行列式
§1.1 2次・3次行列式
行列式の定義
行列式は線形方程式組と密接な関係があり、2つまたは3つの未知数を含む線形方程式組を解くことに起源を持つ。次の2元連立一次方程式を考える。
$$\begin{aligned}\begin{cases}
a_1 x + b_1 y = c_1, \\
a_2 x + b_2 y = c_2.
\end{cases}
\tag{1.1}\end{aligned}$$
$a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ ならば、消去法によってこの方程式組は唯一の解
$$\begin{aligned}\begin{cases}
\displaystyle x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \\[10pt]
\displaystyle y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}
\end{cases}
\tag{1.2}\end{aligned}$$
をもつ。記憶の便宜のために、2次行列式を次のように導入する。
$$\begin{aligned}\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}
= a_1 b_2 - a_2 b_1.
\tag{1.3}\end{aligned}$$
$a_1 b_2 - a_2 b_1$ をその展開式と呼ぶ。式 (1.3) の左辺の行列式において、横の並びを行、縦の並びを列といい、$a_1, a_2, b_1, b_2$ をその要素という。
2次行列式を用いると、係数行列式
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \neq 0$
のとき、2元連立方程式組 (1.1) の解は
$$\begin{aligned}x = \dfrac{
\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}
}, \qquad
y = \dfrac{
\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}
}
\tag{1.2$'$}\end{aligned}$$
と表すことができる。
定義1.1
$$\begin{aligned}\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
= a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2
- a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1\end{aligned}$$
を3次行列式という。式 (1.2$'$) の規則に類似して、3元連立一次方程式組
$$\begin{aligned}\begin{cases}
a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1, \\
a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2, \\
a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3
\end{cases}
\tag{1.4}\end{aligned}$$
において、係数行列式
$$\begin{aligned}\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
&= a_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}
- a_2 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}
+ a_3 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \notag\\
&= a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2
- a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1 \notag\\
&\neq 0 \notag\end{aligned}$$
のとき、消去法により方程式組 (1.4) の解は
$$\begin{aligned}x = \dfrac{
\begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}
}, \quad
y = \dfrac{
\begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}
}, \quad
z = \dfrac{
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}
}\end{aligned}$$
となる。以上の線形方程式組を解く方法をクラメルの公式（Cramer's rule）という。
例題1.1． 方程式組を解け。
$$\begin{cases}
2x + 3y = 9, \\
3x - 2y = -19.
\end{cases}$$
解． 式 (1.2$'$) より、
$$x = \frac{
\begin{vmatrix} 9 & 3 \\ -19 & -2 \end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}
}
= \frac{-18 + 57}{-4 - 9}
= \frac{39}{-13} = -3,$$
$$y = \frac{
\begin{vmatrix} 2 & 9 \\ 3 & -19 \end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}
}
= \frac{-38 - 27}{-13}
= \frac{65}{13} = 5,$$
よって
$$\begin{cases}
x = -3, \\
y = 5.
\end{cases}$$
例題1.2． クラメルの公式を用いて方程式組を解け。
$$\begin{cases}
2x - 3y + 2z = -3, \\
x + 4y - 3z = 6, \\
3x - y - z = 1.
\end{cases}$$
解． 係数行列式は
$$\begin{vmatrix}
2 & -3 & 2 \\
1 & 4 & -3 \\
3 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= -8 - 2 + 27 - 6 - 3 - 24 = -16 \neq 0,$$
ゆえに方程式組は唯一の解をもつ。
解の分子行列式はそれぞれ
$$\begin{aligned}\begin{vmatrix}
-3 & -3 & 2 \\
6 & 4 & -3 \\
1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
&= 12 - 12 + 9 + 9 - 18 - 8 = -8, \\
\begin{vmatrix}
2 & -3 & 2 \\
1 & 6 & -3 \\
3 & 1 & -1
\end{vmatrix}
&= -12 + 2 + 27 + 6 - 3 - 36 = -16, \\
\begin{vmatrix}
2 & -3 & -3 \\
1 & 4 & 6 \\
3 & -1 & 1
\end{vmatrix}
&= 8 + 3 - 54 + 12 + 3 + 36 = 8.\end{aligned}$$
したがって方程式組の解は
$$\begin{cases}
\displaystyle x = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}, \\[6pt]
\displaystyle y = \frac{-16}{-16} = 1, \\[6pt]
\displaystyle z = \frac{8}{-16} = -\frac{1}{2}.
