曲線論

空間内を運動する質点があるとして、その軌跡が曲線をなすとする。この曲線は

$$\bm{p}(t) = (x(t),\, y(t),\, z(t)) = (x^i(t)), \quad 1 \leq i \leq 3,\quad a \leq t \leq b$$

と表せる。点$\bm{p}(t)$（時刻$t$）における質点の速度は$\dot{\bm{p}}(t) = (\dot{x}^i(t))$、速さは

$$|\dot{\bm{p}}(t)| = \sqrt{\sum_{i=1}^3 \dot{x}^i(t)^2}$$

であり、加速度は$\ddot{\bm{p}}(t) = (\ddot{x}^i(t))$である。 $w(t) = |\dot{\bm{p}}(t)|$と略記することもある。本書で研究する曲線には条件$w(t) \neq 0$（$\forall\, t \in (a,b)$）を課す。 $t$を曲線$\bm{p}(t)$のパラメータと呼ぶ。一つの曲線は様々なパラメータで表すことができるが、パラメータ間の変換は非退化であることを要求する。すなわち、$t = t(u)$（$u \in (c,d)$、$a = t(c)$、$b = t(d)$）なら$t'(u) \neq 0$（$\forall\, u$）とする。最も標準的でよく使われるのは弧長パラメータ

$$s = \int_a^t w(\tau)\, d\tau$$

であり、これを自然パラメータとも呼ぶ。$\dot{s}(t) = w(t) = |\dot{\bm{p}}(t)|$が成り立つ。 $\bm{p}(s) = \bm{p}(t(s))$と書くことにする。

本書では、扱うすべての関数・写像は滑らか（無限回連続微分可能）であると約束する。

$t$を時間パラメータとして、$F(\cdot, t)$を時間とともに変化する閉曲線の族、すなわち$F: S^1 \times [0, T) \to \mathbb{R}^3$とする。各時刻$t$において、$s$を曲線の自然パラメータとする。興味深い問題として、次の発展方程式

$$\frac{\partial F}{\partial t} = \frac{\partial^2 F}{\partial s^2}$$

を考える。これを曲線短縮流（curve shortening flow）方程式と呼ぶ。初期値を与えれば、偏微分方程式の理論により短時間における解の存在が保証される。しかし、その解がいつまで存在するか、あるいはより一般にこの方程式の適切性（well-posedness）がどうなるかは非常に難しい数学の問題であり、現在も多くの研究者が取り組んでいる。

平面曲線

$\bm{p} = \bm{p}(t)$を平面曲線とし、自然パラメータ$s$を用いて$\bm{p}(s) = (x(s), y(s))$と表す。 $\bm{p}'(s) = (x'(s), y'(s))$と書くと、合成微分法と弧長パラメータの定義から

$$\bm{p}'(s) = \dot{\bm{p}}(t)\frac{dt}{ds} = \frac{\dot{\bm{p}}(t)}{|\dot{\bm{p}}(t)|}$$

となり、$|\bm{p}'(s)| = 1$が成り立つ。 $\bm{T} = \bm{p}'$とおくと、$\bm{T}$は曲線$\bm{p}$の点$\bm{p}(s)$における単位接ベクトルである。 $\bm{T}(s) = (x'(s), y'(s))$に対して、単位法ベクトルを$\bm{N}(s) = (-y'(s), x'(s))$と定義すると、 $\{\bm{T}, \bm{N}\}$は右手系をなす。以後$\{\bm{T}, \bm{N}\}$または$\{\bm{p}(s); \bm{T}, \bm{N}\}$をF標架（Frenet 標架）と呼ぶ（図1.1参照）。

$|\bm{T}|^2 = 1$より$\bm{T}' \cdot \bm{T} = 0$であり、平面曲線においては$\bm{T}'$と$\bm{N}$は平行になる。よって、ある関数$k = k(s)$が存在して$\bm{T}' = k\bm{N}$が成り立つ。また、容易に$\bm{N}' = -k\bm{T}$が示せる。 $k$を曲線$\bm{p}$の点$\bm{p}(s)$における曲率（または相対曲率）と呼ぶ。以後、

$$\begin{pmatrix} \bm{T}' \\ \bm{N}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k \\ -k & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bm{T} \\ \bm{N} \end{pmatrix} \tag{1.1.1}$$

をFrenet 公式（F公式）と呼ぶ。

$k \equiv 0$のとき$\bm{T}' \equiv \bm{0} \equiv \bm{N}'$となり、定数$\alpha, \beta$が存在して$x'(s) = \alpha$、$y'(s) = \beta$となる。したがって

$$x(s) = \alpha s + c_1, \qquad y(s) = \beta s + c_2 \quad (c_1, c_2 \text{は定数})$$

