複素数と複素平面

1.1 複素数

方程式 $x^2 = -1$ の根は $x_1 = \sqrt{-1}$，$x_2 = -\sqrt{-1}$ である。 $i := \sqrt{-1}$ と定め，これを虚数単位と呼ぶ。このとき $i^2 = -1$。

定義 1.1.1 次の形の数

を複素数と呼ぶ。ここで $x, y$ は任意の実数である。 $x$ を $z$ の実部，$y$ を $z$ の虚部と呼び，それぞれ

と記す。このとき $z = \operatorname{Re} z + i\operatorname{Im} z$ が成り立つ。

$z_1 = x_1 + iy_1$，$z_2 = x_2 + iy_2$ を二つの複素数とする。等号を

と定め，また

と定める。

定義 1.1.2 複素数 $z = x + iy$ の共役複素数を $\bar{z} := x - iy$ と定義する。

明らかに

および $\bar{\bar{z}} = z$ が成り立つ。

実数の場合と同様に，複素数の間の加減乗算を次のように定義できる：

これらの演算は交換律・結合律・分配律を満たす（読者に確認を委ねる）。

これを利用して，複素数 $z = x + iy$ の逆数を

と定義できる。さらに複素数の除法を

と定義する。

複素数全体の集合を複素数体と呼び $\mathbb{C}$ と記す。 実数全体の集合を実数体と呼び $\mathbb{R}$ と記す。 同様に有理数体を $\mathbb{Q}$，整数全体を $\mathbb{Z}$ と記す。明らかに

これらの演算と共役複素数の定義から，次の命題が得られる。

命題 1.1.1

1.2 複素平面

複素数を直感的に表現するにはどうすればよいか。 複素数 $z = x + iy$ は実部 $x$ と虚部 $y$ によって一意に定まるから， $z$ を平面 $\mathbb{R}^2$ 上の点 $(x, y)$ と同一視できる。すなわち次の一対一対応を構成する：

この表現法を複素数の座標表示と呼ぶ。 このとき平面 $\mathbb{R}^2 \cong \mathbb{C}$ を複素平面という。 ガウスが最初にこの概念を導入したため，ガウス平面とも呼ばれる。

この表示を用いると，平面上の曲線の方程式を $z,\bar{z}$ の式に書き換えることができる。

より一般に，方程式 $f(x,y)=0$ で定義される曲線は常に

と書ける。この方程式を $f$ の複素化方程式と呼ぶ。 逆に，複素化方程式 $F(z,\bar{z})=0$ が既知のとき，$z=x+iy$，$\bar{z}=x-iy$ を代入して元の方程式 $f(x,y)=0$ を得ることができる。この操作を方程式の実数化と呼ぶ。

1.3 複素数の表示

ベクトル表示

平面上の点 $(x,y)$ は原点から $(x,y)$ へ向かうベクトルとも見なせるから， 複素数 $z = x+iy$ をベクトル $\vec{z}=(x,y)$ と見なすこともできる。 この表示法を複素数のベクトル表示と呼ぶ。

補題 1.3.1 複素数のベクトルとしての加減算と複素数自身の加減算は一致する。すなわち

ベクトル自身には長さの概念があるから，複素数 $z=x+iy$ の絶対値（モジュラス）を $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ と定義する。例 1.1.1(3) より $|z|^2 = z\bar{z}$。

命題 1.3.1（三角不等式） $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ に対して

また，複素数の絶対値は明らかに次の等式を満たす：

三角表示

ベクトル $\vec{z}$ と $x$ 軸のなす角を $\theta$ と記し，複素数 $z$ の偏角と呼ぶ。 $r=|z|$ とおくと，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$ より

この表示を複素数の三角表示と呼ぶ。

$\theta$ を次のいずれの値に置き換えても三角関数の値は変わらない：

そこで

の中の任意の値を $z$ の偏角と呼ぶ。$\operatorname{Arg}z$ から特定の一値を選び出したものを $z$ の主偏角と呼び $\arg z$ と記す。通常は $-\pi < \arg z \leq \pi$ を満たすよう選ぶ。 なお $z=0$ の偏角は任意に定めてよい。

命題 1.3.2 $z$ の主偏角が $(-\pi,\pi]$ の範囲にあるとき、

1. $z$ が正（負）の実数 $\iff$ $\arg z = 0$（$\arg z = \pi$）。
2. $\operatorname{Im}z > 0 \iff 0 < \arg z < \pi$。
3. $z$ が負の実数でないとき，$\arg z + \arg\bar{z} = 0$。