\end{cases}$$
以下にクラメルの公式の系を示す。
系1 3元斉次線形方程式組
$$\begin{cases}
a_1 x + b_1 y + c_1 z = 0, \\
a_2 x + b_2 y + c_2 z = 0, \\
a_3 x + b_3 y + c_3 z = 0
\end{cases}$$
の係数行列式
$$\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
\neq 0$$
ならば、方程式組の唯一の解は $x = y = z = 0$ である。これを零解という。
系2 3元斉次線形方程式組
$$\begin{cases}
a_1 x + b_1 y + c_1 z = 0, \\
a_2 x + b_2 y + c_2 z = 0, \\
a_3 x + b_3 y + c_3 z = 0
\end{cases}$$
が非零解をもつならば、係数行列式は必ず $0$ でなければならない。すなわち
$$\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
= 0.$$
系2は重要であり、以下の例題でその応用を示す。
例題1.3． 平面上の2点を通る直線の方程式を求めよ。
平面上の2つの異なる点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ を通る直線の方程式を求めよ。
解． 直線の方程式を $ax + by + c = 0$ とおくと、問題は $a, b, c$ の値を求めることに帰着される。点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ を代入すると
$$ax_1 + by_1 + c = 0, \quad ax_2 + by_2 + c = 0.$$
直線上の任意の点 $(x, y)$ をとり、$x, y;\, x_1, y_1;\, x_2, y_2$ を定数とみなして $a, b, c$ を未知変数とすると、$a, b, c$ についての斉次線形方程式組
$$\begin{cases}
ax + by + c = 0, \\
ax_1 + by_1 + c = 0, \\
ax_2 + by_2 + c = 0
\end{cases}$$
を得る。これは非零解 $(a, b, c)$ をもつから、系2より係数行列式は必ず $0$ である。すなわち
$$\begin{vmatrix}
x & y & 1 \\
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1
\end{vmatrix}
= 0.$$
これが求める直線の方程式である。
例題1.4． 3点を通る円の方程式を求めよ。
一直線上にない3点 $(0,0)$、$(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ を通る円の方程式を求めよ。
解． 円は $(0,0)$ を通るから、円の方程式を $x^2 + y^2 + Ex + Fy = 0$ とおくことができる。円上の任意の点 $(x, y)$ および既知の点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ を代入すると方程式組
$$\begin{cases}
x^2 + y^2 + Ex + Fy = 0, \\
x_1^2 + y_1^2 + Ex_1 + Fy_1 = 0, \\
x_2^2 + y_2^2 + Ex_2 + Fy_2 = 0
\end{cases}$$
が得られる。これは $E, F$ の解をもち、したがって斉次線形方程式組
$$\begin{cases}
(x^2 + y^2)D + Ex + Fy = 0, \\
(x_1^2 + y_1^2)D + Ex_1 + Fy_1 = 0, \\
(x_2^2 + y_2^2)D + Ex_2 + Fy_2 = 0
\end{cases}$$
は非零解 $(D, E, F) = (1, E, F)$ をもつ。系2より係数行列式は必ず $0$ であり、すなわち
$$\begin{vmatrix}
x^2 + y^2 & x & y \\
x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 \\
x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2
\end{vmatrix}
= 0.$$
これが求める円の方程式である。
§1.1.1 2次・3次行列式の性質と計算
性質1 行列式の行と列を入れ替えても、行列式の値は変わらない。すなわち
$$\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{vmatrix}.$$
これら2つの行列式は互いに転置行列式と呼ばれる。
性質2 3次行列式は各行の3つの要素についての1次斉次式である。すなわち
$$\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_i & b_i & c_i
\end{vmatrix}
= a_i A_i + b_i B_i + c_i C_i, \quad i = 1, 2, 3,$$
ここで $A_i, B_i, C_i$ はそれぞれ $a_i, b_i, c_i$ を含まない。同様に、行列式は各列の3つの要素についての1次斉次式でもある。すなわち
$$\begin{aligned}\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
&= a_1 A_1 + a_2 A_2 + a_3 A_3
= b_1 B_1 + b_2 B_2 + b_3 B_3 \\
&= c_1 C_1 + c_2 C_2 + c_3 C_3,\end{aligned}$$
ここで $A_i, B_i, C_i$ はそれぞれ $a_i, b_i, c_i$（$i=1,2,3$）の代数余因子と呼ばれる。
ある要素の代数余因子の求め方は次の通りである。行列式からその要素が属する行と列を取り除いて1つの2次行列式を得て、さらに $(-1)^{i+j}$ を乗じることで、その要素の代数余因子が得られる（ここで $i, j$ はそれぞれその要素の行番号と列番号）。
例えば
$$\begin{aligned}A_3 &= (-1)^{3+1}
\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}
= b_1 c_2 - b_2 c_1, \\
B_3 &= (-1)^{3+2}
\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}
= -\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}
= a_2 c_1 - a_1 c_2.\end{aligned}$$
性質2から直ちに次の系が得られる。
系1 ある行（または列）の3つの要素がすべて0ならば、行列式の値は0である。
系2 ある行（または列）の3つの要素の公因数は行列式の外に括り出すことができる。
例えば
$$\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
ka_2 & kb_2 & kc_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
= k
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}.$$
系3 ある行（または列）の3つの数がそれぞれ2数の和であるとき、その行列式は2つの行列式の和として書ける。
例えば
$$\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 + a_3' & b_3 + b_3' & c_3 + c_3'
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3' & b_3' & c_3'
\end{vmatrix}.$$
性質3 2行（または2列）を互いに入れ替えると、行列式の値は符号のみが変わる。
例えば
$$\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
= -
\begin{vmatrix}
a_3 & b_3 & c_3 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_1 & b_1 & c_1
\end{vmatrix}.$$
この性質は両辺の行列式を展開することで証明できる。
この性質から次の2つの系が得られる。
系1 行列式に2行（または2列）が等しいものがあれば、行列式の値は0である。