となる。すなわち曲線は直線である。

$x(t) = r\cos t$、$y(t) = r\sin t$（$r > 0$は定数）とすると、$\bm{p}(t)$は半径$r$の円である。直接計算すると$w(t) \equiv r$となり、したがって$s = rt$である。円は弧長パラメータを用いて

$$x(s) = r\cos\!\left(\frac{s}{r}\right), \qquad y(s) = r\sin\!\left(\frac{s}{r}\right)$$

と表せる。$x'(s) = -\sin(s/r)$、$y'(s) = \cos(s/r)$より

$$\bm{T}(s) = \left(-\sin\frac{s}{r},\, \cos\frac{s}{r}\right), \qquad \bm{N}(s) = \left(-\cos\frac{s}{r},\, -\sin\frac{s}{r}\right)$$

となり、$\bm{T}'(s) = \dfrac{1}{r}\bm{N}(s)$から$k(s) \equiv \dfrac{1}{r}$が得られる。このように、曲率$k$は曲線の「曲がり具合」を表している（図1.2参照）。

$\bm{T}'(s) = \bm{p}''(s)$は加速度であるから、曲率$k$は向心力の大きさとも解釈できる。 $\dfrac{1}{k}$を曲率半径と呼び、$\rho$で表す。

定理 1 平面上の2つの曲線$\bm{p}(s)$と$\tilde{\bm{p}}(s)$の曲率が等しいための必要十分条件は、$\bm{p}(s)$と$\tilde{\bm{p}}(s)$が一つのユークリッド運動で移り合うことである。

証明

まず、曲率がユークリッド運動（回転と平行移動）の下での不変量であることを示す。 $O(2)$を$2\times 2$直交行列の集合とする。$A \in O(2)$、$\bm{a} \in \mathbb{R}^2$として$\tilde{\bm{p}} = A\bm{p} + \bm{a}$とおくと、$\tilde{\bm{T}} = \tilde{\bm{p}}' = A\bm{T}$、$\tilde{\bm{N}} = A\bm{N}$となり、$\tilde{k} = k$が得られる。

逆に、曲線$\bm{p}(s)$と$\tilde{\bm{p}}(s)$の曲率が等しい（$k(s) = \tilde{k}(s)$）と仮定する。ある$s_0$において、適切な回転と平行移動により$\tilde{\bm{T}}(s_0) = A\bm{T}(s_0)$とできる。 $\bm{a} = \tilde{\bm{p}}(s_0) - A\bm{p}(s_0)$とおくと、$\tilde{\bm{p}}(s_0) = A\bm{p}(s_0) + \bm{a}$となる。幾何学的な直観、あるいは接ベクトルの座標表示を直接計算することで$\tilde{\bm{N}}(s_0) = A\bm{N}(s_0)$が従う。次に、

$$\frac{1}{2}\left(|A\bm{T} - \tilde{\bm{T}}|^2 + |A\bm{N} - \tilde{\bm{N}}|^2\right)'(s) = k\langle A\bm{T} - \tilde{\bm{T}},\, A\bm{N} - \tilde{\bm{N}}\rangle - k\langle A\bm{N} - \tilde{\bm{N}},\, A\bm{T} - \tilde{\bm{T}}\rangle \equiv 0$$

であるから、常に$\tilde{\bm{T}} = A\bm{T}$、$\tilde{\bm{N}} = A\bm{N}$であり、積分することで初期条件から$\tilde{\bm{p}} = A\bm{p} + \bm{a}$となる。以上により証明された。

例 1 楕円$x = a\cos t$、$y = b\sin t$（$a > b > 0$）の曲率を求めよ。

解． $w(t) = \sqrt{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}$であるから、$s$を$t$の陽関数として表すことはできない。しかし合成微分法から

$$\frac{dt}{ds} = \frac{1}{w(t)}, \qquad \bm{T} = \frac{d\bm{p}}{dt}\cdot\frac{dt}{ds} = \frac{1}{w(t)}(-a\sin t,\, b\cos t)$$

