変分法の基礎：汎関数・変分・オイラー方程式

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変分法は、関数を一つ決めるごとに一つの数が決まるような量（汎関数）の極値を、関数そのものを動かして求める方法である。最短経路、最速降下曲線、シャボン膜の形、そして力学の運動方程式（ハミルトンの原理）まで、同じ枠組みで扱える。このページでは、汎関数と変分の定義から出発して、オイラー・ラグランジュ方程式を導き、その応用までを順に見ていく。

1. 汎関数の概念

通常の関数は数から数への写像である。

$$\varphi: (x_1, x_2, \dots, x_n) \to \varphi(x_1, x_2, \dots, x_n)$$

独立変数は一つまたは複数の実数（または複素数）である。

汎関数は通常の関数の概念を拡張したものであり、独立変数は関数または関数の集合である。

$$\Phi: \{f(x)\} \to \mathbb{R}$$

汎関数の独立変数を引数（関数引数）と呼ぶ。すなわち、一つまたは複数の関数曲線（多変数関数の場合は曲面） $y=f(x)$ が与えられたとき、汎関数はそれを一意の数値 $\Phi[f] \in \mathbb{R}$ に対応させる。

図1 汎関数の定義域と値域

汎関数は多変数関数に例えることができる。

$$y = \varphi(x_1, x_2, \dots, x_n) \sim \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$$

$$\Phi[f] \sim \{f(z) \mid z \in f\text{の定義域}\}$$

ここでの $f(z)$ は前述の多変数関数の独立変数 $x_i$ に相当し、$f \leftrightarrow x, z \leftrightarrow i$ である。汎関数 $\Phi[f]$ は無限個の変数 $f(x_1), f(x_2), \dots$ を独立変数とする関数とみなせる。

例 1 $g(x) \triangleq x^2+2x$ は関数である。一方、$\Phi: C_{(-\infty, +\infty)} \to \mathbb{R}, f \to \Phi[f] \triangleq f(1)$ は汎関数である。例えば、$\Phi[\sin] = \sin 1 \approx 0.84$、$\Phi[\exp] = e^1 \approx 2.718$、$\Phi[g] = 3$ となる。

例 2 汎関数を $\Phi: C_{[0,2]} \to \mathbb{R}, f \to \Phi[f] \triangleq \int_0^2 f(x)dx$ と定義する。もし2つの曲線 $\varphi_1(x) \triangleq e^{-x}$、$\varphi_2(x) \triangleq e^{-x^2}x \sin x$ があれば、$\Phi[\varphi_1] = 1 - e^{-2} \approx 0.864665$、$\Phi[\varphi_2] \approx 0.337979$ となる。

例 3 以下の汎関数は2つの引数を持つ。

$$\Phi[f, g] \triangleq \int_0^{+\infty} f(x)g(x)e^{-x}dx$$

例 4 合成関数も汎関数とみなすことができる。

$$\Phi[f] \triangleq F(x, f(x))$$

ここで $x$ は汎関数の定義式におけるパラメータである。

例 5 $x, y$ 平面上に曲線群 $y(x)$ があり、その長さが

$$L = \int_{C}ds = \int_{x_{0}}^{x_{1}}\sqrt{1+{y^{\prime}}^{2}}dx$$

であるとする。明らかに、$y(x)$ が異なれば $L$ も異なる。すなわち、$L$ の数値は関数 $y(x)$ 全体に依存して変化する。$L$ と関数 $y(x)$ の間のこのような依存関係を汎関数関係と呼ぶ。類似の例として、閉曲線に囲まれた面積、平面曲線が固定軸の周りを回転してできる回転体の体積や表面積などがある。

（ある関数集合内の）任意の関数 $y(x)$ に対して、別の数 $J[y]$ が対応するとき、$J[y]$ を $y(x)$ の汎関数と呼ぶ。ここでの関数集合、すなわち汎関数の定義域は、通常 $y(x)$ が連続な2階導関数を持ち、かつ一定の境界条件を満たすことを要求する。このような $y(x)$ を許容関数と呼ぶ。

汎関数は合成関数とは異なる。例えば、$g=g(f(x))$ は $x$ に値を与えれば、依然として一つの $g$ の値が対応する。汎関数は、ある区間上の関数 $y(x)$ を与えて初めて一つの汎関数値 $J[y]$ を得ることができる。同一区間上で定義された関数が異なれば、汎関数値も当然異なる。汎関数値 $J[y]$ と関数 $y(x)$ の間の依存関係を強調するため、関数 $y(x)$ を引数関数と呼ぶこともある。

汎関数の形式は多種多様であるが、ここでは積分

$$J[y] = \int_{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,y^{\prime})dx$$

で定義される汎関数に限定する。ここで $F$ はその引数 $x, y(x)$ および $y^{\prime}(x)$ の既知の関数であり、連続な2階偏導関数を持つとする。引数関数が2変数関数 $u(x,y)$ の場合、汎関数は

$$J[u] = \iint_{S}F(x,y,u,u_{x},u_{y})dxdy$$

となる。ここで $u_{x}\equiv\partial u/\partial x, u_{y}\equiv\partial u/\partial y$ である。さらに多くの独立変数を持つ多変数関数に対しても、同様の定義ができる。

例 (最速降下曲線問題) 重力作用の下、質点が $(x_{0},y_{0})$ 点から平面曲線 $y(x)$ に沿って摩擦なしに $(x_{1},y_{1})$ 点まで自由落下するとき、必要な時間は $y(x)$ の汎関数となる。

$$T = \int_{(x_{0},y_{0})}^{(x_{1},y_{1})}\frac{ds}{\sqrt{2g(y_{0}-y)}} = \int_{x_{0}}^{x_{1}}\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2g(y_{0}-y)}}dx$$

弦の横振動問題

弦の一部、十分に短い微小部分を分離して考えると、その部分の運動エネルギー $E_{k}$ とポテンシャルエネルギー $E_{p}$ はそれぞれ

$$E_{k} = \frac{1}{2}\rho\Delta x\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}$$

$$E_{p} = \frac{1}{2}T\Delta x\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}$$

となる。ここで $u(x,t)$ は弦の横方向の変位、$\rho$ は弦の線密度、$T$ は張力である。このように、弦の作用量も変位 $u(x,t)$ の汎関数となる。

$$S = \int_{t_{0}}^{t_{1}}dt\int_{x_{0}}^{x_{1}}\frac{1}{2}\left[\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}-T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right]dx$$