証明
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}
= \Delta$ とおくと、第1行と第2行を入れ替えれば $-\Delta = \Delta$ より $2\Delta = 0$、すなわち $\Delta = 0$。
系2 行列式のある行（または列）の $k$ 倍を別の行（または列）に加えても、行列式の値は変わらない。例えば、第3行の $k$ 倍を第2行に加えると
$$\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 + ka_3 & b_2 + kb_3 & c_2 + kc_3 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}.$$
証明
性質2の系3、系2および性質3の系1よりこの結論が得られる。
この系を利用して、行列式のある行（または列）の2つの要素を0にすることで、3次行列式の計算を2次行列式の計算に帰着させることができる。
例題1.5． 次の行列式の値を求めよ。
$$\begin{vmatrix}
3 & -2 & 5 \\
4 & -1 & -3 \\
-5 & 4 & 6
\end{vmatrix}$$
解．
$$\begin{aligned}\text{元式}
&\xrightarrow{(3)\text{行}+2(1)\text{行}}
\begin{vmatrix}
3 & -2 & 5 \\
4 & -1 & -3 \\
1 & 0 & 16
\end{vmatrix}
\xrightarrow{(1)\text{行}-2(2)\text{行}}
\begin{vmatrix}
-5 & 0 & 11 \\
4 & -1 & -3 \\
1 & 0 & 16
\end{vmatrix} \\
&\xrightarrow{\text{第2列で展開}}
-\begin{vmatrix} -5 & 11 \\ 1 & 16 \end{vmatrix}
= -(-80 - 11) = 91.\end{aligned}$$
なお「(1)行」は第1行を、「(1)行$-2$(2)行」は第2行の $-2$ 倍を第1行に加えることを表す。
例題1.6． 次の行列式の値を求めよ。
$$\begin{vmatrix}
3 & -2 & 5 \\
4 & 3 & -3 \\
-2 & 4 & 5
\end{vmatrix}$$
解．
$$\begin{aligned}\text{元式}
&\xrightarrow{(3)\text{列}+(2)\text{列}}
\begin{vmatrix}
3 & -2 & 3 \\
4 & 3 & 0 \\
-2 & 4 & 9
\end{vmatrix}
\xrightarrow{(3)\text{行}-3(1)\text{行}}
\begin{vmatrix}
3 & -2 & 3 \\
4 & 3 & 0 \\
-11 & 10 & 0
\end{vmatrix} \\
&\xrightarrow{\text{第3列で展開}}
3\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ -11 & 10 \end{vmatrix}
= 3(40 + 33) = 219.\end{aligned}$$
例題1.7． 次の行列式の値を求めよ。
$$\begin{vmatrix}
1+a & 1 & 1 \\
1 & 1+a & 1 \\
1 & 1 & 1+a
\end{vmatrix}$$
解（解法1）．
$$\begin{aligned}\text{元式}
&\xrightarrow{(1)\text{行}+(2)\text{行}+(3)\text{行}}
\begin{vmatrix}
3+a & 3+a & 3+a \\
1 & 1+a & 1 \\
1 & 1 & 1+a
\end{vmatrix}
= (3+a)
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1+a & 1 \\
1 & 1 & 1+a
\end{vmatrix} \\
&\xrightarrow{(2)\text{列}-(1)\text{列},\ (3)\text{列}-(1)\text{列}}
(3+a)
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & a & 0 \\
1 & 0 & a
\end{vmatrix}
= (3+a)a^2.\end{aligned}$$
解（解法2）． 元式を性質2の系3により8つの行列式の和に展開する。このうち2行以上が $(1,1,1)$ となるもの（4つ）は値が0である。残る4つの和は
$$\begin{vmatrix} a&0&0\\0&a&0\\0&0&a \end{vmatrix}
+\begin{vmatrix} 1&1&1\\0&a&0\\0&0&a \end{vmatrix}
+\begin{vmatrix} a&0&0\\1&1&1\\0&0&a \end{vmatrix}
+\begin{vmatrix} a&0&0\\0&a&0\\1&1&1 \end{vmatrix}
= a^3 + a^2 + a^2 + a^2 = a^3 + 3a^2 = a^2(a+3).$$
例題1.8． 次の行列式の値を求めよ。
$$\begin{vmatrix}
x^2 & 4 & 9 \\
x & 2 & -3 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}$$
解（解法1）． 第1列、第2列からそれぞれ第3列を引くと
$$\begin{aligned}\text{元式}
&= \begin{vmatrix}
x^2-9 & -5 & 9 \\
x+3 & 5 & -3 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
x^2-9 & -5 \\
x+3 & 5
\end{vmatrix} \\
&= 5(x^2-9) + 5(x+3)
= 5(x^2 + x - 6)
= 5(x+3)(x-2).\end{aligned}$$
解（解法2）． $x = 2$ のとき前2列が等しくなり、行列式の値は0となる。よって $x-2$ はこの行列式を展開した2次式の因子である。また $x = -3$ のとき第1列と第3列が等しくなり、行列式の値は0となる。よって $x+3$ も因子である。行列式の展開式は2次式であるから
$$\text{元式} = k(x-2)(x+3), \quad k \text{ は定係数},$$
$x^2$ 項の係数を比較すると $k = 5$。すなわち
$$\text{元式} = 5(x-2)(x+3).$$
例題1.9． 次の行列式の値を求めよ。
$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{vmatrix}$$
解（解法1）． 第2列から第1列を引き、第3列からも第1列を引くと
$$\begin{aligned}\text{元式}
&= \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
a & b-a & c-a \\
a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
b-a & c-a \\
b^2-a^2 & c^2-a^2
\end{vmatrix} \\
&= (b-a)(c-a)
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
b+a & c+a
\end{vmatrix}
= (b-a)(c-a)(c-b).\end{aligned}$$
解（解法2）． $b = a$ のとき行列式の前2列が等しくなり値は0となる。よって $(b-a)$ はその因子である。同様に $(c-b)$、$(a-c)$ も因子であり、$(b-a)(c-b)(a-c)$ も行列式の因子となる。展開式は $a, b, c$ の3次多項式であるから
$$\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{vmatrix}
= k(b-a)(c-b)(a-c),$$
ここで $k$ は $a, b, c$ に無関係な定数である。両辺の $bc^2$ 項を比較すると $bc^2 = -kbc^2$ より $k = -1$。すなわち
$$\text{元式} = -(b-a)(c-b)(a-c).$$
例題1.10． 次を証明せよ。
$$\begin{vmatrix}
a+b & b+c & c+a \\
p+q & q+r & r+p \\
x+y & y+z & z+x
\end{vmatrix}
= 2
