凸凹性と曲率

前の節の議論により、関数の1階導関数が提供する情報から関数の増減の区間範囲と極値点を確定することができた。したがって関数のグラフが $Oxy$ 平面上の曲線という観点から、曲線の上昇・下降などの大まかな形状を把握した。

しかし1階導関数が提供する情報は依然として大まかなものにすぎない。同じく曲線が上昇（下降）であっても上昇（下降）の仕方はさまざまであり、曲線の曲がり具合は一般に異なる。極値点については、関数の1階導関数が零になるという情報から、その点が極値の候補点（すなわち停留点）であることはわかるが、停留点からさらに一歩進んで極値点かどうかを判別する情報は得られなかった。

関数自身の性質をより精密に把握するためには、関数の2階導関数、すなわち関数の「変化率の変化率」の助けが必要である。停留点の中で極値点を判別するために2階導関数をどのように利用するかの問題は、前の節の最後に既に論じた。したがって本節が論じるのは関数（曲線）の凸凹性と曲率である。

関数の凸凹性

まず幾何学的に見ると、直角座標系 $Oxy$ において、ある曲線 $L$ があり、曲線のある一段の範囲内で、もし曲線の弧上の任意の二点を結ぶ直線線分（すなわち曲線弧上の弦）が常に曲線弧の上側（下側）に位置するならば、この一段において曲線は凸（凹）であるという。ここで「上側」あるいは「下側」は $y$ 軸の正方向に一致または反対であることを指す（図 3.16，図 3.17）。

図 3.16（左：凸関数）と図 3.17（右：凹関数）

曲線 $L$ が関数 $f(x)$ のグラフであり、あるいは曲線 $L$ が方程式 $y = f(x)$，$x \in I$ で与えられるとき、$I$ は区間とする。曲線が凸（凹）であれば、関数 $f(x)$ を区間 $I$ 上の凸関数（凹関数）という。

注意：関数 $f(x)$ が区間 $I$ 上で凸ならば $-f(x)$ は区間 $I$ 上で凹である。したがって凸性のみ議論すれば十分である。

凸関数 $f(x)$、及びそのグラフ $L$（一つの凸曲線）について、$L$ 上の任意の二点 $(x_1, f(x_1))$ と $(x_2, f(x_2))$（$x_1 < x_2$ としてよい）を結ぶ直線方程式は

$$y = g(x) = f(x_1) + \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}(x - x_1), \quad x \in [x_1, x_2]$$

上述の凸（凹）性の幾何学的な記述によれば、この直線は曲線 $L$ の下側にある。すなわち

$$f(x) \leq f(x_1) + \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1), \quad x \in [x_1, x_2]$$

特に

$$f\!\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq g\!\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) = \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

が区間 $I$ の任意の二点 $x_1, x_2$ で成立する。

逆に、区間 $I$ 上の連続関数について、上述の不等式が $I$ 中の任意の二点 $x_1, x_2$ で成立するならば、関数のグラフは必ず凸であることを証明できる（証明は煩雑なので省略）。このため本書では関数の凸性の定義として次のより簡単なものを採用する。

定義 1 関数 $f(x)$ が区間 $I$ 上で連続であるとする。区間 $I$ 中の任意の二点 $x_1, x_2$ に対して

$$f\!\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

が成り立てば、関数は区間 $I$ 上の凸関数という。上式の不等号を「$<$」に改めると厳密な凸関数（上の不等号を「$\geq$」に改めれば、凹関数の定義となる）となる。

定理 1 関数 $f(x)$ が区間 $I$ 上で連続かつ区間内で微分可能であるとする。$f'(x)$ が $I$ 内で（厳密に）単調増加であれば、$f(x)$ は $I$ 上で（厳密に）凸関数である。

