値域 $f(A)$ の性状は複雑でありうるが、微積分では特に重要な三つの場合がある。

1. 有界性．ある定数 $M$ が存在して、任意の $x \in A$ に対して $|f(x)| \leq M$ が成り立つとき、$f$ を $A$ 上の有界関数という。
2. 単調性．$A$ の任意の二数 $x_1 < x_2$ について $f(x_1) \leq f(x_2)$ が成り立つとき単調増加、$f(x_1) \geq f(x_2)$ が成り立つとき単調減少という。不等号が厳密（$<$，$>$）であれば狭義単調増加（減少）という。
3. 1 対 1 対応．任意の $y \in f(A)$ に対して $f(x) = y$ となる $x \in A$ がただ一つ存在するとき、$y$ にその $x$ を対応させる写像 $f(A) \to A$ が定まる。これを $f$ の逆関数（逆写像）といい $f^{-1}$ と記す。定義域は $f(A)$、値域は $A$ である。$f$ が逆関数を持つことは、$f$ が $A$ から $f(A)$ への 1 対 1 の写像であることと同値で、グラフ上では $x$ 軸に平行な任意の直線がグラフと高々一点でしか交わらないことに当たる。

異なる関数は共通の定義域がある区域内で加・減・乗・除の四則演算ができる（除法は分母が $0$ にならない限り）。 ここでは関数のもう一つの演算——関数の合成演算を紹介する。

関数 $y = f(u)$，定義域 $B$，値域 $C$、および $u = g(x)$，定義域 $A$，値域が $B$ に含まれる場合、

によって $A$ 上の新しい関数 $f \circ g$ が定義され、$f$ と $g$ の合成関数という。 通常 $y = f(g(x))$ と記し、$u$ を中間変数という。

写像の観点からは $A$ から $B$ へ、さらに $C$ への写像（図 1.2）である。

図 1.2　合成関数の写像的表示

$f \circ g$ と $g \circ f$ は一般には等しくない。しかし合成演算が結合律を満たすことは容易に確認できる：

したがって $f \circ g \circ h$ と表し、あるいは $f(g(h(x)))$ と記す。これは三つの関数の合成である。同様に任意の有限個の関数を合成できる。

最も基本的な関数は当然、定数関数・冪関数・指数関数・対数関数・三角関数および逆三角関数であり、これらを基本初等関数と呼ぶ。 基本初等関数に有限回の加・減・乗・除と合成演算を施して得られる関数を初等関数という。

たとえば、有限種の冪関数の線形結合は多項式関数である。

2つの多項式関数 $f(x)$，$g(x)$ の商 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ を有理関数という。その定義域は当然 $g(x) = 0$ の実根を含まないすべての実数である。

初等関数ではないが、よく現れる関数に区分関数がある。 たとえば符号関数

はその例である（図 1.3）。一般に、区分関数とは独立変数の値域の異なる部分に対して、異なる式で表される関数のことである。

図 1.3　符号関数 $y = \operatorname{sgn} x$

また、曲線上の点の2つの座標 $x$ と $y$ の関係が一つの媒介変数（パラメータ）$t$ を通じて結ばれているような、媒介変数表示の関数もある。すなわち $x$ と $y$ が次の形で表される。

このような媒介変数表示は $[\alpha, \beta] \subset \mathbf{R}$ から平面 $Oxy$ への写像とも見なせる：$[\alpha, \beta] \to \mathbf{R}^2$，$t \mapsto (x(t),\, y(t))$。写像の像は $Oxy$ 平面内の一つの曲線である。

