置換群

$n$ 次置換群

定義 4.1 （輪換） 置換のうち、

という形のものを輪換といい、$(e_1\; e_2\; \cdots\; e_m)$ と記す。$m$ を輪換の位数という。

輪換には次のような有用な性質がある。

1. 輪換内の元を巡回させても同じ輪換を表す。
   $$(e_1\; e_2\; \cdots\; e_m) = (e_2\; e_3\; \cdots\; e_m\; e_1).$$
2. 共通の元をもたない二つの輪換を独立輪換といい、乗法の交換律が成り立つ。
   $$(e_1\; e_2\; \cdots\; e_m)(f_1\; f_2\; \cdots\; f_n) = (f_1\; f_2\; \cdots\; f_n)(e_1\; e_2\; \cdots\; e_m).$$
3. 任意の置換は互いに独立な輪換の積に分解できる。
4. 輪換の逆元は次で与えられる。
   $$(e_1\; e_2\; \cdots\; e_m)^{-1} = (e_m\; e_{m-1}\; \cdots\; e_1).$$
5. 2 次の輪換を互換という。任意の $m$ 次輪換は $m-1$ 個の互換の積に分解できる。
   $$(e_1\; e_2\; \cdots\; e_m) = (e_1\; e_m)(e_1\; e_{m-1})\cdots(e_1\; e_3)(e_1\; e_2).$$
6. 任意の置換は隣接互換（隣り合う元の互換）の積に分解できる。次の等式を用いる。
   $$(e_1\; e_k) = (e_2\; e_k)(e_1\; e_2)(e_2\; e_k).\tag{15}$$
   右の互換から順に作用させて、各元の行き先を追うと確かめられる（積は右から作用させる約束）。
   $$e_1 \to e_1 \to e_2 \to e_k,\qquad e_k \to e_2 \to e_1 \to e_1,\qquad e_2 \to e_k \to e_k \to e_2.$$
   すなわち $e_1$ と $e_k$ だけが入れ替わるから、右辺は $(e_1\; e_k)$ に等しい。

定理 4.1 （置換群の類と輪換構造） 同じ輪換構造をもつ置換全体が、置換群 $S_n$ の一つの類をなす。

この定理から、置換群の類と輪換構造は一対一対応することが分かる。 以下に置換群に関するいくつかの性質をまとめる。

1. 置換の類と輪換構造が一対一に対応するから、置換はつねに輪換に分解できる。 各類の輪換構造の記法として
   $$(\gamma) = (1^{\gamma_1}\; 2^{\gamma_2}\; \cdots\; n^{\gamma_n})$$
   を用いる。これは $\gamma_1$ 個の 1 次輪換、$\gamma_2$ 個の 2 次輪換、…をもつことを意味し、
   $$1 \cdot \gamma_1 + 2 \cdot \gamma_2 + \cdots + n \cdot \gamma_n = n\tag{16}$$
   を満たす。
2. 類 $(\gamma)$ に属する元の個数は、
   $$\frac{n!}{(1^{\gamma_1} \gamma_1!)(2^{\gamma_2} \gamma_2!) \cdots (n^{\gamma_n} \gamma_n!)}\tag{17}$$
   で与えられる。
3. Young 図（楊図）の記法として $[\lambda] = [\lambda_1,\, \lambda_2,\, \ldots,\, \lambda_n]$ を用いる。ここで
   $$\begin{aligned}\lambda_1 &= \gamma_1 + \gamma_2 + \cdots + \gamma_n, \notag\\ \lambda_2 &= \gamma_2 + \gamma_3 + \cdots + \gamma_n, \notag\\ &\;\vdots \notag\\ \lambda_n &= \gamma_n.\end{aligned}\tag{18}$$
   明らかに $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = n$。 また定義から $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n \geq 0$ が成り立つ。
4. $[\lambda]$ を用いて Young 図を描くと、第 $i$ 行に $\lambda_i$ 個のマス目を並べた図になる。 $S_3$ の例を示す。
   
   
   