証明

区間 $I$ 中の任意の二点 $x_1, x_2$ をとり $x_1 < x_2$ とする。$x_0 = \dfrac{x_1+x_2}{2}$ とおくと、$[x_1, x_0]$ と $[x_0, x_2]$ にそれぞれ平均値の定理を適用すると、$\xi \in (x_1, x_0)$，$\eta \in (x_0, x_2)$ が存在して

$$f'(\xi) = \frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}, \qquad f'(\eta) = \frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}$$

が成り立つ。$x_1 < \xi < x_0 < \eta < x_2$ で $f'$ は単調増加だから $f'(\xi) < f'(\eta)$。$x_0 - x_1 = x_2 - x_0$ を用いて分母を払うと $f(x_0) - f(x_1) < f(x_2) - f(x_0)$、すなわち $f(x_0) < \dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ が得られる。

定理 2 関数 $f(x)$ が区間 $I$ 上で連続かつ $I$ 内で2階微分可能であるとする。$I$ 内の任意の一点 $x$ で $f''(x) \geq 0$（$f''(x) > 0$）であれば、$f(x)$ は $I$ 上で（厳密に）凸関数である。

$f''(x) > 0$ だから関数の1階導関数 $f'(x)$ は厳密に単調増加し、定理 1 から本定理の結論が得られる。

注記

(1) 関数または曲線の凸凹は、グラフの角度によって見方が変わるだけで、異なる書物では異なる定義になることがある。甲の書物で凸と定義されているものが、乙の書物では凹と定義されている場合があり、統一された言い方はない。文献を参照する際は、まず文献中での凸凹性の定義を確認すること。

(2) 凸関数には非常に良い性質と応用があり、その定義だけでも多くの形式がある。私たちの議論の中で、多くの性質は触れていない。たとえば定理 1 および定理 2 の逆命題は実際にも成立する；さらに、区間 $I$ 内で微分可能な凸関数 $f(x)$ のグラフは任意の一点 $x_0 \in I$ での接線の上側（接点以外）に位置する、すなわち任意の $x \in I$，$x \neq x_0$ で

$$f(x) > f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$

が成立する。

凸関数を利用してさらにいくつかの不等式を導出することができる。これらの結果のいくつかは微積分の基礎知識だけで足り、いくつかはより深い性質と応用を持ち、数学の一つの専門的な研究課題となっている。読者が興味あれば関連する参考書を参照されたい。

しかし本節の目的は、関数の導関数を利用して関数自身の性質を理解することであり、凸関数の内容をこれ以上は紹介しない。次に関数の2階導関数が関数自身についての一層精細な情報を提供することを議論する。

まず一つの例を観察しよう。$f(x) = x^3$，$x \in (-\infty, +\infty)$ について、$f''(x) = 6x$ だから $x < 0$ のとき $f''(x) < 0$、よって関数は $(-\infty, 0]$ 上で凹であり、$x > 0$ のとき $f''(x) > 0$、よって関数は $[0, +\infty)$ 上で凸である。すなわち関数 $f(x) = x^3$ は $x = 0$ の両側で凸凹性が逆になる。

一般に次のように定義する。

定義 2 関数 $y = f(x)$ が点 $x_0$ を含む区間上で連続であるとする。点 $x_0$ が $f(x)$ の凸・凹区間の境界点であれば、$x_0$ を関数 $f(x)$ の一つの変曲点という。また曲線上の点 $(x_0, f(x_0))$ も曲線の変曲点という。

上述の例から、$f(x) = x^3$ に対して $x = 0$ が関数の変曲点であることがわかる。

変曲点をどう判別するかが私たちの関心事である。定理 2 より、関数が区間内に連続な2階導関数を持つならば、変曲点 $x_0$ において $f''(x_0) = 0$ でなければならない。したがって、凸（凹）について定理 1 と定理 2 から次が導かれる。