たとえば、原点を中心・半径 $r$ の円の媒介変数表示は

であり、$t$ は円の中心角を表す（図 1.4左）。

図 1.4左　円の媒介変数表示

一方、一つの円が $x$ 軸に沿って等速・無滑りで転がるとき、円上の一点の運動軌跡をサイクロイドという。その媒介変数方程式は

であり、$a$ は円の半径、$t$ は時間を表す（図 1.5）。

図 1.5　サイクロイド

顕式で表された関数 $y = y(x)$ は、$x$ 自身がパラメータとなる媒介変数表示の関数

とも見なせる。

しかし、媒介変数表示の関数は一般に通常の顕式では表せない。 円を例にとると、$y = y(x)$ あるいは $x = x(y)$ としては表せない。なぜならいずれの場合も単値性が保証できないからである。 ただし上半円と下半円に分けてそれぞれ顕式で表すことはできる（2つの異なる関数）。

無限大における関数の極限

数列の極限と同様に、まず関数 $y = f(x)$ が $|x|$（数列の $n$ に対応）が無限に大きくなるとき、$f(x)$ が「確定した傾向」を持つかどうかを論じる。 当然ここでは関数 $f(x)$ が $|x|$ が十分大きいときに定義されていることを要求する。

たとえば $f(x) = \dfrac{1}{x}$（数列 $a_n = \dfrac{1}{n}$ に対応）を考えると、$|x|$ が無限に大きくなるとき $f(x) = \dfrac{1}{x}$ は 0 に無限に近づく。 つまり $|x|$ が十分大きくなれば $\dfrac{1}{x}$ を 0 に予め指定した程度まで近づけることができる。 実際、任意の正数 $\varepsilon$ に対して $|x| > \dfrac{1}{\varepsilon}$ であれば $\left|\dfrac{1}{x} - 0\right| < \varepsilon$。

定義 1 $y = f(x)$ は少なくとも $|x| > a > 0$ で定義されているとする。実数 $l$ が次の性質を持つとき、すなわち任意の正数 $\varepsilon$ に対して正数 $X = X(\varepsilon) > a$ が存在して、$|x| > X$ のとき

が成り立つとき、$x \to \infty$ のとき $f(x)$ の極限は $l$ であるという。記号では

この定義と数列 $\{a_n\}$ が $a$ に収束するという定義の基本的な意味は同じである。 ただし数列 $\{a_n\}$ の変量 $n$ は離散的に無限大に増大するのに対し、関数 $f(x)$ の変量 $|x|$ は連続的に無限大に増大する。

上述の定義と同様に、$x \to +\infty$ のとき $f(x)$ が $l$ を極限とする定義、および $x \to -\infty$ のとき $f(x)$ が $l$ を極限とする定義を与えられる（定義 1 中の「$|x| > X$」をそれぞれ「$x > X$」あるいは「$x < -X$」に変えるだけでよい。読者は自分で完全な叙述を与えること）。それぞれ

と記す。

$f(x)$ の正（あるいは負）の無限大における極限を $f(x)$ の無限大における（2つの）片側極限という。 $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)$ が存在するための必要十分条件は、2つの片側極限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ と $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$ がともに存在し、かつ等しいことである。

幾何学的な意味：$f(x) \to l$，$(x \to \infty)$ は直交座標系 $Oxy$ において、任意の正数 $\varepsilon$ に対して $x$ 軸上に一点 $X$ が存在して、$|x| > X$（あるいは $x > X$，$x < -X$）のとき、関数 $f(x)$ のグラフは必ず $x$ 軸に平行な2本の直線 $y = l - \varepsilon$，$y = l + \varepsilon$ に挟まれた幅 $2\varepsilon$ の帯状領域内に落ちることと同値である（図 1.6）。

図 1.6　$\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = l$ の幾何学的意味

一点における関数の極限

次に $x$ がある有限値 $x_0$（数直線上の固定された点）に無限に近づくとき、関数 $f(x)$ の変化の傾向を考える。 ここで自然に関数 $f(x)$ は $x_0$ の付近で定義されていることを要求する（ただし $x_0$ の点自体では定義されていなくてもよい）。 すなわち関数は点集合、あるいは $x_0$ を含む数直線上のある開区間

