実数

実数についての認識は、無理数さえも含めて、古代ギリシャ時代に遡ることができるが、実数系を真に構築したのは 19 世紀の出来事である。微積分学の厳密化に伴い極限理論が次第に確立され、実数論も日々完成に近づいた。主に Weierstrass（1815--1897）、Cantor（1845--1918）、Dedekind（1831--1916）の業績が最も代表的である。このページでは Dedekind の方法を重点的に紹介する。その他の方法で構成された実数系は Dedekind の方法で構成された実数系と本質的に同値である。

有理数

自然数は一つの集合（例えば羊の群れ、りんごのかご）の元の個数を数える過程から抽象化されたものである。しかし実際の生活では、数を数えるだけでなく長さ・面積・時間・重さなどの計量も必要である。計量の問題を数を数える問題に変換するためには、まず計量の単位（メートル、時間、キログラムなど）を選び、次に計量される量がその単位をいくつ含むかを数える。例えばある距離がちょうど 15 メートルであれば、その距離は 15 メートルである。

しかし往々にして、単位の個数がちょうど合わないことがある。15 メートルと少し、16 メートルには届かない、という状況である。その場合、元の単位を $n$ 等分してより小さな単位を導入し、計量を続ける。例えば 1 メートルを 100 センチメートルに、1 時間を 60 分に、1 ポンドを 16 オンスに分ける、といったものである。こうして、1 メートル 39 センチメートル、1 時間 18 分、1 ポンド 12 オンスなどの結果が得られる。

元の単位を 1 とすると、さらに等分した単位は $\dfrac{1}{n}$ となり、ある量がちょうど小単位 $\dfrac{1}{n}$ の $m$ 倍であれば、その計量を $\dfrac{m}{n}$ で表す。明らかに $n$ 個の $\dfrac{1}{n}$ で 1 となる。

これらの量の間でも加法ができる。長さを例にとると、長さの単位を 3 等分し、ある距離がちょうど 2 個の $\dfrac{1}{3}$ すなわち $\dfrac{2}{3}$ であり、別の距離がちょうど 3 個の $\dfrac{1}{4}$ すなわち $\dfrac{3}{4}$ であるとする。この二つの距離を加えるには、長さの単位を 12 等分（3 と 4 の公倍数）して、$\dfrac{1}{3}$ を 4 等分、$\dfrac{1}{4}$ を 3 等分すれば、第一の距離は 9 個の $\dfrac{1}{12}$、第二の距離は 8 個の $\dfrac{1}{12}$ であり、両者を加えると 17 個の $\dfrac{1}{12}$ となる。12 個の $\dfrac{1}{12}$ が 1 単位に等しいから、合計距離は 1 単位とさらに 5 個の $\dfrac{1}{12}$ となる。数式で表すと

これらの量を抽象化（すなわち尺・畝・時間・斤などの具体的な単位を捨象し、数を数えるときに羊かりんごかを問わないのと同様に）すると、二つの正整数の比、すなわち分数 $\dfrac{m}{n}$（$m,n$ は正整数、$m$ は 0 でよいが $n\neq 0$）が生まれる。

上述の実際の計量から抽象化した正整数の比をすべての整数の比にまで拡張すると、分数で表される有理数が生まれる：

ここで $\mathbb{Z}$ はすべての整数の集合を表し、これはすべての整数（$n=1$ の分数）を含んでいる。

有理数の算術 有理数の間の加法と減法を定義する：

および乗法：

これらの演算が整数と同様に交換律・結合律・乗法の加法に対する分配律を満たすことは容易に確認できる。整数と異なる点は、有理数の間では除法も行えることである。すなわち任意の零でない有理数 $\dfrac{m}{n}\in\mathbb{Q}$（$m\neq 0$）は必ず逆元を持つ：

こうして二つの有理数の除法は

有理数の順序 有理数の間の順序（大小）は次のように定義される：

こうして任意の二つの有理数 $a,b\in\mathbb{Q}$ について、$a<b$、$a=b$、$a>b$ の三種類のうちちょうど一つが成立し、かつ $a<b$、$b<c$ ならば $a<c$ となる。

