複素数

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複素数は中学の必修内容ではあるが、完全性を保つために複素数の起源・基本演算・幾何的意味を簡単に振り返る。

複素数の起源と演算

複素数の歴史は 16 世紀にまで遡ることができる。問題の起源は今から見れば代数方程式の根を求める問題である。例えば整数係数の一次代数方程式

$$ax + b = 0,\quad a,b \in \mathbb{Z},\; a \neq 0$$

において $a$ が $b$ を整除できなければ、方程式は整数の範囲内で解を持たず、整数を有理数に拡張してはじめて有理数の解 $x = -\dfrac{b}{a}$ が得られる。二次方程式

$$x^2 - 2 = 0$$

は有理数の範囲では解が存在しないため、有理数ではもはや不十分となり、実数体という更に広い体を構成して実数の範囲で解 $x = \sqrt{2}$ を持つことが必要となる。

しかし実数の範囲内でも、すべての二次代数方程式の求根問題を解決することはできない。例えば方程式

$$x^2 + 1 = 0$$

には実数解が存在しない。歴史的にも大変著名な問題がある。

例1.1 10 を二つの部分に分けて積が 40 となるようにせよ。

明らかにこの問題は二次代数方程式の解を求めることである：

$$x(10 - x) = 40.$$

この方程式にも実数解が存在しない。

整数から有理数へ、有理数から実数へと拡張したように、元の範囲では解を持たない方程式が拡張された体の中では解を持つようになれるか、つまり実数体をどのように拡張すれば上述の方程式が解けるようになるかが問題である。

上述の二つの方程式について、通常の求根公式で解くと $x^2+1=0$ の解は $x_{\pm} = \pm\sqrt{-1}$、$x(10-x)=40$ の解は $x_{\pm} = 5 \pm \sqrt{-15}$ となる。これにより負の数の平方根という新しい問題が生じる。

実数体において意味を持たない負の数の平方根を意味あるものにするために、新しい「数」

$$\mathrm{i} = \sqrt{-1}$$

を導入する。これは基本的な演算規則に従う：

$$\mathrm{i}^2 = -1.$$

この「数」$\mathrm{i}$ は虚数単位と呼ばれる。$\mathrm{i}$ が他の実数と同様に加法・乗法演算ができるとすると、上述の方程式の解はそれぞれ新しい記号 $\pm\mathrm{i}$ と $5 \pm \mathrm{i}\sqrt{15}$ で表される。同様に任意の二つの実数 $x,y$ に対して一つの新しい記号

$$z = x + \mathrm{i}y$$

が生まれる。これを複素数と呼び、$x$ を複素数 $z$ の実部、$y$ を複素数 $z$ の虚部といい、それぞれ

$$x = \mathrm{Re}(z),\quad y = \mathrm{Im}(z)$$

と記す。二つの複素数は互いの実部と虚部がそれぞれ等しいとき等しいという。全複素数の集合を $\mathbb{C}$ で表す：

$$\mathbb{C} = \{x + \mathrm{i}y \mid x,y \in \mathbb{R}\}.$$

実部が零の複素数を純虚数と呼び、虚部が零の複素数が実数である。

次に複素数の演算について簡単に振り返る。任意の二つの複素数

$$z_1 = x_1 + \mathrm{i}y_1,\quad z_2 = x_2 + \mathrm{i}y_2$$

の間の演算を次のように定義する：

$$\begin{aligned}z_1 \pm z_2 &= (x_1 \pm x_2) + \mathrm{i}(y_1 \pm y_2),\\ z_1 z_2 &= (x_1 + \mathrm{i}y_1)(x_2 + \mathrm{i}y_2) = x_1 x_2 + \mathrm{i}(x_1 y_2 + x_2 y_1) + \mathrm{i}^2 y_1 y_2\\ &= (x_1 x_2 - y_1 y_2) + \mathrm{i}(x_1 y_2 + x_2 y_1).\end{aligned}$$

したがって二つの複素数の和・差・積はいずれも複素数である。このような演算規則が加法・乗法の交換律・結合律・分配律を満たすことは容易に確認できる。特に

$$(x + \mathrm{i}y)(x - \mathrm{i}y) = x^2 + y^2$$

は実数である。複素数 $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$ を複素数 $z = x + \mathrm{i}y$ の複素共役と呼び、

$$|z|^2 = z\bar{z} = x^2 + y^2$$

と記し、$|z|$ を $z$ の絶対値という。$z$ が零でないのは $|z| \neq 0$ のときに限る。

任意の零でない $z = x + \mathrm{i}y$ に対して、その逆元は

$$z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - \mathrm{i}\frac{y}{x^2+y^2}$$

であり $zz^{-1} = z^{-1}z = 1$ を満たす。したがって二つの複素数 $z_1 = x_1+\mathrm{i}y_1$、$z_2 = x_2+\mathrm{i}y_2$ の除法は

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+\mathrm{i}y_1}{x_2+\mathrm{i}y_2} = \frac{(x_1+\mathrm{i}y_1)(x_2-\mathrm{i}y_2)}{(x_2+\mathrm{i}y_2)(x_2-\mathrm{i}y_2)} = \left(\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}\right) + \mathrm{i}\left(\frac{y_1 x_2 - x_1 y_2}{x_2^2+y_2^2}\right)$$

ここで $|z_2| \neq 0$。

したがって複素数の集合 $\mathbb{C}$ は加法・乗法の演算のもとで閉じており、零元と単位元 $1=1+\mathrm{i}0$ を持ち、任意の零でない元は逆元を持つ。$\mathbb{C}$ を複素数体という。したがって複素数体は実数体 $\mathbb{R}$ の拡張である。

複素数の幾何的意味と Euler の公式

一つの複素数 $z = x + \mathrm{i}y$ は一組の数の組 $(x,y)$ に一対一に対応する。この数の組を直角座標系 $Oxy$ の平面上の点 $P$ の座標とみなすと、複素数は平面上の一点に対応するようになる。実数が数直線上の点と一対一に対応するのと同様である。通常 $z = x + \mathrm{i}y$ で $Oxy$ 平面上の点 $P(x,y)$ を表すこともある。このような対応のもとで $0=0+\mathrm{i}0$ は座標平面上の原点 $O$ に対応し、実数（虚部が零の複素数）は $x$ 軸上の点に対応し、純虚数（実部が零の複素数）は $y$ 軸上の点に対応する。したがって $z = x + \mathrm{i}y$ は複素数の直角座標表示となる。座標平面を複素平面と呼び、$x$ 軸を実軸、$y$ 軸を虚軸という。