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
x & y & z
\end{vmatrix}.$$
証明1． 第2列、第3列を第1列に加え、公因数2を括り出すと
$$\begin{aligned}\text{左辺}
&= 2
\begin{vmatrix}
a+b+c & b+c & c+a \\
p+q+r & q+r & r+p \\
x+y+z & y+z & z+x
\end{vmatrix} \\
&\xrightarrow{(1)\text{列}-(2)\text{列}}
2
\begin{vmatrix}
a & b+c & c+a \\
p & q+r & r+p \\
x & y+z & z+x
\end{vmatrix}
\xrightarrow{(3)\text{列}-(1)\text{列}}
2
\begin{vmatrix}
a & b+c & c \\
p & q+r & r \\
x & y+z & z
\end{vmatrix} \\
&\xrightarrow{(2)\text{列}-(3)\text{列}}
2
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
x & y & z
\end{vmatrix}
= \text{右辺}.\end{aligned}$$
証明2． 各列はそれぞれ2数の和であるから、性質2の系3により原行列式は8つの行列式の和に展開できる。2列が等しい行列式は0であるから6つが0となり、残る2つの行列式は
$$\begin{vmatrix} a&b&c\\ p&q&r\\ x&y&z \end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix} b&c&a\\ q&r&p\\ y&z&x \end{vmatrix}
= 2
\begin{vmatrix} a&b&c\\ p&q&r\\ x&y&z \end{vmatrix}.$$
§1.2 $n$ 次行列式
§1.2.1 順列 $(i_1, i_2, \cdots, i_n)$ の逆順数
$$i_1,\, i_2,\, \cdots,\, i_n
\tag{1.5}$$
を $1, 2, \cdots, n$ の1つの順列とする。この順列 (1.5) を自然順列 $1, 2, \cdots, n$ に戻すために必要な隣接する要素の入れ替えの最小回数を求めたい。順列 (1.5) において、1の左側にいくつの数字があるかを数える——この個数を1の逆順数という。次に2の左側に2より大きい数字がいくつあるかを数える——この個数を2の逆順数という。以下同様に、$i$ の左側に $i$ より大きい数字の個数を $i$ の逆順数とする。明らかに任意の順列において $n$ の逆順数は0である（$n$ より大きい数字が現れないから）。
これら $n$ 個の数字の逆順数の総和を、その順列の逆順数という。
順列 $(i_1, i_2, \cdots, i_n)$ の逆順数を $\sigma(i_1, i_2, \cdots, i_n)$ と記す。
例えば
$$\begin{aligned}\sigma(1, 2, \cdots, n) &= 0, \\
\sigma(3, 2, 4, 1, 5) &= 3 + 1 + 0 + 0 + 0 = 4, \\
\sigma(4, 1, 3, 2, 6, 5) &= 1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 0 = 5, \\
\sigma(n, n-1, n-2, \cdots, 3, 2, 1) &= \frac{n(n-1)}{2}.\end{aligned}$$
定義1.2 逆順数が偶数の順列を偶順列、逆順数が奇数の順列を奇順列という。
§1.2.2 $n$ 次行列式の定義
$$\begin{aligned}D =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
= \sum_{(i_1, i_2, \cdots, i_n)}
(-1)^{\sigma(i_1, i_2, \cdots, i_n)}
a_{1 i_1} a_{2 i_2} \cdots a_{n i_n}.\end{aligned}$$
ここで和は全ての順列 $(i_1, i_2, \cdots, i_n)$ にわたって取る。
$n$ が大きいとき、$n!$ は非常に急速に増大するため、この定義による計算は非常に複雑であり、特別な場合にのみ適用可能である。
例題1.11． 次の行列式の値を計算せよ。
$$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
& a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
& & \ddots & \vdots \\
& & & a_{nn}
\end{vmatrix}
\quad\text{および}\quad
\begin{vmatrix}
& & & a_{1n} \\
& & \cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}} & \vdots \\
& a_{2,n-1} & \vdots & \\
a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn}
\end{vmatrix}$$
解．
$$\begin{aligned}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
& a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
& & \ddots & \vdots \\
& & & a_{nn}
\end{vmatrix}
&= a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}, \\[6pt]
\begin{vmatrix}
& & & a_{1n} \\
& & \cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}} & \vdots \\
& a_{2,n-1} & \vdots & \\
a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn}
\end{vmatrix}
&= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n} a_{2,n-1} \cdots a_{n1}.\end{aligned}$$
§1.2.3 $n$ 次行列式の性質
性質1 行列式の行と列を入れ替えても、その値は変わらない。
性質2 行列式の2行（列）を入れ替えると、その値は符号のみ変わる。
性質3 行列式中に2行（列）が等しいものがあれば、その値は0である。
性質4 ある行（列）に $k$ を掛けると、行列式の値は $k$ 倍になる。
性質5 行列式中にある行が0ならば、その値は0である。
性質6 行列式中に2行（列）が比例するものがあれば、その値は0である。
性質7 行列式中のある行（列）の各要素がそれぞれ2項の和であれば、それは2つの行列式の和に等しい。後者の2つは元の行列式の当該行（列）をそれぞれ各項で置き換えたものである。
行列式の第 $i$ 行の要素がそれぞれ $a_{i1}+a_{i1'}$、$a_{i2}+a_{i2'}$、$\cdots$、$a_{in}+a_{in'}$ であるとき、
$$\begin{vmatrix}
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1}+a_{i1'} & a_{i2}+a_{i2'} & \cdots & a_{in}+a_{in'} \\
\vdots & \vdots & & \vdots
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1'} & a_{i2'} & \cdots & a_{in'} \\
\vdots & \vdots & & \vdots
\end{vmatrix}.$$
性質8 行列式のある行（列）の $k$ 倍を別の行（列）に加えても、その値は変わらない。すなわち
$$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1}+ka_{j1} & a_{i2}+ka_{j2} & \cdots & a_{in}+ka_{jn} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}.$$
性質9 行列式の値は、任意の行（列）の各要素とその代数余因子の積の和に等しい。すなわち