指数表示

オイラーは複素数 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ を次の指数表示で書いた：

ここで

は自然対数の底である。

この表示法は一見奇妙に思えるが，実は非常に自然な背景がある。 後の節でオイラーがなぜこのように複素数を表示したかを説明する。 ここではまず次の事実を認める。

命題 1.3.3

1. $r_1e^{i\theta_1} = r_2e^{i\theta_2}$ の必要十分条件は $r_1=r_2$ かつ $\theta_1-\theta_2=2k\pi$（ある $k\in\mathbb{Z}$）。
2. $e^{i\theta_1}\cdot e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}$。
3. $e^{i\theta_1}/e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1-\theta_2)}$。
4. $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$，$\forall n\in\mathbb{Z}$。

定義 $r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ より

特に $\theta=\pi$ とすると次の公式が得られる。

定理 1.3.1（オイラーの公式）

同様に $e^{i\pi/2}=i$，$e^{2ik\pi}=1$ なども成り立つ。

命題 1.3.3(4) から次の有名な定理が得られる。

定理 1.3.2（ド・モアブルの公式）

ド・モアブルの公式から三角関数の倍角公式が導出できる。

1.4 代数学の基本定理

前節では方程式 $x^2=-1$ の根を求めることで複素数の概念を導入した。 これにより自然な問いが生じる：他の多項式方程式の根を求める過程で， 複素数以外の新たな「数」を導入する必要はあるか？答えは否である。 これがかの有名な代数学の基本定理であり，ガウスが最初に厳密な証明を与えた。

定理 1.4.1（代数学の基本定理）

を $n$ 次複素係数多項式とすると，方程式 $f(z)=0$ はちょうど $n$ 個の複素数の根 $z = \gamma_i$（$i=1,\ldots,n$，重複を許す）をもつ。 さらに複素数の範囲で

と因数分解できる。

この定理の証明にはいくつかの方法があり，後の章でその一つを紹介する。 注意すべき点は，代数学の基本定理の証明はいずれも純粋に代数的ではあり得ず， 必ず関数の連続性のような位相的性質を用いるという点である。

次の自然な問いは，多項式方程式の根をどのように求めるかである。 4次以下の多項式方程式については求根公式が知られている。 しかし残念なことに，若くして世を去った数学者アーベルが 5次以上の方程式には一般的な求根公式が存在しないことを証明した。 また数学者ガロアは「群論」を創設し，方程式の根と群の関係をさらに深く解明した。

1.5 単位根

一般の多項式方程式には求根公式がないが，特定の方程式については根を計算できる。 例えば次の $n$ 次方程式

を解いてみよう。$z = re^{i\theta}$ および $1 = e^{i\cdot 0}$ を代入すると

命題 1.3.3(1) より

すなわち $|z|=1$，$\theta = \dfrac{2k\pi}{n}$。 $\omega = e^{2i\pi/n}$ とおくと，$z = e^{2ki\pi/n} = \omega^k$ が方程式 $z^n-1=0$ の根である。

補題 1.5.1 $\omega^m = \omega^l$ であることと $\dfrac{m-l}{n}$ が整数であることは同値。

命題 1.5.1 方程式 $z^n-1=0$ の根はちょうど次の $n$ 個：

またこれらは次の因数分解を与える：

定義 1.5.1 方程式 $z^n=1$ の根を$n$ 次単位根という。 $n$ 次単位根 $z$ であって，$n$ 未満の任意の正の整数 $m$ に対して $z^m \neq 1$ が成り立つものを $n$ 次原始単位根という。

$n$ 次原始単位根の個数を $\varphi(n)$ と記し，オイラーのトーシェント関数という。 例 1.5.1 より $\varphi(1)=1$，$\varphi(2)=1$，$\varphi(3)=2$，$\varphi(4)=2$。

式 (1-2) においてヴィエタの定理を適用すると次の系が得られる。

推論 1.5.1 $n$ 次原始単位根 $\omega$ は方程式 $z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1=0$ の根でもある。すなわち

推論 1.5.2

1.6 複素数列の極限

$z_1 = x_1+iy_1$，$z_2 = x_2+iy_2$ とする。 $z_1, z_2$ の間のユークリッド距離を

と定義する。明らかに次の不等式が成り立つ：

$\{z_n\}_{n=1}^{\infty}$ を複素数列，$z_0$ を与えられた複素数とする。

定義 1.6.1 任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N > 0$ が存在して，$n > N$ のとき常に $|z_n - z_0| < \varepsilon$ が成り立つならば， $\{z_n\}_{n=1}^{\infty}$ は $z_0$ を極限にもつといい， $z_0 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}z_n$ と書く。