有理数の順序と加法・乗法は整合的である。すなわち $a<b$ ならば任意の $c\in\mathbb{Q}$ に対して $a+c<b+c$ が成立し、$a>0$、$b>0$ ならば $ab>0$ が成立する。

有理数の幾何的解釈 直線 $L$ 上の一点を原点すなわち点 0 とし、任意の一点を 1 とする（通常 0 の右側にとる）。二点間の距離を計量の尺度・単位とすると（これで数直線ができる）、原点から出発して単位長さで正方向に順次計量すると自然数に対応する数直線上の点が得られ、同様に原点の左側の計量で負の整数に対応する点が得られる。

有理数に対応する点を記述するためには単位を等分する必要がある。幾何的にはこうする：数直線上の 1 に対応する点を $A$ とし、原点を通り数直線と異なる直線 $L'$ を引く。任意の自然数 $n>1$ に対して $L'$ 上の $A',B'$ をとり $OA'=n$、$OB'=1$ とし、$B'$ を通り線分 $\overline{AA'}$ に平行な直線を引いて数直線との交点を $B$ とすると $OB=\dfrac{1}{n}$ となる。

$OB$ を新たな尺度として順次 $m$ 回計量することで $\dfrac{m}{n}$ を得る。したがって、数直線上にすべての有理数を表すことができる。有理数に対応する数直線上の点を「有理点」と呼び、以降は有理数と有理点を区別しないこととする。

図1

有理数の稠密性 有理数は「至る所稠密」である。すなわち、任意の二つの有理数 $a$ と $b$ の間には、必ず無数に多くの有理数が存在する。

$a<b$ としても一般性を失わない。明らかに有理数 $c=\dfrac{a+b}{2}$ は $a<c<b$ を満たす。$a$ と $c$、および $c$ と $b$ に対してこの操作を無限に繰り返すことで、$a$ と $b$ の間に無数の有理数が存在することがわかる。

要するに、有理数を導入したことで、実際の問題において長さ・面積・時間・重さなどの計量がより精密になったのである。

数学的に見れば、有理数は整数のすべての算術的性質を保持しており、加法と乗法に対する交換律・結合律・分配律を満たすと同時に、乗法の逆演算も持つ（言い換えれば、零でない任意の有理数は逆元を持つ）。これらの規則を満たす集合を体という。さらに有理数が持つ順序の性質を加味して、有理数の集合は順序体と呼ばれる。

はるか古代ギリシャ時代において、人々はすでに有理数のこれらの性質を把握していた。ピタゴラス（紀元前 580 年頃〜紀元前 500 年頃）を代表とする学派は、数（すなわち整数と整数の比、つまり有理数）は計算や計量に用いられるだけでなく、すべての音階も数で表すことができると考えた。彼らは数を哲学の次元にまで引き上げ、「数は万物の源である」「数は万物の本質である」と提唱し、$1, 2, 3, \ldots$ などの数に「霊性」を与えたのである。

公約可能性と公約不可能性

二つの線分 $a$ と $b$ があるとする。もし $b$ の長さが $a$ の長さの正の整数 $m$ 倍であれば、$a$ を $b$ の単位として用いることができる。すなわち $b=ma$ である。もう一つの場合は、$b$ が $a$ の整数倍ではないときである。このとき、正の整数 $n$ が存在して、$a$ を $n$ 等分した後、$b$ がちょうどその各等分の長さ $\dfrac{a}{n}$ の $m$ 倍になる場合である：

このように、$a$ と $b$ には共通の単位線分 $\dfrac{a}{n}$ が存在し、その $n$ 倍が $a$ に等しく、$m$ 倍が $b$ に等しくなる。このとき $a$ と $b$ は公約可能であるという。そうでない場合は公約不可能であるという。

明らかに、公約可能性には推移律が成り立つ。すなわちもし $a$ と $b$ が公約可能であり、$b$ と $c$ が公約可能であれば、$a$ と $c$ も公約可能である。

$a$ を単位線分（$a=1$）として選ぶと、それと公約可能な線分は数直線上の有理点に対応する。

その後、人々は単位線分と公約不可能な線分を発見した。それが 1 辺の長さが 1 の正方形の対角線である。単位正方形の対角線の長さを $x$ とすると、ピタゴラスの定理より