定理 3 関数 $f(x)$ は $x_0$ で連続かつ $x_0$ のある近傍内（$x_0$ を含まない）で微分可能であるとする。$x_0$ の左側のある区間内で $f'(x)$ が厳密に単調増加（減少）、$x_0$ の右側のある区間内で $f'(x)$ が厳密に単調減少（増加）するならば、$x_0$ は $f(x)$ の変曲点。

定理 4 関数 $f(x)$ は $x_0$ で連続かつ $x_0$ のある近傍内（$x_0$ を含まない）で2階微分可能であるとする。$x_0$ の左側のある区間内で $f''(x) > 0$（$< 0$）、$x_0$ の右側のある区間内で $f''(x) < 0$（$> 0$）ならば $x_0$ は $f(x)$ の変曲点。特に $f(x)$ が $x_0$ で2階導関数を持つとき、$x_0$ が変曲点である必要条件は $f''(x_0) = 0$ である。

このようにして、関数の2階導関数によって関数の変曲点の一つの有効な判別法が与えられた。関数の一点での2階導関数が零であることは変曲点の必要条件に過ぎず、2階導関数が零の点が必ずしも変曲点ではないことに注意する。たとえば関数 $f(x) = x^4$ について $f''(0) = 0$ であることは容易にわかるが、$x = 0$ は関数の変曲点ではない（読者が自分で確認するとよい）。

注記関数の凸凹性はより精確に関数の状態を把握する助けとなる。特に1階と2階の導関数を持つ関数に対して、その導関数から関数の上昇と下降・極値点・凸凹性や変曲点の情報が提供される。これにより私たちは関数が独立変数の変化とともに変化する法則を一層精確に理解できる。

たとえば質点が平面上の直線方向に沿って運動する場合、もし運動の時間と距離の関係が一つの関数 $x = x(t)$ であれば、$Otx$ 時空平面上でのグラフは一つの曲線であり、関数の上昇と下降は質点が前進しているか後退しているかを反映し、また凸凹性と変曲点は運動の加速や減速を反映する（図 3.20 を参照）。

したがって、関数の背景が何であれ、関数のグラフの比較的精確な概形を把握することは非常に有意義である。一般に、この過程は次のステップに分けられる。

関数の定義域を確定し、関数の不連続点を見つける。
関数が奇偶性または周期性を持つかを確定する。
関数の単調区間の範囲と極値点を確定する。
関数の凸・凹区間と変曲点を確定する。
関数の漸近線を確定する（関数の極限の章の練習問題の漸近線の問を参照）。

例 1 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ の $(-\infty, +\infty)$ 上の概形を確定せよ。

解．まず関数は偶関数であることに注意（$y$ 軸の右側の概形を把握するだけでよい）。

$$f'(x) = -2xe^{-x^2}, \qquad f''(x) = 2(2x^2-1)e^{-x^2}$$

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ だから関数は単調増加、$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ だから単調減少。$x = 0$ で $f'(0) = 0$ だから極大値点であり極大値は $f(0) = 1$。$f''(x) = 0$ の解は $x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、これらが変曲点の候補である。

区間 $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ では $f''(x) < 0$ だから関数はその上で凹である；区間 $\left(-\infty, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ および $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)$ では $f''(x) > 0$ だから関数はこれら二つの区間上で凸である。したがって上述の2階導関数の二つの零点 $x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ はいずれも関数の変曲点である。

以上の結果を表にまとめると：

$x$	$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$	$0$	$\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right)$
$f'(x)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f''(x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	凸	変曲点	凹	極大値点	凹	変曲点	凸

また $\displaystyle\lim_{x\to\infty} e^{-x^2} = 0$ だから、$x$ 軸は曲線の唯一の漸近線（他には存在しない）である。

以上の情報から $Oxy$ 平面上で関数のグラフを描くことができる（図 3.21）。ちなみに、$f(x) = e^{-x^2}$ は確率論と数理統計で非常に基本的な関数であり、「正規分布（またはガウス分布）」の簡略化された形式の一つである。