こうして複素数 $z = x + \mathrm{i}y$ と平面上の点 $P(x,y)$、さらに平面上のベクトル $\overrightarrow{OP}$ との対応が確立される。

複素数は直角座標表示のほかに極座標表示でも表すことができる。$x$ 軸の正の半軸を極軸、座標原点を極点として、$z = x + \mathrm{i}y$ の極径を $r$、極角を $\theta$ と記すと

$$z = x + \mathrm{i}y = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta).$$

明らかに極径は複素数 $z$ の絶対値であり一意に定まる：

$$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

極角 $\theta$ を複素数 $z$ の偏角といい、$\mathrm{Arg}\,z$ で表す。しかし $z \neq 0$ のとき $z$ の偏角は $2\pi$ の任意の整数倍だけ異なることができる：

$$\theta = \mathrm{Arg}\,z = \begin{cases} \arctan\dfrac{y}{x} + 2k\pi & \text{（第一・第四象限）},\\[6pt] \arctan\dfrac{y}{x} + (2k+1)\pi & \text{（第二・第三象限）}. \end{cases}$$

ここで $k$ は任意の整数である（$x = 0$ のときは $\theta = \pm\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$）。$\arctan$ の値域は $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ である。$\mathrm{Arg}\,z$ の値のうち $-\pi < \theta \leqslant \pi$ をみたすものを $\arg z$ と書き、主値という。

その絶対値 $|z|$ はそれに対応する点から座標原点 $O$ までの距離であり、$\dfrac{y}{x}$ は点から原点への直線の傾きである。$|z|=r$（極径）、$x$ 軸の正の方向から反時計回りに複素数に対応する点と原点との間の直線の挟角を $\theta$（偏角）とすると複素数の極座標表示が得られる。

複素数 $z = x + \mathrm{i}y$ と平面上の点 $P(x,y)$ ならびにベクトル $\overrightarrow{OP}$ との対応が確立されると、複素数の代数的演算に幾何的な解釈を与えることができる。

まず複素数 $z = x + \mathrm{i}y$ の絶対値は対応する点 $P(x,y)$ から原点までの距離、すなわちベクトル $\overrightarrow{OP}$ の長さである：

$$|z| = |\overrightarrow{OP}|.$$

$z$ の複素共役 $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$ に対応する点は $P(x,y)$ の $x$ 軸に関する対称点 $\bar{P}(x,-y)$ である。

二つの複素数 $z = x+\mathrm{i}y$、$z' = x'+\mathrm{i}y'$ の和（差）$z \pm z'$ に対応する点の座標は $(x \pm x',\, y \pm y')$ であり、これはベクトル $\overrightarrow{OP} \pm \overrightarrow{OP'}$ でもある。つまり $z + z'$ は $O$、$z$、$z'$ を三頂点とする平行四辺形の第四頂点を表し、その絶対値 $|z+z'|$ は平行四辺形の $O$ から $z+z'$ への対角線の長さなので

$$|z + z'| \leqslant |z| + |z'|.$$

また $z - z'$ の絶対値は

$$|z - z'| = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$$

であり $z$ と $z'$ の間の距離を表す。

極座標で複素数を表すと、二つの複素数の積の幾何的意味が見えやすくなる。

$$z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta),\quad z' = r'(\cos\theta' + \mathrm{i}\sin\theta')$$

とすると

$$\begin{aligned}zz' &= rr'[(\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \mathrm{i}(\cos\theta\sin\theta' + \sin\theta\cos\theta')]\\ &= rr'[\cos(\theta+\theta') + \mathrm{i}\sin(\theta+\theta')].\end{aligned}$$

したがって二つの複素数の積 $zz'$ の絶対値は二つの複素数 $z$ と $z'$ の絶対値の積 $|zz'|=|z||z'|$、$zz'$ の偏角は $z$ と $z'$ の偏角の和である。換言すれば複素数 $z'$ を複素数 $z$ に乗じることは $z$ を反時計回りに $\theta'$ だけ回転させ、長さを $r'$ 倍したものが得られる。

$$\frac{z}{z'} = z\frac{\overline{z'}}{|z'|^2} = \frac{r}{r'}[(\cos\theta\cos\theta' + \sin\theta\sin\theta') + \mathrm{i}(-\cos\theta\sin\theta' + \sin\theta\cos\theta')] = \frac{r}{r'}[\cos(\theta-\theta') + \mathrm{i}\sin(\theta-\theta')].$$

一般に任意の互いに異なる三つの複素数 $z_1,z_2,z_3$ に対して

$$z_3 - z_1 = (z_2 - z_1)r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta),$$

ここで $\theta$ は $z_1,z_2,z_3$ を頂点とする三角形において $z_1$ の角であり、

$$r = \frac{|z_3-z_1|}{|z_2-z_1|}.$$

複素数 $z$ を反復して自乗すると

$$z^2 = r^2(\cos 2\theta + \mathrm{i}\sin 2\theta),$$

さらに

$$z^n = r^n(\cos n\theta + \mathrm{i}\sin n\theta),$$

ここで $n$ は任意の正整数である。$z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ を上式の左辺に代入し $r^n$ を消去すると、著名な De Moivre（ド・モアブル，1667--1754）の公式が得られる：

$$(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)^n = \cos n\theta + \mathrm{i}\sin n\theta.$$

De Moivre の公式の深い意味は、絶対値が 1 の複素数の $n$ 乗の偏角が元の複素数の偏角の $n$ 倍であるということである。この基礎の上に Euler は次の著名な公式を与えた：