ここで、

$$L = \int_{x_{0}}^{x_{1}}\frac{1}{2}\left[\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}-T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right]dx$$

をラグランジアンと呼び、被積分関数

$$\frac{1}{2}\left[\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}-T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right]$$

をラグランジアン密度と呼ぶ。

2. 汎関数の連続性

汎関数 $\Phi[f]$ について、与えられた関数 $f(x)$ に対し、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在し、条件

$$|g(x) - f(x)| < \delta, \quad |g'(x) - f'(x)| < \delta, \dots, \quad |g^{(n)}(x) - f^{(n)}(x)| < \delta$$

を満たす任意の関数 $g(x)$ について、

$$|\Phi[g] - \Phi[f]| < \varepsilon$$

が成り立つとき、汎関数 $\Phi[f]$ は $f$ において $n$ 階近接の連続であるという。

3. 変分

多変数関数 $\varphi(x_1, \dots, x_n)$ に類推すると、その独立変数の微分は $dx_j = x_j' - x_j$ である。汎関数 $\Phi[f]$ の独立変数について、引数の変分は関数形状の無限小の変化として定義される。

$$\delta f = f' - f, \quad \delta f(x) = f'(x) - f(x) = \varepsilon \eta(x)$$

ここで $\varepsilon$ は無限小量、$\eta(x)$ は連続有界関数である。

線形主部を残すと、汎関数の変分は次のようになる。

$$\delta \Phi[f] \triangleq \Phi[f + \delta f] - \Phi[f] \approx \left. \frac{\partial \Phi[f + \varepsilon \eta]}{\partial \varepsilon} \right|_{\varepsilon=0} \varepsilon$$

例 6 $\Phi[f] \triangleq f(x_0)$ のとき、$\delta\Phi[f] = (f + \delta f)(x_0) - f(x_0) = \delta f(x_0)$ である。

例 7 $\delta \sin x = 0, \delta x = 0$ である。

例 8 仮想変位。位置ベクトル $\vec{r}_i[q_1, \dots, q_s] \triangleq \vec{r}_i(t, q_1(t), \dots, q_s(t))$ に対して、変分は $\delta \vec{r}_i = \vec{r}_i(t, q(t) + \delta q(t)) - \vec{r}_i(t, q(t)) = \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_\alpha} \delta q_\alpha(t)$ となる。

例 9 $\Phi[f,g] \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)g(x)e^{-x^2}dx$ のとき、変分は $\delta\Phi[f,g] = \Phi[f+\delta f, g+\delta g] - \Phi[f,g] = \int_{-\infty}^{+\infty} \{ \delta f(x)g(x) + f(x)\delta g(x) \} e^{-x^2} dx$ となる。

4. Lagrangeの変分基本補題

関数集合 $A \triangleq \{\eta \mid \eta \in C_{[x_1, x_2]}^{(2)}, \eta(x_1) = \eta(x_2) = 0\}$ を考える。

補題 1 (Lagrangeの変分基本補題) 連続関数 $G(x) \in C_{[x_1, x_2]}$ が、任意の $\eta \in A$ に対して

$$\int_{x_1}^{x_2} G(x)\eta(x)dx = 0$$

を満たすならば、必ず以下が成り立つ。

$$G(x) = 0, \quad \forall x \in [x_1, x_2]$$

証明

背理法で証明する。ある $a \in (x_1, x_2)$ が存在し、$G(a) = \alpha \neq 0$ であると仮定する。一般性を失うことなく $G(a) > 0$ とする。$G(x)$ は連続であるため、$a$ のある近傍 $[a-d, a+d] \subseteq [x_1, x_2]$ が存在し、その区間内のすべての $x$ に対して $G(x) \geq \frac{\alpha}{2} > 0$ となる。ここで $\eta(x)$ を次のように構成する。

$$\eta(x) = \begin{cases} 0, & x \notin [a-d, a+d], \\ (x - (a-d))^3 (a+d - x)^3, & x \in [a-d, a+d]. \end{cases}$$

すると、

$$\int_{x_1}^{x_2} G(x)\eta(x)dx = \int_{a-d}^{a+d} G(x)\eta(x)dx \geq \frac{\alpha}{2} \int_{a-d}^{a+d} \eta(x)dx > 0$$

となる。これは $\int_{x_1}^{x_2} G(x)\eta(x)dx = 0$ と矛盾する。したがって、任意の $a \in (x_1, x_2)$ に対して $G(a) = 0$ である。さらに関数の連続性から、端点においても $G(x_1) = G(x_2) = 0$ が成り立つ。

注：定理中で $\eta(x)$ が満たすべき条件は「連続」「1階連続的微分可能」「3階連続的微分可能」などに変更しても成立する。

5. 汎関数微分

多変数関数の偏微分は次のように定義される。

$$\frac{\partial \varphi}{\partial x_j} \triangleq \lim_{\Delta x_j \to 0} \frac{\varphi(\dots, x_j + \Delta x_j, \dots) - \varphi(\dots, x_j, \dots)}{\Delta x_j}$$

同様に、汎関数の導関数（汎関数微分）は次のように定義される。

$$\delta \Phi[f] \equiv \int \frac{\delta \Phi}{\delta f(x)} \delta f(x) dx$$

例 10 $\Phi[f] \triangleq f(x_0)$ のとき、$\delta \Phi[f] = \delta f(x_0)$ である。一方、定義より $\delta \Phi[f] = \int \frac{\delta f(x_0)}{\delta f(x)} \delta f(x) dx$ であり、$\delta f(x_0) = \int \delta(x - x_0) \delta f(x) dx$ と表せるため、$\int \left\{ \frac{\delta f(x_0)}{\delta f(x)} - \delta(x - x_0) \right\} \delta f(x) dx = 0$ が得られる。Lagrangeの変分基本補題を用いると、$\frac{\delta f(x_0)}{\delta f(x)} = \delta(x - x_0)$ すなわち $\frac{\delta f(x)}{\delta f(y)} = \delta(x - y)$ となる。

例 11 $\Phi[f] \triangleq f'(a)$ のとき、$\delta \Phi = \delta f'(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - a) \delta f'(x) dx = -\int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(x - a) \delta f(x) dx$ となる。よって、$\frac{\delta f'(x)}{\delta f(y)} = \frac{d}{dx}\delta(x - y)$ である。

