群論は、対称性を数学的に記述するための理論である。 物理学においては、系の対称性を調べることで、運動方程式を解かずとも系の本質的な性質を引き出すことができる。 例えば、結晶の対称性や素粒子の内部対称性など、様々な場面で群論は活躍する。 このページでは、群の定義から部分群・剰余類・不変部分群・商群・準同型定理・変換群・直積と半直積までを、証明つきで順に確認する。
定義 1.1 集合 $G$ において二項演算が定義されており、$G$ の任意の元がすべて以下の条件を満たすとき、$G$ を群という。
定理 1.1 （単位元の一意性） 単位元は唯一つしか存在しない。
単位元が二つ $e_1,\, e_2$ あると仮定する。単位元の定義より、
これは $e_1 \neq e_2$ という仮定に矛盾する。したがって単位元は一意である。
定理 1.2 （逆元の一意性） 各元の逆元は唯一つしか存在しない。
ある元 $g$ が二つの逆元 $h_1,\, h_2$ をもつと仮定する。すると、
これは $h_1 \neq h_2$ という仮定に矛盾する。したがって逆元は一意である。
定義 1.2 （アーベル群） 群 $G$ の任意の元 $g,\, f \in G$ が
を満たすとき、$G$ をアーベル群（可換群）という。
定義 1.3 （群の位数） 群 $G$ の元の個数を群の位数といい、$|G|$ または $n$ などで表す。 元の個数が有限のとき有限群、無限のとき無限群という。
定義 1.4 （置換群） $n$ 個の対象の入れ替え（置換）を行列形式で表す。例えば、
は $A \to C,\; B \to A,\; C \to B$ という対応を意味する。置換の積 $a\cdot b$ は右の置換 $b$ を先に作用させ、そのあとで $a$ を作用させるものと約束する。 計算では、左の行列の上段を右の行列の下段の並びに合わせて並べ替えてから、右の上段と左の下段を読む。例を示す。
たとえば $1$ は $b$ で $3$ に移り、$a$ で $3$ は $2$ に移るので、合成では $1 \to 2$ となる。 $n$ 次置換群の位数は $n!$ である。置換を簡潔に書く記法として、
のように、動かす元だけを循環の順に括弧内に書く方法がある（この例は $1$ と $2$ の入れ替え、すなわち互換である）。
定理 1.3 群 $G$ の任意の元 $g \in G$ に対して $gG = Gg = G$ が成り立つ。
まず $gG \subset G$ を示す。$g,\, g_i \in G$ に対して閉性より $g g_i \in G$ だから $gG \subset G$。
次に $G \subset gG$ を示す。任意の $g_i \in G$ について、$g^{-1} \in G$ より $g^{-1}(g g_i) = g_i$ と書けるから $g_i \in gG$。
以上より $gG = G$。同様にして $Gg = G$ も示される。
定義 1.5 （部分群） $H \subset G$ であり、かつ $H$ 自身が群の条件を満たすとき、$H$ を $G$ の部分群という。 部分群であることを確認する際は、閉性と逆元の存在のみを示せばよい（結合律と単位元は $G$ から引き継がれる）。
特に $\{e\}$ は常に部分群であり、自明な部分群という。自明でない部分群を真部分群という。
例（循環部分群） 有限群から元を一つ選び、そのべき乗の集合 $\{e,\, a,\, a^2,\, \ldots,\, a^{n-1}\}$ を考える。 閉性より $a^n = e$ となる最小の正の整数 $n$ が存在し、この集合は群をなす。 これを循環部分群といい、このとき $n$ を $a$ の位数ともいう。
定義 1.6 （剰余類） $H$ を $G$ の部分群とし、$g \in G$ を固定する。このとき、
をそれぞれ $H$ の左剰余類、右剰余類という。
定理 1.4 （剰余類定理） 部分群 $H$ の二つの左（右）剰余類は、互いに一致するか、さもなくば共通元を持たない。
二つの左剰余類 $uH,\, vH$（$u,\, v \in G$）が共通の元をもつと仮定する。 すなわち $u h_\alpha = v h_\beta$ となる $h_\alpha,\, h_\beta \in H$ が存在するとすると、
したがって、共通元をもつ二つの左剰余類は完全に等しく、そうでなければ共通元をもたない。
定理 1.5 （Lagrange の定理） 有限群 $G$ の部分群の位数は、群 $G$ の位数の約数である。