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta.$$

特に $\theta = \pi$ とすると Euler の公式は

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0$$

を与える。この公式は人々が最もよく見知った数である $0,1,\pi,\mathrm{e}$ と虚数単位 $\mathrm{i}$ を一つに結びつけている。

ここでは Euler の公式の厳密な証明を与えることができないので、形式的な説明のみにとどめる。

数学解析または微積分において $\mathrm{e}^x$ と $\sin x$、$\cos x$ の Taylor（テイラー，1685--1731）展開が得られる。いわゆる Taylor 展開とは上述の三つの関数を次数が無限の「多項式」（べき級数と呼ばれる）に展開することである：

$$\begin{aligned}\mathrm{e}^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,\\ \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots,\\ \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots.\end{aligned}$$

上述の展開式は実数 $x$ に対して成立するが、形式的に実数を純虚数 $x = \mathrm{i}\theta$ に置き換えて $\mathrm{e}^x$ の表示式に代入し、$\mathrm{i}$ の演算規則 $\mathrm{i}^2=-1,\, \mathrm{i}^3=-\mathrm{i},\, \mathrm{i}^4=1,\,\cdots$ を利用すると

$$\begin{aligned}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\mathrm{i}\theta)^n}{n!} = \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots + (-1)^m\frac{\theta^{2m}}{(2m)!} + \cdots\right)\\ &\quad + \mathrm{i}\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots + (-1)^m\frac{\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} + \cdots\right)\\ &= \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta.\end{aligned}$$

ここでは Euler の公式の形式的な「証明」のみを与え、複素変数関数に関するいかなる知識も使っていない。Euler の公式を用いると、任意の複素数 $z = x+\mathrm{i}y$ の絶対値を $r$、偏角を $\theta$ とすれば複素数は

$$z = x + \mathrm{i}y = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta) = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$$

と表せる。したがって $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ によって $\cos\theta$ と $\sin\theta$ をそれぞれ表すこともできる：

$$\cos\theta = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2},\quad \sin\theta = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}.$$

ここで Euler の公式の一つの簡単な応用を与える。

例2.1 $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta$ とすると

$$z^k = \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta} = \cos k\theta + \mathrm{i}\sin k\theta,\quad k=1,2,\cdots.$$

$k$ について和をとると

$$\sum_{k=1}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)\theta}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\theta}{2}} - \mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+\frac{1}{2})\theta}} {\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\theta}{2}} - \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\theta}{2}}} = \frac{\left[\cos\frac{\theta}{2} - \cos\!\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right] + \mathrm{i}\!\left[\sin\frac{\theta}{2} - \sin\!\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]} {-2\mathrm{i}\sin\frac{\theta}{2}}.$$

実部をとると

$$\sum_{k=1}^{n} \cos k\theta = \frac{\sin\!\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta - \sin\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}}.$$

すなわち

$$\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos k\theta = \frac{\sin\!\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{\theta}{2}},\quad \theta \neq 2l\pi.$$

もちろんこの恒等式は直接証明することもできる。三角関数の積和公式を利用すると

$$2\sin\frac{\theta}{2}\!\left(\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n}\cos k\theta\right) = \sin\frac{\theta}{2} + \sum_{k=1}^{n}\!\left[\sin\!\left(k+\frac{1}{2}\right)\theta - \sin\!\left(k-\frac{1}{2}\right)\theta\right] = \sin\!\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta.$$

代数学の基本定理

代数方程式の求根問題に戻ろう。複素数を導入した後、$x^2+1=0$ や $x(10-x)=40$ のような方程式の求根問題が解決されるだけでなく、他の二次、さらにはより高次の係数を持つ代数方程式も複素数の範囲で解けるかどうかが問われる。

まず一般の実係数（$a,b,c$ はすべて実数、$a \neq 0$）二次代数方程式

$$ax^2 + bx + c = 0$$

を考えよう。根の公式によれば方程式の二つの解（方程式の二つの根ともいう）は

$$x_{\pm} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

$\Delta = b^2-4ac > 0$ のとき方程式には二つの実数根がある。$\Delta = b^2-4ac = 0$ のとき方程式には実重根 $x = -\dfrac{b}{2a}$ がある。$\Delta = b^2-4ac < 0$ のとき方程式には実数根が存在しないが、複素数の範囲では互いに複素共役な複素根

$$x_{\pm} = \frac{-b}{2a} \pm \mathrm{i}\frac{\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a}$$

が二つある。したがって複素数を導入した後、任意の実係数二次方程式は複素数の範囲で解くことができる。

二次代数方程式と同様に、加減乗除と平方根・立方根・四乗根などの累乗根によって高次数の代数方程式の根を求めることを望む。しかしこの「根の式」による求解方法は五次以上の代数方程式では通用しない。実際 Ruffini（ルフィニ，1756--1822）と Abel（アーベル，1802--1829）は一般の $n$ 次代数方程式を根の式で解くことは不可能であることを証明した。この結果はさらに新しい数学の重大な発展を促した。詳細はここでは紹介しない。指摘しておくべきことは、五次以上の方程式の根を求める問題は二次代数方程式のように累乗根で解くことはできないが、高次代数方程式の根が存在しないことを意味するわけではないということである。

実際に次の著名な代数学の基本定理がある。

定理1（代数学の基本定理） 実係数または複素係数の $n$ 次代数方程式

$$x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$$

は複素数の範囲（もちろん実数を含む）に少なくとも一つの根を持つ。ここで $a_{n-1},\cdots,a_0$ は実数または複素数である。一般性を失わずに最高次係数を 1 と仮定する。

代数学の基本定理から次が得られる。

系2 任意の多項式

$$f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

は $n$ 個の一次式の積に分解できる：

$$f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n),$$

ここで $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ は複素数である。明らかにそれらは $n$ 次代数方程式 $f(x)=0$ の根である。あるいは任意の $n$ 次代数方程式は必ず $n$ 個の根を持つ（重根の重複度を根の個数として計算する）。

代数学の基本定理の証明はこのページの範囲を超えているのでここでは再掲しない。強調したいのは、$n$（$n \geqslant 5$）次代数方程式の根は二次代数方程式のように係数間の四則演算と累乗根で求めることはできないが、代数学の基本定理は $n$ 次代数方程式が複素数の範囲で $n$ 個の根を持つことを教えてくれ、$n$ が変わるたびに何か新しい数を創り出す必要はないということである。