が成り立つ。したがって、

$$\bm{N}(t) = \frac{1}{w(t)}(-b\cos t,\, -a\sin t)$$

となる。$\bm{T}' = \dot{\bm{T}}\dfrac{dt}{ds} = k\bm{N}$を用いると、計算により

$$k(t) = \frac{ab}{w(t)^3}$$

が得られる。

さらに、次のような考察をしよう。$\bm{p} = \bm{p}(s) = (x(s), y(s))$を平面曲線、$s$をその自然パラメータとする。局所的に$\varphi = \varphi(s)$を$\bm{T}(s)$と$x$軸の正方向のなす角（図1.3参照）とすると、

$$\bm{T}(s) = (\cos\varphi,\, \sin\varphi), \qquad \bm{N}(s) = (-\sin\varphi,\, \cos\varphi)$$

と表せる。このとき$\bm{T}'(s) = (d\varphi/ds)\bm{N}(s)$であり、Frenet 公式から

$$k = \frac{d\varphi}{ds}$$

が得られる。$k \neq 0$として、$dx/ds = \cos\varphi$、$dy/ds = \sin\varphi$から

$$x(s) = \int\cos\varphi\, ds = \int\frac{\cos\varphi}{k(\varphi)}\, d\varphi, \qquad y(s) = \int\sin\varphi\, ds = \int\frac{\sin\varphi}{k(\varphi)}\, d\varphi$$

が得られ、曲率$k$によって元の曲線を局所的に表す公式が与えられた。

ここで本節の内容を振り返ろう。微分幾何学でよく使われる一つの技法が実際に使われていた。それは、元のデータを何度か微分し、その結果を代数的に組み合わせて優美な公式を導くという手法である。数学的な目標は、簡潔で美しく本質を捉えた結果を得ることである。そのためには多くの問題を解いて技術を磨き、良い感覚を養うことが重要である。

練習問題

一般の曲線$x = x(t)$、$y = y(t)$に対して、その曲率が
$$k(t) = \frac{\dot{x}(t)\ddot{y}(t) - \ddot{x}(t)\dot{y}(t)}{w(t)^3}$$
であることを証明せよ。
極座標$(r, \theta)$で曲線が$r = F(\theta)$（$a < \theta < b$）と表されているとき、弧長が
$$\int_a^b \left[r^2 + (F')^2\right]^{1/2} \, d\theta$$
であり、曲率が
$$k = \frac{r^2 + 2(F')^2 - rF''}{\left[r^2 + (F')^2\right]^{3/2}}$$
であることを証明せよ。
双曲線$x^2 - y^2 = 1$の曲率を求めよ。
定数$a > 0$に対して、懸垂線$y = a\cosh(x/a)$の曲率を求めよ。
$\bm{p}(t) = (x(t), y(t))$を曲率$k(t) \neq 0$の滑らかな曲線とする。F標架$\{\bm{T}, \bm{N}\}$に対して、曲線
$$\bm{q}(t) = \bm{p}(t) + \frac{1}{k(t)}\bm{N}(t)$$
を定義する。点$t$における$\bm{q}(t)$の接ベクトルが、$\bm{p}(t)$の点$t$における法ベクトルになることを証明せよ。
曲線が陰関数方程式$F(x, y) = 0$で与えられているとき（$dF(x, y) \neq 0$と仮定する）、その曲率が
$$k(x,y) = \frac{F_{xx}F_y^2 - 2F_{xy}F_xF_y + F_{yy}F_x^2}{(F_x^2 + F_y^2)^{3/2}}$$
であることを証明せよ。
$\bm{p}(t) = (x(t), y(t))$（$t \in (-\infty, +\infty)$）を原点$(0,0)$を通らない滑らかな曲線とする。$\lim_{t\to-\infty}|\bm{p}(t)| = \lim_{t\to+\infty}|\bm{p}(t)| = \infty$ならば、ある$t_0 \in (-\infty, +\infty)$が存在して$|\bm{p}(t_0)| \leq |\bm{p}(t)|$（$\forall\, t$）となることを証明せよ。

Frenet 公式の応用

定義 1 $\bm{p} = \bm{p}(s)$（$s$は自然パラメータ）に対して、曲線$\bm{p}$は随伴曲線$\bm{q} = \bm{q}(u)$（$u = s$。ただし$u = s$は$\bm{q}$の自然パラメータではないことに注意）を持つという条件を、

$$\bm{q}(s) = \bm{p}(s) + a_1(s)\bm{T}(s) + a_2(s)\bm{N}(s), \quad \forall\, s$$

と定める。

このとき、

$$\frac{d\bm{q}}{ds} = \bm{p}'(s) + a_1'\bm{T} + a_1\bm{T}' + a_2'\bm{N} + a_2\bm{N}'$$

