群論と量子力学
ハミルトニアンの群と関連する定理
定理 3.1
ハミルトニアン $H$ を不変に保つ座標空間の変換 $g$ に対応する関数変換演算子 $P_g$ は、$H$ と可換である。
証明
変換 $g$ に対応する関数変換演算子 $P_g$ は $P_g\phi(\bm{x}) = \phi(g^{-1}\bm{x})$ で定まる（式 (2)）。
「ハミルトニアンが不変」とは、$g$ による座標の変換のもとで $H$ の形が変わらないこと、すなわち
$$H(g\bm{x}) = H(\bm{x})$$
が成り立つことである（運動エネルギーの微分演算子も、ここで考える直交変換では形が変わらない）。
$g^{-1}$ も同じ性質をもつから、任意の関数 $\phi$ に対して
$$\bigl(P_g H\phi\bigr)(\bm{x}) = H(g^{-1}\bm{x})\,\phi(g^{-1}\bm{x}) = H(\bm{x})\,(P_g\phi)(\bm{x}) = \bigl(H P_g\phi\bigr)(\bm{x}).$$
よって $[P_g,\, H] = 0$。
定義 3.1 （ハミルトニアンの対称群）
ハミルトニアン $H$ を不変に保つ変換全体のなす群を
$$G_H = \{g \mid H(g\bm{x}) = H(\bm{x}),\; g \in G\}$$
と定義し、$H$ の対称群という。
定義 3.2 （ハミルトニアン演算子群）
対称群 $G_H$ の各元に対応する関数変換演算子の全体
$$P_{G_H} = \{P_g \mid g \in G_H\}$$
をハミルトニアン演算子群という。
定理 3.2
ハミルトニアン $H$ の同一固有エネルギーをもつ固有関数全体は、ハミルトニアン演算子群の表示の基底関数をなす。
証明
$n$ 重縮退状態を考え、固有関数を $\psi_1, \psi_2, \ldots, \psi_n$ として線形空間 $W_H$ を構成する。
固有方程式 $H\psi_i = E\psi_i$ と $[P_g, H] = 0$（定理 3.1）より、$\forall\, P_g \in P_{G_H}$ に対して
$$H P_g \psi_i = P_g H \psi_i = E P_g \psi_i = \sum_j a_j \psi_j \in W_H.$$
よって $P_g \psi_i$ も同じエネルギー $E$ の固有関数であり、$W_H$ 内に展開できる。
すなわち $\{\psi_i\}$ はハミルトニアン演算子群の表示の基底関数をなす。
この表示は可約でも不可約でもよいが、可約な場合はさらに不可約表示の直和に分解できる。各不可約表示に対応する固有状態は必ず同一のエネルギー準位に属する。
定理 3.3
ハミルトニアン演算子群の不可約表示を担う固有関数は、すべて同一のエネルギー準位に属する。
証明
反証法による。$l$ 個の固有関数 $\phi_1, \ldots, \phi_l$ が不可約表示の基底をなすが、前 $l-1$ 個のエネルギー準位が $E$、最後の一つ $\phi_l$ のエネルギー準位が $E' \neq E$ であると仮定する。
$P_g \phi_l = \sum_i \alpha_{il}(g)\phi_i$ と展開する。$[P_g, H] = 0$ より、$\forall\, P_g \in P_{G_H}$ に対して
$$H P_g \phi_l = P_g H \phi_l = E' P_g \phi_l = E' \sum_i \alpha_{il}\phi_i.$$
一方、左辺を直接計算すると $H P_g \phi_l = E\sum_{i
$$(E - E')\,\alpha_{il}(g) = 0 \quad (i = 1, \ldots, l-1)$$
を得る。$E \neq E'$ だから、すべての $g$ について $\alpha_{il}(g) = 0$（$i < l$）でなければならない。
これは $\phi_l$ だけで張られる $1$ 次元部分空間が不変であること、すなわち表示が可約であることを意味し、仮定に矛盾する。
射影演算子と永年行列式の対角化
この節では、対称化された基底関数を用いてシュレーディンガー方程式の永年行列式を簡約化する方法を論じる。
対称化には射影演算子を用いる。
定義 3.3 （射影演算子）
線形空間 $V$ 上の線形演算子 $P$ が $P^2 = P$ を満たすとき、$P$ を $V$ 上の射影演算子という。
値域を $R_P = PV = \{z \in V \mid z = Px,\; x \in V\}$、核を $N_P = \{z \in V \mid Pz = 0\}$ と定義する。
定理 3.4