上述の系からさらに次の結果が証明できる（読者が練習問題として自ら証明せよ）。

系3

$$f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

が実係数多項式（$a_{n-1},\cdots,a_0$ がすべて実数）であるとする。

1、$z_0 = x_0 + \mathrm{i}y_0$ が方程式 $f(x)=0$ の複素根であれば、その複素共役 $\bar{z}_0 = x_0 - \mathrm{i}y_0$ も方程式の根であり、実係数代数方程式の複素根は共役のペアとして $(z_0,\bar{z}_0)$ で現れる。

2、実係数多項式は必ず次の形に分解できる：

$$f(x) = (x-\alpha_1)^{r_1}\cdots(x-\alpha_k)^{r_k} (x^2+\beta_1 x+\gamma_1)^{s_1}\cdots(x^2+\beta_l x+\gamma_l)^{s_l},$$

ここで $\alpha_i,\beta_j,\gamma_j$ はすべて実数で $\beta_j^2-4\gamma_j < 0$（$j=1,2,\cdots,l$）を満たす。$r_j$（$j=1,\cdots,k$）は方程式の実根の重複度、$s_j$（$j=1,\cdots,l$）は共役のペアで現れる複素根の重複度であり、

$$r_1 + \cdots + r_k + 2s_1 + \cdots + 2s_l = n.$$

系 3 の証明

1. $f$ の係数は実数だから、$\overline{f(z_0)} = f(\bar{z}_0)$ が成り立つ。$f(z_0) = 0$ ならば $f(\bar{z}_0) = \overline{0} = 0$ で、$\bar{z}_0$ も根である。

2. 系 2 より $f$ は複素数の範囲で一次式に分解される。実根はそのまま $(x - \alpha_i)$ の形で残る。虚根 $z_0$ は 1 より $\bar{z}_0$ とペアで現れ、しかも重複度も等しい（$f(x) = (x-z_0)^s g(x)$ の複素共役をとると $\bar{z}_0$ について同じ式が得られる）。ペアの積は

$$(x - z_0)(x - \bar{z}_0) = x^2 - 2\mathrm{Re}(z_0)\,x + |z_0|^2$$

で、係数は実数、判別式は $4(\mathrm{Re}(z_0)^2 - |z_0|^2) = -4\,\mathrm{Im}(z_0)^2 < 0$ である。したがって、与えられた形に分解できる。

単位根

定義4 複素数 $\xi$ が（複素）単位根であるとは、ある正整数 $n$ が存在して $\xi$ が方程式

$$z^n - 1 = 0$$

を満たすことをいう。固定した $n$ に対して上述の方程式の $n$ 個の根を $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$ と記し、$n$ 次単位根という。

例えば $n=2$ のとき方程式 $z^2-1=0$ には二つの 2 次単位根がある：$\xi_1=-1$、$\xi_2=1$。

$n=3$ のとき方程式 $z^3-1=0$ には三つの 3 次単位根がある：

$$\xi_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + \mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \xi_2 = \cos\frac{4\pi}{3} + \mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \xi_3 = 1.$$

$n=4$ のとき方程式 $z^4-1=0$ には四つの 4 次単位根がある：

$$\xi_1 = \cos\frac{2\pi}{4} + \mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{4} = \mathrm{i},\quad \xi_2 = \cos\frac{4\pi}{4} + \mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{4} = -1,\quad \xi_3 = \cos\frac{6\pi}{4} + \mathrm{i}\sin\frac{6\pi}{4} = -\mathrm{i},\quad \xi_4 = 1.$$

一般に De Moivre の公式より方程式 $z^n-1=0$ には互いに異なる $n$ 個の単位根がある：

$$\xi_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + \mathrm{i}\sin\frac{2k\pi}{n},\quad k=1,2,\cdots,n.$$

複素平面上でこれらの単位根に対応する点はちょうど単位円 $|z|=1$ を $n$ 等分し、そのうちの一つの分点は $\xi_n=1$ で実軸上にある。互いに異なる $n$ 個の $n$ 次単位根の集合を

$$A_n = \{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\}$$

と記す。

4 次単位根の中で $\xi_2=-1$ は実際には 2 次単位根でもある：$\xi_2^2=1$。しかし $\xi_1,\xi_3$ はそうでない。自然に $A_n$ の中でどの $n$ 次単位根が同時により低次の単位根でもあり、どれがそうでないかが問われる。

定義5 $\xi$ を単位根とする。$\xi^d=1$ が成立する最小正整数を $d$ とすると、$d$ を $\xi$ の位数（階数）という。$\xi \in A_n$ かつ $\xi$ の位数がちょうど $d=n$ であれば $\xi$ を原始的な $n$ 次単位根という。

この定義によれば、$A_4$ の中で $\xi_2$ の位数は 2、$\xi_4$ の位数は 1、$\xi_1,\xi_3$ の位数は 4 なので原始的である。$A_3$ の中では $\xi_3$ を除いて $\xi_1,\xi_2$ がともに原始的である。

次の課題は単位根の中でどれが原始的かを見分け、原始単位根の性質を論じることである。

定理6 単位根 $\xi$ の位数を $d$ とする。

$\xi$ は $n$ 次単位根となるのは $d\mid n$ のときに限る。
整数 $k$ に対して $\xi^k$ の位数もまた $d$ となるのは $k$ と $d$ が互いに素（$(k,d)=1$）のときに限る。

証明

(1) $\xi^n=1$ とすると明らかに $n \geqslant d$。$n=qd+r$（$0 \leqslant r < d$）とすると $\xi^d=1$ より

$$1 = \xi^n = \xi^{qd}\xi^r = (\xi^d)^q \xi^r = \xi^r,$$

また $d$ は $\xi^d=1$ が成立する最小正整数なので $r=0$、すなわち $d\mid n$。逆は明らかである。

(2) $\xi^k$ の位数を $d'$ とする。$(\xi^k)^d = \xi^{kd} = (\xi^d)^k = 1$ なので $\xi^k$ の位数 $d'$ は $d$ を整除する。