平面曲線の曲率

$Oxy$ 上の曲線 $L$ が関数 $y = f(x)$ のグラフであり、$f(x)$ が区間 $[a, b]$ 上で2階微分可能であれば、関数の2階導関数 $f''(x)$ の符号によって曲線 $L$ の凸凹性、すなわち曲線の湾曲方向が確定される。次に曲線の湾曲の程度、すなわち曲線の曲率を論じる。

図 3.22 に示すように、曲線 $L$ が点 $A$ から点 $B$ まで湾曲するとき、接線の方向も $\varphi$ だけ回転する。曲線 $L$ 上の点 $A$ から $B$ までの弧長の増分を $\sigma$ とすれば、曲線の湾曲の程度は $\varphi$ と $\sigma$ で評価できる。同じ弧長の増分のとき接線の回転角が大きいほど湾曲の程度が大きい（図 3.23）；同じ接線の回転角のとき弧長が小さいほど湾曲の程度が大きい（図 3.24）。

したがって $\varphi$ と $\sigma$ の比 $\dfrac{\varphi}{\sigma}$ をこの弧 $AB$ の平均湾曲程度を表すために用いるのは自然であり、曲線のこの弧上の平均曲率という。

曲線の一点 $A$ での湾曲の程度を定義するために、点 $B$ が曲線 $L$ に沿って点 $A$ に近づくとき、弧 $AB$ の平均曲率が反映する曲線の点 $A$ での湾曲の程度をより良く示せるように、$B \to A$ あるいは $\sigma \to 0$ のとき $\dfrac{\varphi}{\sigma}$ が収束すれば、この極限値を曲線の点 $A$ での曲率と定義し、$\kappa = \kappa(A)$ と記す。

概念が明確になったら、次の問題は有効に計算する方法である。

(1) 平面曲線が陽関数表示 $y = f(x)$，$x \in [a, b]$ で表される場合。

この場合、曲線上の点 $A$ と $B$ の座標はそれぞれ $A(x, f(x))$ と $B(x+\Delta x, f(x+\Delta x))$ である（図 3.25）。

起点 $(a, f(a))$ から動点 $(x, f(x))$ までの弧長を $s = s(x)$ とし、動点 $(x, f(x))$ での接線と $x$ 軸正方向のなす角を $\alpha(x)$ とすれば、$x$ の増分 $\Delta x$ に対して弧長の増分は $\Delta s = s(x+\Delta x) - s(x)$、挟角の増分は $\Delta\alpha = \alpha(x+\Delta x) - \alpha(x)$ である。容易に

$$\Delta\alpha = \arctan f'(x+\Delta x) - \arctan f'(x)$$

であることがわかる。よって

$$\begin{aligned}\kappa &= \kappa(A) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\arctan f'(x+\Delta x) - \arctan f'(x)}{\Delta x} \Bigg/ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{s(x+\Delta x)-s(x)}{\Delta x}\end{aligned}$$

分子の極限は

$$(\arctan f'(x))' = \frac{f''(x)}{1+f'^2(x)}$$

分母の極限は（弧長の求め方は後の章で証明する）

$$s'(x) = \sqrt{1+f'^2(x)}$$

だから、関数 $y = f(x)$ で表される曲線 $L$ の一点での曲率は

$$\kappa = \kappa(x) = \frac{f''(x)}{\left(1+f'^2(x)\right)^{3/2}}$$

上の公式から、関数 $y = f(x)$ の1階と2階導関数が曲線の湾曲の程度を評価していることがわかる。最も簡単な例は直線 $f(x) = ax+b$（$a$，$b$ は定数）であり、任意の一点での曲率は零、すなわち直線は「湾曲のない曲線」である。

注意、曲率は曲線の湾曲の程度だけでなく、実際には曲線の湾曲の方向（すなわち凸凹性）も評価している。すなわち $\kappa(x) > 0$ のとき曲線は凸、$\kappa < 0$ のとき曲線は凹であり、凸または凹の程度は $|\kappa|$ で評価する。