$z_n = x_n+iy_n$（$n=0,1,2,\ldots$）とおくと， 複素数列が極限をもつかどうかの判定は実数の場合に帰着できる。

命題 1.6.1 $z_0 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}z_n$ であることと， $x_0 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$ かつ $y_0 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n$ が同時に成り立つことは同値である。

1.7 拡張複素平面

無限遠点

複素数列 $\{z_n\}_{n=1}^{\infty}$ について，任意の正数 $M>0$ に対してある $N>0$ が存在して， $n>N$ のとき $|z_n|>M$ が成り立つならば，

と定義する。$\infty$ を複素平面の無限遠点と呼ぶ。 $\overline{\mathbb{C}} := \mathbb{C}\cup\{\infty\}$ を拡張複素平面と呼ぶ。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}|x_n|=\infty$ または $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|y_n|=\infty$ のいずれかが成り立てば $\displaystyle\lim_{n\to\infty}z_n=\infty$ となる。 ただし逆は必ずしも成り立たない。次の例がそれを示す。

球極投影

三次元空間内の単位球面

を考える。北極点を $N=(0,0,1)$ と記す。 平面 $x_3=0$ を複素平面 $\mathbb{C}$ と見なす。 すなわち複素平面上の各点 $z=x+iy$ は三次元空間内の点 $(x,y,0)$ と見なせる。

$S^2\setminus\{N\}$ 上の点と複素平面 $\mathbb{C}$ 上の点を一対一に対応させる方法は次の通りである。 北極点 $N$ から $z$ を通る半直線を引き，その半直線と単位球面が交わる点を $\Phi(z)$ と記す。 解析幾何の計算により，

明らかに式 (1-4) より，任意の $z$ に対して $\Phi(z)$ は北極点 $N$ になり得ない。 これにより写像

が得られる。

逆に，球面上の $N$ 以外の各点 $P=(x_1,x_2,x_3)$ に対して， $N$ と $P$ を結ぶ半直線 $\overrightarrow{NP}$ と複素平面の交点を $\Psi(P)$ と記すと，

これにより写像

が得られる。 $\Psi\circ\Phi = \mathrm{Id}_{\mathbb{C}}$，$\Phi\circ\Psi = \mathrm{Id}_{S^2\setminus\{N\}}$ が容易に確かめられる。

上の写像 $\Phi$ または $\Psi$ を球極投影と呼ぶ。 $\Psi$ の定義を北極点 $N$ 上にも拡張して $\Psi(N):=\infty$ とおく。 逆に $\Phi(\infty)=N$ とも定める。こうして拡張された球極投影

が得られ，拡張複素平面と球面の一対一対応が確立される。

推論 1.7.1 複素数列 $\{z_n\}_{n=1}^{\infty}$ について，次の二条件は同値：

1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}z_n = \infty$、
2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Phi(z_n) = N$。

球極投影は次の性質をもつ（読者に証明を委ねる）。

命題 1.7.1

1. $L$ が複素平面上の直線ならば，$\Phi(L)$ は $S^2$ 上の $N$ を通る円周である。逆も成り立つ。
2. $C$ が複素平面上の円周ならば，$\Phi(C)$ は $S^2$ 上の $N$ を通らない円周である。逆も成り立つ。

1.8 分式線形変換

分式線形変換

高等代数では，ベクトル空間上の様々な変換写像を研究する。 例えば空間の合同変換（回転・平行移動・伸縮）などである。 これらの研究を拡張複素平面上に拡張しよう。

二つの拡張複素平面を考え，それぞれ $z, w$ を変数とする。次の形の写像

（ここで $a,b,c,d$ は与えられた複素数で $ad-bc\neq 0$）を 分式線形変換またはメビウス変換と呼ぶ。特に

補題 1.8.1 任意の分式線形変換は逆写像をもち，かつその逆写像も分式線形変換である。

補題 1.8.2 分式線形変換の合成もまた分式線形変換である。

補題 1.8.3 任意の分式線形変換は必ず相似変換と反転変換の合成である。

保円周性

命題 1.7.1 より，複素平面上の円周（直線を含む）は球面上の北極点 $N$ を通らない円周（通る円周）に対応する。 したがって拡張複素平面の内部では，直線と円周はどちらも「無限遠点 $\infty$ を含む円周」とみなすことができ，区別しない。