であり、Frenet 公式を用いると

$$\frac{d\bm{q}}{ds} = (a_1' - ka_2 + 1)\bm{T} + (ka_1 + a_2')\bm{N}$$

となる。ここで

$$\frac{\delta a_1}{ds} = a_1' - ka_2 + 1, \qquad \frac{\delta a_2}{ds} = ka_1 + a_2'$$

を定義し、これを点$\bm{q}(s)$における曲線$\bm{q}$の Frenet 標架$\{\bm{p}(s); \bm{T}, \bm{N}\}$における絶対速度と呼ぶ。また$\{a_1', a_2'\}$を同じ標架における相対速度と呼ぶ。いわゆるCesaro 固定点条件とは

$$a_1' - ka_2 + 1 = 0, \qquad ka_1 + a_2' = 0$$

であり、平面上の固定点$\bm{q}(s) \equiv \mathrm{const}$が Frenet 標架$\{\bm{p}(s); \bm{T}, \bm{N}\}$内で満たすべき相対速度の方程式を表す。

定義 2 $\bm{p} = \bm{p}(s)$を3回連続微分可能な曲線とする。$k'(s_0) = 0$となる点$\bm{p}(s_0)$を曲線の頂点（vertex）という。曲線の始点$\bm{p}(0)$と終点$\bm{p}(L)$が一致するとき$\bm{p}$を閉曲線という。さらに$\bm{p}(s_1) \neq \bm{p}(s_2)$（$\forall\, 0 \leq s_1 < s_2 < L$）ならば$\bm{p}$を単純閉曲線という。曲線$\bm{p}$上の任意の2点を結ぶ線分が内部領域に含まれるとき、$\bm{p}$を卵形線（凸閉曲線）と呼ぶ。

単純閉曲線は平面を2つの領域に分割する。有界な方を$\bm{p}$の内部領域という。

例（平行曲線） $\gamma = \gamma(s)$（$s$は自然パラメータ）を凸閉曲線（$\gamma$が囲む有界領域が凸）とする。$a > 0$に対して$\gamma$の平行曲線を

$$\gamma_a(s) = \gamma(s) - a\bm{N}(s)$$

で定義するとき、次を示せ：

$$L(\gamma_a) = L(\gamma) + 2\pi a, \quad A(\gamma_a) = A(\gamma) + aL(\gamma) + \pi a^2, \quad k_a(s) = \frac{k(s)}{1 + ak(s)}$$

ここで$\bm{N}$は$\gamma$の単位法ベクトル、$A(\gamma)$は囲まれた有界領域の面積、$L(\gamma)$は$\gamma$の長さ、$k_a$は$\gamma_a$の曲率である。

証明

$t$を$\gamma_a$の弧長パラメータとする。弧長の定義から$t = \int\left|\frac{d\gamma_a}{ds}\right|ds = \int(1 + ak(s))\,ds$であるから、$dt/ds = 1 + ak(s)$。凸閉曲線では常に$k(s) \geq 0$であることに注意する。$k(s) = d\varphi/ds$を用いると直ちに$\int_\gamma k(s)\,ds = 2\pi$が得られる。したがって

$$L(\gamma_a) = L(\gamma) + a\int k(s)\,ds = L(\gamma) + 2\pi a$$

となる。$\{\gamma_a; \bm{T}_a, \bm{N}_a\}$を$\gamma_a$の Frenet 標架とすると

$$\bm{T}_a = \frac{d\gamma_a}{ds}\bigg/\left|\frac{d\gamma_a}{ds}\right| = (\bm{T} - a\bm{N}')/|(\bm{T} - a\bm{N}')| = \bm{T}$$

となり、$\bm{N}_a = \bm{N}$。したがって$\frac{d\bm{T}_a}{dt} = \frac{d\bm{T}_a}{ds}\cdot\frac{ds}{dt} = k\bm{N}/(1+ak)$から

$$k_a(s) = \frac{k(s)}{1 + ak(s)}$$

が得られる。向き付け可能な単純閉曲線$\alpha(t)$（$t \in [b,c]$）が囲む領域$S$の面積$A = \int_S dx\,dy = \int_b^c x(t)\frac{dy}{dt}\,dt$の公式を用いると、$A(\gamma_a) = A(\gamma) + aL(\gamma) + \pi a^2$が示せる。

Frenet 公式の別の応用として、歴史的に有名な次の定理を証明しよう。

定理 1（四頂点定理） 卵形線上には少なくとも4つの頂点が存在する。

証明

Frenet 公式$x'' = -ky'$、$y'' = kx'$から

$$\int k'\, ds = 0, \qquad \int x\, k'\, ds = -\int x' k\, ds = -\int y''\, ds = 0, \qquad \int y\, k'\, ds = 0$$