となる。

図2

定理1 単位正方形の対角線は単位線分と公約不可能である。すなわち、$x^{2}=2$ を満たす有理数は存在しない。

ゆえに、単位正方形の対角線の長さと 1 の比は二つの整数の比にはならず、すなわち有理数ではない。こうして、元来完璧であり万物を代表し、霊性を持つと考えられていた有理数の家族に、突如として「悪魔」が紛れ込んだのである。こうした 1 と公約不可能な（当然、すべての有理数とも公約不可能な）数を無理数と呼ぶ。

ついでに言えば、「有理数」という名称の起源は古代ギリシャにあり、英語の語根は「ratio」、すなわち「比」を意味し、古代ギリシャ人の定義と同じである。後に「rational number」という言葉が現れ、それを翻訳して「有理数」とし、有理数でない（整数の比として表せない）数「irrational number」を単に「無理数」と翻訳した。実際には本来の意味において「理がある（道理にかなう）」や「理がない」こととは全く関係がない。

定理1 はまた、有理数が稠密であるにもかかわらず、有理数の並びは「連続」ではないこと、すなわち有理数の間には「隙間」が存在することを示している。例えば、有理数を次の二つの組に分ける。

このとき、これら二つの有理数の組の間には有理数は存在しない。さらに次のことがわかる。

定理2 上述の二つの有理数の組において、$X$ は $\mathbb{Q}$ の中に最大数を持たず、$Y$ は $\mathbb{Q}$ の中に最小数を持たない。

有理数の不連続性、すなわち有理数の間に隙間が存在するという欠陥こそが、補うべきものである。そしてこれらの隙間を埋めるのが無理数であり、こうして初めて微分積分学を強固な数の基礎の上に構築することができる。同時に、有理数の隙間の「数」は有理数よりもはるかに多いことも見ていくことになる。

実数

有理数系を、連続で隙間のない数系へと拡張しようとする際、自然な考え方としては、有理数系の長所を受け継ぎつつ、いくつかの要請を追加し、具体的な方法を通じて拡張の目的を達成することである。それはちょうど整数から有理数へと拡張したときと同様である。そのため、まず有理数の性質を以下の定義と概念へと抽象化する。

定義3（順序集合） 集合 $S$ を考える。$S$ 上の順序とは「$<$」と記される関係であり、以下を満たす：

1. 任意の $x, y \in S$ に対して、$x < y$、$x = y$、$y < x$ のうちただ一つだけが成り立つ。
2. 任意の $x, y, z \in S$ に対して、もし $x < y$ かつ $y < z$ ならば $x < z$ である。

「順序」が定義された集合を順序集合と呼ぶ。

$x < y$ の代わりに $y > x$ を用いることもあり、$x < y$ または $x = y$（すなわち $y < x$ の否定）を $x \le y$ で表す。明らかに有理数集合 $\mathbb{Q}$ は順序集合である。

任意の順序集合に対して、以下の定義がある。

定義4（有界） $S$ を順序集合、$E \subset S$ とする。もしある $\beta \in S$ が存在して、任意の $x \in E$ に対して $x \le \beta$ となるとき、$E$ は上に有界であるといい、$\beta$ を $E$ の上界と呼ぶ。同様に下界も定義され、上界と下界の両方を持つ集合 $E$ を有界な集合と呼ぶ。

定義5（上限・下限） $S$ を順序集合、$E \subset S$ を上に有界な集合とする。もし $\alpha \in S$ が以下を満たすならば：

1. $\alpha$ は $E$ の上界である；
2. 任意の $\gamma < \alpha$ に対して、$\gamma$ は $E$ の上界ではない。

このとき $\alpha$ を $E$ の上限（最小上界）と呼び、$\alpha = \sup E$ と記す。(2) から容易にわかるように、上限が存在すればそれは必ず一意である。同様に $E$ の下限（最大下界）を定義し、$\inf E$ と記す。

定義6（上限原理） $S$ を順序集合とする。もし $S$ の空でない上に有界な任意の部分集合 $E$ が $S$ において必ず上限を持つ、すなわち $\sup E$ が存在して $\sup E \in S$ となるならば、$S$ は上限原理を満たすという。同様に、$S$ の空でない下に有界な任意の部分集合 $E$ が $S$ において必ず下限を持つならば、$S$ は下限原理を満たすという。上限原理と下限原理の両方を満たす順序集合 $S$ は、上下限原理を満たすと呼ばれる。