補題 1.8.4 拡張複素平面内の任意の円周は次の標準方程式で書ける：

ここで $A, C\in\mathbb{R}$ かつ $|B|^2-AC>0$。特に $A=0$ のときこの方程式は複素平面上の直線を定める。

定理 1.8.1（保円周性） 分式線形変換は円周を円周に写す。

上の例は次の一般的な公式にまとめられる。

推論 1.8.1 複素平面の円周 $|z-z_0|=r$ の反転変換 $w=\dfrac{1}{z}$ による像は

直線 $\operatorname{Re}(\bar{z}_0 z)=-c$（$c\in\mathbb{R}$）の反転変換による像は

保交比性

拡張複素平面内の互いに異なる四点 $z_1,z_2,z_3,z_4$（無限遠点を含んでもよい）の交比を

と定義する。$z_i$ のいずれかが無限遠点の場合は定義を簡略化できる。 例えば $z_4=\infty$ のとき

定理 1.8.2（保交比性） 分式線形変換は交比を保つ。すなわち $f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$，$w_i=f(z_i)$（$i=1,2,3,4$）に対して

保境界性

定義 1.8.1 複素平面 $\mathbb{C}$ 上の領域 $\mathcal{D}$ とは，次の条件を満たす点の集合である：

1. （開集合条件）$\mathcal{D}$ 内の任意の点 $z$ に対して，$z$ を中心とするある小円盤が 完全に $\mathcal{D}$ 内に含まれる。
2. （連結性）$\mathcal{D}$ 内の任意の二点 $z, z'$ に対して，$z$ と $z'$ を結ぶ曲線で 完全に $\mathcal{D}$ 内に含まれるものが存在する。

領域の境界は通常の理解と同じであり，ここでは厳密な定義を繰り返さない。 境界の向きは，境界に沿って歩くとき領域が常に左手側にくる向きと定める。 以後特に断らない限り，境界の向きはこの正の向きをとるものとする。

以下にいくつかの特殊な領域の例を挙げる。

定理 1.8.3（保境界性） $\mathcal{D}$ が領域で $w=f(z)$ が分式線形変換ならば，$f(\mathcal{D})$ も領域であり， その境界はちょうど $\mathcal{D}$ の境界の $f$ による像であり，向きも保たれる。

保対称性

$C$ が円周または直線，$z_1, z_2$ が拡張複素平面上の二点とする。

定義 1.8.2 次のいずれかの条件を満たすとき，$z_1, z_2$ は $C$ に関して対称であるという。

1. $C$ が直線のとき，$z_1, z_2$ が $C$ に関して通常の意味で鏡像対称。
2. $C$ が円周 $|z-z_0|=r$ のとき，$(z_1-z_0)\overline{(z_2-z_0)}=r^2$ が成り立つ。 このとき $z_0, z_1, z_2$ は共線であり，$|z_1-z_0|\cdot|z_2-z_0|=r^2$。 特に $z_1=z_0$ のとき対称点は $z_2=\infty$ と定める。

定理 1.8.4（保対称性） 分式線形変換は対称性を保つ。すなわち $z_1, z_2$ が拡張複素平面内の円周 $C$ に関して対称ならば， $f(z_1), f(z_2)$ は像の円周 $f(C)$ に関して対称である。

応用：領域変換

分式線形変換を用いて，ある領域を別の領域に写すことができる。 この種の問題は大きく二種類に分けられる。 一つは分式線形変換が既知で，像領域を求めるもの。 もう一つは像領域が与えられ，可能な分式線形変換を求めるものである。

本章練習問題

{$*$ の問題はやや難しい。}

練習問題 1.1 複素数の加法と乗法が交換律・結合律・分配律を満たすことを証明せよ。

練習問題 1.2 $z=\left(\dfrac{1+\sqrt{3}\,i}{1-\sqrt{3}\,i}\right)^n$ の指数表示を求め， $(-\pi,\pi]$ 内の主偏角を確定せよ。

練習問題 1.3 式 (1-1) を用いて次の恒等式を証明せよ：

練習問題 1.4 $\omega = e^{2i\pi/5}$ を 5次原始単位根，$\lambda=\omega+\omega^4$，$\mu=\omega^2+\omega^3$ とおく。

1. $\lambda+\mu=\lambda\mu=-1$ を証明し，$\lambda, \mu$ の値を求めよ。
2. 上の結果をさらに利用して $\omega$ の具体的な値を求めよ。
3. $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ の根号を用いた表示を求めよ。
4. 上の方法を一般化して 17次原始単位根の具体的な値を求めよ。

練習問題 1.5 式 (1-4)，(1-5) を証明せよ。

練習問題 1.6 命題 1.7.1 を証明せよ。