$|G| = m$、部分群 $H$ の位数を $n$ とおく。 $H$ 自身は $eH = H$ という剰余類であり、剰余類定理より相異なる左剰余類 $H,\, u_1 H,\, u_2 H,\, \ldots$ は互いに共通元をもたず、それぞれ $n$ 個の元をもつ。 これらが $G$ を過不足なく覆うことから $m/n \in \mathbb{Z}$、すなわち $n \mid m$。
定義 1.7 （共役） 群 $G$ において、ある元 $g \in G$ を用いて $gfg^{-1} = h$（$f,\, h \in G$）と表されるとき、$f$ と $h$ は共役であるといい、$f \sim h$ と書く。
共役関係は次の性質をもつ。
反射律・対称律・推移律が成り立つので、共役は群 $G$ 上の同値関係である。
定義 1.8 （類） 群において、互いに共役なすべての元の集合を類（共役類）という。 ある元 $f$ が分かっているとき、$G$ のすべての元 $g$ にわたって $gfg^{-1}$ を計算すると、$f$ の属する類の全元が得られる。
重要な例を挙げる。単位元 $e$ は $geg^{-1} = e$ であるから単独で一つの類をなす。 アーベル群においては $gfg^{-1} = f$ であるから、各元はそれぞれ独立した類をなす。 位数 $m$ の元（$f^m = e$ を満たす元）の共役元も同じく位数 $m$ をもつ。
また、群を分割する方法として「剰余類」と「類」の二通りがある点に注意されたい。 前者では各部分集合の元の個数は等しいが、後者では各類の元の個数は一般に等しくない。
定理 1.6 有限群の各類の元の個数は、群の位数の約数である。
3ステップに分けて証明する。
Step 1：元 $g$ と可換な元すべての集合
が部分群をなすことを示す。
閉性：$\forall\, h_i,\, h_j \in H_g$ に対して、$h_i h_j \cdot g = h_i \cdot g h_j = g h_i h_j$、よって $h_i h_j \in H_g$。
逆元：$h_i g = g h_i$ の両辺に左から $h_i^{-1}$、右から $h_i^{-1}$ をかけると $h_i^{-1} g = g h_i^{-1}$、よって $h_i^{-1} \in H_g$。
Step 2：Lagrange の定理より $G$ を $H_g$ の剰余類 $\{H_g,\, g_i H_g,\, \ldots\}$ に分解する。 任意の剰余類 $g_i H_g$ からは $g$ の共役元 $g_i g g_i^{-1}$ が一つ得られる。 実際、$g_i h_\alpha$ を $g$ の共役変換に用いると、
また、$g$ の任意の共役元 $g'gg'^{-1}$ は、$g'$ の属する剰余類 $g'H_g$ から得られる。したがって、$g$ の共役元と $H_g$ の左剰余類が対応する。 異なる剰余類が異なる共役元を与えることを反証法で示す。 $g_i g g_i^{-1} = g_j g g_j^{-1}$ と仮定すると、
これは異なる剰余類との仮定に矛盾する。
Step 3：$|G| = m$、$|H_g| = n$ とおくと、剰余類の個数は $m/n$ であり、$g$ の類の元の個数も $m/n$ となる。これは $m$ の約数だから定理が示された。
定義 1.9 （共役部分群） $H$ を $G$ の部分群とするとき、
を $H$ の共役部分群という。
定義 1.10 （不変部分群） $H$ を $G$ の部分群とする。$H$ の各元の類がすべて $H$ に含まれるとき、$H$ を $G$ の不変部分群（正規部分群）という。 これは、すべての $g \in G$ に対して $gHg^{-1} = H$ が成り立つことと同値である。
定理 1.7 $H$ が $G$ の不変部分群であるとき、固定した $g \in G$ に対して $h_i$ が $H$ 全体を動くと $gh_i g^{-1}$ は $H$ の全元をちょうど一度ずつ与える。
全元を与えること：任意の $h_i \in H$ について $h_i = g(g^{-1} h_i g) g^{-1}$ と書けるが、$g^{-1} h_i g \in H$（不変部分群の定義）だから $h_i$ は確かに得られる。
重複しないこと：$g h_i g^{-1} = g h_j g^{-1}$ ならば $h_i = h_j$。よって一度ずつ与えられる。
定理 1.8 （不変部分群の左右剰余類） 不変部分群の左剰余類と右剰余類は一致する。すなわち $\forall\, g \in G$ に対して $gH = Hg$。
$gHg^{-1} = H$ の両辺に右から $g$ をかけると $gH = Hg$。
定理 1.9 $H$ が不変部分群のとき、二つの剰余類 $g_i H,\, g_j H$ の元どうしの積は、すべてただ一つの剰余類 $g_i g_j H$ に含まれる。