上で定義されている。

したがって、$x$ が $x_0$ に無限に近づくとき、関数 $f(x)$ がある数 $l$ に無限に近づけば、$f(x)$ は $x$ が $x_0$ に近づくとき $l$ を極限とするという。 「$|x - x_0|$ が十分小さいとき $|f(x) - l|$ を任意に小さくできる」を「$\varepsilon$-$\delta$」の言葉に言い換えると、

定義 2 $f(x)$ は $x_0$ の付近で定義されている（$x_0$ での定義は要求しない）。実数 $l$ が次の性質を持つとき、すなわち任意の正数 $\varepsilon$ に対して正数 $\delta > 0$ が存在して $0 < |x - x_0| < \delta$ のとき $|f(x) - l| < \varepsilon$ が成り立つとき、$l$ を $x$ が $x_0$ に近づくときの $f(x)$ の極限という。記号では

関数 $f(x)$ のグラフから見ると、$f(x)$ が $x$ が $x_0$ に近づくとき $l$ を極限とするという幾何学的な意味は次の通りである： $x$ の値を区間 $(x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)$ に制限したとき、$f(x)$ のグラフは必ず $x$ 軸に平行な2本の直線 $y = l + \varepsilon$ と $y = l - \varepsilon$ の間に落ちる（図 1.7）。

図 1.7　$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ の幾何学的意味

明らかに、定数関数 $f(x) = c$ は任意の一点 $x_0$ における極限が $c$ である。以下にいくつかの例を挙げる。

定義 2 において $x$ が $x_0$ に近づく方向は制限されていない。 $x$ が $x_0$ の一方の側から近づくことを要求すると、片側極限の概念が得られる。

定義 3 $f(x)$ は $x_0$ の左側付近で定義されているとする。実数 $l$ が次の性質を持つとき、すなわち任意の正数 $\varepsilon$ に対して正数 $\delta > 0$ が存在して $-\delta < x - x_0 < 0$ のとき $|f(x) - l| < \varepsilon$ が成り立つとき、$l$ を $f(x)$ の $x_0$ における左極限という。記号では

$f(x)$ の右側付近で同様に定義できる（定義 3 中の「$-\delta < x - x_0 < 0$」を「$0 < x - x_0 < \delta$」に変えるだけ）。$f(x)$ の左右の極限をそれぞれ $f(x_0 - 0)$ および $f(x_0 + 0)$ と書く習慣がある。

定理 1 関数 $f(x)$ が $x_0$ で極限を持つための必要十分条件は、$f(x)$ の $x_0$ における左右の極限がともに存在し、かつ等しいことである。

証明は明らかであり、この事実を使って $f(x)$ が $x_0$ で極限を持たないことを判断できる。

関数の極限の性質と演算

前節 2・3 の二つの小節において $x \to \infty$，$x \to \pm\infty$，$x \to x_0$ および $x \to x_0^{\pm 0}$ という極限過程を定義した。 本節では極限の基本的な性質と四則演算を述べる。 議論の便宜上、ここでは $x \to x_0$（$x_0$ は有限値）の場合のみを考え、他の場合は同様に得られる。

定理 2 $x \to x_0$ のとき関数 $f(x)$ が極限 $l$ を持つとき、

1. 極限は唯一である。
2. $f(x)$ は $x_0$ の付近で有界である。すなわち正数 $M$ と $\delta$ が存在して、$0 < |x - x_0| < \delta$ のとき $|f(x)| \leq M$。
3. $a < l < b$ ならば $x_0$ の付近で $a < f(x) < b$。すなわち正数 $\delta$ が存在して $0 < |x - x_0| < \delta$ のすべての $x$ に対して $a < f(x) < b$。