例 12 $\Phi[f,g] = \int_0^\infty e^{-x} f(x) g(x) dx$ のとき、$\frac{\delta \Phi}{\delta f(x)} = \int_0^\infty e^{-y} \left\{ \frac{\delta f(y)}{\delta f(x)} g(y) + f(y) \frac{\delta g(y)}{\delta f(x)} \right\} dy = \int_0^\infty e^{-y} \delta(y - x) g(y) dy = e^{-x} g(x) \theta(x)$ となる。同様に、$\frac{\delta \Phi}{\delta g(x)} = e^{-x} f(x) \theta(x)$ である。ここで $\theta(x)$ はヘヴィサイドの階段関数である。

例 13 $\Phi[f] \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} \{ f(x^2 + 1) + 2f(x) \} dx$ のとき、$\frac{\delta \Phi}{\delta f(y)} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left\{ \delta(x^2 + 1 - y) + 2\delta(x - y) \right\} dx$ となる。ディラックのデルタ関数の性質を用いると、これは $\frac{1}{\sqrt{y-1}}\theta(y-1) + 2$ となる。

6. 変分の演算規則

微分の法則と同様に、以下の規則が証明できる。線形性、Leibniz則、連鎖律はそれぞれ以下のように表される。

$$\delta(c_1 \Phi_1 + c_2 \Phi_2) = c_1 \delta \Phi_1 + c_2 \delta \Phi_2$$

$$\delta(\Phi_1 \Phi_2) = \delta \Phi_1 \cdot \Phi_2 + \Phi_1 \cdot \delta \Phi_2$$

$$\delta(F(\Phi_1, \dots, \Phi_n)) = \sum_j \frac{\partial F}{\partial \Phi_j} \delta \Phi_j$$

また、以下の演算規則も成立する。第一に、変分演算は線形演算である（$\delta(\alpha F+\beta G) = \alpha\delta F+\beta\delta G$）。第二に、関数の積の変分法則は $\delta(FG) = (\delta F)G+F(\delta G)$ である。第三に、変分演算と微分演算は順序を交換できる（$\delta y^{\prime} = (\delta y)^{\prime}$）。第四に、変分演算と積分も順序を交換できる（$\delta\int_{a}^{b}F dx = \int_{a}^{b}(\delta F)dx$）。第五に、合成関数の変分演算の法則は微分演算と完全に同じであり、$\delta F(x,y,y^{\prime}) = \frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\delta y^{\prime}$ である。ここで注意すべきは、$F$ の変化を引き起こす原因は関数の変分であり、独立変数 $x$ ではないということである。

7. 変分は微分・積分と順序交換可能

定義より、

$$\delta \frac{d}{dx} f(x) \equiv \delta \left\{ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x + \varepsilon) - f(x)}{\varepsilon} \right\} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\delta f(x + \varepsilon) - \delta f(x)}{\varepsilon} = \frac{d}{dx} \delta f(x)$$

すなわち $\left[\frac{d}{dx}, \delta\right] = 0$ である。解析力学においては、これを同時変分または単純変分と呼ぶ。積分についても、

$$\delta \int_a^b F(x, f, f') dx = \int_a^b \delta F(x, f, f') dx$$

すなわち $\left[\int_a^b dx, \delta\right] = 0$ である。

8. 汎関数の高階変分

高階微分の計算規則と同じである。2階変分を例にとると、

$$\Phi[f, g] \triangleq \int_a^b F(f, g, x) dx$$

$$\delta \Phi = \int_a^b \left\{ \frac{\partial F}{\partial f} \delta f(x) + \frac{\partial F}{\partial g} \delta g(x) \right\} dx$$

$$\delta^2 \Phi = \int_a^b \left\{ \frac{\partial^2 F}{\partial f^2} (\delta f(x))^2 + 2\frac{\partial^2 F}{\partial f \partial g} \delta f(x) \delta g(x) + \frac{\partial^2 F}{\partial g^2} (\delta g(x))^2 \right\} dx$$

9. 汎関数の積分（経路積分）

経路積分 $\int \Phi[f] [\mathcal{D}f]$（これは汎関数微分の逆問題である反変分ではないことに注意）。積分変数の定義区間を $n+1$ 等分し、$n$ 個の変数 $y_1 = f(x_1), \dots, y_n = f(x_n)$ についての通常の多重積分に変換し、最後に $n \to \infty$ の極限をとる。例えば、量子力学におけるプロパゲーターは次のように表される。

$$K(q_b, t_b; q_a, t_a) = \int \exp \left\{ \frac{i}{\hbar} \int_{t_a}^{t_b} L(t, q, \dot{q}) dt \right\} [\mathcal{D}q]$$

10. 可動境界の変分

曲線の形状だけでなく、積分の境界も変動する場合、すなわち汎関数の引数に関数と積分境界の実パラメータが含まれる場合を考える。

$$\Phi[f, x_1, x_2] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, f(x), f'(x)) dx$$

このときの変分は次のようになる。

$$\delta \Phi = \Phi[f + \delta f, x_1 + \Delta x_1, x_2 + \Delta x_2] - \Phi[f, x_1, x_2]$$

$$= (F \Delta x) \Big|_{x_1}^{x_2} + \int_{x_1}^{x_2} \delta F(x, f(x), f'(x)) dx$$

11. 全変分

独立変数の微小変化 $x \to \tilde{x} = x + \Delta x(x)$ と、関数の形状の変化 $f \to \tilde{f} = f + \delta f$ が同時に起こる場合を考える。汎関数引数の全変分は次のように定義される。

$$\Delta f(x) \triangleq (f + \delta f)(x + \Delta x) - f(x)$$

線形項を残すと、

$$\Delta f(x) = \delta f(x) + f'(x)\Delta x$$

となる。また、関数の全変分は次のようになる。

$$\Delta F(x, f(x), f'(x)) = \delta F(x, f, f') + \frac{dF(x, f, f')}{dx}\Delta x$$

積分型汎関数の全変分は、関数形状の変化による寄与と、積分ダミー変数の変化 $x \to x + \Delta x(x)$ による積分境界の変化による寄与の2つの部分から成る。

$$\Delta \Phi \triangleq \Phi[\tilde{f}, x_1 + \Delta x_1, x_2 + \Delta x_2] - \Phi[f, x_1, x_2]$$

$$= (F \Delta x) \Big|_{x_1}^{x_2} + \int_{x_1}^{x_2} \delta F dx$$

結果として、以下の2つの推論が得られる。

推論 1 全変分と積分は順序交換できない。

$$\left[ \Delta, \int_{x_1}^{x_2} dx \right] F = \int_{x_1}^{x_2} d(\Delta x) F$$