(2) 平面曲線が媒介変数方程式 $x = \phi(t)$，$y = \psi(t)$，$t \in [\alpha, \beta]$ で表される場合。

曲線弧長 $s(t)$ が増加する方向を媒介変数 $t$ が増加する方向と一致させると、すなわち $s(t)$ が $t$ の単調増加関数となる。このとき $(\phi'(t), \psi'(t))$ は曲線上の一点 $(x, y)$ での接線の方向ベクトルを表す。

前々節（微分）の例 4 より、曲線の任意の一点での曲率は

$$\kappa(t) = \frac{\phi'(t)\psi''(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{\left(\phi'^2(t) + \psi'^2(t)\right)^{3/2}}$$

ここで $\phi'^2(t) + \psi'^2(t) \neq 0$ である。

$x = x$，$y = f(x)$，$x \in [a, b]$（ここで $x$ は媒介変数の役割を果たす）ととれば、陽関数表示の場合に帰着する。

注記媒介変数表示の曲線に対しては、弧長 $s(t)$ が増加する方向を媒介変数 $t$ が増加する方向と選べば $\kappa < 0$ のとき $\alpha$（$s$ すなわち $t$ も）が増加するにつれて減少する。よって接線は $t$ が増加するとき時計回りに回転する。$\kappa > 0$ のときは同様の分析ができる。曲線の曲率は微分幾何学の核心内容であり、ここではこれ以上論じない。

例 2 放物線 $y = \dfrac{1}{2}ax^2$ の曲率を計算せよ。

解． $y' = ax$，$y'' = a$ だから

$$\kappa = \frac{a}{\left(1+a^2x^2\right)^{3/2}}.$$

$a > 0$ のとき（放物線が上に開く）曲線は凸である。$a < 0$ のとき（下に開く）曲線は凹である。 $x = 0$ のとき $|\kappa|$ は最大値に達し、すなわち放物線の頂点で最も激しく湾曲している。

例 3 楕円

$$x = a\cos t, \quad y = b\sin t, \quad t \in [0, 2\pi]$$

上の任意の一点の曲率を計算せよ。

解． $\phi'(t) = -a\sin t$，$\phi''(t) = -a\cos t$，$\psi'(t) = b\cos t$，$\psi''(t) = -b\sin t$ を公式に代入すれば

$$\kappa = \frac{ab}{\left(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t\right)^{3/2}}.$$

特に $a = b = R$ のとき方程式は半径 $R$ の円の媒介変数表示に帰着し、円上の任意の一点の曲率は

$$\kappa = \frac{1}{R}$$

すなわち円の湾曲程度は半径と逆比例する。円が大きいほど湾曲の程度が小さく、小さいほど湾曲の程度が大きい。

$\rho = \dfrac{1}{|\kappa|}$ を曲線の一点での曲率半径という。例 3 の特殊な場合から、円の曲率半径はちょうど円の半径である。

注記関数 $x = x(t)$ の1階導関数は物理的に速度に対応し、幾何学的に接線に対応する。2階導関数は物理的に加速度に対応し、幾何学的に曲率に対応する。

物理においてニュートンの運動方程式は、運動する質点の加速度が質点に加わる外力に正比例することを告げる $F = mx''(t)$。したがって外力場の作用のもとで、質点の初期位置（すなわち関数 $x(t)$ の初期値 $x(t_0)$）と初期速度（すなわち1階導関数の初期値 $x'(t_0)$）が与えられれば、ニュートンの運動方程式 $F(t) = mx''(t)$ を解くことで質点の任意の瞬間の運動法則を確定できる。