が成り立つ。したがって任意の実数$a, b, c$に対して

$$\int (ax + by + c) k'\, ds = 0 \tag{$*$}$$

となる。$\bm{p}$が有界閉集合であるから$k(s)$は少なくとも2つの頂点（極大点と極小点）を持つ。もし$k$がこの2点しか頂点を持たないとすれば、この2点を通る直線$ax + by + c = 0$を引けば（図1.4参照）、関数$(ax + by + c)k'$は$\bm{p}$上でこれら2点を除き零点を持たず符号が変わらない。これは$(*)$と矛盾する。したがって$k'$にはさらに別の零点が存在する。しかし、滑らかな関数の符号変化が閉凸曲線上で起こる回数は偶数か無限大かのどちらかであるから、$k'$は閉凸曲線$\bm{p}$上に少なくとも4つの零点を持つ。

注．（1）この定理はバングラデシュの数学者（Mukhopadhyaya）によって発見された。（2）楕円上にはちょうど4つの頂点がある。（3）この定理は任意の滑らかな単純閉曲線に対して成立する。

もう一つ挙げておく価値のある結果を示す。

定理 2 $\bm{p} = \bm{p}(s)$を閉曲線とすると、その全曲率は$\int_0^L |k(s)|\, ds \geq 2\pi$を満たし、等号が成立するのは$\bm{p}$が卵形線であるときに限る。

この定理の証明は省略する。

以上の応用例は、幾何学が発展の中で優美な現象を発見し続けていることを示している。その過程は形式的には、新しい概念を導入して新しい結果を導くという繰り返しであることが多い。また、幾何学的問題を研究する上で解析と代数の手法が重要な役割を担うことも改めて確認された。

練習問題

楕円$x = a\cos t$、$y = b\sin t$（$a \neq b$）はちょうど4つの頂点$(a, 0)$、$(0, b)$、$(-a, 0)$、$(0, -b)$を持つことを証明せよ。
$\bm{p} = \bm{p}(s)$（$s \in [0, L]$）を単純閉曲線とし、半径$R$の円の内部に含まれるとする。ある$s_0 \in [0, L]$が存在して、その点における曲率が$\geq 1/R$であることを証明せよ。
$\bm{p} = \bm{p}(s)$（$s \in [0, L]$）を単純閉曲線とし、曲率が$0 < k(s) \leq C$（$C$は定数）を満たすとする。$L \geq 2\pi/C$であることを証明せよ。
滑らかな関数$k \in C^2([0, 1])$が与えられたとき、積分論を用いて、$k$を曲率として持つ弧長パラメータの平面曲線$\bm{p}(s)$が存在することを証明せよ。
常微分方程式（以下 ODE と略す）の基本定理を用いて上記の問題4を証明せよ。すなわち、初期条件$x(0) = y(0) = \varphi(0) = 0$を持つ ODE
$$x'(s) = \cos\varphi(s), \qquad y'(s) = \sin\varphi(s), \qquad \varphi'(s) = k(s)$$
が解を持ち、その解が求める曲線であることを示せ。
平面曲線の F標架は$\mathbb{R}^2$の標準内積$\langle A, B\rangle = \sum_{i=1}^2 A^i B^i$を用いて定義されている。$\mathbb{R}^2$上の内積を
$$\langle A, B\rangle = A^1 B^1 - A^2 B^2$$
に変えた場合の平面曲線の F標架と F公式を求めよ。

空間曲線

$\bm{p} = \bm{p}(s) = (x(s), y(s), z(s)) = (x^i(s))$を空間曲線（$0 \leq s \leq L$は自然パラメータ）とする。

$$\bm{T}(s) = \bm{p}'(s) = (x'(s), y'(s), z'(s))$$

は曲線$\bm{p}$の点$\bm{p}(s)$における単位接ベクトルである。 $\bm{p}$の点$\bm{p}(s)$における曲率を

$$k(s) = |\bm{T}'(s)| = \sqrt{\sum_{i=1}^3 x^{i\prime\prime}(s)^2}$$

で定義する。$\bm{T}(s) \perp \bm{T}'(s)$であり、$k(s) > 0$（$\forall\, s$）と仮定すれば、

$$\bm{N}(s) = \frac{\bm{T}'(s)}{k(s)}$$

を定義できる（主法線ベクトル）。さらに

$$\bm{B}(s) = \bm{T}(s) \times \bm{N}(s)$$

とおく（従法線ベクトル）。$\{\bm{p}(s); \bm{T}, \bm{N}, \bm{B}\}$を曲線$\bm{p}$の点$\bm{p}(s)$におけるFrenet 標架（F標架）と呼ぶ（図1.5参照）。