定理 3 $x \to x_0$ のとき関数 $f(x)$ と $g(x)$ がそれぞれ $l$ と $l'$ を極限とするとき、

1. $x_0$ の付近で $f(x) \geq g(x)$ ならば $l \geq l'$。
2. $l > l'$ ならば $x_0$ の付近で $f(x) > g(x)$。すなわち正数 $\delta$ が存在して $0 < |x - x_0| < \delta$ のとき $f(x) > g(x)$。
3. $1^\circ$ と $2^\circ$ の系として、$x_0$ の付近で $f(x) \geq 0$ ならば $l \geq 0$；$l > 0$ ならば $x_0$ の付近で $f(x) > 0$。

定理 4 $x \to x_0$ のとき関数 $f(x)$ と $g(x)$ がそれぞれ $l$ と $l'$ を極限とするとき、

1. $f(x) \pm g(x)$ は $x_0$ で極限を持ち、極限は $l \pm l'$：
   $$\lim_{x\to x_0}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x\to x_0} f(x) \pm \lim_{x\to x_0} g(x).$$
2. 積 $f(x)g(x)$ は $x_0$ で極限を持ち、極限は $ll'$：
   $$\lim_{x\to x_0} f(x)g(x) = \lim_{x\to x_0} f(x) \cdot \lim_{x\to x_0} g(x).$$
   特に $\displaystyle\lim_{x\to x_0} cf(x) = c\lim_{x\to x_0} f(x)$（$c$ は定数）。
3. $l' \neq 0$ ならば $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の極限が存在し、極限は $\dfrac{l}{l'}$：
   $$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x)}.$$

定理 2〜4 の証明は数列極限の対応する定理の証明とまったく類似しており、繰り返さない。

定理 5 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = l$，$\displaystyle\lim_{t\to t_0} g(t) = x_0$、かつ $t \neq t_0$ のとき $g(t) \neq x_0$ とする。このとき

定理 5 は、極限を求める過程で「変数変換」を使えることを告げており、これにより極限を求める過程を簡略化できる場合がある。

定理 6（ハイネの定理） $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ であるための必要十分条件は：$x_0$ に収束する任意の数列 $\{a_n\}$（$a_n \neq x_0$）に対して $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(a_n) = l$。

定理 6 は、$x \to x_0$ のとき $f(x)$ の性態が $x_0$ に近づく2つの点列上で一致しないならば、$f(x)$ は $x_0$ で極限を持たないことを示す。

関数の極限の存在判別法

定理 7 $x_0$ の付近で $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ が成り立つとする。$x \to x_0$ のとき関数 $h(x)$ と $g(x)$ がともに $l$ を極限とするならば、$f(x)$ も $l$ を極限とする。

証明は数列のはさみうちの原理と類似する。

定理 8 $f(x)$ が $(a, b)$ 上で単調有界ならば $f(a+0)$ と $f(b-0)$ はともに存在する。

推論 $f(x)$ が $(a, b)$ 上で単調有界ならば、$f(x)$ は $(a, b)$ 上の各点 $x_0$ で左右の極限を持つ。

$x_0 \in (a, b)$ について区間 $(a, x_0)$ と $(x_0, b)$ それぞれに定理 8 を適用すればよい。

定理 9（Cauchy 判別条件） 関数 $f(x)$ が $x_0$ で極限を持つための必要十分条件は：任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ が存在して $0 < |x' - x_0|$，$|x'' - x_0| < \delta$ のとき

二つの重要な極限

本節では関数極限の「はさみうちの原理」を利用して、二つの重要な関数極限を証明する。

定理 10 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.

この定理を証明するにあたり、まず一つの補題を示す。補題自体も非常に有用である。

補題 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sin x < x < \tan x$.

図 1.8　$\sin x < x < \tan x$（$0 < x < \pi/2$）の幾何的証明

補題より任意の実数 $x$ に対して $|\sin x| \leq |x|$ が成り立ち、等号は $x = 0$ のときのみ成立する。

定理の証明：右極限 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ を示す。$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sin x > 0$ より補題から

よって

はさみうちの原理から $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1$。

$x \to 0^-$ のとき $y = -x$ とおけば $y \to 0^+$ となり、

よって定理が証明された。

定理 11 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$.