$$\begin{aligned}D &= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}
= a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in},
\quad i=1,2,\cdots,n, \\
D &= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}
= a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj},
\quad j=1,2,\cdots,n.\end{aligned}$$
すなわち、行列式は任意の行（列）で展開できる。
性質10 行列式のある行（列）の各要素と別の行（列）の対応する要素の代数余因子の積の和は0である。すなわち
$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n} a_{ik} A_{jk}
&= a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0,
\quad i \neq j, \\
\sum_{k=1}^{n} a_{ki} A_{kj}
&= a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ni}A_{nj} = 0,
\quad i \neq j.\end{aligned}$$
§1.2.4 $n$ 次行列式の計算
例題1.12． 次の4次行列式の値を求めよ。
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
4 & 2 & -3 & 5 \\
4 & -4 & 6 & -7 \\
3 & -1 & -4 & 5 \\
1 & -5 & 3 & -3
\end{vmatrix}$$
解．
$$\begin{aligned}\Delta
&\xrightarrow{(4)\text{列}+(3)\text{列}}
\begin{vmatrix}
4 & 2 & -3 & 2 \\
4 & -4 & 6 & -1 \\
3 & -1 & -4 & 1 \\
1 & -5 & 3 & 0
\end{vmatrix}
\xrightarrow{\substack{(1)\text{行}+2(2)\text{行} \\ (3)\text{行}+(2)\text{行}}}
\begin{vmatrix}
12 & -6 & 9 & 0 \\
4 & -4 & 6 & -1 \\
7 & -5 & 2 & 0 \\
1 & -5 & 3 & 0
\end{vmatrix} \\
&= -
\begin{vmatrix}
12 & -6 & 9 \\
7 & -5 & 2 \\
1 & -5 & 3
\end{vmatrix}
\xrightarrow{\frac{1}{3}(1)\text{行}}
-3
\begin{vmatrix}
4 & -2 & 3 \\
7 & -5 & 2 \\
1 & -5 & 3
\end{vmatrix}
\xrightarrow{\substack{(2)\text{列}+5(3)\text{列} \\ (1)\text{列}-4(3)\text{列}}}
-3
\begin{vmatrix}
-8 & 13 & 3 \\
1 & 5 & 2 \\
-11 & 10 & 3
\end{vmatrix} \\
&\xrightarrow{\substack{(2)\text{列}+5(1)\text{列} \\ (3)\text{列}-3(1)\text{列}}}
-3
\begin{vmatrix}
4 & 18 & -9 \\
7 & 30 & -19 \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= -3
\begin{vmatrix}
18 & -9 \\
30 & -19
\end{vmatrix} \\
&= -3(-342 + 270) = -3 \times (-72) = 216.\end{aligned}$$
例題1.13． 次の行列式の値を計算せよ。
$$\begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
a & d & c & b \\
c & d & a & b \\
c & b & a & d
\end{vmatrix}$$
解（解法1）． 第1行から第2行を引き、第3行から第4行を引くと
$$\text{元式} =
\begin{vmatrix}
0 & b-d & 0 & d-b \\
a & d & c & b \\
0 & d-b & 0 & b-d \\
c & b & a & d
\end{vmatrix}
= 0.$$
（第1行と第3行が比例するため。）
解（解法2）． 第3行を第1行に加え、第4行を第2行に加えると
$$\text{元式} =
\begin{vmatrix}
a+c & b+d & a+c & b+d \\
a+c & b+d & a+c & b+d \\
c & d & a & b \\
c & b & a & d
\end{vmatrix}
= 0.$$
（第1行と第2行が等しいため。）
例題1.14． $n$ 次行列式の値を求めよ。
$$C_n =
\begin{vmatrix}
2 & 1 & & & \\
1 & 2 & 1 & & \\
& 1 & 2 & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & 1 \\
& & & 1 & 2
\end{vmatrix}$$
解． 第1列で展開すると
$$C_n = 2C_{n-1} - C_{n-2}.$$
$C_1 = 2$、$C_2 = 3$ より $C_3 = 4$。以下同様に進める。
直接 $C_n$ を計算する公式を導く。漸化式の両辺から $C_{n-1}$ を引くと
$$C_n - C_{n-1} = C_{n-1} - C_{n-2},$$
順次計算すると
$$C_n - C_{n-1} = C_2 - C_1 = 3 - 2 = 1,$$
よって
$$C_n = C_{n-1} + 1.$$
この公式を繰り返し用いると
$$C_n = C_{n-2}+2 = C_{n-3}+3 = \cdots = C_2+(n-2) = 3+(n-2) = n+1.$$
例題1.15． $n$ 次行列式の値を求めよ。
$$\Delta_n =
\begin{vmatrix}
\alpha+\beta & \alpha\beta & & & \\
1 & \alpha+\beta & \alpha\beta & & \\
& 1 & \alpha+\beta & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & \alpha\beta \\
& & & 1 & \alpha+\beta
\end{vmatrix}$$
解． 第1列で展開すると $\Delta_n = (\alpha+\beta)\Delta_{n-1} - \alpha\beta\Delta_{n-2}$ となり、これを
$$\Delta_n - \alpha\Delta_{n-1} = \beta(\Delta_{n-1} - \alpha\Delta_{n-2})$$
と書き直す。繰り返し用いると
$$\Delta_n - \alpha\Delta_{n-1}
= \beta^2(\Delta_{n-2} - \alpha\Delta_{n-3})
= \cdots
= \beta^{n-2}(\Delta_2 - \alpha\Delta_1).$$
明らかに
$$\Delta_2 = (\alpha+\beta)^2 - \alpha\beta = \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2,
\quad
\Delta_1 = \alpha+\beta,$$
よって
$$\Delta_2 - \alpha\Delta_1 = \beta^2,$$
代入すると
$$\Delta_n - \alpha\Delta_{n-1} = \beta^n.$$
$n$ をそれぞれ $n-1, n-2, \cdots, 2$ で置き換えて
$$\begin{cases}
\Delta_n - \alpha\Delta_{n-1} = \beta^n, \\
\Delta_{n-1} - \alpha\Delta_{n-2} = \beta^{n-1}, \\
\Delta_{n-2} - \alpha\Delta_{n-3} = \beta^{n-2}, \\
\quad\vdots \\
\Delta_2 - \alpha\Delta_1 = \beta^2.