推論 2 全変分と微分も順序交換できない。

$$\left[ \frac{d}{dx}, \Delta \right] F = \frac{d(\Delta x)}{dx} \frac{dF}{dx}$$

12. 汎関数の極値

汎関数 $\Phi[f]$ が停留値をとる条件は $\delta\Phi=0$ である。$\delta\Phi[f]=0$ を満たす曲線 $y=f(x)$ を極値関数または極値曲線（the extremal function, the minimizer）と呼ぶ。汎関数が極値をとる条件は $\delta\Phi=0$ に加えて、$\delta^2\Phi < 0$（極大値をとる場合）または $\delta^2\Phi > 0$（極小値をとる場合）を満たす必要がある。

汎関数の極値の概念は関数の極値と非常に似ている。例えば、「引数関数が $y(x)$ のとき、汎関数 $J[y]$ が極小値をとる」とは、極値関数 $y(x)$ およびその近傍にある引数関数 $y(x)+\delta y(x)$ に対して、常に

$$J[y+\delta y] \ge J[y]$$

が成り立つことを意味する。 $y(x)+\delta y(x)$ が $y(x)$ の近傍にあるとは、それらの差 $\delta y(x)$（関数 $y(x)$ の変分と呼ぶ）が $|\delta y(x)|<\epsilon$ を満たし、場合によっては $|(\delta y)^{\prime}(x)|<\epsilon$ も満たすことを指す。

13. オイラー・ラグランジュ方程式

考察する引数関数はすべて固定された2つの端点 $y(x_{0})=a, y(x_{1})=b$ を通ると仮定する。すなわち

$$\delta y(x_{0}) = 0, \quad \delta y(x_{1}) = 0$$

である。ここで、汎関数の差分を考える。

$$J[y+\delta y]-J[y] = \int_{x_{0}}^{x_{1}}[F(x,y+\delta y,y^{\prime}+(\delta y)^{\prime})-F(x,y,y^{\prime})]dx$$

関数の変分 $\delta y(x)$ が十分に小さいとき、極値関数の近傍で被積分関数をテイラー展開すると、

$$J[y+\delta y]-J[y] = \delta J[y]+\frac{1}{2!}\delta^{2}J[y]+\cdots$$

となる。ここで

$$\delta J[y] \equiv \int_{x_{0}}^{x_{1}}\left[\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}(\delta y)^{\prime}\right]dx$$

$$\delta^{2}J[y] \equiv \int_{x_{0}}^{x_{1}}\left[\frac{\partial^{2}F}{\partial y^{2}}(\delta y)^{2}+2\frac{\partial^{2}F}{\partial y\partial y^{\prime}}\delta y(\delta y)^{\prime}+\frac{\partial^{2}F}{{\partial y^{\prime}}^{2}}(\delta y)^{\prime 2}\right]dx$$

はそれぞれ汎関数 $J[y]$ の1階変分と2階変分である。汎関数 $J[y]$ が極値をとるための必要条件は1階変分が0になることである。

$$\delta J[y] \equiv \int_{x_{0}}^{x_{1}}\left[\delta y\frac{\partial F}{\partial y}+(\delta y)^{\prime}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right]dx = 0$$

上式の積分の第2項を部分積分し、境界条件を考慮すると、

$$\delta J[y] = \left.\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\delta y\right|_{x_{0}}^{x_{1}} + \int_{x_{0}}^{x_{1}}\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right]\delta y dx = \int_{x_{0}}^{x_{1}}\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right]\delta y dx = 0$$

となる。$\delta y$ の任意性により、次式が得られる。

$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}} = 0$$

この方程式をオイラー・ラグランジュ方程式と呼ぶ。これは汎関数 $J[y]$ が極値をとるための必要条件の微分形式であり、一般に2階常微分方程式である。

$\partial F/\partial y'$ を $x$ で微分して展開すると、オイラー方程式は以下の形でも書ける（$f$ を $y$ と同じものとして書いている）。

$$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial f'} - \frac{\partial^2 F}{\partial f\partial f'}f' - \frac{\partial^2 F}{\partial f'\partial f'}f'' = 0$$

また、左辺に $-f'$ をかけて整理すると、次の形にもなる（$f' \neq 0$ の範囲でオイラー方程式と同値）。

$$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial f'}f' - F\right) = 0$$

境界での関数値が指定されていない場合、$\delta f(x_1), \delta f(x_2) \ne 0$ は独立した変分とみなされ、自然境界条件が得られる。

$$\left. \frac{\partial F}{\partial f'} \right|_{x=x_1} = 0, \quad \left. \frac{\partial F}{\partial f'} \right|_{x=x_2} = 0$$

14. オイラー方程式の第一積分（特殊な場合）

$F = F(f, f')$ の場合、「一般化エネルギー」

$$f'\frac{\partial F}{\partial f'} - F = \text{constant}$$

が成り立つ。これは $F$ が $x$ を陽に含まない場合のオイラー・ラグランジュ方程式の第一積分である。

証明として、

$$\frac{d}{dx}\left[y^{\prime}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}-F\right] = y^{\prime\prime}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}+y^{\prime}\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial F}{\partial y}y^{\prime}-\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}y^{\prime\prime} = -y^{\prime}\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right]$$

となるため、オイラー・ラグランジュ方程式が満たされるとき、右辺は0となり第一積分が得られる。

$F = F(x, f')$ の場合、「一般化運動量」

$$\frac{\partial F}{\partial f'} = \text{constant}$$

が成り立つ。

$F = F(x, f)$ の場合、代数方程式 $\frac{\partial F}{\partial f} = 0$ を得る。

15. 多引数汎関数のオイラー方程式

$$\Phi[f_1, f_2, \dots, f_N] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, f_1, \dots, f_N, f_1', \dots, f_N') dx$$

において $f_\alpha(x_1) = y_{\alpha 1}, f_\alpha(x_2) = y_{\alpha 2}$ が与えられたとき、Euler方程式は

$$\frac{\partial F}{\partial f_\alpha} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f_\alpha'} = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, N$$

境界値が指定されない場合、自然境界条件は

$$\left. \frac{\partial F}{\partial f_\alpha'} \right|_{x=x_1, x_2} = 0$$

16. 多重積分型汎関数のオイラー方程式

$$\Phi[f] = \int_D F\left(x_1, \dots, x_n, f, \frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right) dx_1 \cdots dx_n$$