$g_i h_\alpha \in g_i H$、$g_j h_\beta \in g_j H$ の積は
ここで $H$ が不変部分群だから $g_j^{-1} h_\alpha g_j \in H$ であることを用いた。 右辺は $h_\alpha,\, h_\beta$ の取り方によらず同じ剰余類 $g_i g_j H$ に入る。
定義 1.11 （商群） 不変部分群 $H$ とその剰余類によって
と分割し、各剰余類を一つの元とみなして群演算を
と定義する。定理 1.9 により、この積は剰余類の代表元の取り方によらず定まる。この集合は群をなし（単位元は $H$、$g_iH$ の逆元は $g_i^{-1}H$）、これを商群といって $G/H$ と表す。商群の位数は $|G|/|H|$ である。
定義 1.12 （同型） 全単射の写像 $\varphi: G \to F$ が $\forall\, g_i,\, g_j \in G$ に対して
を満たすとき、$G$ と $F$ は同型であるといい $G \cong F$ と書く。写像 $\varphi$ を同型写像という。
定義 1.13 （同態） 全射の写像 $\varphi: G \to F$ が群の乗法を保つ、すなわち
を満たすとき、$G$ と $F$ は同態であるといい $G \sim F$ と書く。 同型は全単射であるのに対し、同態は単射である必要はない。
定義 1.14 （同態核） 同態写像 $\varphi: G \to F$ において、$F$ の単位元 $f_0$ に対応する $G$ の元全体の集合を同態核という。
定理 1.10 （準同型定理） $G \sim F$（$\varphi: G \to F$ は同態）であるとき、次が成り立つ。
Step 1：$H$ が部分群であることを示す。
閉性：$\forall\, h_\alpha,\, h_\beta \in H$ に対して、
逆元：$h_\alpha^{-1} \notin H$ と仮定すると $\varphi(h_\alpha^{-1}) = f_i \neq f_0$ となる。ところが、
これは矛盾。よって $h_\alpha^{-1} \in H$。
Step 2：$H$ が不変部分群であることを示す。
$\forall\, g \in G,\; h_\alpha \in H$ に対して、
Step 3：$G/H \cong F$ を示す。
$H$ の各剰余類が $F$ の一元に対応することは $\varphi$ の準同型より明らか。 異なる剰余類 $g_i H \neq g_j H$ が同じ元 $f_i = f_j$ に対応すると仮定すると、
これは矛盾。よって異なる剰余類は異なる元に対応し $G/H \cong F$。
定義 1.15 （自己同型群と内部自己同型群） 群 $G$ から $G$ 自身への同型写像を自己同型写像という。$G$ のすべての自己同型写像全体は、写像の合成 $\nu_1 \circ \nu_2(g) = \nu_1(\nu_2(g))$ のもとで群をなし、これを自己同型群 $A(G)$ という。
特に、固定した $u \in G$ を用いて $\mu_u(g) = ugu^{-1}$ と定義した写像を内部自己同型写像という。内部自己同型写像全体のなす群を内部自己同型群 $I(G)$ という。
定理 1.11 $I(G)$ は $A(G)$ の不変部分群である。
Step 1：$I(G)$ が部分群であることを示す。
閉性：$\mu_f(g) = fgf^{-1}$ と $\mu_h(g) = hgh^{-1}$ の合成は
逆元：$\mu_f$ の逆写像は $\mu_{f^{-1}}$ であることは $\mu_{f^{-1}}(\mu_f(g)) = f^{-1}(fgf^{-1})f = g$ より明らか。
Step 2：$I(G)$ が不変部分群であることを示す。
任意の $\nu \in A(G)$、$\mu_u \in I(G)$ に対して、
$\nu(u) \in G$ は固定した元だから $\nu \circ \mu_u \circ \nu^{-1} = \mu_{\nu(u)} \in I(G)$。
定義 1.16 （変換と完全対称群） 空でない集合 $X$ から $X$ への全単射写像 $f: X \to X$ を $X$ 上の変換（または置換）という。
変換の乗法を $f \circ g(X) = f(g(X))$ と定義すると、$X$ 上のすべての変換は群をなし、これを完全対称群 $S_X$ という。 $X$ が $n$ 元有限集合のとき $S_n$、群元の集合 $G$ を対象とするとき $S_G$ と書く。