\end{cases}$$
それぞれに $1, \alpha, \alpha^2, \cdots, \alpha^{n-2}$ を掛けて加えると
$$\Delta_n - \alpha^{n-1}\Delta_1
= \beta^n + \alpha\beta^{n-1} + \alpha^2\beta^{n-2} + \cdots + \alpha^{n-2}\beta^2,$$
$\Delta_1 = \alpha+\beta$ を代入すると
$$\Delta_n
= \beta^n + \alpha\beta^{n-1} + \alpha^2\beta^{n-2} + \cdots
+ \alpha^{n-2}\beta^2 + \alpha^{n-1}\beta + \alpha^n.$$
これは等比数列の和である。因式分解すると
$$\Delta_n =
\begin{cases}
(n+1)\alpha^n, & \alpha = \beta, \\[4pt]
\dfrac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{\beta - \alpha}, & \alpha \neq \beta.
\end{cases}$$
例題1.16． $n$ 次行列式の値を求めよ。
$$A_n =
\begin{vmatrix}
a & b & \cdots & b \\
b & a & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & b \\
b & \cdots & b & a
\end{vmatrix}$$
解． 後ろの $(n-1)$ 行をすべて第1行に加え、公因数 $a+(n-1)b$ を括り出すと
$$A_n = \bigl[a+(n-1)b\bigr]
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
b & a & b & \cdots & b \\
b & b & a & \cdots & b \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & b & b & \cdots & a
\end{vmatrix}.$$
後ろ $n-1$ 列からそれぞれ第1列を引くと
$$A_n = \bigl[a+(n-1)b\bigr]
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
b & a-b & 0 & \cdots & 0 \\
b & 0 & a-b & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & 0 & 0 & \cdots & a-b
\end{vmatrix}
= \bigl[a+(n-1)b\bigr](a-b)^{n-1}.$$
例題1.17． $n$ 次行列式の値を求めよ。
$$B_n =
\begin{vmatrix}
a & c & \cdots & c \\
b & a & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & c \\
b & \cdots & b & a
\end{vmatrix}$$
解． $b = c$ のときは例題1.16に帰着する。以下 $b \neq c$ とする。
第1行から始めて各行から次の行を引くと
$$B_n =
\begin{vmatrix}
a-b & c-a & & & 0 \\
0 & a-b & c-a & & \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \\
0 & & & a-b & c-a \\
b & \cdots & & b & a
\end{vmatrix}.$$
第1列で展開すると
$$\begin{aligned}B_n &= (a-b)B_{n-1} + (-1)^{n+1}b(c-a)^{n-1} \notag\\
&= (a-b)B_{n-1} + (-1)^{n+1}b(-1)^{n-1}(a-c)^{n-1} \notag\\
&= (a-b)B_{n-1} + b(a-c)^{n-1}.
\tag{1.6}\end{aligned}$$
$B_n$ において $b, c$ を入れ替えても値は変わらない。式 (1.6) で $b, c$ を入れ替えると
$$\begin{aligned}B_n = (a-c)B_{n-1} + c(a-b)^{n-1}.
\tag{1.7}\end{aligned}$$
式 (1.6)、(1.7) から $B_{n-1}$ を消去すると
$$\bigl[(a-c)-(a-b)\bigr]B_n = b(a-c)^n - c(a-b)^n,$$
よって
$$\begin{aligned}B_n = \frac{b(a-c)^n - c(a-b)^n}{b-c}.
\tag{1.8}\end{aligned}$$
例題1.18． ヴァンデルモンド（Vandermonde）行列式を証明せよ。
$$V(x_1, x_2, \cdots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{n \geq i > j \geq 1}(x_i - x_j)$$
$$= (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)\cdots(x_n-x_1)
\cdot(x_3-x_2)(x_4-x_2)\cdots(x_n-x_2)\cdots(x_n-x_{n-1}).$$
証明1（数学的帰納法）． $n=2$ のとき
$V(x_1, x_2) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix} = x_2 - x_1$
が成立する。
$n$ より小さい次数の行列式に対して等式が成立すると仮定し、$n$ 次の場合を証明する。
$V(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ において、最終行から始めて各行から前の行の $x_1$ 倍を引くと
$$V(x_1,x_2,\cdots,x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & (x_2-x_1) & (x_3-x_1) & \cdots & (x_n-x_1) \\
0 & x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \cdots & x_n(x_n-x_1) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & x_2^{n-2}(x_2-x_1) & x_3^{n-2}(x_3-x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n-x_1)
\end{vmatrix}.$$
第1列で展開し、各列の公因数を括り出すと
$$= (x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_n \\
x_2^2 & x_3^2 & x_4^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & x_4^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2}
\end{vmatrix}.$$
帰納法の仮定より右辺の行列式は $\displaystyle\prod_{n \geq i > j \geq 2}(x_i-x_j)$ に等しいから
$$V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{n \geq i > j \geq 1}(x_i - x_j).$$
証明2（多項式の因数定理を利用）． $V(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ を $x_n$ の多項式とみなす。$x_n$ にそれぞれ $x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}$ を代入すると行列式の値は0となるため、行列式は $(x_n-x_1), (x_n-x_2), \cdots, (x_n-x_{n-1})$ で割り切れる。同様の考察を各 $x_k$（$k = n-1, \ldots, 2$）に対して行うと、$(x_i-x_j)$（$i>j$）がすべて因子となり、その個数は $1+2+\cdots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 個ある。
また $V(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ を展開すると $x_1, x_2, \cdots, x_n$ の $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 次の斉次多項式であるから、
$$V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = k \prod_{n \geq i > j \geq 1}(x_i - x_j),$$
ここで $k$ は $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に無関係な定数である。
$k$ を求めるには等式の両辺のある項を比較すればよい。$V(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ の主対角要素の積は $x_2 x_3^2 \cdots x_n^{n-1}$ であり、$k \displaystyle\prod_{n \geq i > j \geq 1}(x_i-x_j)$ の対応する項は $k x_2 x_3^2 \cdots x_n^{n-1}$ である。
比較して $k=1$、よって
$$V(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{n \geq i > j \geq 1}(x_i - x_j).$$
§1.3 $n$ 個の方程式・$n$ 個の未知数の線形方程式組
次の $n$ 元連立一次方程式組を考える。
$$\begin{aligned}\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\
\quad\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n.