幾何学において、曲率が与えられ、さらに曲線がある固定した位置（すなわち関数 $f(x)$ のある一点での値 $f(x_0)$）と曲線のその点での方向（すなわち関数のその点での接線の方向 $f'(x_0)$）が設定されれば、方程式を解くことで与えられた曲率を満たす曲線を求めることができる。これらの内容は微分幾何学において興味深いものであり、ここでの範囲を超えている。ここで言及するのは、読者に物理と幾何学のこの対応を理解させるためであり、この対応の共通点はいずれも関数の2階導関数である。

練習問題

関数 $f(x)$ が区間 $I$ 上で至る所で微分可能かつ有限個の点を除いてすべて $f''(x) > 0$ であれば、$f(x)$ は $I$ 上で凸であることを証明せよ。これを $-f$ に適用すれば、凹関数についての類似の結論が得られる（ヒント：定理 1 の証明と、平均値の定理の節の練習問題 15・16 を参照）。
関数 $f(x)$ が区間 $I$ 内で連続な2階導関数を持つとする。$x_0$ が $f(x)$ の変曲点であれば $f''(x_0) = 0$ であることを証明せよ。
関数 $f(x)$ が点 $x_0$ 及びその付近で2階微分可能かつ $f''(x_0) = 0$ であるとする。$f'''(x_0)$ が存在して零でなければ $x_0$ は $f(x)$ の変曲点であることを証明せよ。
次の関数の凸凹区間と変曲点を求めよ。(a) $y = 3x^4 - 4x^3 + 1$；(b) $y = \ln(1+x^2)$；(c) $y = \sqrt[3]{x}$。
$a, b$ の値を求めて点 $(1, 3)$ が曲線 $y = ax^3 + bx^2$ の変曲点となるようにせよ。
次の各曲線のグラフを描け。
1. $y = x^3 + 6x^2 - 15x - 20$；
2. $y = \dfrac{x^3}{2(1+x)^2}$；
3. $y = x - 2\arctan x$；
4. $y = xe^{-x}$。
関数 $y = f(x)$ が表す曲線を $C$ とする。$C$ 上の一点 $M(x, y)$ での曲率を $k$（$k \neq 0$）、$M$ を通る曲線の法線上の曲線が凸の側の点 $D$ で $|DM| = \dfrac{1}{|k|} = \rho$ となる点 $D$ を中心、$\rho$ を半径とする円を作り、この円を曲線の $M$ 点での曲率円という；その中心 $D$ を曲線の $M$ 点での曲率中心、半径 $\rho$ を曲線の $M$ 点での曲率半径という。次の曲線の指定された点での曲率、曲率中心及び曲率半径を求めよ。
1. $xy = 1$ の点 $(1, 1)$ において；
2. $y = e^{-x^2}$ の点 $(0, 1)$ において。
次の曲線の指定された点での曲率を求めよ。
1. $\begin{cases} x = 3t^2 \\ y = 3t - t^3 \end{cases}$，$t = 1$ の点；
2. $\begin{cases} x = \cos t + t\sin t \\ y = \sin t - t\cos t \end{cases}$，$t = \dfrac{\pi}{2}$ の点。
対数曲線 $y = \ln x$ 上でどの点の曲率半径が最小か？その点の曲率半径を求めよ。
関数 $f(x)$ が $(-\infty, +\infty)$ 上で定義された凸関数かつ上に有界であれば、$f(x)$ は定数関数であることを証明せよ。