言い換えると、$x \to \infty$ のとき関数 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$ の極限が存在し、かつ数列 $\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}$，$(n \geq 1)$ の極限と等しい（前者は連続的な変量、後者は離散的な変量）。

定理 11 の極限には同値な形がある：

これら二つの重要な極限は基本的なものであり、多くの極限問題は最終的にこれら二つに帰着できる。

無限大と無限小

ある極限過程において無限に大きくなる量を「無限大」という。厳密には、

定義 4 $f(x)$ は $x_0$ の付近で定義されている（$x_0$ では定義されていなくてもよい）。任意の正数 $M > 0$ に対して正数 $\delta > 0$ が存在して $0 < |x - x_0| < \delta$ のとき

が成り立つとき、「$f(x)$ は $x \to x_0$ のときの無限大」という。記号では

$x$ が $x_0$ の付近で変化するとき無限大量 $f(x)$ が常に正または常に負ならば、$\infty$ に正負の符号をつけて

と定義できる。他の極限過程に対しても同様に無限大量を定義できる。

注意：「無限大」とは（絶対値が）大きな数のことではなく、変化過程において無限に大きくなる変化量のことである。たとえば

結論 1 同一の極限過程（たとえば $x \to \infty$ や $x \to x_0$ 等）において、二つの無限大量の積はまだ無限大量だが、二つの無限大量の和・差・商の性態はさまざまである。これらをそれぞれ「$\infty \pm \infty$」および「$\dfrac{\infty}{\infty}$」型の不定式という。これらの不定形の極限の計算は、微分の章（ロピタルの定理）で扱う。

類似して、ある極限過程において 0 に近づく量を「無限小量」という。すなわち「$f(x)$ は $x \to x_0$（またはその他の極限過程）のときの無限小量」とは $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = 0$ のことである。

たとえば $x$，$x^2$，$\sin x$ 等は $x \to 0$ のときの無限小量；$\dfrac{1}{x}$，$\dfrac{1}{1+x^2}$ 等は $x \to \infty$ のときの無限小量。 同様に「無限小量」という名称は、その値が小さいことではなく、ある極限過程における変化の特性を描写するものであることに注意すること。

結論 2 有限個の無限小量の代数和（線形結合）はまだ無限小量；有限個の無限小量の積はまだ無限小量；一個の有界変量と無限小量の積はまだ無限小量。しかし二個の無限小量の商はさまざまな性態を持ち、「$\dfrac{0}{0}$」型の不定式という。

たとえば、$x \to 0$ のとき $x$，$x^2$，$\sin x$，$x\sin\dfrac{1}{x}$ はいずれも無限小量だが、それらの $x \to 0$ における比はさまざまな性態を持つ：$\dfrac{x^2}{x} = x$ は無限小量；$\dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x}$ は無限大量；$\dfrac{\sin x}{x}$ の極限は 1，$\dfrac{x\sin\frac{1}{x}}{x} = \sin\dfrac{1}{x}$ は極限を持たない（小さくも大きくもない）。

結論 3 同一の極限過程において $u(x)$ が無限大量ならば $\dfrac{1}{u(x)}$ は無限小量；逆に $u(x)$ が無限小量（$u(x) \neq 0$）ならば $\dfrac{1}{u(x)}$ は無限大量。また $\displaystyle\lim_{x\to x_0} u(x) = l$ ならば $u(x) - l$ は $x \to x_0$ のときの無限小量。

定義 5 $f(x)$ と $g(x)$ が $x \to x_0$ のときの無限大量。すなわち

1. 非零の定数 $c$ が存在して $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = c$ ならば、$f(x)$ と $g(x)$ は（$x \to x_0$ のとき）同位の無限大量という。特に $c = 1$ のとき等価な無限大量といい、$f(x) \sim g(x)$，$(x \to x_0)$ と記す。
2. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0\left(\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(x)}{f(x)} = \infty\right)$ ならば $f(x)$ は $g(x)$ より低位の無限大量、$g(x)$ は $f(x)$ より高位の無限大量という。
   $$f(x) = o(g(x)) \quad (x \to x_0).$$