において境界値 $f(\partial D)$ が指定されているとする。Euler方程式は

$$\frac{\partial F}{\partial f} - \sum_{i=1}^n \overline{\partial}_{x_i}\left(\frac{\partial F}{\partial(\partial_i f)}\right) = 0$$

左辺第2項は括弧内の式全体に対する全偏微分であり、

$$\overline{\partial}_{x_i}\left(\frac{\partial F}{\partial(\partial_i f)}\right) \triangleq \frac{\partial^2 F}{\partial(\partial_i f)\partial x_i} + \frac{\partial^2 F}{\partial(\partial_i f)\partial f}\frac{\partial f}{\partial x_i} + \sum_j \frac{\partial^2 F}{\partial(\partial_i f)\partial(\partial_j f)}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$$

境界値が指定されず可変である場合、自然境界条件は

$$\left. \frac{\partial F}{\partial(\partial_i f)} \right|_{(x_1, \dots, x_n) \in \partial D} = 0$$

2変数関数 $u(x,y)$ の場合、汎関数

$$J[u] = \iint_{S}F(x,y,u,u_{x},u_{y})dx dy$$

が極値をとるための必要条件（オイラー・ラグランジュ方程式）は、グリーンの公式と境界条件 $\delta u|_{\Gamma}=0$ を用いて導出すると、

$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial u_{x}}-\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial u_{y}} = 0$$

となる。

例この結果を弦の横振動問題に応用する。

$$S = \int_{t_{0}}^{t_{1}}dt\int_{x_{0}}^{x_{1}}\frac{1}{2}\left[\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}-T\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right]dx$$

極値をとるための必要条件は、弦の横振動方程式そのものである。

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\frac{T}{\rho}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 0$$

17. 高階導関数を含む汎関数

一般的な $n$ 階導関数を含む汎関数

$$\Phi[f] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, f, f', \dots, f^{(n)}) dx$$

において $f(x_1) = y_1, f(x_2) = y_2, \dots, f^{(n)}(x_1) = y_{n1}, f^{(n)}(x_2) = y_{n2}$ が与えられたとき、Euler方程式は

$$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f'} + \dots + (-1)^n \frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{\partial F}{\partial f^{(n)}}\right) = 0$$

18. ハミルトンの原理

質点が保存力場において、経路 $q=q(t)$ に沿って運動するとする。その作用量は

$$S = \int_{t_{0}}^{t_{1}}L(t,q,\dot{q})dt$$

である。ここで $q$ と $\dot{q}$ は質点の運動を記述する一般化座標と一般化速度であり、$L=T-V$ は運動エネルギー $T$ とポテンシャルエネルギー $V$ の差であり、ラグランジアンと呼ばれる。ハミルトンの原理は、運動学的に許容されるすべての可能な経路の中で、実際の運動の経路は作用量 $S$ を極値させることを示している。Hamilton作用量を $S[q]=\int_{t_1}^{t_2} L(t, q, \dot{q}) dt$ と定義する。境界条件 $q_\alpha(t_1)=q_{\alpha 1}$、$q_\alpha(t_2)=q_{\alpha 2}$ は固定されており、固定境界での単純変分をとる（$\delta q_\alpha(t_1)=\delta q_\alpha(t_2)=0$）。物理的に真の経路は作用量を停留させる。

$$\delta S = \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}\right]dt = 0$$

作用量 $S$ が極値をとるための必要条件の微分形式は、

$$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}} = 0$$

与えられた保存力場において、ラグランジアンの具体的な形式を書き出し、これに代入すると、ニュートン力学の運動方程式と完全に一致することがわかる。

ラグランジアンが $t$ を陽に含まない場合（$L = L(q, \dot{q})$）、第一積分

$$\dot{q}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-L = C$$

が存在し、これはエネルギー保存則である。

19. ラグランジュ関数の不定性

ラグランジュ関数は以下の不定性を持つ。

$$\int_{t_1}^{t_2} \left(L(t, q, \dot{q})+\frac{df(t, q)}{dt}\right) dt = \int_{t_1}^{t_2} L(t, q, \dot{q}) dt + f(t_2, q(t_2)) - f(t_1, q(t_1))$$

余分な境界項については、Hamiltonの原理の規約に従い固定境界変分をとるため、その変分はゼロとなり運動方程式に影響を与えない。

20. 汎関数の条件付き極値とラグランジュの未定乗数法

境界条件

$$y(x_{0}) = a, \quad y(x_{1}) = b$$

および拘束条件

$$J_{1}[y] \equiv \int_{x_{0}}^{x_{1}}G(x,y,y^{\prime})dx = C$$

の下で、汎関数

$$J[y] = \int_{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,y^{\prime})dx$$

の極値を求めるには、ラグランジュの未定乗数法がよく用いられる。

$$J_{0}[y] = J[y]-\lambda J_{1}[y]$$

と定義する。ここでラグランジュ乗数 $\lambda$ は未定定数であり、$\delta y$ は依然として独立であるとみなす。すると、汎関数 $J_{0}[y]$ が境界条件の下で極値をとるための必要条件は

$$\left(\frac{\partial}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\right)(F-\lambda G) = 0$$

となる。この微分方程式と境界条件、および拘束条件を用いることで、ラグランジュ乗数の値 $\lambda$、条件付き極値関数 $y=y(x)$ を求めることができる。

例境界条件

$$y(0)\text{は有界}, \quad y(1) = 0$$

および拘束条件

$$\int_{0}^{1}xy^{2}dx = 1$$

の下で、汎関数

$$I[y] = \int_{0}^{1}xy^{\prime 2}dx$$

の極値曲線を求めよ。

解. 上述のラグランジュの未定乗数法を用いると、必要条件

$$\frac{d}{dx}\left(x\frac{dy}{dx}\right)+\lambda x y = 0$$

が得られる。この方程式と斉次の境界条件は固有値問題を構成する。その固有値は

$$\lambda_{i} = \mu_{i}^{2}, \quad i=1,2,3,\cdots$$

である。ここで $\mu_{i}$ は0次ベッセル関数 $J_{0}(x)$ の第 $i$ 番目の正の零点である。極値関数は対応する固有関数

$$y_{i}(x) = C_{i}J_{0}(\mu_{i}x)$$

である。定数 $C_{i}$ は拘束条件から決定でき、$C_{i} = \sqrt{2}/J_{1}(\mu_{i})$ となるため、

$$y_{i}(x) = \frac{\sqrt{2}}{J_{1}(\mu_{i})}J_{0}(\mu_{i}x)$$

が求められる。注目すべきは、固有値問題であるため、その解である固有値と固有関数は無限個存在する。これら無限個の固有関数が汎関数の極値関数であり、固有値がちょうど汎関数の極値となる。