線形空間 $V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_k$ であれば、$V$ 上に射影演算子 $P_1, P_2, \ldots, P_k$ が存在して次を満たす。
- $P_i^2 = P_i$。
- $P_i P_j = 0\quad (i \neq j)$。
- $P_1 + P_2 + \cdots + P_k = E$。
- $P_i V = W_i$。
逆に、これら四条件を満たす演算子 $P_1, \ldots, P_k$ が存在すれば $V = W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$ となる。
（三次元ユークリッド空間 $V = xoy \oplus z$ における $xoy$ 平面への射影と $z$ 軸への射影を思い浮かべると直感的に理解しやすい。）
定理 3.5
群 $G$ の不可約ユニタリ表示を $A^\alpha$（$\alpha = 1, \ldots, q$、次元 $s_\alpha$）とし、$P_G = \{P_g \mid g \in G\}$ を対応する演算子群とする。演算子
$$P^\alpha_{kj} = \frac{s_\alpha}{n} \sum_g A^{\alpha*}_{kj}(g) P_g\tag{8}$$
を定義すると、次の関係が成り立つ。
$$P^\alpha_{kj} P^\beta_{il} = \delta_{\alpha\beta}\,\delta_{ji}\,P^\alpha_{kl}.\tag{9}$$
特に $P^\alpha_{ii}$ は射影演算子である。
証明
$P_g P_{g'} = P_{gg'}$ とユニタリ性 $A_{il}(x)^* = A_{li}(x^{-1})$ を用いる。
$$\begin{aligned}P^\alpha_{kj} P^\beta_{il}
&= \frac{s_\alpha s_\beta}{n^2} \sum_{g,g'} A^{\alpha*}_{kj}(g) P_g A^{\beta*}_{il}(g') P_{g'} \notag\\
&= \frac{s_\alpha s_\beta}{n^2} \sum_{g,g'} A^{\alpha*}_{kj}(g) A^{\beta*}_{il}(g') P_{gg'} \notag\\
&= \frac{s_\alpha s_\beta}{n^2} \sum_{g,g''} A^{\alpha*}_{kj}(g) A^{\beta}_{li}(g''^{-1}g) P_{g''} \notag\\
&= \frac{s_\alpha s_\beta}{n^2} \sum_{g,g'',m} A^{\alpha*}_{kj}(g) A^{\beta}_{lm}(g''^{-1}) A^{\beta}_{mi}(g) P_{g''} \notag\\
&= \frac{s_\beta}{n} \sum_{g'',m} \delta_{\alpha\beta}\,\delta_{km}\,\delta_{ji}\, A^{\beta}_{lm}(g''^{-1}) P_{g''}
= \delta_{\alpha\beta}\,\delta_{ji}\, P^\beta_{kl}.\end{aligned}$$
定理 3.6
$$\sum_{\alpha,k,l} \frac{s_\alpha}{n} A^{\alpha*}_{kl}(g') A^\alpha_{kl}(g) = \delta_{g'g}.\tag{10}$$
証明
正交性定理（式 (6)）は
$$\sum_{g} \frac{s_\alpha}{n} A^{\alpha*}_{kl}(g) A^\beta_{k'l'}(g) = \delta_{\alpha\beta}\,\delta_{kk'}\,\delta_{ll'}$$
と書ける。行を添字の組 $(\alpha, k, l)$、列を群の元 $g$ とする行列 $F$ を
$$F_{(\alpha k l),\,g} = \sqrt{s_\alpha/n}\; A^{\alpha}_{kl}(g)$$
と定義すると、上式は $FF^\dagger = E$ を意味する。行の個数は $\sum_\alpha s_\alpha^2 = n$（Burnside の定理）で列の個数と等しいから $F$ は $n$ 次の正方行列であり、$FF^\dagger = E$ ならば $F^\dagger F = E$ も成り立つ。これを成分で書くと
$$\delta_{g'g} = (F^\dagger F)_{g'g} = \sum_{\alpha,k,l} \frac{s_\alpha}{n}\, A^{\alpha*}_{kl}(g')\, A^\alpha_{kl}(g),$$
すなわち式 (10) を得る。
定理 3.7
