解析力学の最初に出てくるのが，次の式です．
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$いきなり見ると何のことか分かりませんが，中身はニュートンの運動方程式です． ここでは，ポテンシャル力だけを受ける平面上の質点で，両者が同じ式になることを確かめます． そのあとで，この形で書くと何が得なのかを，極座標で見ます．
ポテンシャル $U(x,y)$ から力を受ける質量 $m$ の質点を考えます．運動方程式は
$$m\ddot x=-\frac{\partial U}{\partial x},\qquad m\ddot y=-\frac{\partial U}{\partial y}\tag{1}$$です．ドットは時間微分で，$\dot x=dx/dt$，$\ddot x=d^2x/dt^2$ です．
運動エネルギー $T$ とポテンシャル $U$ の差を，ラグランジアンと呼びます．
$$L=T-U=\frac m2(\dot x^2+\dot y^2)-U(x,y)$$和ではなく差であることに注意してください．$L$ は $x,y,\dot x,\dot y$ の関数です． このとき $\dot x$ と $x$ は，$L$ の中では別々の変数として偏微分します．
$q=x$ として $L$ を計算します．
$$\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x,\qquad \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right)=m\ddot x,\qquad \frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{\partial U}{\partial x}$$したがって，ラグランジュの方程式は
$$m\ddot x-\left(-\frac{\partial U}{\partial x}\right)=0 \iff m\ddot x=-\frac{\partial U}{\partial x}$$となり，(1) の第1式に一致します．$q=y$ でも同様です．
ラグランジュの方程式は，座標をどう選んでも同じ形のまま使えます． 中心力 $U=U(r)$ の問題を，極座標 $(r,\theta)$ で考えます． $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ から $\dot x^2+\dot y^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2$ なので
$$L=\frac m2\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right)-U(r)$$です．$r$ について方程式を立てます．
$$\frac{d}{dt}(m\dot r)-\left(mr\dot\theta^2-U'(r)\right)=0 \iff m\ddot r=mr\dot\theta^2-U'(r)$$右辺の第1項は遠心力です．次に $\theta$ について．$L$ は $\theta$ を含まないので $\partial L/\partial\theta=0$ で
$$\frac{d}{dt}\left(mr^2\dot\theta\right)=0$$これは角運動量保存です．座標 $\theta$ が $L$ に現れないとき，$\partial L/\partial\dot\theta$ が保存される． ニュートンの方程式から直接出すより，ずっと見通しよく出ます．