定義 6 $\alpha(x)$ と $\beta(x)$ が $x \to x_0$ のときの無限小。

1. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c \neq 0$ ならば $\alpha(x)$ と $\beta(x)$ は同位の無限小量という。特に $c = 1$ のとき等価な無限小量といい、$\alpha(x) \sim \beta(x)$，$(x \to x_0)$ と記す。
2. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$ ならば $\alpha(x)$ は $\beta(x)$ より高位の無限小量、$\beta(x)$ は $\alpha(x)$ より低位の無限小量という。
   $$\alpha(x) = o(\beta(x)) \quad (x \to x_0).$$

たとえば、定理 10 より $x \to 0$ のとき

定理 12 $\alpha(x)$ と $\beta(x)$ が $x \to x_0$ のときの等価な無限小量（$\alpha(x) \sim \beta(x)$，$(x \to x_0)$）で、

ならば

ただし $l$ と $l'$ は無限大でもよい。

定理 12 は、極限を求める過程において一つの無限小量をその等価な無限小量で置き換えても最終的な結果は変わらないことを示す。無限大量の逆数は無限小量だから、無限大量も等価置換できる。

ただし等価置換できるのは無限小量や無限大量の因子だけであり、加・減記号で連なる式の一部を勝手に置き換えてはならない。たとえば例 21 で分子の $\tan x$ と $\sin x$ を等価な無限小量 $x$ で置き換えると、分子が $0$ になって誤った結果が出る。

なお、一つの極限過程中で二量（無限大（小）であるかどうかに関わらず）を比較するとき、「$O$」と「$o$」は二つのよく使われる記号である。

1. $x_0$ の付近で比 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が有界、すなわち正数 $c > 0$ が存在して
   $$|f(x)| \leq c|g(x)|$$
   が成り立つとき、$f(x) = O(g(x))$，$x \to x_0$ と記す。特に $f(x) = O(1)$，$(x \to x_0)$ は $f(x)$ が $x_0$ の付近で有界量であることを表す。
2. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ のとき $f(x) = o(g(x))$，$x \to x_0$ と記す。

ここで等号はあくまで $x \to x_0$ のとき二者間の一種の比較関係を表すものであることに注意する。

練習問題

1. 次の極限を求めよ。
   
   
   1. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(x^5 - 5x + 2 + \frac{1}{x}\right)$；
   2. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^n-1}{x-1}$（$n$ は自然数）；
   3. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$；
   4. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{(3x+6)^{70}(8x-5)^{20}}{(5x-1)^{90}}$。
2. 次の極限が存在しないことを証明せよ。
   
   
   1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin x$；
   2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$。
3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = l$ とするとき、正の無限大に近づく任意の数列 $\{a_n\}$ に対して $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(a_n) = l$。特に $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(n) = l$。
4. 次の関数の $x = 0$ における極限を論じよ。
   
   
   1. $f(x) = [x]$；
   2. $f(x) = \operatorname{sgn} x$；
   3. $f(x) = \begin{cases} 2^x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1+x^2, & x < 0 \end{cases}$；
   4. $f(x) = \begin{cases} \cos\dfrac{1}{x}, & x > 0 \\ x, & x \leq 0 \end{cases}$。
5. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2^2}\cdots\cos\frac{x}{2^n}$ を求めよ。
6. 次を証明せよ：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sin\frac{\alpha}{n^2} + \sin\frac{2\alpha}{n^2} + \cdots + \sin\frac{n\alpha}{n^2}\right) = \frac{\alpha}{2}$。
   