21. 微分方程式の定解問題と固有値問題の変分形式

汎関数が極値をとるための必要条件の微分形式（オイラー・ラグランジュ方程式）は常微分方程式または偏微分方程式であり、それが引数関数の定解条件と結びつくことで定解問題を構成する。本節では逆問題、すなわち微分方程式の定解問題や固有値問題を汎関数の極値問題に変換する方法を論じる。

例 14 $x_{0}<x<x_{1}$ における常微分方程式の境界値問題

$$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]+q(x)y(x) = f(x)$$

$$y(x_{0}) = y_{0}, \quad y(x_{1}) = y_{1}$$

の変分形式を書き出せ。

解. 微分方程式は

$$\int_{x_{0}}^{x_{1}}\left\{\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]+q(x)y(x)-f(x)\right\}\delta y(x)dx = 0$$

から由来するはずである。部分積分と変分演算を用いると、微分方程式が汎関数

$$J[y] = \int_{x_{0}}^{x_{1}}\left\{\frac{1}{2}\left[p(x)\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}-q(x)y^{2}(x)\right]+f(x)y(x)\right\}dx$$

が極値をとるための必要条件であることが示される。

例 15 偏微分方程式の定解問題

$$\nabla^{2}u(r)+k^{2}u(r) = -\rho(r), \quad r\in V$$

$$u(r)|_{\Sigma} = f(\Sigma)$$

の変分形式を書き出せ。

解. グリーンの第一公式と境界条件 $\delta u(r)|_{\Sigma}=0$ を適用すると、定解問題は境界条件の下で汎関数

$$\iiint_{V}\left\{\frac{1}{2}[(\nabla u)^{2}-k^{2}u^{2}]-\rho u\right\}dr$$

の極値を求める問題と同値であることが示される。

例 16 偏微分方程式の固有値問題

$$\nabla^{2}u(r)+\lambda u(r) = 0, \quad r\in V$$

$$u(r)|_{\Sigma} = 0$$

の変分形式を書き出せ。

解. 固有値 $\lambda$ をラグランジュ乗数とみなすと、この問題は汎関数

$$J[u] = \iiint_{V}[\nabla u(r)]^{2}dr$$

の境界条件および拘束条件（規格化条件）

$$J_{1}[u] \equiv \iiint_{V}[u(r)]^{2}dr = 1$$

の下での条件付き極値問題と同値となる。

Sturm-Liouville 固有値問題

例 17 汎関数

$$I[y] = \frac{1}{2}\int_{x_{0}}^{x_{1}}\left[p(x)\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+q(x)y^{2}(x)\right]dx + \frac{a_{0}}{2}[y(x_{0})]^{2} + \frac{a_{1}}{2}[y(x_{1})]^{2}$$

が条件

$$J[y] = \frac{1}{2}\int_{x_{0}}^{x_{1}}\rho(x)[y(x)]^{2}dx = 1$$

の下で極値をとるための必要条件を求めよ。

解. 1階変分 $\delta(I[y]-\lambda J[y])=0$ より、部分積分を行うと、微分方程式

$$(p(x)y^{\prime}(x))^{\prime}+[\lambda\rho(x)-q(x)]y(x) = 0$$

および境界条件

$$-p(x_{0})y^{\prime}(x_{0})+a_{0}y(x_{0}) = 0$$

$$p(x_{1})y^{\prime}(x_{1})+a_{1}y(x_{1}) = 0$$

が得られる。

22. 変動境界値問題

実際の問題では、極値関数の片端または両端の数値が固定されていない場合がある。

変分を計算すると、

$$\delta J[y] = \left.\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\delta y\right|_{x_{0}}^{x_{1}} + \int_{x_{0}}^{x_{1}}\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right)\delta y dx = 0$$

となる。まず、$\delta y(x_{0})=\delta y(x_{1})=0$ をとるとオイラー・ラグランジュ方程式が得られる。もし $\delta y(x_{0})=0$ であり $\delta y(x_{1})$ が任意であるとすれば、境界での条件

$$\left.\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\right|_{x_{1}} = 0$$

を満たす必要がある。端点と境界値が完全に自由である場合、横断条件（transversality condition）が得られる。

$$\left. \left(\frac{\partial F}{\partial f'}f' - F\right) \right|_{x=x_1, x_2} = 0, \quad \left. \frac{\partial F}{\partial f'} \right|_{x=x_1, x_2} = 0$$

例 18 固定点 $A$ からある垂線 $L$ を結ぶ経路のうち、質点が重力の作用の下で最小の時間で $A$ から $L$ へ到達するものを求めよ。

必要な時間はやはり $y(x)$ の汎関数となる。

$$T = \int_{(x_{0},y_{0})}^{(x_{1},y_{1})}\frac{ds}{\sqrt{2g(y_{0}-y)}} = \int_{x_{0}}^{x_{1}}\frac{\sqrt{1+{y^{\prime}}^{2}}}{\sqrt{2g(y_{0}-y)}}dx$$

始点 $A$ の位置は与えられている（$y_{A}=y(x_{A})$）。しかし、終点 $B$ の位置は完全には確定しておらず、$x_{B}$ のみが与えられている。

解. $F = \sqrt{1+y'^2}/\sqrt{2g(y_0-y)}$ は $x$ をあらわに含まないから、オイラー方程式の解はサイクロイドである（最速降下曲線）。終点 $B$ の $y$ 座標が自由なので、横断条件 $\left.\dfrac{\partial F}{\partial y'}\right|_{B} = 0$ が加わる。$\dfrac{\partial F}{\partial y'} = \dfrac{y'}{\sqrt{1+y'^2}\sqrt{2g(y_0-y)}}$ だから、これは終点で $y' = 0$、すなわち曲線が終点で水平になることを意味する。したがって、垂線 $L$ に到達する最速の経路は、終点で接線が水平になるサイクロイドである。