上の例は $\mathbb{Q}$ が上下限原理を満たさないことを示している。次の定理は、上限原理を満たすことと下限原理を満たすことが本質的に同値であることを示している。

定理7 $S$ を順序集合とする。このとき、$S$ が上限原理を満たすことと $S$ が下限原理を満たすことは同値である。

定義8（完備性の公理） $S$ を順序集合とする。もし $S$ の任意の二つの空でない部分集合 $X$ と $Y$ が、すべての $x \in X$、$y \in Y$ に対して $x \le y$ を満たすならば、必ずある $c \in S$ が存在して

が成り立つとき、$S$ は完備性の公理（または連続性の公理）を満たすという。

すでに見たように、$\mathbb{Q}$ の二つの部分集合 $X$、$Y$（例3.2 の通り）の間には有理数が存在しないため、有理数集合は完備性の公理を満たさない。

定理9 順序集合 $S$ が完備性の公理を満たすことと $S$ が上下限原理を満たすことは同値である。

定義10（体） $F$ を集合とし、加法と乗法の演算を持つとする。これらの演算が以下の公理を満たすとき、$F$ を体と呼ぶ。

加法の公理：任意の $x, y \in F$ に対して $x + y \in F$ が定義され、加法演算は以下を満たす。

1. 零元が存在する：$0$ が存在し、$x + 0 = 0 + x = x$。
2. 負元が存在する：各 $x \in F$ に対して $-x \in F$ が存在し、$x + (-x) = -x + x = 0$。
3. 交換律：$x + y = y + x$。
4. 結合律：$x + (y + z) = (x + y) + z$。

乗法の公理：任意の $x, y \in F$ に対して $x \cdot y \in F$ が定義され、以下を満たす。

1. 単位元が存在する：$1$ が存在し、$1 \cdot x = x \cdot 1 = x$。
2. 逆元が存在する：任意の $x \in F$（$x \ne 0$）に対して $x^{-1} \in F$ が存在し、$x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1$。
3. 交換律：$x \cdot y = y \cdot x$。
4. 結合律：$x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$。
5. 分配律：$(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$。

定義11（順序体） $F$ が順序集合でありかつ体であるとする。もしさらに以下の条件を満たすとき、$F$ は順序体と呼ばれる。

1. $x, y, z \in F$ かつ $y < z$ のとき、$x + y < x + z$ である。
2. $x, y \in F$ かつ $x > 0$、$y > 0$ のとき、$xy > 0$ である。

ここまでで、集合の順序・体・上下限原理およびそれと同値な完備性の公理を抽象的に定義した。これら三つの側面の概念を総称して実数の公理と呼ぶ。

有理数は順序体をなすものの、上下限原理または同値である完備性の公理を満たさない。目的は、上述の公理を満たし、かつ有理数集合 $\mathbb{Q}$ を部分集合として含むような集合を構成することである。

次の定理は本テーマの核心であり、実数の公理を満たす集合が存在することを示している。

定理12 実数の公理を満たす集合が存在する。これを実数体と呼び $\mathbb{R}$ と記す。その元を実数と呼び、有理数体を含んでいる（$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$）。

定理12 の証明の過程は、実際には実数体を構成する過程であり、最後の節で与える。実数体にはさらに二つの特徴がある。第一に、幾何学的な視点から、実数は数直線上の点と一対一に対応する。したがって「実数」と「点」は区別せず、数は点の座標であるとする。整数・有理数・無理数に対応する点はそれぞれ「整数点」「有理点」「無理点」と呼ばれる。第二に、$\mathbb{R}$ の濃度は $\mathbb{Q}$ の濃度よりも大きい。したがって $\mathbb{R}$ は非可算である（ここでは証明は省略する）。