\end{cases}
\tag{1.9}\end{aligned}$$
係数行列式
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\neq 0$$
と仮定する。$A_{ij}$ を $a_{ij}$ の代数余因子とし、式 (1.9) の $n$ 個の方程式にそれぞれ $A_{11}, A_{21}, \cdots, A_{n1}$ を掛けて加えると
$$\Bigl(\sum_{i=1}^{n} a_{i1}A_{i1}\Bigr)x_1
+ \Bigl(\sum_{i=1}^{n} a_{i2}A_{i1}\Bigr)x_2
+ \cdots
+ \Bigl(\sum_{i=1}^{n} a_{in}A_{i1}\Bigr)x_n
= \sum_{i=1}^{n} b_i A_{i1},$$
すなわち
$$\Delta x_1 = \sum_{i=1}^{n} b_i A_{i1}.$$
同様に
$$\Delta x_2 = \sum_{i=1}^{n} b_i A_{i2},
\quad\vdots\quad
\Delta x_n = \sum_{i=1}^{n} b_i A_{in}.$$
$\Delta \neq 0$ であるから
$$\begin{aligned}x_1 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i A_{i1}}{\Delta},\quad
x_2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i A_{i2}}{\Delta},\quad
\cdots,\quad
x_n = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i A_{in}}{\Delta}.
\tag{1.10}\end{aligned}$$
方程式組 (1.9) の係数行列式 $\Delta \neq 0$ のとき、方程式組は高々1組の解をもつ。以下に式 (1.10) が式 (1.9) の解であることを証明する。
式 (1.10) の $n$ 個の値を式 (1.9) に代入し、第 $i$ 番目の方程式の左辺を計算する。
$$\begin{aligned}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j
&= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_k A_{kj}}{\Delta}
= \frac{1}{\Delta}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} a_{ij}b_k A_{kj}
= \frac{1}{\Delta}\sum_{k=1}^{n} b_k \Bigl(\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{kj}\Bigr).\end{aligned}$$
$k \neq i$ のとき
$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{kj} = 0,$$
$k = i$ のとき
$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} = \Delta,$$
よって
$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = \frac{1}{\Delta}(b_i\Delta) = b_i.$$
したがって式 (1.10) で定められた $x_i$（$i=1,2,\cdots,n$）は式 (1.9) の各方程式をすべて満たし、その解である。
定理1.1（クラメルの公式） 線形方程式組
$$\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\
\quad\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}$$
の係数行列式
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\neq 0$$
ならば、方程式組は唯一の解をもち、
$$x_i = \frac{1}{\Delta}\sum_{j=1}^{n}b_j A_{ji}
= \frac{1}{\Delta}
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix},
\quad i=1,2,\cdots,n.$$
分子を $\Delta_i$ と記せば、$x_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta}$（$i = 1,2,\cdots,n$）となる。
系1 斉次線形方程式組
$$\begin{aligned}\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0, \\
\quad\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0
\end{cases}
\tag{1.11}\end{aligned}$$
の係数行列式 $\Delta \neq 0$ のとき、式 (1.11) は零解 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$ のみをもつ。
系2 式 (1.11) が非零解をもつならば、その係数行列式 $\Delta = 0$（式 (1.11) が非零解をもつための必要条件）。
例題1.19． 次の線形方程式組を解け。
$$\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1, \\
2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 = 1, \\
2^2 x_1 + 3^2 x_2 + 4^2 x_3 + 5^2 x_4 = 1, \\
2^3 x_1 + 3^3 x_2 + 4^3 x_3 + 5^3 x_4 = 1.
\end{cases}$$
解． 係数行列式はヴァンデルモンド行列式であり、
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
2^3 & 3^3 & 4^3 & 5^3
\end{vmatrix}
= (3-2)(4-2)(5-2)(4-3)(5-3)(5-4) = 12.$$
解の分子もヴァンデルモンド行列式であり、
$$\Delta_1 =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
1 & 3^3 & 4^3 & 5^3
\end{vmatrix}
= 48, \quad
\Delta_2 =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 4 & 5 \\
2^2 & 1 & 4^2 & 5^2 \\
2^3 & 1 & 4^3 & 5^3
\end{vmatrix}
= -72,$$
$$\Delta_3 =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 1 & 5 \\
2^2 & 3^2 & 1 & 5^2 \\
2^3 & 3^3 & 1 & 5^3
\end{vmatrix}
= 48, \quad
\Delta_4 =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 & 1 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 1 \\
2^3 & 3^3 & 4^3 & 1
\end{vmatrix}
= -12.$$
よって
$$\begin{cases}
x_1 = \dfrac{48}{12} = 4, \\[6pt]
x_2 = \dfrac{-72}{12} = -6, \\[6pt]
x_3 = \dfrac{48}{12} = 4, \\[6pt]
x_4 = \dfrac{-12}{12} = -1.