$$\sum_{i,\alpha} P^\alpha_{ii} = P_e.\tag{11}$$
証明
$P^\alpha_{kl}$ の定義式 (8) に $A^\alpha_{kl}(g')$ をかけて式 (10) を用いると、
$$\sum_{\alpha,k,l} A^\alpha_{kl}(g') P^\alpha_{kl}
= \frac{s_\alpha}{n}\sum_{g,\alpha,k,l} A^{\alpha*}_{kl}(g') A^\alpha_{kl}(g) P_g
= \sum_g \delta_{gg'} P_g = P_{g'}.$$
$g' = e$ とおくと $A^\alpha_{kl}(e) = \delta_{kl}$ だから、
$$\sum_{\alpha,k,l} \delta_{kl} P^\alpha_{kl} = \sum_{\alpha,k} P^\alpha_{kk} = P_e.$$
定理 3.8 （有限群の不可約ユニタリ表示の基底関数定理 I）
$P_G$ を群 $G$ の関数作用演算子群とし、演算子 $P^\alpha_{ij}$ を式 (8) で定義する。
基底関数の組 $\phi^\alpha_i$ が群 $G$ の第 $\alpha$ 不可約ユニタリ表示の基底関数になるための必要十分条件は、
$$P^\alpha_{ij} \phi^\alpha_j = \phi^\alpha_i\tag{12}$$
が成り立つことである。
証明
（必要性）
$P_g$ が基底関数に作用すると、
$$P_g \phi^\alpha_k = \sum_l A^\alpha_{lk}(g) \phi^\alpha_l.$$
両辺に $A^{\alpha*}_{ij}(g)$ をかけて $g$ について和をとり、正交性定理を用いると、
$$\sum_g A^{\alpha*}_{ij}(g) P_g \phi^\alpha_k
= \sum_{g,l} A^{\alpha*}_{ij}(g) A^\alpha_{lk}(g) \phi^\alpha_l
= \frac{n}{s_\alpha} \sum_l \delta_{il}\delta_{jk} \phi^\alpha_l
= \frac{n}{s_\alpha}\,\delta_{jk}\,\phi^\alpha_i.$$
よって $P^\alpha_{ij} \phi^\alpha_j = \dfrac{s_\alpha}{n} \cdot \dfrac{n}{s_\alpha}\,\phi^\alpha_i = \phi^\alpha_i$。
（十分性）
条件 (12) を既知として、任意の $g$ に対して $P_g \phi^\alpha_i$ を求める。
$P^\alpha_{ij}$ の定義と $P_g P_{g'} = P_{gg'}$ の関係を用いて計算する。$g'' = gg'$ とおくと、
$$\begin{aligned}P_g \phi^\alpha_i
&= P_g P^\alpha_{ij} \phi^\alpha_j
= \frac{s_\alpha}{n} P_g \sum_{g'} A^{\alpha*}_{ij}(g') P_{g'} \phi^\alpha_j \notag\\
&= \frac{s_\alpha}{n} \sum_{g''} A^{\alpha*}_{ij}(g^{-1}g'') P_{g''} \phi^\alpha_j \notag\\
&= \frac{s_\alpha}{n} \sum_{g'',k} A^{\alpha*}_{ik}(g^{-1}) A^{\alpha*}_{kj}(g'') P_{g''} \phi^\alpha_j \notag\\
&= \sum_k A^\alpha_{ki}(g) P^\alpha_{kj} \phi^\alpha_j
= \sum_k A^\alpha_{ki}(g) \phi^\alpha_k.\end{aligned}$$
定理 3.9 （有限群の不等価・不可約ユニタリ表示の基底関数定理 II）
有限群の不等価・不可約ユニタリ表示の基底関数 $\phi^\alpha_i$ は次の正交関係を満たす。
$$(\phi^\alpha_i \mid \phi^\beta_j) = \delta_{ij}\,\delta_{\alpha\beta}\,f^\alpha,\tag{13}$$
ここで $f^\alpha$ は表示 $\alpha$ に依存する定数である。
証明
ユニタリ演算子群 $P_G$ の性質 $(P_g \phi \mid P_g \psi) = (\phi \mid \psi)$ を用いる。