定理13 実数体 $\mathbb{R}$ は以下を満たす。

1. アルキメデスの性質：$x, y \in \mathbb{R}$ かつ $x > 0$ ならば、必ずある最小の整数 $n$ が存在して
   $$(n - 1)x \le y < nx$$
   が成り立つ。もし $y > 0$ ならば $n > 0$ である。もし $x = 1$ ならば、任意の実数 $y$ に対して必ず整数 $n$ が存在して $n - 1 \le y < n$ となる。
2. 有理数の稠密性：$x, y \in \mathbb{R}$ かつ $x < y$ ならば、必ずある $c \in \mathbb{Q}$ が存在して
   $$x < c < y$$
   となる。

実数の絶対値は以下のように定義される。任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して、

絶対値は以下の性質を満たす。

1. $|a| \ge 0$（等号成立は $a=0$ のときのみ。正値性）
2. $|a-b| = |b-a|$（対称性）
3. $|a+b| \le |a| + |b|$（三角不等式）

したがって、二つの数の差の絶対値は、数直線上の対応する点の間の距離を与える。

十進展開

以下では、よく知られている実数の十進展開（小数展開）と、本節で定義した実数との関係について議論する。前節の定義に基づき、完備性の公理またはそれと同値な上下限原理を満たす実数体が存在すると仮定する。

$x > 0$ を実数とする。アルキメデスの性質より、非負整数 $a_0 \ge 0$ が存在して

となる。

$0 \le 10(x - a_0) < 10$ に対して再度アルキメデスの性質を用いると、非負整数 $a_1$ が存在して

となる。明らかに $0 \le a_1 \le 9$ である。

0 から 9 までの非負整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ が存在して

が $n$ に対して成り立つとすると、

に対してアルキメデスの性質を用いることで、非負整数 $0 \le a_{n+1} \le 9$ が存在して、上の不等式が $n+1$ に対しても成り立つことがわかる。

$E$ を上述の手順で得られた数

からなる集合とする。このとき $x$ は $E$ の $\mathbb{R}$ における上界であるため、$E$ は $\mathbb{R}$ において上限を持つ。以下では $x = \sup E$ であることを示す。

もしそうでないとすると、$x' = \sup E < x$ とおく。すると

となるが、これは不可能である。したがって $x = \sup E$ であり、これは次のような小数形式で表すことができる：

ここで $0 \le a_1, a_2, \dots, a_n, \dots \le 9$ である。

幾何学的に見ると直観的である。$a_0 \le x < a_0 + 1$ を選んだ後、数直線上で $a_0$ と $a_0+1$ を端点とする区間 $[a_0, a_0+1]$ を 10 等分し、

を満たす一つの等分区間

を選択する。このように繰り返していくことで十進展開の表現が得られる。当然ながら、この幾何学的な説明は厳密なものではなく、直観的な提示にとどめる。

十進展開において $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ はすべて 0 から 9 までの非負整数であり、これにより次の三つの可能性が生じる。

$1^\circ$ 有限小数

$a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ の中に有限個の非ゼロの項しかない場合、一般性を失わずに $j > m$ に対して $a_j = 0$ とおける。このとき

となり、これを有限小数と呼ぶ。通分により、有限小数は分数形式で表すことができる。ここで分母は $q = 10^m$ となり、分子を $p$ として公約数がある場合は既約分数に簡約化できる：

しかし、すべての有理数が有限小数で表せるわけではない。例えば $\dfrac{5}{11}$ は有限小数として表すことはできない。なぜなら、仮に $\dfrac{5}{11} = \dfrac{b}{10^n}$ とおくと $5 \cdot 10^n = 11 \cdot b$ となり、11 が $10^n$ を割り切ることになるが、これは明らかに不可能だからである。

$2^\circ$ 無限循環小数

$a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ の中に無限に循環する状況が現れる場合、すなわちある項 $a_n$ から始まり、正の整数 $k$ が存在して $a_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{n+k}$ が繰り返し現れる場合である。添え字に関して合同式の表現を用いれば、$n+l$ と $n+j$ が $k$ を法として合同であるとき、対応する非負整数が等しくなる：

このような小数を無限循環小数と呼び、次のように記す：

このとき

ゆえに

これを解くと

したがって、無限循環小数も有理数である。

逆に、任意の有理数は有限小数でなければ必ず無限循環小数である。例えば $\dfrac{5}{11}=0.\dot{4}\dot{5}$ である。

一般に、$\dfrac{q}{p}$ を有理数とし、$0 < q < p$、$(q,p)=1$ とする。このとき正の整数 $r$ が存在して $10^{r-1}q < p \le 10^r q$ となる。簡単のため $r=1$、すなわち $10q > p$ としても一般性を失わない。したがって整数 $a_1$（$0 \le a_1 \le 9$）が存在して