   図 4.1：$S_3$ の Young 図。左から $[3]$、$[2,1]$、$[1,1,1]$。
5. 二つの Young 図が転置（行と列を入れ替える操作）で移り合うとき、互いに共役であるという。転置で自分自身に移る Young 図を自己共役という。

Young 盤とその補題

定義 4.2 （Young 盤） $S_n$ の Young 図の各マス目に数字 $1, 2, \ldots, n$ を一つずつ埋めたものをYoung 盤という。

Young 盤の基本的な性質を列挙する。

1. 一つの Young 図に数字 $1, \ldots, n$ を埋める方法は $n!$ 通りあり、それぞれが Young 盤である。
2. Young 盤中の数字は行・列の位置で確定し、行列と同様に扱える。
3. 同じ Young 図の異なる Young 盤どうしは、ある置換によって移り合う。
4. 各 Young 盤 $T$ に対して行置換 $R(T)$ と列置換 $C(T)$ が定まる。 $R(T)$ は $T$ の各行内の数字を行内で入れ替える全置換の集合 $\{p\}$、 $C(T)$ は $T$ の各列内の数字を列内で入れ替える全置換の集合 $\{q\}$ である。 Young 図が $[\lambda]$ ならば $R(T)$ の位数は $\lambda_1!\,\lambda_2!\,\cdots\,\lambda_n!$。
5. 行・列置換 $p,\, q$ から二つの演算子を定義する。
   $$P(T) = \sum_p p, \qquad Q(T) = \sum_q \delta_q q,\tag{19}$$
   ここで $\delta_q$ は偶置換のとき $+1$、奇置換のとき $-1$（置換の偶奇は互換への分解個数で決まる）。 $P,\, Q$ はそれぞれ行・列の各成分を取り出す役割をし、置換群の群元の線形結合とみなせる。
6. 同一の Young 図に対応するすべての Young 盤は、数字の配置が違うだけであり、ある置換によって互いに移り合う。

具体例として $S_6$ の Young 図 $[3,2,1]$ に対する Young 盤 $T_a$ を考える。

図 4.2：Young 図 $[3,2,1]$ に対する Young 盤の例 $T_a$（左）と $T_b$（右）。

$T_a$ の行置換と列置換は次の通りである。

定義 4.3 （Young 演算子） Young 盤 $T$ の演算子 $P(T)$、$Q(T)$ の積

をYoung 演算子という。Young 演算子は行・列の両成分を同時に取り出す役割をもち、群空間 $R\,S_n$ の一つのベクトルとみなせる。各 Young 盤に対して Young 演算子は一つ定まる。

Young 演算子は次の二つの重要な性質をもつ。

1. $p \in R(T)$、$q \in C(T)$ に対して $pq = p'q'$ ならば $p = p'$ かつ $q = q'$。
   
   証明. $p'^{-1}p = q'q^{-1}$。左辺は $R(T)$ の元、右辺は $C(T)$ の元だから、 二つの部分群の交わりは単位元のみ（行と列で共有される元はないから）。 よって $p'^{-1}p = e$、$q'q^{-1} = e$、すなわち $p = p'$、$q = q'$。
2. $E(T)$ は零でないベクトルである。
   
   上の性質より、$E(T)$ の展開において $pq$ の重複は起こらず、各項が相殺されることはないから $E(T) \neq 0$。

定義 4.4 （冪等元） $e^2 = e$ を満たす元を冪等元、$e^2 = \lambda e$（$\lambda \neq 0$）を満たす元を本質冪等元という。 本質冪等元から $(\lambda^{-1}e)^2 = \lambda^{-1}e$ より冪等元が得られる。 冪等元は射影演算子に対応する概念である。

定理 4.2 群 $G$ の表示空間 $V$ が直和分解 $V = \bigoplus_i W_i$ をもち、$P_i$ を $W_i$ への射影演算子とする。すべての $W_i$ が不変部分空間であることの必要十分条件は、すべての $i$ と $g \in G$ について $[A(g),\, P_i] = 0$ が成り立つことである。