定理 1.12 （Cayley の定理） 任意の群 $G$ は、$S_G$ のある部分群と同型である。
各 $g \in G$ に対して $L_g: G \to G,\; x \mapsto gx$ を定める。定理 1.3（$gG = G$、重排定理）より $L_g$ は全単射、すなわち $S_G$ の元である。 $L_g L_h (x) = ghx = L_{gh}(x)$ だから対応 $g \mapsto L_g$ は積を保つ。また $L_g(e) = g$ だから単射である。 よって $G$ は $S_G$ のある部分群 $\{L_g\}$ と同型である。
定義 1.17 （等価性と軌道） $G$ を $X$ 上の変換群とする。$x,\, y \in X$ に対して $\exists\, g \in G$ が存在して $g(x) = y$ となるとき、$x$ と $y$ は等価であるといい $x \sim y$ と書く。$x$ と等価なすべての元の集合を $x$ の $G$-軌道という。
定義 1.18 （不変部分集合） $G$ を $X$ 上の変換群とする。$X$ の部分集合 $Y$ に対して $\forall\, g \in G$ について $gY = Y$ が成り立つとき、$Y$ を $G$ の $X$ 上の不変部分集合という。
この定義から以下がいえる。(1) $X$ 中の $G$-軌道はすべて不変集合であり、軌道の合併も不変部分集合をなす。(2) $X$ の任意の部分集合 $Y$ に対して、$gY = Y$ を満たす $g \in G$ の全体は $G$ の部分群をなす（少なくとも恒等変換は含まれる）。
定義 1.19 （固定部分群・等方部分群） $G$ を $X$ 上の変換群とし、$x \in X$ とする。
は $G$ の部分群をなし、固定部分群（isotropy subgroup）という。 $G_x$ の任意の元は $x$ を変えない変換全体である。
定理 1.13（軌道・固定部分群の定理） $G_x$ を $x$ に対する固定部分群とすると、$x$ を含む $G$-軌道上の点と $G_x$ の左剰余類は、対応 $gG_x \mapsto gx$ によって一対一に対応する。特に有限群では、軌道の元の個数は $|G|/|G_x|$ である。
Step 1：対応が剰余類の代表元によらず定まる。
同じ剰余類の元 $gh$（$h \in G_x$）に対して $(gh)x = g(hx) = gx$ だから、$gG_x$ に対して $gx$ が一つに定まる。
Step 2：軌道上のすべての点に対応する剰余類がある。
$x$ の軌道上の点は軌道の定義から $y = gx$（$g \in G$）と書ける。このとき $y$ は剰余類 $gG_x$ に対応する。
Step 3：異なる剰余類は異なる点に対応する。
$g_i x = g_j x$ とすると、
したがって異なる剰余類 $g_i G_x \neq g_j G_x$ は異なる点 $g_i x \neq g_j x$ に対応する。
定義 1.20 （直積群） 二つの群 $G_1 = \{g_{1\alpha}\}$、$G_2 = \{g_{2\beta}\}$ に対して、有順序対 $g_{\alpha\beta} = (g_{1\alpha},\, g_{2\beta})$ の集合に乗法
を定義すると群をなす。これを直積群といい $G_1 \otimes G_2$ と表す（$G_1 \times G_2$ とも書く）。
定義 1.21 （直積因子） 群 $G$ が二つの部分群 $G_1,\, G_2$ をもち、$\forall\, g_{\alpha\beta} \in G$ が $g_{\alpha\beta} = g_{1\alpha} g_{2\beta}$（$g_{1\alpha} \in G_1,\; g_{2\beta} \in G_2$）と一意に書け、かつ $g_{1\alpha} g_{2\beta} = g_{2\beta} g_{1\alpha}$ であるとき、$G = G_1 \otimes G_2$ と書き $G_1,\, G_2$ を直積因子という。
定理 1.14 直積群 $G = G_1 \otimes G_2$ において以下が成り立つ。
I）反証法。$\{e,\, a\}$ が共通の元と仮定すると、$(e,\, a)$ と $(a,\, e)$ という二つの有順序対が同じ積の結果を与えることになり、一意分解の条件に反する。よって $G_1 \cap G_2 = \{e\}$。
II）$\forall\, g_{1\alpha} \in G_1$ について、$G_1$ と $G_2$ の元の可換性を用いて共役を計算すると、