となる。ゆえに

上の手順を繰り返すと

となり、したがって

これを続けていくと $0 \le a_n \le 9$、$0 \le q_n < p$ が得られる。もしある $q_n=0$ となれば手順は終了し、$\dfrac{q}{p}$ は有限小数となる。もしすべての $q_n \neq 0$ ならば、$0$ から $p$ までの有限個の整数のうち必ず等しいものが現れるため、無限循環小数となる。

$3^\circ$ 無限不循環小数

前の二つの状況以外の場合、すなわち $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ の中で非ゼロの項が有限個に留まることもなく、かつ循環も現れない場合である。これを無限不循環小数と呼び、これが無理数である。

Dedekind（デデキント）の切断

Dedekind は有理数体の「切断（分割）」を用いて実数を定義し、そのように定義された実数が実数の公理を満たし、かつ $\mathbb{Q}$ を部分集合として含むことを証明した。すなわちこれが定理12 の構成的証明である。具体的な考え方は以下の通りである。

定義14 有理数体 $\mathbb{Q}$ を二つの空でなく互いに交わらない部分集合 $A$ と $A'$ に分割する。すなわち

であり、任意の $a \in A$ と $a' \in A'$ に対して $a < a'$ を満たすとする。集合 $A$ を切断の下組、集合 $A'$ を切断の上組と呼び、このような切断を $A|A'$ と記す。

上記の定義のもとで、$A$ と $A'$ は $\mathbb{Q}$ において互いに補集合をなす：$A = \mathbb{Q} \setminus A'$、$A' = \mathbb{Q} \setminus A$。数直線上から見ると、一つの切断は実際には数直線上のすべての有理点を左側（下組）と右側（上組）に分けることである。したがって切断には次の三つの可能性が生じる。

1. 下組 $A$ 内に最大数が存在せず、上組 $A'$ 内に最小数 $r$ が存在する場合：
   $$A = \{a \mid a \in \mathbb{Q},\; a < r\}, \quad A' = \{a' \mid a' \in \mathbb{Q},\; a' \ge r\}.$$
2. 下組 $A$ 内に最大数 $r$ が存在し、上組 $A'$ 内に最小数が存在しない場合：
   $$A = \{a \mid a \in \mathbb{Q},\; a \le r\}, \quad A' = \{a' \mid a' \in \mathbb{Q},\; a' > r\}.$$
3. 下組 $A$ 内に最大数が存在せず、上組 $A'$ 内にも最小数が存在しない場合。例えば：
   $$A = \{a \mid a \in \mathbb{Q},\; a < 0 \text{ または } a > 0 \text{ かつ } a^2 < 2\},$$
   $$A' = \{a' \mid a' \in \mathbb{Q},\; a' > 0 \text{ かつ } a'^2 > 2\}.$$

切断は有理数体の切断であるため、ここで言う「数」とは当然有理数のことを指す。上述の三種類の切断のうち、前の二つは有理数によって生成されるものであり、このような切断を有理切断と呼ぶ。一意に確定させるため、有理数によって確定する有理切断を考えるときは、常にその数を上組に入れるものとする。このように取り決めれば第 (1) と第 (3) の切断のみを考慮すればよく、いずれの場合も切断の下組内には最大数が存在しないことになる。

では、第四の可能性、すなわち切断 $A|A'$ において下組に最大数が存在し、かつ上組にも最小数が存在するような場合はあるだろうか。そのような切断は存在しない。背理法を用いて説明できる。仮に $\mathbb{Q}$ の切断 $A|A'$ が存在し、$A$ に最大数 $a^* \in A$ があり、$A'$ に最小数 $b^* \in A'$ があると仮定する。切断の定義から $a^* < b^*$ であるが、有理数 $c = \dfrac{a^* + b^*}{2}$ は $a^* < c < b^*$ を満たす。つまり $c$ は下組の最大数よりも大きく上組の最小数よりも小さいため、下組 $A$ にも上組 $A'$ にも属さないことになる。これは $A$ と $A'$ が $\mathbb{Q}$ の切断であることに矛盾する。