   （ヒント：まず $(\sin x + \sin 2x + \cdots + \sin nx)\cdot\sin\dfrac{x}{2} = \sin\dfrac{nx}{2}\cdot\sin\dfrac{(n+1)x}{2}$ を証明せよ。）
7. 証明せよ：$\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = l$ ならば $\displaystyle\lim_{x\to 0} f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = l$、逆もまた正しい。またこれを述べ、$x \to +\infty$ および $x \to -\infty$ のときの類似の結論を述べよ。（本題の結論を利用すれば極限過程 $x \to \infty$ の問題を $x \to 0$ の問題に変換、あるいは逆に変換できる。たとえば定理 6 より $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$。）
8. 次の極限を求めよ。
   
   
   1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{\sin 5x}$；
   2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - \cos 3x}{x^2}$；
   3. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+1}{2x-1}\right)^x$；
   4. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}$。
9. 次の極限を求めよ。
   
   
   1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\arctan x}{x}$；
   2. $\displaystyle\lim_{x\to 0} x^2\sin\frac{1}{x}$；
   3. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}$；
   4. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(2x^3-x+1)$。
10. 定義に基づいて証明せよ。
    
    
    1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\log_a x = +\infty$，$(a > 1)$；
    2. $\displaystyle\lim_{x\to 0+0}\log_a x = -\infty$，$(a > 1)$；
    3. $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}\tan x = +\infty$；
    4. $\displaystyle\lim_{x\to 0+0} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$。
11. 証明せよ：関数 $y = x\sin x$ は $(0, +\infty)$ 上で無界だが、$x \to +\infty$ のとき無限大量ではない。
12. 関数 $y = \dfrac{1}{x}\cos\dfrac{1}{x}$ は区間 $(0, 1)$ 内で有界か？また $x \to 0+0$ のとき無限大量か？
13. 本題で扱う関数の極限には鮮明な幾何学的意味がある。
    
    関数 $y = f(x)$ が表す曲線を $C$ とする。動点が曲線に沿って無限に原点から遠ざかるとき、その動点がある固定した直線との距離が 0 に近づくならば、その直線を曲線 $C$ の漸近線という。
    
    (i) 鉛直漸近線 $x$ 軸に垂直な直線 $x = x_0$ が曲線 $C$ の漸近線となるための必要十分条件は
    $$\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \infty \quad \text{あるいは} \quad \lim_{x\to x_0^+} f(x) = \infty.$$
    
    
    (ii) 水平漸近線 $x$ 軸に平行な直線 $y = b$ が曲線 $C$ の漸近線となるための必要十分条件は
    $$\lim_{x\to+\infty} f(x) = b \quad \text{あるいは} \quad \lim_{x\to-\infty} f(x) = b.$$
    
    
    (iii) 斜漸近線 方程式 $y = ax + b$，$(a \neq 0)$ で表される直線 $L$ が曲線 $C$ の漸近線となるための必要十分条件は
    $$a = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x\to+\infty}(f(x)-ax)；$$
    または
    $$a = \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x\to-\infty}(f(x)-ax).$$
    ここで上記の極限がすべて存在することを仮定している。
    
    次の曲線の漸近線の方程式を求めよ。
    
    
    1. $y = x\ln\!\left(e + \dfrac{1}{x}\right)$；
    2. $y = \dfrac{3x^2-2x+3}{x-1}$。
14. 証明せよ：（同一の極限過程において）等価な無限小量は次の性質を持つ。
    
    
    1. $\alpha(x) \sim \alpha(x)$（自反性）；
    2. $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ならば $\beta(x) \sim \alpha(x)$（対称性）；
    3. $\alpha(x) \sim \beta(x)$，$\beta(x) \sim \gamma(x)$ ならば $\alpha(x) \sim \gamma(x)$（推移性）。
    
    
    （注意：(1) では自然に $\alpha(x)$ が零でないことを仮定する；(2)，(3) では条件が無限小（極限過程中で零でない）であることを含意している。）