例 19 交わらない2つの曲線の間の最短経路を求めよ。

ここでは両端の位置がともに完全には確定していない。

解. 二つの曲線を $y = \varphi_1(x)$、$y = \varphi_2(x)$ とすると、$F = \sqrt{1+y'^2}$ のオイラー方程式は $y'' = 0$ で、極値曲線は直線である。端点が曲線 $y = \varphi_i(x)$ 上を動く場合の横断条件は $F + (\varphi_i' - y')\dfrac{\partial F}{\partial y'} = 0$ で、$\dfrac{\partial F}{\partial y'} = \dfrac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}$ を代入して整理すると $1 + \varphi_i'\,y' = 0$ となる。すなわち、最短の線分は両方の曲線に直交する（二つの曲線の共通法線である）。

例 20 自由境界値条件（境界上の $u(x,y)$ の値が自由）の下で、汎関数

$$J[u] = \iint_{S}F(x,y,u,u_{x},u_{y})dx dy$$

が極値をとるための条件を求めよ。

解. グリーンの公式を利用し、境界に沿う積分を第1種の線積分の形式に書き直すと、必要条件の微分形式は

$$\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial u_{x}}-\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial u_{y}} = 0$$

であり、境界条件は

$$\left[\frac{\partial F}{\partial u_{x}}\cos(n,x)+\frac{\partial F}{\partial u_{y}}\cos(n,y)\right]_{\Gamma} = 0$$

となる。特に $F = \frac{1}{2}(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})+G(x,y,u)$ の場合、境界条件は

$$\frac{\partial u}{\partial n} = 0$$

となる。

拘束条件付きの可動境界問題

汎関数 $\Phi[f]=\int_{x_1}^{x_2} F(x, f, f') dx$ の停留値条件を求める。端点は $f(x_1)=\varphi_1(x_1)$、$f(x_2)=\varphi_2(x_2)$ を満たすとする。可動境界を持つ積分型汎関数の全変分は、

$$\Delta\Phi=\left.\left\{\left(F-f'\frac{\partial F}{\partial f'}\right)\Delta x+\frac{\partial F}{\partial f'}\Delta f\right\}\right|_{x_1}^{x_2}+\int_{x_1}^{x_2}\left\{\frac{\partial F}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial f'}\right\}\delta f(x)dx$$

境界点が拘束方程式を満たす必要があるとき、$\Delta f(x_i)=\varphi_i'(x_i)\Delta x_i$ を用いると、汎関数が停留値をとるときEuler方程式および横断条件

$$\left.\left\{F+(\varphi_i'-f')\frac{\partial F}{\partial f'}\right\}\right|_{x=x_i}=0 \quad (i=1,2)$$

が得られる。

角点を持つ極値曲線

極値曲線 $f(x)$ が $x=a$ で連続であっても、そこで微分係数 $f'$ が不連続な点（角点）をもつことがある。このとき区間を $a$ で分けて積分して変分をとると、Weierstrass-Erdmannの角点条件が成り立つ。すなわち、

$$\left.\frac{\partial F}{\partial f'}\right|_{a^-}^{a^+}=0 \quad \text{および} \quad \left.\left(F-f'\frac{\partial F}{\partial f'}\right)\right|_{a^-}^{a^+}=0$$

である。

23. レイリー・リッツ法

レイリー・リッツ法を用いて固有値問題を近似的に解く基本方針は以下の通りである。まず、固有値問題を汎関数の条件付き極値問題に変換する。次に、試行関数を用いて汎関数の条件付き極値問題を試行関数のパラメータを決定する関数の条件付き極値問題に変換する。

例 21 固有値問題

$$\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\frac{dy}{dx}\right)+\lambda y(x) = 0$$

$$y(0)\text{は有界}, \quad y(1) = 0$$

の最小固有値を求めよ。

解. この固有値問題は汎関数

$$I[y] = \int_{0}^{1}x y^{\prime 2}dx$$

の境界条件および拘束条件

$$I_{1}[y] \equiv \int_{0}^{1}x y^{2}dx = 1$$

の下での条件付き極値問題と同値である。試行関数として

$$y_{n}(x) = \alpha_{1}(1-x^{2})+\alpha_{2}(1-x^{2})^{2}+\cdots+\alpha_{n}(1-x^{2})^{n}$$

をとる。試行関数 $y_{2}(x)$（最初の2項）を用いると、

$$I[y_{2}] = \alpha_{1}^{2}+\frac{4}{3}\alpha_{1}\alpha_{2}+\frac{2}{3}\alpha_{2}^{2}$$

$$I_{1}[y_{2}] = \frac{1}{6}\alpha_{1}^{2}+\frac{1}{4}\alpha_{1}\alpha_{2}+\frac{1}{10}\alpha_{2}^{2} = 1$$

条件付き極値問題の必要条件から行列式条件

$$\begin{vmatrix} 2-\frac{\lambda}{3} & \frac{4}{3}-\frac{\lambda}{4} \\ \frac{4}{3}-\frac{\lambda}{4} & \frac{4}{3}-\frac{\lambda}{5} \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow 3\lambda^{2}-128\lambda+640 = 0$$

が得られ、最小固有値の近似値は

$$\overline{\lambda}_{1} = \frac{64}{3}-\frac{8}{3}\sqrt{34} = 5.7841\cdots$$

となる。これは厳密値 $\lambda_{1} = (2.4048\cdots)^{2} = 5.7831\cdots$ との相対誤差が $2\times 10^{-4}$ 未満である。2番目の近似固有値 $\overline{\lambda}_{2} = \frac{64}{3}+\frac{8}{3}\sqrt{34} = 36.883\cdots$ は厳密値 $\lambda_{2}=30.471\cdots$ との誤差が20%を超えるため、より高次の固有値を求めるには直交条件

$$\int_{0}^{1}y(x)\overline{y}_{1}(x)x dx = 0$$

を付加した新しい条件付き極値問題を解く必要がある。

24. 微分方程式と汎関数の極値（変換定理）

定理 $\hat{A}$ を正値対称線形演算子（複素関数空間に対しては正値エルミート演算子）とする。このとき、方程式 $\hat{A}f=\varphi$ であることと、$f$ が汎関数 $\Phi[f]\triangleq(\hat{A}f, f)-2(f, \varphi)$ を極小にすることは同値である。

例正規化条件 $\int_a^b w(x)y^2 dx=1$ を満たす汎関数 $\Phi[y]=\int_a^b \{p(x)y'^2-q(x)y^2\} dx$ の極値は、Sturm-Liouville方程式 $\frac{d}{dx}(py')+qy+\lambda wy=0$ を満たす。