Dedekind の考え方は、一つの切断が一つの「数」に対応するというものである。切断が有理切断であるとき、対応する数は有理数である。例えば $0$、$1$、および一般的な有理数 $r$ はそれぞれ以下の切断に対応する：

切断が有理切断でない場合、すなわち上述の (3) の形式の切断である場合、それは新しい「数」に対応し、これを「無理数」と呼ぶ。したがって、すべての切断からなる集合を実数集合として定義する。

定理15 以下の集合は実数の公理を満たし、したがって一つの実数モデルを与える：

以下では上述の集合が順序体であり、かつ上下限原理を満たすことを逐一検証していく。ここでは次の四点のみを検証する。一つ目は二つの切断の間の順序をどのように定義するか、二つ目は二つの切断の加法をどう定義するか、三つ目は二つの切断の乗法をどう定義するか、四つ目はこれらの切断から形成される集合が上下限原理を満たすことである。

$1^\circ$ 切断の順序

$\alpha = A_\alpha|A_\alpha'$、$\beta = A_\beta|A_\beta'$ を二つの切断とする。切断の定義より $A_\alpha \subset A_\beta$ または $A_\beta \subset A_\alpha$ のいずれかが成り立つ。したがって、

• $A_\alpha \subsetneq A_\beta$（すなわち $A_\beta' \subsetneq A_\alpha'$）のとき、$\alpha < \beta$ と定義する。
• $A_\beta \subsetneq A_\alpha$（すなわち $A_\alpha' \subsetneq A_\beta'$）のとき、$\alpha > \beta$ と定義する。
• $A_\alpha = A_\beta$（すなわち $A_\alpha' = A_\beta'$）のとき、$\alpha = \beta$ と定義する。

このようにして切断間の順序（大小）を定義した。この定義が順序の公理を満たすことは検証可能である。特に、一つの切断 $\alpha = A_\alpha|A_\alpha'$ について、もし $A_\alpha$ の中に正の有理数が存在するならば $A_0 \subsetneq A_\alpha$ となるため $\alpha > 0$ であり、逆にそうでない場合は $\alpha \le 0$ である。

$2^\circ$ 切断の加法

性質16 $\alpha = A_\alpha|A_\alpha'$、$\beta = A_\beta|A_\beta'$ を二つの切断とする。

とおくと、これらは一つの切断 $\gamma = A_\gamma|A_\gamma'$ を与える。この切断を $\gamma = \alpha + \beta$ と定義する。

このようにして二つの切断の間の加法を定義した。この加法が交換律と結合律を満たすことは検証可能である。以下の二点についてはさらに明確にしておく必要がある。

性質17 任意の $\alpha = A_\alpha|A_\alpha'$ に対して $\alpha + 0 = \alpha$ が成り立つ。ここで $0 = A_0|A_0'$、$A_0 = \{a \mid a < 0\}$、$A_0' = \{a' \mid a' \ge 0\}$ である。

性質18 任意の切断 $\alpha = A_\alpha|A_\alpha'$ に対して、

と定義すると、$\beta = A_\beta|A_\beta'$ は一つの切断であり、かつ $\beta = -\alpha$、すなわち $\beta$ は $\alpha$ の負元である。

$3^\circ$ 切断の乗法

$\alpha = A_\alpha|A_\alpha'$、$\beta = A_\beta|A_\beta'$ を二つの切断とする。両者の間の乗法を定義するために、以下の四つの場合に分ける：(1) $\alpha \ge 0, \beta \ge 0$；(2) $\alpha < 0, \beta < 0$；(3) $\alpha \ge 0, \beta < 0$；(4) $\alpha < 0, \beta \ge 0$。

性質19 $\alpha \ge 0$、$\beta \ge 0$ とする。

とおくと、$\gamma = A_\gamma|A_\gamma'$ は $\mathbb{Q}$ の一つの切断である。これを $\gamma = \alpha \cdot \beta$ と記す。