$$(\phi^\alpha_i \mid \phi^\beta_j) = (P_g \phi^\alpha_i \mid P_g \phi^\beta_j) = \sum_{kl} A^{\alpha*}_{ki}(g) A^\beta_{lj}(g) (\phi^\alpha_k \mid \phi^\beta_l).$$
$g$ について和をとり正交性定理を用いると、
$$\begin{aligned}n\,(\phi^\alpha_i \mid \phi^\beta_j)
&= \sum_{kl} \frac{n}{s_\alpha}\,\delta_{\alpha\beta}\,\delta_{kl}\,\delta_{ij}\,(\phi^\alpha_k \mid \phi^\beta_l), \notag\\
\therefore\quad (\phi^\alpha_i \mid \phi^\beta_j)
&= \frac{1}{s_\alpha} \delta_{ij}\,\delta_{\alpha\beta} \sum_k (\phi^\alpha_k \mid \phi^\beta_k).\end{aligned}$$
そこで定数を
$$f^\alpha = \frac{1}{s_\alpha} \sum_k (\phi^\alpha_k \mid \phi^\alpha_k)$$
と定義すれば、式 (13) が得られる。
定理 3.10
$\phi^\alpha$ が第 $\alpha$ 不等価不可約表示の基底関数であれば、$H\phi^\alpha$ も同じ第 $\alpha$ 不等価不可約表示の基底関数であり、かつ順序は変わらない。
証明
第 $\alpha$ 不等価不可約表示の基底関数に $P_g$ を作用させると、
$$P_g \phi^\alpha_i = \sum_k A^\alpha_{ki}(g) \phi^\alpha_k.$$
$P_g$ と $H$ の可換性を用いると、
$$P_g (H\phi^\alpha_i) = H P_g \phi^\alpha_i = H\sum_k A^\alpha_{ki}(g) \phi^\alpha_k = \sum_k A^\alpha_{ki}(g) (H\phi^\alpha_k).$$
よって $\phi^\alpha$ と $H\phi^\alpha$ は同一の表示行列 $A^\alpha$ をもち、順序も変わらない。
以上の定理を用いて、シュレーディンガー方程式の永年行列式を簡約化する実用的な手順を述べる。
一般に任意のベクトル $\psi$ は群の不等価不可約表示の基底で展開できる。
$$\psi = \sum_{i,\beta,l} a^\beta_{il}\,\phi^\beta_{il},$$
ここで $i$ は重複度の番号、$\beta$ は不可約表示の番号、$l$ は基底の番号である。
Step 1（指標射影演算子の構成）：
$$P^\alpha = \frac{s_\alpha}{n} \sum_g \chi^{\alpha*}(g) P_g = \sum_i P^\alpha_{ii}.\tag{14}$$
Step 2（第 $\alpha$ 不可約表示成分の抽出）：
$P^\alpha$ を $\psi$ に作用させると、
$$P^\alpha \psi = \sum_{i,\beta,l,j} a^\beta_{il}\, P^\alpha_{jj} \phi^\beta_{il}
= \sum_{i,\beta,l,j} a^\beta_{il}\,\delta_{\alpha\beta}\,\delta_{jl}\,\phi^\beta_{il}
= \sum_{i,l} a^\alpha_{il}\,\phi^\alpha_{il}.$$
こうして $P^\alpha$ は第 $\alpha$ 不等価不可約ユニタリ表示空間の部分を抽出する役割を果たす。
Step 3（行列要素の計算）：
定理 3.10 より $H\phi^\beta$ も第 $\beta$ 不可約表示の基底関数であるから、定理 3.9 により $\alpha \neq \beta$ のとき $(\phi^\alpha_{ik} \mid H\phi^\beta_{jl}) = 0$ である。
同じ表示 $\alpha$ の内部では、基底の番号 $k, l$ について $(\phi^\alpha_{ik} \mid H\phi^\alpha_{jl}) = \delta_{kl}\,h^\alpha_{ij}$ の形になり、$h^\alpha_{ij}$ は基底の番号によらない。
このようにして、大きな永年行列式は、各不可約表示 $\alpha$ について重複度 $m_\alpha$ 次の小さなブロック $(h^\alpha_{ij})$ に分解される（各ブロックは基底の次元 $s_\alpha$ だけ重複して現れる）。
固有値を求める計算は、元の次数の行列を対角化する代わりに、これらの小さなブロックを対角化する計算に簡約化される。