$\bm{e}_1(s) = \bm{T}(s)$、$\bm{e}_2 = \bm{N}$、$\bm{e}_3 = \bm{B}$とも記す。$\bm{e}_2$を延長した直線を主法線、$\bm{e}_3$を延長した直線を副法線という。

$\bm{e}_i \cdot \bm{e}_j = \delta_{ij}$を$s$で微分すると$\bm{e}_i' \cdot \bm{e}_j + \bm{e}_i \cdot \bm{e}_j' = 0$。 $j = 2$、$i = 1, 2$ととると、

$$0 = k + \bm{e}_1 \cdot \bm{e}_2', \qquad 0 = \bm{e}_2 \cdot \bm{e}_2'$$

したがって$\bm{e}_2'$は$\bm{e}_1$と$\bm{e}_3$の線形結合であり、ある関数$\tau = \tau(s)$が存在して

$$\bm{e}_2' = -k\bm{e}_1 + \tau\bm{e}_3$$

と書ける。$\tau = \tau(s)$を曲線$\bm{p}$の点$\bm{p}(s)$における捩率と呼ぶ。 $j = 3$、$i = 1, 2$とすると$\bm{e}_1 \cdot \bm{e}_3' = 0$、$\tau + \bm{e}_2 \cdot \bm{e}_3' = 0$が得られ、$i = j = 3$とすると$\bm{e}_3' \cdot \bm{e}_3 = 0$が得られる。したがって

$$\bm{e}_3' = -\tau\bm{e}_2$$

となる。以上をまとめると、次の Frenet--Serret 公式（FS公式）が得られる。

Frenet--Serret 公式

$$\begin{pmatrix} \bm{T} \\ \bm{N} \\ \bm{B} \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & k & 0 \\ -k & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bm{T} \\ \bm{N} \\ \bm{B} \end{pmatrix}$$

上の導出から、曲線$\bm{p}$がある平面に含まれるならば$\tau \equiv 0$であることがわかる。逆に曲線$\bm{p}$の捩率$\tau = 0$ならば$\bm{e}_3' = \bm{0}$、すなわち$\bm{e}_3$は定ベクトルとなる。そのとき$(\bm{e}_3 \cdot \bm{p})' = \bm{e}_3 \cdot \bm{e}_1 = 0$から$\bm{e}_3 \cdot \bm{p} \equiv \text{定数}$、すなわち$\bm{p}$は平面$\bm{e}_3 \cdot \bm{p} = \text{定数}$の上にある。以上で次の定理が示せた。

定理 3 空間曲線$\bm{p}$の曲率$k > 0$のとき、$\bm{p}$がある平面に含まれるための必要十分条件は$\tau \equiv 0$である。

例（正螺旋線） $x = a\cos t$、$y = a\sin t$、$z = bt$（$a > 0$、$b > 0$は定数）を正螺旋線とする（図1.6参照）。

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$とおくと$w = c$であり、$s = ct$が弧長パラメータとなる。正螺旋線の方程式を弧長パラメータで書き直すと

$$x = a\cos\frac{s}{c},\quad y = a\sin\frac{s}{c},\quad z = \frac{bs}{c}$$

であり、

$$\bm{e}_1 = \bm{p}' = \frac{1}{c}\!\left(-a\sin\frac{s}{c},\; a\cos\frac{s}{c},\; b\right), \quad \bm{e}_1' = \frac{1}{c^2}\!\left(-a\cos\frac{s}{c},\; -a\sin\frac{s}{c},\; 0\right), \quad k = \frac{a}{c^2},$$

$$\bm{e}_2 = \left(-\cos\frac{s}{c},\; -\sin\frac{s}{c},\; 0\right), \quad \bm{e}_3 = \bm{e}_1\times\bm{e}_2 = \frac{1}{c}\!\left(b\sin\frac{s}{c},\; -b\cos\frac{s}{c},\; a\right)$$

となる。$\bm{e}_2' = \frac{1}{c}\!\left(\sin\frac{s}{c},\; -\frac{1}{c}\cos\frac{s}{c},\; 0\right) = -k\bm{e}_1 + \frac{b}{c^2}\bm{e}_3$から、

$$\tau = \frac{b}{a^2 + b^2}$$

が得られる。$k$と$\tau$はともに定数であることに注目する。

ここで一つの剛性の問題を考えよう。空間曲線$\bm{p}$の曲率$k$と捩率$\tau$がともに定数（$k > 0$）ならば、$\bm{p}$は必ず正螺旋線か。次の定理がこの問いに即座に答える。