\end{cases}$$
例題1.20． 球面の方程式を求めよ。
一平面上にない4点 $P_i(x_i, y_i, z_i)$（$i=1,2,3,4$）を通る球面の方程式を求めよ。
解． 球面の方程式を
$$x^2 + y^2 + z^2 + dx + ey + fz + g = 0,
\quad
x_i^2 + y_i^2 + z_i^2 + dx_i + ey_i + fz_i + g = 0,
\quad i=1,2,3,4$$
とおく。球面上の任意の点 $P(x,y,z)$ および4点 $P_i(x_i,y_i,z_i)$ の座標を既知数と見て、$c, d, e, f, g$ についての斉次方程式組
$$\begin{cases}
c(x^2+y^2+z^2) + dx + ey + fz + g = 0, \\
c(x_i^2+y_i^2+z_i^2) + dx_i + ey_i + fz_i + g = 0,
\quad i=1,2,3,4
\end{cases}$$
は非零解 $(c,d,e,f,g) = (1, d, e, f, g)$ をもつ。よって系2より
$$\begin{vmatrix}
x^2+y^2+z^2 & x & y & z & 1 \\
x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{vmatrix}
= 0.$$
これが球面上の任意の点 $(x,y,z)$ が満たす方程式である。
なお方程式中の $(x^2+y^2+z^2)$ の係数は
$$\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{vmatrix}
\neq 0$$
となる。これは $P_1, P_2, P_3, P_4$ が同一平面上にないからである。実際、$(\overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}) \cdot \overrightarrow{P_1P_4} \neq 0$ すなわち
$$0 \neq
\begin{vmatrix}
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\
x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1
\end{vmatrix}
= -
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{vmatrix}.$$
例題1.21． 放物線の方程式を求めよ。
平面上の一直線上にない3点 $P_i(x_i, y_i)$（$i=1,2,3$）で $x_1, x_2, x_3$ は互いに異なるとする。これら3点を通り、軸が $y$ 軸に平行な放物線の方程式を求めよ。
解． 放物線の方程式を
$$y = ax^2 + bx + c,$$
すなわち
$$ax^2 + bx + c - y = 0$$
とおく。各点 $P_i(x_i, y_i)$ を代入すると
$$\begin{cases}
ax_1^2 + bx_1 + c - y_1 = 0, \\
ax_2^2 + bx_2 + c - y_2 = 0, \\
ax_3^2 + bx_3 + c - y_3 = 0.
\end{cases}$$
$(x, y)$ および $(x_i, y_i)$（$i=1,2,3$）を既知数とみなして $(a, b, c, d)$ を未知変数とする斉次方程式組
$$\begin{cases}
ax^2 + bx + c + dy = 0, \\
ax_1^2 + bx_1 + c + dy_1 = 0, \\
ax_2^2 + bx_2 + c + dy_2 = 0, \\
ax_3^2 + bx_3 + c + dy_3 = 0
\end{cases}$$
は非零解 $(a, b, c, -1)$ をもつから、係数行列式は必ず0でなければならない。すなわち
$$\begin{vmatrix}
x^2 & x & 1 & y \\
x_1^2 & x_1 & 1 & y_1 \\
x_2^2 & x_2 & 1 & y_2 \\
x_3^2 & x_3 & 1 & y_3
\end{vmatrix}
= 0.$$
これが求める放物線の方程式である。
なお係数行列式の $y$ の列に関する余因子展開の係数はヴァンデルモンド行列式であり、$x_1, x_2, x_3$ が互いに異なることから $\neq 0$ である。また展開したときの $x^2$ の係数は
$$-
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}
\neq 0 \quad\text{（3点が同一直線上にないため）}.$$
練習問題
- 行列式の性質を用いて次の行列式の値を計算せよ。
- $\begin{vmatrix}
2 & 1 & 7 & 6 \\
8 & 3 & 0 & 7 \\
1 & 0 & 4 & 2 \\
3 & -1 & -2 & -5
\end{vmatrix}$
- $\begin{vmatrix}
2 & 5 & -1 & 5 \\
3 & 5 & 9 & -1 \\
-2 & -1 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1
\end{vmatrix}$
- $\begin{vmatrix}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{vmatrix}$
- $\begin{vmatrix}
b+c & a-c & a-b \\
b-c & c+a & b-a \\
c-b & c-a & a+b
\end{vmatrix}$
- 次を証明せよ。
$$\begin{vmatrix}
b+c & c+a & a+b \\
b_1+c_1 & c_1+a_1 & a_1+b_1 \\
b_2+c_2 & c_2+a_2 & a_2+b_2
\end{vmatrix}
= 2
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}.$$
- 次の線形方程式組を解け。
- $\begin{cases}
x_1+x_2+2x_3+3x_4=1, \\
3x_1-x_2-x_3-2x_4=-4, \\
2x_1+3x_2-x_3-x_4=-6, \\
x_1+2x_2+3x_3-x_4=-4
\end{cases}$
- $\begin{cases}
x_1+x_2+x_3+x_4=a, \\
x_1+x_2+x_3-x_4=b, \\
x_1+x_2-x_3-x_4=c, \\
x_1-x_2-x_3-x_4=d
\end{cases}$
- 一直線上にない3点 $P_1(x_1, y_1)$、$P_2(x_2, y_2)$、$P_3(x_3, y_3)$ を通る円の方程式を求めよ。