$d' < d$ とすると定理6 の (1) より $\xi^{kd'}=1$ であるから $d\mid kd'$。$(k,d)=1$ であり $d\mid d'$ が得られ、これは $d' < d$ と矛盾するので $d'=d$。

$\xi^k$ の位数が $d'$ であることから $(\xi^k)^{d'} = \xi^{kd'} = 1$ なので $d \mid kd'$。$(k,d) = c > 1$ とすると $k=k'c$、$d=d''c$ が存在して $d'' < d$ かつ

$$(\xi^k)^{d''} = \xi^{k'd''c} = (\xi^d)^{k'} = 1,$$

しかし $d'' < d$ であり $\xi^k$ の位数が $d$ であることに矛盾する。したがって $(k,d)=1$。

定理7 $\xi$ が原始的な $n$ 次単位根であれば $A_n$ の中のすべての $n$ 次単位根は $\xi$ のべき乗で生成される：

$$A_n = \{\xi^0, \xi, \xi^2, \cdots, \xi^{n-1}\}.$$

逆に $A_n$ の中の単位根がすべて一つの $n$ 次単位根 $\xi$ によって上述の方法で生成されるならば $\xi$ は必ず原始的である。

証明

明らかに $n$ 個の数 $\xi^0, \xi, \xi^2, \cdots, \xi^{n-1}$ はすべて $n$ 次単位根であり、それらが互いに異なることを示せばよい。もし

$$\xi^i = \xi^j \quad (0 \leqslant i < j \leqslant n-1)$$

とすると $\xi^{j-i}=1$ となるが $0 < j-i < n$ であり $\xi$ が $n$ 次原始単位根であることに矛盾する。

$A_n$ が $n$ 次単位根 $\xi$ によって上述のように生成される $A_n = \{\xi^0,\xi,\xi^2,\cdots,\xi^{n-1}\}$ とすると $\xi$ の位数を $d$ とする。$d < n$ とすれば $\xi$ の任意のべき乗 $\xi^i$ は $(\xi^i)^d = (\xi^d)^i = 1$ を満たすのですべて $d$ 次単位根となる。つまり $A_n \subset A_d$ であるが $A_d$ には $d$ 個の元しかないので矛盾する。

方程式 $z^n-1=0$ について、

$$\xi = \xi_1 = \cos\frac{2\pi}{n} + \mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{n}$$

が原始的であることは $(1,n)=1$ からわかる。したがって $n$ 次単位根の集合は

$$A_n = \{\xi^0, \xi, \xi^2, \cdots, \xi^{n-1}\}$$

と表せる。この集合の中で定理7 より $(k,n)=1$ のとき $\xi^k$ が原始的である。したがって $A_n$ の中の原始的な単位根の個数は $1,2,\cdots,n$ の中で $n$ と互いに素な数の個数、すなわち Euler 関数 $\varphi(n)$（第 2 講定義せ.15 参照）に等しい。原始的な $n$ 次単位根の集合は

$$B_n = \{\xi^k \mid 1 \leqslant k \leqslant n,\; (k,n)=1\}.$$

各原始的 $n$ 次単位根 $\xi^k \in B_n$ はべき乗によってすべての $n$ 次単位根を生成できる：

$$A_n = \{1, \xi^k, \xi^{2k}, \cdots, \xi^{(n-1)k}\},\quad \xi^k \in B_n.$$

方程式 $z^n-1=0$ の $n$ 個の単位根からなる集合 $A_n$ にはさらに次の性質がある。

複素数の乗法演算のもとで閉じている。すなわち $\xi_i,\xi_j \in A_n$ に対して
$$\xi_i \xi_j = \xi_k \in A_n,\quad k:\; (i+j) \equiv k \pmod{n};$$
単位元 $\xi_n = 1 \in A_n$ があり、かつ任意の $\xi_i \in A_n$ に逆元
$$\xi_i^{-1} = \xi_{n-i} \in A_n$$
がある。

したがって乗法群をなす。また $A_n$ のすべての元は一つの原始的な $n$ 次単位根で生成できる。例えば $\xi = \xi_1$ をとると

$$A_n = \{\xi^0, \xi, \xi^2, \cdots, \xi^{n-1}\}.$$

このような群を巡回群という。

$A_n$ の中の数は複素平面中の単位円上の $n$ 個の等分点に対応し、$\xi_n=1$ は実軸上にある。幾何的に見ると実軸から出発して単位円上を毎回 $\dfrac{2\pi}{n}$ だけ回転すれば全等分点を遍歴できる。原始的な $\xi^k$ については $(k,n)=1$ なので毎回 $\dfrac{2k\pi}{n}$ だけ回転しても全等分点を遍歴できる。

さらに方程式 $z^n-1=0$ を考えると

$$x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1)$$

から 1 以外の $n$ 次単位根 $\xi,\xi^2,\cdots,\xi^{n-1}$ が方程式

$$x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + 1 = 0$$

を満たすことが見て取れる。この方程式を円分方程式と呼ぶ。例えば 1 の三次複素根

$$\begin{aligned}\xi &= \cos\frac{2\pi}{3} + \mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}(-1+\mathrm{i}\sqrt{3}),\\ \xi^2 &= \cos\frac{4\pi}{3} + \mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{3} = \frac{1}{2}(-1-\mathrm{i}\sqrt{3})\end{aligned}$$

は円分方程式 $x^2+x+1=0$ の根である。同様に 1 の五次根のうち 1 以外の四つはすべて円分方程式

$$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$$

を満たす。したがって定規とコンパスで正五角形を作図するためにはこの方程式を解かなければならない。そのためにいくつかの簡単な代数変換を行う。まず方程式の両辺を $x^2$ で割って

$$x^2 + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$

さらに変換

$$z = x + \frac{1}{x}$$

を行うと方程式は二次方程式

$$z^2 + z - 1 = 0$$

に帰着される。この二つの根は

$$z_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2},\quad z_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$$