定理 4 空間曲線$\bm{p}$と$\tilde{\bm{p}}$の曲率と捩率がそれぞれ等しければ、$\bm{p}$と$\tilde{\bm{p}}$はただ一つのユークリッド運動で移り合う。

証明は§1.1の定理1と同様であり、読者への練習問題とする。より一般的な問題として、$k > 0$と$\tau$が与えられたとき、$k$を曲率、$\tau$を捩率として持つ空間曲線$\bm{p}$は存在するか。答えは肯定的であり、初期点$\bm{p}(0)$と初速度$(\bm{T}(0), \bm{N}(0), \bm{B}(0))$を固定した上で、FS方程式を ODE として解けばよい。

練習問題

次の Bouquet の公式を証明せよ：
$$\bm{p}(s) = \bm{p}(0) + \bm{T}(0)\,s + k(0)\bm{N}(0)\frac{s^2}{2!} + \!\left[-k(0)^2\bm{T}(0) + k'(0)\bm{N}(0) + k(0)\tau(0)\bm{B}(0)\right]\frac{s^3}{3!} + \cdots$$
一般の空間曲線$\bm{p} = \bm{p}(t)$に対して、その F標架が
$$\bm{T} = \dot{\bm{p}}/|\dot{\bm{p}}|,\quad \bm{B} = \dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}}/|\dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}}|,\quad \bm{N} = \bm{B}\times\bm{T}$$
であり、曲率と捩率がそれぞれ
$$k = \frac{|\dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}}|}{w^3},\quad \tau = \frac{(\dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}})\cdot\overset{\cdot\cdot\cdot}{\bm{p}}}{|\dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}}|^2}$$
であることを証明せよ（$w = |\dot{\bm{p}}|$）。
曲線$\bm{p}(t) = (t\cos t,\, t\sin t,\, t)$の F標架と曲率・捩率を求めよ。
$\bm{p}(s) = (x^1(s), \ldots, x^n(s))$を$\mathbb{R}^n$内の曲線で$\{\bm{p}', \ldots, \bm{p}^{(n)}\}$が線形独立であるとする。F標架$\{\bm{e}_i\}_{i=1}^n$を、正の関数$k_0 = k_n = 0$、$k_j > 0$（$j = 1, \ldots, n-1$）が$\bm{e}_j' = -k_{j-1}\bm{e}_{j-1} + k_j\bm{e}_{j+1}$を満たすように定義せよ。
平面曲線における Cesaro 固定点条件の類推として、空間曲線における Cesaro 固定点条件を求めよ。
空間曲線$\bm{p}(t) = (2t, t^2, t^3/3)$について、（1）F標架を求めよ。（2）基点$t = 0$における弧長関数を求めよ。（3）各種の曲率を求めよ。
$\{\bm{p}(s); \bm{T}, \bm{N}, \bm{B}\}$を曲線$\bm{p}$の Frenet 標架とする。$\bm{A} = \tau\bm{T} + k\bm{B}$と定義するとき、$\bm{T}' = \bm{A}\times\bm{T}$、$\bm{N}' = \bm{A}\times\bm{N}$、$\bm{B}' = \bm{A}\times\bm{B}$を証明せよ。
曲線$\bm{p}(t) = (2t, t^2, 0)$と$\bm{q}(t) = (-t, t, t^2)$に対して、平行移動$\bm{b}$と直交変換$A$からなる変換$F = \bm{b} + A$が存在して$\bm{q}(t) = F(\bm{p}(t))$となることを証明せよ。
曲線$\bm{p}(t) = (t + \sqrt{3}\sin t,\, 2\cos t,\, \sqrt{3}\,t - \sin t)$の曲率と捩率を求め、これが螺旋線であることを示せ。また$\bm{q}(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$の形に書き直せ。

空間曲線の実例

まず次の例を考える。

例空間曲線$\bm{p}(t) = (3t - t^3,\; 3t^2,\; 3t + t^3)$に対して、

$$\frac{d\bm{p}}{dt} = 3(1 - t^2,\; 2t,\; 1 + t^2),\quad \frac{d^2\bm{p}}{dt^2} = 6(-t,\; 1,\; t),\quad \frac{d^3\bm{p}}{dt^3} = 6(-1,\; 0,\; 1)$$