すべての微分方程式が対応するラグランジアンを持つわけではないことに注意する（Helmholtz）。

25. 汎関数の停留値の数値解法

Ritz法 適切な座標関数 $l_i(x)$ の組を選び、汎関数の引数を $f(x)\approx c_1 l_1(x)+c_2 l_2(x)+\dots+c_n l_n(x)$ と展開して、汎関数極値問題を通常の関数の極値問題に変換する手法である。水銀滴を例にとると、ポテンシャルエネルギー $E=E(c_0, c_1, \dots, c_9)$ と体積 $V=V(c_0, c_1, \dots, c_9)$ を通常の関数の極値問題に帰着させることで解を得ることができる。

Euler有限差分法・有限要素法 固定境界問題 $\Phi[f]=\int_a^b F(x, f(x), f'(x)) dx$ に対し、区間 $[a, b]$ を $n+1$ 等分し、導関数を差分で表すことで汎関数を差分形式

$$\Phi[f] \approx \frac{b-a}{n+1}\sum_{i=0}^n F\left(x_i, y_i, \frac{y_{i+1}-y_i}{(b-a)/(n+1)}\right)$$

で近似し、通常の関数の極値問題に変換する。多項式補間を用いて非節点上の値を求める手法は有限要素法であり、Euler法よりも収束が速い。

付録：Diracのデルタ関数

デルタ関数は点電荷の電荷密度分布を記述するためにDiracによって導入された。

$$\delta(x) = 0 \quad (x \ne 0)$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)dx = 1$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x - a)dx = f(a)$$

$$\delta(-x) = \delta(x)$$

$$\delta(\alpha x) = \frac{1}{|\alpha|}\delta(x)$$

$$\delta(x^2 - a^2) = \frac{1}{2|a|}\{\delta(x - a) + \delta(x + a)\}$$

$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ikx}dk$$

演習

演習 1

汎関数 $\Phi[f] = \displaystyle\int_0^1 f(x)^2\,dx$ の変分 $\delta\Phi$ と汎関数微分 $\delta\Phi/\delta f(x)$ を求めよ。

解答

$\Phi[f + \delta f] - \Phi[f] = \displaystyle\int_0^1 \{2f\,\delta f + (\delta f)^2\}dx$ から、$\delta f$ について一次の部分は

$$\delta\Phi = \int_0^1 2f(x)\,\delta f(x)\,dx.$$

汎関数微分の定義 $\delta\Phi = \int \dfrac{\delta\Phi}{\delta f(x)}\delta f(x)\,dx$ と比べて、$\dfrac{\delta\Phi}{\delta f(x)} = 2f(x)$（$0 < x < 1$）。

演習 2

汎関数 $J[y] = \displaystyle\int_0^1 (y'^2 + y^2)\,dx$ を、境界条件 $y(0) = 0,\ y(1) = 1$ のもとで極値にする関数を求めよ。

解答

$F = y'^2 + y^2$ より $\dfrac{\partial F}{\partial y} = 2y$、$\dfrac{\partial F}{\partial y'} = 2y'$。オイラー・ラグランジュ方程式は

$$2y - \frac{d}{dx}(2y') = 0 \iff y'' = y.$$

一般解は $y = A\cosh x + B\sinh x$。$y(0) = 0$ より $A = 0$、$y(1) = 1$ より $B = 1/\sinh 1$。よって

$$y(x) = \frac{\sinh x}{\sinh 1}.$$

$\delta^2 J = 2\displaystyle\int (\delta y'^2 + \delta y^2)dx > 0$ だから、これは極小である。

演習 3

平面上の 2 点を結ぶ曲線の長さ $L[y] = \displaystyle\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1 + y'^2}\,dx$ を最小にする曲線は直線であることを、オイラー・ラグランジュ方程式から示せ。

解答

$F = \sqrt{1+y'^2}$ は $y$ を含まないから、$\dfrac{\partial F}{\partial y} = 0$ で、方程式は $\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'} = 0$ となる。すなわち

$$\frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} = \text{定数}.$$

これを $y'$ について解くと $y' = $ 定数、すなわち $y$ は $x$ の一次式で、グラフは直線である。

演習 4

$x$ 軸のまわりに曲線 $y = y(x)$（$y > 0$）を回転させてできる回転面の面積 $S[y] = 2\pi\displaystyle\int y\sqrt{1+y'^2}\,dx$ を極値にする曲線を、第一積分を用いて求めよ。

解答

$F = y\sqrt{1+y'^2}$ は $x$ をあらわに含まないから、第一積分 $y'\dfrac{\partial F}{\partial y'} - F = $ 定数が使える。

$$y'\cdot\frac{y y'}{\sqrt{1+y'^2}} - y\sqrt{1+y'^2} = -\frac{y}{\sqrt{1+y'^2}} = -c \quad (c > 0)$$

より $y' = \pm\sqrt{y^2/c^2 - 1}$。変数分離して積分すると $y = c\cosh\dfrac{x - x_0}{c}$ （$x_0$ は定数）となる。これは懸垂線（カテナリー）である。

演習 5

2 階導関数を含む汎関数 $J[y] = \displaystyle\int_{x_0}^{x_1} y''^2\,dx$ のオイラー方程式を求めよ。

解答

式の一般形 $\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'} + \dfrac{d^2}{dx^2}\dfrac{\partial F}{\partial y''} = 0$ に $F = y''^2$ を代入する。$\dfrac{\partial F}{\partial y} = \dfrac{\partial F}{\partial y'} = 0$、$\dfrac{\partial F}{\partial y''} = 2y''$ だから

$$\frac{d^2}{dx^2}(2y'') = 0 \iff y^{(4)} = 0.$$

極値曲線は 3 次多項式である（梁のたわみの最小曲げエネルギーに対応する）。

演習 6

調和振動子のラグランジアン $L = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 - \dfrac{1}{2}kx^2$ から、ハミルトンの原理によって運動方程式を導け。

解答

ラグランジュの運動方程式 $\dfrac{\partial L}{\partial x} - \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0$ に代入する。$\dfrac{\partial L}{\partial x} = -kx$、$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$ だから

$$-kx - m\ddot{x} = 0 \iff m\ddot{x} = -kx.$$

これはフックの法則のもとでのニュートンの運動方程式である。また $L$ は $t$ をあらわに含まないから、第一積分 $\dot{x}\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}} - L = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{1}{2}kx^2$ が保存し、これは力学的エネルギーである。

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