さらに $x+\dfrac{1}{x}$ をそれぞれ解くと 1 の五次複素根が得られる。

複素変数の関数

前の節（複素数の幾何的意味と Euler の公式）で実際に実変数の関数 $f(x)=\mathrm{e}^x$ を複素変数の関数 $f(z)=\mathrm{e}^z$ に換えたが、$z$ を純虚数 $z=\mathrm{i}\theta$ に制限しただけである。では初等関数の定義域をすべて複素数のある範囲に換えることはできるか。以下ではいくつかの具体的な例を通じて、事情はそれほど単純ではなく、類似の複素変数関数を定義できても関数の性質も変化していることが見えてくる。

一般に複素変数関数とは複素数のある範囲 $D \subset \mathbb{C}$ から複素数への写像

$$f:\; D \subset \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C},$$

あるいは

$$f:\; z \in D \longmapsto w \in \mathbb{C}$$

と書き $w=f(z)$ と記す。各 $z \in D$ に対して唯一の複素数 $w$ が対応するとき写像（または関数）は一価であるという。複数の $w$ が対応するとき写像は多価であるという。

任意の二つの $z_1,z_2 \in D$ に対して二つの異なる $w_1,w_2$ が対応するとき写像は $D$ 上一対一または単葉であるという。

以下ではいくつかの具体的な例を論じる。

1° べき関数

まず $w = z^n$（$n$ は正整数）を論じる。

$n$ 個の同じ複素数 $z$ の積はやはり複素数なので一価関数である。$z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$、$w = \rho(\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi)$ とすると

$$\rho = r^n,\quad \varphi = n\theta.$$

上式から二つの絶対値が等しい複素数 $z_1,z_2$ が同一の点に写像される（すなわち $z_1^n = z_2^n$）のは、それらの偏角の差が $\dfrac{2\pi}{n}$ の整数倍のときに限る。したがって写像 $w=z^n$ が単葉であるための必要十分条件は定義域 $D$ の中の任意の二点 $z_1,z_2$ が

$$|z_1|=|z_2|,\quad \arg z_1 - \arg z_2 = \frac{2k\pi}{n},\; k\neq 0 \text{ は整数}$$

を満たさないことである。例えば扇形領域

$$D = \left\{z \;\middle|\; 0 < \arg z < \frac{2\pi}{n}\right\}$$

は写像 $w=z^n$ の単葉性を保証できる。この扇形領域は写像 $w=z^n$ によって

$$\widetilde{D} = \{w \mid 0 < \arg w < 2\pi\}$$

すなわち正の実軸を取り除いた複素平面に写像される。

次に

$$w = \sqrt[n]{z} = z^{\frac{1}{n}}$$

を論じる。問題を説明するために $w = \sqrt{z} = z^{\frac{1}{2}}$ のみを考える。

$z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ とすると

$$z \longrightarrow z^{\frac{1}{2}} = \begin{cases} r^{\frac{1}{2}}\!\left(\cos\dfrac{\theta}{2} + \mathrm{i}\sin\dfrac{\theta}{2}\right) = w,\\[6pt] r^{\frac{1}{2}}\!\left(\cos\dfrac{\theta+2\pi}{2} + \mathrm{i}\sin\dfrac{\theta+2\pi}{2}\right) = -w. \end{cases}$$

したがって $w = z^{\frac{1}{2}}$ は多価関数である。

さらに分析すると $z$ が原点を含まない閉曲線を一周して元に戻るとき $z$ の偏角は変化しないが、$z$ が原点を含む閉曲線を一周して元に戻るとき偏角は $\theta \to \theta + 2\pi$ に変化することが分かる。このとき $w=z^{\frac{1}{2}}$ の関数値は次のように変化する：

$$w = r^{\frac{1}{2}}\!\left(\cos\frac{\theta}{2} + \mathrm{i}\sin\frac{\theta}{2}\right) \longrightarrow r^{\frac{1}{2}}\!\left(\cos\frac{\theta+2\pi}{2} + \mathrm{i}\sin\frac{\theta+2\pi}{2}\right) = -r^{\frac{1}{2}}\!\left(\cos\frac{\theta}{2} + \mathrm{i}\sin\frac{\theta}{2}\right) = -w.$$

多価性を避けるために関数 $w=z^{\frac{1}{2}}$ の定義域のある複素平面 $\mathbb{C}$ を原点 $0$ から無限遠点 $\infty$ へ一つの切り込みを入れる。例えば $x$ 軸の正の半軸に沿って切り込むと、切り込んだ後の定義域内では原点を含む閉曲線を形成できないため多価性も避けられる。あるいは $z$ の偏角の取値範囲を $0 \leqslant \theta < 2\pi$ に制限すれば関数の一価性を保証できる。

最後に

$$w = z^{-1} = \frac{1}{z}$$

を論じる。明らかにこの写像の定義域は $z \neq 0$ である。$|w| = \dfrac{1}{|z|}$ なので写像は $z$ が属する複素平面上の単位円の内部（0 以外）を $w$ が属する平面の単位円板の外部の点に写像する。閉じた複素平面で考えれば写像は 0 を $\infty$ に写像する。

2° 指数関数

ここでは証明なしに指数関数

$$w = \mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x \mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x(\cos y + \mathrm{i}\sin y)$$

を導入する。これは次を満たす：

$$\mathrm{e}^{z_1}\mathrm{e}^{z_2} = \mathrm{e}^{z_1+z_2},$$

かつ $2\pi\mathrm{i}$ を周期とする周期関数

$$\mathrm{e}^{z+2\pi\mathrm{i}} = \mathrm{e}^z.$$

通常と同様に対数関数を指数関数の逆関数として定義する。方程式

$$\mathrm{e}^w = z \quad (z \neq 0)$$

を満たす関数 $w = f(z)$ を対数関数という。$w = u+\mathrm{i}v$、$z = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ とすると

$$\mathrm{e}^{u+\mathrm{i}v} = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},$$

したがって $u = \ln r$、$v = \theta$ となり

$$w = \ln|z| + \mathrm{i}\,\mathrm{Arg}\,z.$$

$\mathrm{Arg}\,z$ は多価関数なので対数関数 $w=f(z)$ も多価関数であり、かつ任意の二つの値の差は $2\pi\mathrm{i}$ の整数倍である。$\mathrm{Arg}\,z$ の主値 $\arg z$ を規定すれば対数関数は一価関数となり

$$\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z.$$

3° 三角関数

指数関数を利用して次のように複素変数 $z$ の余弦関数と正弦関数を定義する：

$$\cos z = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2},\quad \sin z = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}.$$