他の場合における切断の乗法を定義するために、まず切断の「絶対値」を定義する。

定義20 切断 $\alpha = A_\alpha|A_\alpha'$ の絶対値 $|\alpha|$ は次のように定義される：

定義21 $\alpha$、$\beta$ を任意の二つの切断とする。それらの積 $\alpha\beta$ は次のように定義される：

$|\alpha| \ge 0$ かつ $|\beta| \ge 0$ であるため、$|\alpha|$ と $|\beta|$ の乗法は性質19 ですでに与えられている。

最後に、零でない切断の逆元について議論する。

性質22 もし切断 $\alpha > 0$ ならば、

と定義すると、$\beta = A_\beta|A_\beta'$ は一つの切断であり、かつ $\alpha\beta = 1$ を満たす。$\beta$ を $\alpha$ の逆元と呼び $\beta = \alpha^{-1}$ と記す。もし $\alpha < 0$ ならば、その逆元は $-(-\alpha)^{-1}$ と定義する。

ここまでで、切断の集合上で順序・加法・乗法の演算を定義し、各種規則を満たすことを確認した。

$4^\circ$ 完備性

最後に次を検証する。

性質23 定理15 で与えられた集合 $\mathbb{R} = \{A|A' \mid \mathbb{Q} \text{ のすべての切断}\}$ は上下限原理を満たす。

Dedekind は実際に「数とは何か？数とはいかにあるべきか？」という哲学的な問題に触れている。彼の思想の中では、実数の公理を満たす集合は、その元が何であろうと、どのように構成されていようと、すべて一つの実数モデルなのである。

練習問題

1. $n$ が完全平方数でない正の整数のとき、$\sqrt{n}$ が無理数であることを証明せよ。
2. (1) $r, s$ を有理数とする。もし $r + s\sqrt{2} = 0$ ならば $r = s = 0$ であることを示せ。
   (2) 次の集合
   $$\mathbb{F} = \{r + s\sqrt{2} \mid r, s \in \mathbb{Q}\}$$
   が体であることを検証せよ。
3. $\dfrac{1}{3}$ は有限小数として表せないことを証明せよ。
4. $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ は有理数ではないことを証明せよ。
5. $E$ を区間 $[0, 1]$ 内のすべての有理数の集合とする。$E$ 内のすべての有理数を中心とする開区間を取り除くことによって、これらの開区間の長さの総和が $\dfrac{1}{2}$ を超えないようにできることを証明せよ。
   
   ヒント： $E$ は可算であるため $E$ 内の有理数は $E = \{r_1, r_2, \dots\}$ と並べることができる。各 $r_n$ を中心として一つの開区間を取り除き、開区間の長さを制御し、無限和の方法を利用して開区間の合計の長さの上界を求める。
6. $\xi$ を無理数とする。次の集合
   $$S = \{m + n\xi \mid m, n \in \mathbb{Z}\}$$
   が $\mathbb{R}$ において稠密であることを証明せよ。
   
   ヒント： 集合 $S$ は次の性質を持つ：$l(m + n\xi) \in S$、$(m + n\xi) \pm (m' + n'\xi) \in S$（ここで $l \in \mathbb{Z}$）。$S$ が $\mathbb{R}$ で稠密であることを証明するには、任意の実数 $a, b$ に対して必ず $S$ の元が両者の間に存在することを示せばよい。一般性を失わずに $0 < a < b$ とする。任意の正の整数 $i$ に対して $n_i = -[i\xi]$ とおく。ここで $[x]$ は実数の整数部分を表す（例：$[\pi]=3$、$[2.14]=2$）。すると $x_i = n_i + i\xi \in S$ であり、$x_i$ は実際には $i\xi$ の小数部分を表しているため $0 < x_i < 1$ となる。正の整数 $k$ を $\dfrac{1}{k} < b - a$ を満たすように選ぶと、$S$ の中の $k+1$ 個の数 $x_1, x_2, \dots, x_{k+1}$ のうち少なくとも一対の $x_i, x_j$ が $0 < x_j - x_i < \dfrac{1}{k}$ を満たす。次にアルキメデスの性質（定理13 参照）を利用して $n(x_j - x_i) > a$ を満たす最小の正の整数 $n$ が存在することを示し、その後 $n(x_j - x_i) < b$ を説明し、最後に $S$ の性質を利用することで証明が完了する。