よって $G_1$ は $G$ の不変部分群である。同様に $G_2$ についても示せる。
定義 1.22 （半直積） 二つの群 $G_1,\, G_2$ において、$G_1$ の自己同型写像群 $A(G_1)$ と $G_2$ が同態であるとする。 すなわち各 $g_{2\beta} \in G_2$ に対して自己同型写像 $\nu_{g_{2\beta}}: G_1 \to G_1$ が定まるとする。 このとき有順序対 $\langle g_{1\alpha}\, g_{2\beta} \rangle$ の集合に乗法
を定義したとき、この集合は群をなす。これを半直積群といい $G_1 \otimes_s G_2$ と表す。
以下では $G_2 \sim A(G_1)$ より積の写像が写像の積に等しいこと、すなわち
を利用して、半直積が群の公理を満たすことを確認する。
結合律：
式 (1) より $\nu_{g_{2\beta}}(\nu_{g_{2\beta'}}(g_{1\alpha''})) = \nu_{g_{2\beta} g_{2\beta'}}(g_{1\alpha''})$ だから、
と一致し、結合律が成立する。
単位元：$\langle g_{10}\, g_{20} \rangle$（$\nu_{g_{20}}$ は恒等写像）が単位元であることは容易に確認できる。
逆元：$\langle g_{1\alpha}\, g_{2\beta} \rangle$ の逆元は $\langle \nu_{g_{2\beta}^{-1}}(g_{1\alpha}^{-1}),\; g_{2\beta}^{-1} \rangle$ である。
以上で群の四公理がすべて確認された。
$S_3$ のすべての部分群を挙げ、その位数が $|S_3| = 6$ の約数であることを確かめよ。また、そのうち不変部分群であるものはどれか。
$S_3 = \{e,\,(1\,2),\,(1\,3),\,(2\,3),\,(1\,2\,3),\,(1\,3\,2)\}$ である。 部分群は次の六つである。
位数 $1, 2, 3, 6$ はいずれも $6$ の約数で、Lagrange の定理と矛盾しない（位数 $4, 5$ の部分群は存在しない）。
不変部分群：$\{e\}$、$S_3$ は明らか。$A_3$ は指数 $2$ だから不変である（演習 3）。 $\{e,(1\,2)\}$ は不変でない。実際 $(1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1}$ は $(1\,2)$ の中の $1, 2$ を $(1\,3)$ で置き換えた $(3\,2) = (2\,3)$ であり、この部分群に含まれない。よって不変部分群は $\{e\}$、$A_3$、$S_3$ の三つである。
素数 $p$ を位数にもつ群は巡回群であることを示せ。
群 $G$ の位数を素数 $p$ とし、$a \neq e$ をとる。$a$ が生成する循環部分群 $\langle a \rangle$ の位数は、Lagrange の定理（定理 1.5）により $p$ の約数である。$a \neq e$ だから位数は $1$ ではなく、$p$ が素数だから $\langle a \rangle$ の位数は $p$ に等しい。 したがって $\langle a \rangle = G$ であり、$G$ は巡回群である。
群 $G$ の部分群 $H$ の指数（左剰余類の個数）が $2$ ならば、$H$ は不変部分群であることを示せ。
左剰余類は $H$ と $G \setminus H$ の二つである。右剰余類も同様に二つで、$H$ と $G \setminus H$ である。 $g \in H$ なら $gH = Hg = H$。$g \notin H$ なら $gH$ は $H$ と共通元をもたない左剰余類だから $gH = G \setminus H$、同じく $Hg = G \setminus H$。 いずれの場合も $gH = Hg$ だから $gHg^{-1} = H$、すなわち $H$ は不変部分群である。
正三角形の対称群（回転と反射。位数 $6$）が三つの頂点 $1, 2, 3$ に作用している。頂点 $1$ の軌道と固定部分群を求め、定理 1.13 の関係が成り立つことを確かめよ。
三つの頂点は回転で互いに移り合うので、頂点 $1$ の軌道は $\{1,2,3\}$ で元の個数は $3$ である。 頂点 $1$ を動かさない変換は、恒等変換と、頂点 $1$ を通る軸に関する反射の二つであり、固定部分群 $G_1$ の位数は $2$ である。 定理 1.13 により、軌道の元の個数は $|G|/|G_1| = 6/2 = 3$ で、実際の個数と一致する。