他の三角関数は実変数三角関数と同様の方法で定義できる。指数関数の性質から読者は容易にこのように定義された複素変数の三角関数が周期性・奇偶性・積和差化積の公式を満たすことを確認できる。

4° 双曲線関数

複素変数三角関数の定義と類似して、次の複素変数の双曲線関数を定義できる：

$$\cosh z = \frac{\mathrm{e}^z+\mathrm{e}^{-z}}{2},\quad \sinh z = \frac{\mathrm{e}^z-\mathrm{e}^{-z}}{2}.$$

それらも実変数の双曲線関数が満たす性質を持つ。

5° Joukowski（ジューコフスキー，1847--1921）関数

$$w = f(z) = \frac{1}{2}\!\left(z + \frac{1}{z}\right) \quad (z \neq 0).$$

まずこの関数の単葉性を論じる。二つの $z_1 \neq z_2$ が $f(z_1)=f(z_2)$ を満たすとすると

$$(z_1-z_2)\!\left(1-\frac{1}{z_1 z_2}\right) = 0,$$

したがって $z_1 z_2 = 1$ が導かれる。したがって任意の領域 $D$ 内で写像 $w=f(z)$ が単葉写像であるための必要十分条件は $D$ の中に $z_1 z_2=1$ を満たす二点 $z_1,z_2$ が存在しないことである。例えば単位円の内部 $|z|<1$、またはその外部 $|z|>1$ が単葉性を保持する領域である。

$z = r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$、$w = u+\mathrm{i}v$ とすると写像は

$$u = \frac{1}{2}\!\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta,\quad v = \frac{1}{2}\!\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta$$

と表される。

$r = r_0 < 1$ を固定すると $|z|=r_0$ は単位円内部の一つの同心円を与える。

$$a = \left(r_0+\frac{1}{r_0}\right),\quad b = \left(\frac{1}{r_0}-r_0\right)$$

とすると

$$u = a\cos\theta,\quad v = -b\sin\theta,\quad\text{すなわち}\quad \frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2} = 1$$

は $w$ が属する複素平面上の一つの楕円である。$z$ が属する複素平面上の点が $|z|=r_0$ に沿って $\theta=0$ から出発して反時計回りに動くとき、$w$ が属する複素平面上の対応する点は $w=a$ から出発して時計回りに動く。

$r_0 \to 1$ のとき $w$ が属する平面上の楕円は $u$ 軸上の線分 $[-1,1]$ に縮退する。$r_0 \to 0$ のとき楕円は無限に広がるため Joukowski 関数は 0 を $\infty$ に写像する。

$\theta = \theta_0$ を固定すると $z=r(\cos\theta_0+\mathrm{i}\sin\theta_0)$（$0 < r < 1$）は $z$ が属する平面上の一つの半直線であり、Joukowski 関数の写像により $w$ が属する複素平面上の双曲線

$$\frac{u^2}{\cos^2\theta_0} - \frac{v^2}{\sin^2\theta_0} = 1$$

に対応する。

以上の例から複素変数関数は実変数関数と多くの類似点を持つが、多価性のような問題もあることが分かる。複素変数の関数論（複素解析）は複素変数関数の理論を体系的に研究する学問分野であり、大学で「複素関数論」または「複素解析」として開講される。

練習問題

$\sqrt{5+\mathrm{i}12}$ を計算せよ。

ヒント： $\sqrt{5+\mathrm{i}12}=x+\mathrm{i}y$ とおいて二乗後に実部と虚部を比較する。
複素数の演算規則に基づいて証明せよ：任意の二つの複素数 $z_1,z_2$ に対して
$$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leqslant |z_1-z_2|$$
が成立し、等号成立の必要十分条件を求めよ。
四つの任意の複素数 $z_1,z_2,z_3,z_4$ に対して証明せよ：この四数が同一の円上または同一の直線上にあるのは $\dfrac{z_4-z_1}{z_4-z_2}$ と $\dfrac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$ が同じ偏角を持つとき、あるいは言い換えれば
$$\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}\Bigg/\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$$
が実数のときに限る。
複素数の極座標表示を用いて余弦定理
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta$$
を証明せよ。ここで $a,b,c$ はそれぞれ三角形の三辺の長さ、$\theta$ は辺 $c$ の対角である。
すべての 12 次原始単位根を列挙せよ。
$z$ を任意の複素数とする。任意の正整数 $n$ に対して $z^n + \dfrac{1}{z^n}$ は $w = z + \dfrac{1}{z}$ の $n$ 次多項式で表せることを示せ。
Joukowski 関数
$$f(z) = \frac{1}{2}\!\left(z+\frac{1}{z}\right)$$
が $|z|=1$ のとき $f(z) \in [-1,1]$ であることを証明せよ。
次の関数の最大値を求めよ：
$$f(x) = \sqrt{x^4-3x^2-6x+13} - \sqrt{x^4-x^2+1}.$$

ヒント： まず根号内の二つの式を平方和の形に
$$f(x) = \sqrt{(x-3)^2+(x^2-2)^2} - \sqrt{x^2+(x^2-1)^2}$$
と表し、$z_1=(x-3)+\mathrm{i}(x^2-2)$、$z_2=x+\mathrm{i}(x^2-1)$ とおく。こうして
$$f(x) = |z_1|-|z_2| \leqslant |z_1-z_2| = \sqrt{10}.$$
第 2 問の結果を再利用する。
$D$ が鋭角三角形 $\triangle ABC$ の内部の一点で $\angle ADB = \angle ACB + 90^\circ$ かつ
$$AC \cdot BD = AD \cdot BC$$
を満たすとき、
$$\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}$$
の値を求めよ。