定理 4.3 群代数 $RG$ の左正則表示の不変部分空間と、$RG$ の冪等元は一対一に対応する。

不可約表示に対応する冪等元を本原冪等元という。Young 演算子はこの本原冪等元と対応しており、これが Young 盤と置換群の不可約表示を結びつける鍵である。

定理 4.4 （Young 盤定理）

1. Young 盤 $T$ の Young 演算子 $E(T)$ は、置換群の群空間 $RS_n$ における本原冪等元 $E(T)/\theta$（$\theta$ は定数）を与える。すなわち一つの Young 盤が $RS_n$ の一つの不可約表示を決定する。
2. 同一の Young 図に由来する Young 盤が与える不可約表示は互いに等価である。
3. 異なる Young 図に由来する Young 盤が与える不可約表示は不等価である。

（証明は複雑であるため省略する。）

定義 4.5 （標準 Young 盤） 各行・各列の数字が左から右・上から下へ向かって単調増加している Young 盤を標準 Young 盤という。

定理 4.5 Young 図 $[\lambda]$ に対応する不可約表示の次元は、標準 Young 盤の個数に等しい。

不可約表示の次元（標準 Young 盤の個数）を求める公式を二種類紹介する。

直接計算式：

ここで $r_i = \lambda_i + \ell - i$（$\lambda_i$ は第 $i$ 行のマス目の数、$\ell$ は Young 図の行の数）。たとえば $[2,1]$ では $\ell = 2$、$r = (3, 1)$ だから $d = \dfrac{3!}{3!\,1!}(3-1) = 2$。

フック長公式：

ここで $h_{ij}$ はフック長（hook length）であり、第 $(i,j)$ マスから右・下へ向かって引いた直線が通るマスの総数（第 $(i,j)$ マス自身を含む）として計算される。

次元が求まったら、次は指標の計算に進む。指標を求める方法は主に二種類ある。

方法 1：Frobenius 公式（計算は複雑なため省略）。

方法 2：図形的方法（Murnaghan–Nakayama 則）。Young 図 $[\lambda]$ に対応する表示の、輪換構造 $(\mu_1, \mu_2, \ldots)$ の類での指標 $\chi^{[\lambda]}(\mu)$ は、次の手順で求まる。

1. 輪換の長さ $\mu_1, \mu_2, \ldots$ を一つずつ選び、Young 図から長さ $\mu_k$ の縁帯（縁に沿って連なった $\mu_k$ 個のマス。取り除いた後が Young 図になるもの）を取り除く操作を、図が空になるまで続ける。
2. 縁帯が $h$ 行にまたがるとき、その除去に符号 $(-1)^{h-1}$ を与え、一つの経路での符号の積をとる。
3. 指標は、可能なすべての除去の経路についての符号の和である。

例として $S_3$ の $[2,1]$ を考える。3 次輪換の類では長さ $3$ の縁帯として図全体を一度に取り除く。これは $2$ 行にまたがるので $\chi = (-1)^{2-1} = -1$。 互換の類 $(2,1)$ では、長さ $1$ のマスを取り除くと $[1,1]$ か $[2]$ が残る。続けて長さ $2$ の縁帯を取り除くとき、$[1,1]$ は縦向きで $2$ 行にまたがり符号 $-1$、$[2]$ は横向きで $1$ 行だから符号 $+1$。両者の和で $\chi = -1 + 1 = 0$。いずれも既知の $S_3$ の $2$ 次元表示の指標と一致する。

最後に、Young 基底と群元の行列表示について述べる。

定義 4.6 （Young 基底） Young 盤 $T$ に対して関数 $\varphi(1, 2, \ldots, n)$ を割り当て、置換群の群元が関数の引数の位置を入れ替えるものと約束する（例：$(1\;3)\varphi(1,2,3,4) = \varphi(3,2,1,4)$）。 Young 演算子 $E(T)$ を用いて生成した関数

をYoung 基底という。

群元 $g$ を Young 基底に作用させると $g\psi$ が得られ、これは輪換・互換の計算規則（式 (15) など）を用いて計算できる。 得られた結果は $\psi$ で展開されるから、群元の行列表示が定まる。 すなわち群代数空間上に基底を構成し、ベクトルの乗法によって群元の行列形式を求めるというのが基本的な戦略である。

演習