解答

例外の点で区間を分けても $f'$ は連続（微分可能）なので、$f'$ は各小区間で狭義単調増加。連続性でつなげば $I$ 全体で $f'$ は狭義単調増加となり、定理 1 より凸。
変曲点 $x_0$ の左右で $f''$ の符号が（弱い意味で）変わる。$f''$ が連続なら中間値の性質より $f''(x_0) = 0$。
$f''(x_0) = 0$，$f'''(x_0) = \lim\dfrac{f''(x)}{x - x_0} \neq 0$ なので、$x_0$ の左右で $f''$ の符号が異なる。定理 4 により変曲点。
(a) $y'' = 12x(3x-2)$。$(-\infty,0]$ と $\left[\tfrac23,\infty\right)$ で凸、$\left[0,\tfrac23\right]$ で凹。変曲点 $x = 0, \tfrac23$。(b) $y'' = \dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$。$[-1,1]$ で凸、$|x| \geq 1$ で凹。変曲点 $x = \pm1$。(c) $y'' = -\dfrac29x^{-5/3}$。$x<0$ で凸、$x>0$ で凹。変曲点 $x = 0$（接線は鉛直）。
$y'' = 6ax + 2b$。$x = 1$ で $0$ より $3a + b = 0$、$a + b = 3$。$a = -\dfrac32$，$b = \dfrac92$。
(a) $y' = 3(x+5)(x-1)$，$y'' = 6(x+2)$。$x=-5$ で極大値 $80$，$x = 1$ で極小値 $-28$，$x=-2$ が変曲点（$y = 26$）。(b) $x=-1$ が鉛直漸近線、$y = \dfrac{x}{2} - 1$ が斜め漸近線。$y' = \dfrac{x^2(x+3)}{2(1+x)^3}$，$y'' = \dfrac{3x}{(1+x)^4}$。$x=-3$ で極大値 $-\dfrac{27}{8}$，$x=0$ が変曲点（$y'=0$）。(c) $y' = \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$，$y'' = \dfrac{4x}{(1+x^2)^2}$。$x=-1$ で極大値 $\dfrac\pi2 - 1$，$x=1$ で極小値 $1 - \dfrac\pi2$，$x = 0$ が変曲点。斜め漸近線 $y = x \mp \pi$（$x \to \pm\infty$）。(d) $y' = (1-x)e^{-x}$，$y'' = (x-2)e^{-x}$。$x=1$ で極大値 $\dfrac1e$，$x=2$ が変曲点。$x \to +\infty$ で $y = 0$ が漸近線。
(a) $y' = -\dfrac{1}{x^2} = -1$，$y'' = \dfrac{2}{x^3} = 2$。$\kappa = \dfrac{2}{2^{3/2}} = \dfrac{1}{\sqrt2}$，曲率半径 $\sqrt2$。曲線は下に凸なので、曲率中心は法線方向 $(1,1)/\sqrt2$ に半径だけ進んだ $(2,2)$。(b) $y'(0) = 0$，$y''(0) = -2$ で $\kappa = -2$，曲率半径 $\dfrac12$。曲率中心は $\left(0, \dfrac12\right)$。
(a) $\phi' = 6t = 6$，$\phi'' = 6$，$\psi' = 3 - 3t^2 = 0$，$\psi'' = -6t = -6$ より $\kappa = \dfrac{6\cdot(-6) - 0}{6^3} = -\dfrac16$。(b) $\phi' = t\cos t$，$\psi' = t\sin t$，$\phi'' = \cos t - t\sin t$，$\psi'' = \sin t + t\cos t$ で分子は $t^2$，分母は $t^3$。$\kappa = \dfrac1t = \dfrac2\pi$。
$y' = \dfrac1x$，$y'' = -\dfrac1{x^2}$ より $|\kappa| = \dfrac{x}{(1+x^2)^{3/2}}$。$\dfrac{d}{dx}$ が $\dfrac{1-2x^2}{(1+x^2)^{5/2}}$ なので $x = \dfrac1{\sqrt2}$ で最大。曲率半径は最小値 $\left(\dfrac32\right)^{3/2}\sqrt2 = \dfrac{3\sqrt3}{2}$（点 $\left(\dfrac1{\sqrt2}, -\dfrac12\ln2\right)$）。
もし $f'(a) \neq 0$ なら、凸関数は接線の上にあるので $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$。$x \to \pm\infty$（$f'(a)$ の符号に応じて）で右辺が $+\infty$ に発散して有界性に反する。よって $f' \equiv 0$ で定数。

« 平均値の定理と不定形の極限テイラー展開 »