であり、$\dot{\bm{p}}\cdot\dot{\bm{p}} = 18(1 + t^2)^2$から$w(t) = 3\sqrt{2}\,(1 + t^2)$。直接計算すると

$$\dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}} = 18(-1 + t^2,\; -2t,\; 1 + t^2),\quad |\dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}}| = 18\sqrt{2}\,(1 + t^2),\quad (\dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}})\cdot\overset{\cdot\cdot\cdot}{\bm{p}} = 12\times 18$$

が得られ、練習問題2の公式を代入すると

$$k = \tau = \frac{1}{3(1 + t^2)^2}$$

となる。

次に、空間曲線が柱面螺旋線となる条件を調べよう。

定義 1（柱面螺旋線） 空間曲線$\bm{p}$の単位接ベクトル$\bm{T}$がある固定の方向と一定の角をなすとき、$\bm{p}$を柱面螺旋線（cylindrical helix）と呼ぶ。

定理 1 曲率$k > 0$を持つ空間曲線$\bm{p}$が柱面螺旋線であるための必要十分条件は$\tau/k$が定数であることである。

証明

$\bm{p} = \bm{p}(s)$を弧長パラメータで表す。

必要性： $\cot\theta = \tau/k$となる$\theta$をとり、

$$\bm{U} = \cos\theta\,\bm{T} + \sin\theta\,\bm{B}$$

と定義すると、

$$\bm{U}' = (k\cos\theta - \tau\sin\theta)\bm{N} = 0$$

となる。ゆえに$\bm{U}$が求める固定方向である。

十分性： $\bm{U}\in\mathbb{R}^3$、$|\bm{U}| = 1$を固定方向とし、$\theta$を単位接ベクトル$\bm{T}$と$\bm{U}$のなす固定の角とする。 $\bm{T}\cdot\bm{U} = \cos\theta$であるから$0 = (\bm{T}\cdot\bm{U})' = \bm{T}'\cdot\bm{U} = k\bm{N}\cdot\bm{U}$となる。 $k > 0$より$\bm{N}\cdot\bm{U} = 0$。ゆえに$\bm{U} = \cos\theta\,\bm{T} + \sin\theta\,\bm{B}$と書ける。これを微分してFS公式を使うと$\bm{0} = (k\cos\theta - \tau\sin\theta)\bm{N}$、したがって$\tau/k = \cot\theta$（定数）。

$\bm{p}_0$を柱面螺旋線$\bm{p}$上の固定点とすると、$f(s) = \langle\bm{p}(s) - \bm{p}_0,\, \bm{U}\rangle$に対して$f'(s) = \bm{p}'(s)\cdot\bm{U} = \bm{T}\cdot\bm{U} = \cos\theta$であり、$f(s) = s\cos\theta$が成り立つ。これは螺旋線が固定方向$\bm{U}$に沿って一定速度で進むことを意味している。

曲線論を締めくくる前に、最初に述べた曲線短縮流問題について次のことを考えてほしい。解曲線の接ベクトル・法ベクトル・曲率はどのような方程式を満たすか。また、正螺旋線の曲線短縮流問題の具体的な形を計算してみよ。

練習問題

空間曲線$\bm{p} = \bm{p}(s)$（弧長パラメータ、曲率$k > 0$）が球面上にあるための必要十分条件は
$$\frac{\tau}{k} = \left(\frac{k'}{\tau k^2}\right)'$$
であることを証明せよ。
空間曲線$\bm{p}(t) = (\cosh t, \sinh t, t)$について、弧長パラメータによる表示を求め、曲率$k$を求めよ。
$\bm{p}(t)$を速さ$C > 0$の一定の空間曲線（曲率関数は正）とする。そのF標架が
$$\bm{T} = \dot{\bm{p}}/C,\quad \bm{B} = \dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}}/(C|\ddot{\bm{p}}|),\quad \bm{N} = \ddot{\bm{p}}/|\ddot{\bm{p}}|$$
であり、曲率と捩率が
$$k = \frac{|\ddot{\bm{p}}|}{C^2},\quad \tau = \frac{(\dot{\bm{p}}\times\ddot{\bm{p}})\cdot\overset{\cdot\cdot\cdot}{\bm{p}}}{C^2|\ddot{\bm{p}}|^2}$$
であることを証明せよ。
空間曲線のF標架は$\mathbb{R}^3$の内積$\langle A, B\rangle = \sum_{i=1}^3 A^i B^i$を用いて定義されている。内積を$\langle A, B\rangle = A^1B^1 - A^2B^2 - A^3B^3$に変えた場合の空間曲線のF標架とF公式を求めよ。

空間内の曲面 »