ヒント： 点 $A,B,D$ に対応する複素数をそれぞれ $z_A,z_B,z_D$ とすると、問題の条件は
$$|z_A||z_B-z_D| = |z_B||z_A-z_D|$$
であり、求めるべき値は $\dfrac{|z_A-z_B||z_D|}{|z_A||z_B-z_D|}$ である。
$$(z_B-z_D) = (z_A-z_D)r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta),$$
ここで $r = \dfrac{|z_B-z_D|}{|z_A-z_D|}$、$\theta = \angle ACB + 90°$ を利用し、さらに
$$\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta = \mathrm{i}(\cos\angle ACB + \mathrm{i}\sin\angle ACB) = \frac{\mathrm{i}}{|z_B|}z_B$$
であることに注意すれば結果が導かれる。

解答

1. $(x + \mathrm{i}y)^2 = x^2 - y^2 + 2xy\,\mathrm{i} = 5 + 12\mathrm{i}$ より $x^2 - y^2 = 5$、$xy = 6$。$(3 + 2\mathrm{i})^2 = 9 - 4 + 12\mathrm{i} = 5 + 12\mathrm{i}$ だから、答えは $\pm(3 + 2\mathrm{i})$。

2. 三角不等式 $|z_1| = |(z_1 - z_2) + z_2| \le |z_1 - z_2| + |z_2|$ より $|z_1| - |z_2| \le |z_1 - z_2|$。$z_1, z_2$ を入れ替えて $|z_2| - |z_1| \le |z_1 - z_2|$ も得られるので、$\bigl||z_1| - |z_2|\bigr| \le |z_1 - z_2|$。等号は、$z_1$ と $z_2$ の一方が他方の $0$ 以上の実数倍であるとき（原点から見て同じ向きにあるとき）に限る。

3. $\dfrac{z_4 - z_1}{z_4 - z_2}$ の偏角は、$z_4$ から見て $z_2$ の方向から $z_1$ の方向へ測った角、すなわち線分 $z_1z_2$ を $z_4$ から見込む角（向きつき）を表す。同様に $\dfrac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$ の偏角は $z_3$ から見込む角である。円周角の定理とその逆により、4 点が同一円周上または同一直線上にあるのは、この二つの向きつき角が $\pi$ の整数倍を除いて等しいとき、すなわち二つの偏角の差が $\pi$ の整数倍のときである。これは比 $\dfrac{z_4-z_1}{z_4-z_2}\Big/\dfrac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$ の偏角が $0$ または $\pi$、すなわち実数であることと同値である。

4. 頂点の一つを原点に、そこから出る二辺を $z_1 = a$、$z_2 = b(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ とする（$\theta$ はその頂点の角で、第三辺 $c$ の対角）。$c = |z_1 - z_2|$ だから

$$c^2 = (a - b\cos\theta)^2 + (b\sin\theta)^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta.$$

5. $\xi = \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/12} = \cos\dfrac{\pi}{6} + \mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}$ は原始的である。原始的な $12$ 次単位根は $\xi^k$（$k = 1, 5, 7, 11$、$12$ と互いに素）で、$\varphi(12) = 4$ 個ある。

$$\xi = \frac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{2},\quad \xi^5 = \frac{-\sqrt{3}+\mathrm{i}}{2},\quad \xi^7 = \frac{-\sqrt{3}-\mathrm{i}}{2},\quad \xi^{11} = \frac{\sqrt{3}-\mathrm{i}}{2}.$$

6. $P_n(w)$ を $z^n + z^{-n}$ を $w = z + z^{-1}$ で表した式とする。$P_0 = 2$、$P_1 = w$。$(z + z^{-1})(z^n + z^{-n}) = (z^{n+1} + z^{-(n+1)}) + (z^{n-1} + z^{-(n-1)})$ より

$$P_{n+1}(w) = w\,P_n(w) - P_{n-1}(w).$$

これより帰納的に $P_n$ は $w$ の $n$ 次多項式（最高次係数 $1$）であることが分かる。

7. $|z| = 1$ のとき $z = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta$、$\dfrac{1}{z} = \bar{z} = \cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta$。よって $f(z) = \dfrac{1}{2}(z + \bar{z}) = \cos\theta \in [-1, 1]$。

8. ヒントのとおり $z_1 = (x-3) + \mathrm{i}(x^2-2)$、$z_2 = x + \mathrm{i}(x^2-1)$ とおくと $f(x) = |z_1| - |z_2|$。第 2 問より $f(x) \le |z_1 - z_2| = |-3 - \mathrm{i}| = \sqrt{10}$。等号は $z_2 = tz_1$（$0 \le t \le 1$）のとき成り立つ。$\mathrm{Im}(z_2\bar{z}_1) = -3x^2 + x + 3 = 0$ より $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{37}}{6}$。このうち $t = \dfrac{x}{x-3} \in [0,1]$ となるのは $x = \dfrac{1 - \sqrt{37}}{6}$（$t \approx 0.22$）である。したがって最大値は $\sqrt{10}$（$x = \dfrac{1-\sqrt{37}}{6}$ のとき）。

9. 値は $\sqrt{2}$。$C$ を原点、$A$ を正の実軸上にとり、$z_A = |z_A|$ とする。$z_B = |z_B|(\cos\gamma + \mathrm{i}\sin\gamma)$（$\gamma = \angle ACB$）。条件 $AC\cdot BD = AD\cdot BC$ は $|z_A||z_B - z_D| = |z_A - z_D||z_B|$ で、$r = \dfrac{|z_B - z_D|}{|z_A - z_D|} = \dfrac{|z_B|}{|z_A|}$。$\angle ADB = \gamma + 90^\circ$ より（ヒントの式）

$$\frac{z_B - z_D}{z_A - z_D} = r\,\mathrm{i}\,\frac{z_B}{|z_B|} = \frac{\mathrm{i}\,z_B}{z_A}.$$

これを $z_D$ について解くと $z_D = \dfrac{(\mathrm{i}-1)z_Az_B}{\mathrm{i}z_B - z_A}$、さらに $z_B - z_D = \dfrac{\mathrm{i}\,z_B(z_B - z_A)}{\mathrm{i}z_B - z_A}$。したがって

$$\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD} = \frac{|z_A - z_B|\,|z_D|}{|z_A|\,|z_B - z_D|} = \frac{|z_A - z_B|\cdot\sqrt{2}\,|z_A||z_B|}{|z_A|\cdot|z_B||z_B - z_A|} = \sqrt{2}.$$

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